Isospín y Cuantización de los campos de Dirac y Maxwell

Isospín
y
Cuantización
de los campos
de Dirac y Maxwell
Juan Francisco González Martínez
Licenciatura de Física
Física Nuclear y de Partículas, Teoría Cuántica de Campos
Prof. D. Emilio Torrente Luján
Universidad de Murcia
Curso 2003-2004
Índice general
1. Elementos de Teoría de grupos
4
1.1. El grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Representaciones de SO(2) y U (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3. Representaciones de SO(3) y SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. Representación de SO(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5. Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6. El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7. Representaciones del grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2. Isospín
21
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Multipletes de isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3. Isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4. Componentes de isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5. Conservación de I e I3 en la interacción fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.6. Sistema de dos nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7. Ejemplos de la conservación del isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.8. Estados análogos en Física Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.9. Reglas de selección del isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.10. Clasificación de los estados nucleares: J,Π,I,I3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3. Los campos de Dirac y Maxwell
32
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2. El campo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2.1. El campo spinorial de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2.2. Cuantizando el campo spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.3. Los neutrinos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2
ÍNDICE GENERAL
3
3.3. El campo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3.2. Acoplando campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.3. Cuantizando el campo de Maxwell
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice alfabético
58
Bibliografía
60
Capítulo
1
Elementos de Teoría de grupos
Antes de analizar los temas dedicados al Isospín y a los campos de Dirac y Maxwell, realizaremos
un repaso a los elementos de la teoría de grupos, ya que éstos describen las simetrías de las
partículas subatómicas encontradas en la naturaleza experimentalmente.
1.1.
El grupo SO(2)
Se dice que un conjunto de elementos gi forma un grupo, que llamaremos G, si todos ellos
satisfacen las siguientes condiciones, respecto de la operación producto:
• Clausura: ∀gi , gj ∈ G , gi · gj ∈ G
• Asociatividad: ∀gi , gj ∈ G , gi · (gj · gk ) = (gi · gj ) · gk
• Elemento neutro: ∃ e ∈ G : ∀gi ∈ G , gi · e = gi
• Elemento inverso: ∀gi ∈ G , ∃ gi−1 ∈ G : gi · gi−1 = e
Hay muchos tipos de grupos. Un grupo discreto tiene un número finito de elementos, como el
grupo de rotaciones que dejan un cristal invariante. Sin embargo, nuestro interés yace en los
grupos continuos, tales como la rotación y el grupo de Lorentz, que depende de un conjunto de
ángulos continuos.
El ejemplo más simple no trivial, que nos permitirá analizar grupos más complejos, es el grupo O(2), de las rotaciones en dos dimensiones. Nuestro objetivo fundamental es encontrar las
representaciones irreducibles de O(2).
En el espacio bidimensional R2 , una longitud es invariante bajo una rotación alrededor del
origen. Por el teorema de Pitágoras, y denotando I como el invariante, tenemos:
I = x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ R2
4
(1.1.1)
1.1 El grupo SO(2)
5
Si rotamos el plano que contiene dicho vector un ángulo θ, las coordenadas del mismo punto en
el nuevo sistema vienen dadas por:
0 x
cos θ sen θ
x
=
(1.1.2)
y0
− sen θ cos θ
y
Que podemos abreviar por:
xi 0 = Oij (θ)xj , i, j = 1, 2
(1.1.3)
Donde x1 = x, x2 = y. Para ángulos pequeños, podemos escribir:
δx = θy ; δy = −θx
(1.1.4)
δxi = θij xj .
(1.1.5)
O, de forma equivalente:
Donde ij es antisimétrico y 12 = −21 . Estas matrices forman un grupo. El hecho de que estas matrices preserven la longitud invariante impone restricciones a las mismas. Si hacemos una
rotación a la distancia:
i i
(1.1.6)
x0 x0 = Oij xi Oik xk = xi Oij Oik xk = xj xj
Esto es, la longitud es invariante si la matriz O es ortogonal. Simbólicamente:
OT IO = I
(1.1.7)
El grupo de rotación O(2) es llamado el grupo ortogonal en dos dimensiones. De hecho O(2)
puede ser definido como el conjunto de todas las matrices reales en dos dimensiones. Toda matriz
ortogonal puedes ser escrita como la exponencial de una matriz τ antisimétrica:
θτ
O(θ) = e
∞
X
1
(θτ )n
≡
n!
n=0
(1.1.8)
donde:
τ=
0 1
−1 0
(1.1.9)
Que podemos fácilmente observar sabiendo que la traspuesta de eθτ es e−θτ :
OT = (eθτ )T = e−θτ = O−1
(1.1.10)
O bien, podemos hacer un desarrollo de Taylor de eθτ . Todos los elementos de O(2) están parametrizados por un único ángulo θ. Por ello decimos que O(2) es un grupo uniparamétrico, es decir,
posee dimensión 1.
1.2 Representaciones de SO(2) y U (1)
6
Tomemos ahora el determinante a ambos miembros de la ecuación (1.1.7):
det (OT O) = det O det OT = (det O)2 = 1
(1.1.11)
Es decir que det O = ±1. Si escogemos det O = +1 tenemos el subgrupo SO(2), que es el grupo
especial de matrices ortogonales en dos dimensiones. Existe un subgrupo curioso para det O = −1.
Este subgrupo consiste en todos los elementos de SO(2) por la matriz:
1 0
(1.1.12)
0 −1
Esta transformación corresponde con una transformación de paridad:
x → x
y → −y
(1.1.13)
Una transformación de paridad P, lleva un plano a su imagen especular. Se trata de una transformación discreta y no continua, tal que P 2 = 1. Una importante propiedad de los grupos es
que están únicamente determinados por su ley de multiplicación. Puede observarse que nuestras
matrices O pueden multiplicarse en sucesión:
Oij (θ)Ojk (θ0 ) = Oik (θ + θ0 )
(1.1.14)
que nos confirma la noción intuitiva de que si rotamos nuestro sistema de coordenadas un ángulo
θ y después un ángulo θ0 , el efecto final es una rotación de ángulo θ + θ0 . De hecho, toda matriz
D(θ) (sin restricciones) que posee la regla de multiplicación:
D(θ)D(θ0 ) = D(θ + θ0 ); D(θ + 2π)
(1.1.15)
constituye una representación de O(2), por tener la misma tabla de multiplicación.
1.2.
Representaciones de SO(2) y U (1)
En este capítulo vamos a obtener las representaciones irreducibles de estos grupos. Sea gi un
miembro del grupo G, entonces el objeto D(gi ), es llamado una representación de G si obedece:
D(gi )D(gj ) = D(gi gj ) ∀ gi , gj ∈ G
(1.2.1)
Y D(gi ) posee la misma regla de multiplicación que el grupo original.
Una representación se dice irreducible si D(gi ) puede ser llevada a una forma diagonal. Por
ejemplo, la siguiente matriz es una representación irreducible:


D1 (gi )
0
0

0
D2 (gi )
0
D(gi ) = 
(1.2.2)
0
0
D3 (gi )
1.2 Representaciones de SO(2) y U (1)
7
Donde Di son representaciones más pequeñas del grupo. Intuitivamente esto significa que D(gi )
puede ser expandido en elementos más pequeños, con cada elemento transformándose bajo una
representación más pequeña del grupo.
Nuestra búsqueda se centra principalmente en las representaciones irreducibles porque los campos básico de la física se transforman bajo representaciones irreducibles de los grupos de Lorentz
y Poincaré. El conjunto completo de las representaciones finitas de los grupos ortogonales puede
dividirse en dos clases: tensores y spinors 1 .
Una forma simple de generar otras representaciones más amplias de O(2) es multiplicar varios
vectores. Por ejemplo, el producto Ai B j se transforma como sigue:
h 0
i
0
0
0
(1.2.3)
Ai B j = Oi i (θ)Oj j (θ) Ai B j
0
0
La matriz Oi i (θ)Oj j (θ) constituye una representación de SO(2). Tiene la misma tabla de multiplicación que O(2), pero el espacio en el que actúa es 2 × 2 dimensional. A cualquier objeto que
se transforme como el producto de varios vectores lo llamaremos tensor.
En general, un tensor T ijk··· bajo O(2) no es más que un objeto que se transforma como el
producto de una serie de vectores ordinarios:
(T 0 )i1 ,i2 ··· = Oi1 j1 Oi2 j2 · · · T j1 ,j2 .···
(1.2.4)
La transformación de T ijk··· es idéntica a la transformación del producto xi xj xk · · · . Este producto,
de nuevo, constituye una representación de O(2) ya que la matriz:
Oi1 ,i2 ···iN ;j1 ,j2 ···jN (θ) ≡ Oi1 j1 (θ)Oi2 j2 (θ) · · · OiN jN
(1.2.5)
posee la misma regla de multiplicación que SO(2).
Los tensores que podemos producir por productos de vectores son, en general, reducibles, es
decir, entre los elementos que componen el tensor podemos encontrar subconjuntos que por sí mismos constituyen una representación del grupo. Si combinamos apropiadamente índices simétricos
y antisimétricos, podemos extraer representaciones irreducibles.
Un método útil para crear representaciones irreducibles es usar dos tensores bajo O(3) que
realmente son constantes: δ ij y ij , donde este último es el tensor antisimétrico tal que 12 =
−21 = +1.
Aunque no parecen tensores, es fácil probar que lo son. Apliquémosle la matriz ortogonal Oij
a cada uno de ellos:
0 0
0
0
0 0
0
0
δ i j = Oi i Oj j δ ij
i j = Oi i Oj j ij
(1.2.6)
La primera ecuación es fácilmente reconocible: es justo la definición de una matriz ortogonal, y
así δ ij es un tensor invariante. La segunda ecuación, en cambio, es más difícil de ver. Si la inspeccionamos cuidadosamente, observaremos que es justo la definición del determinante de la matriz
1
Existe una excepción, y es que para SO(2) los autovalores del spin pueden llegar a ser continuos.
1.3 Representaciones de SO(3) y SU (2)
8
O, que es la unidad para SO(2). De esta forma, ambas ecuaciones se satisfacen por construcción.
Dado que ij sólo se transforma como un tensor sólo si el determinante de O es +1, lo llamaremos
pseudotensor. Los pseudotensores añaden un -1 extra en las transformaciones bajo paridad.
Con estos dos tensores constantes podemos, por ejemplo, contraer el tensor Ai B j para formar
dos combinaciones escalares: Ai B i y Ai ij B j = A1 B 2 − A2 B 1 .
Este proceso de simetrización y antisimetrización de todos los posibles índices de tensores para
encontrar las representaciones irreducibles también puede llevarse a cabo por las identidades:
ij kl = δ ik δ jl − δ il δ jk
ij jk = −δ ik
(1.2.7)
Finalmente podemos mostrar la equivalencia entre O(2) y otra formulación. Podemos tomar un
objeto complejo u = a + ib, y decir que se transforma como:
u0 = U (θ)u = eiθ u
(1.2.8)
La matriz U (θ) es llamada una matriz unitaria, ya que:
U × U† = 1
(1.2.9)
El conjunto de todas las matices U (θ) = eiθ define un grupo llamado U (1). Obviamente si hacemos
dos transformaciones, encontramos:
0
0
eiθ eiθ = ei(θ+θ )
(1.2.10)
Y tenemos la misma ley de multiplicación que en O(2), incluso aunque esta construcción está
basada en un nuevo espacio, el espacio unidimensional complejo. Decimos que:
SO(2) ∼ U (1)
(1.2.11)
Esto significa que existe una correspondencia entre ambos, aunque estén definidos en dos espacios
diferentes:
eτ (θ) ↔ eiθ
1.3.
(1.2.12)
Representaciones de SO(3) y SU (2)
El anterior grupo O(2) era rico en representaciones y sencillo de analizar ya que todos los
elementos conmutaban entre sí. Tales grupos son llamados grupos Abelianos. Ahora estudiaremos
grupos no Abelianos, donde los elementos no conmutan necesariamente entre sí. Definamos O(3)
como el grupo que deja invariante las distancias en tres dimensiones:
I = x2 + y 2 + z 2
(1.3.1)
Generalizando los anteriores pasos para SO(2), sabemos que el conjunto de las matrices reales,
ortogonales, 3 × 3 deja esta cantidad invariante. La condición de ortonormalidad reduce el número
1.3 Representaciones de SO(3) y SU (2)
9
de elementos independientes a 9 − 6 = 3. Cualquier miembro de O(3) puede ser escrito como la
exponencial de una matriz antisimétrica:
!
3
X
(1.3.2)
O = exp i
θi τ i
i=1
donde τ i tiene toso sus elementos imaginarios puros. Existen sólo tres matrices antisimétricas 3×3,
así que hemos contado correctamente el número de grados de libertad. Aún más, O(3) es un grupo
de Lie de tres parámetros, parametrizado por tres ángulos.
τ i pueden

0 0
0 1 
−1 0

0
τ 3 = τ z = −i  −1
0
Estas tres matrices antisimétricas

0
1
x

τ =τ =−i 0
0
ser escritas explícitamente:


0 0 −1
; τ 2 = τ y = −i  0 0 0 
1 0 0

1 0
0 1 
0 0
(1.3.3)
Por inspección, este conjunto de matrices puede representarse por el tensor completamente antisimétrico ijk como:
(τ i )jk = −iijk
(1.3.4)
donde 123 = +1. Por su parte, estas matrices antisimétricas obedecen las siguientes propiedades:
i j
(1.3.5)
τ , τ = iijk τ k
Este es un ejemplo de un álgebra de Lie 2 . Las constantes ijk que aparecen en el álgebra son
llamadas constantes de estructura del álgebra. Una determinación completa de las constantes de
estructura de cualquier álgebra especifica el álgebra de Lie, y también el grupo en sí mismo.
Para ángulos pequeños θi , podemos escribir la ley de transformación com sigue:
δxi = ijk θk xj
(1.3.6)
Es interesante saber cómo se transforman los campos bajo rotaciones. Para ello introduzcamos los
operadores:
Li ≡ iijk xj ∂ k
(1.3.7)
Podemos ver que las relaciones de conmutación de Li satisface aquellas de SO(3). Construyamos
el operador:
i
i
U (θi ) = eiθ L
2
No confundir con los grupos de Lie.
(1.3.8)
1.3 Representaciones de SO(3) y SU (2)
10
Entonces un campo escalar y un campo vectorial se transforman como sigue:
U (θk )φ(x)U −1 (θk ) = φ(x0 )
U (θk )φi (x)U −1 (θk ) = O−1
ij
(1.3.9)
(θk )φj (x0 )
Para campos tensoriales de orden superior, debemos llevar cuidado al seleccionar sólo los campos
irreducibles. La forma más fácil de reducir un tensor es tomar combinaciones simétricas y antisimétricas de los índices. Las representaciones irreducibles pueden ser extraídas usando los dos
tensores constantes δ ij y ijk . Para reducciones complicadas es útil tener en mente3 :
ijk lmn = δ il δ jm δ kn − δ il δ jn δ km + δ im δ jn δ kl − δ im δ jl δ kn + δ in δ jl δ km − δ in δ jm δ kl
ijk klm = δ il δ jm − δ im δ jl
(1.3.10)
Como en el caso de O(2), también podemos encontrar una relación entre O(3) y un grupo unitario.
Consideremos el conjunto de todas las matrices 2 × 2 con determinate unidad. Estas matrices
forman un grupo, llamado SU (3), que es llamado el grupo unitario especial en dos dimensiones.
Esta matriz tiene 8 − 4 − 1 = 3 elementos independientes. Toda matriz unitaria, por otra parte,
puede ser escrita como la exponencial de una matriz hermítica, donde H = H † :
U = eiH
(1.3.11)
De nuevo , para probar esta relación basta con tomar el conjugado de ambos miembros de la
†
ecuación: U † = e−iH = e−iH = U −1 .
Dado que un elemento de SU (2) puede ser parametrizado por tres números, la elección más
conveniente es usar las matrices de Pauli para el spin. Cualquier elemento de SU (2) puede ser
escrito como:
U = eiθ
j nj /2
(1.3.12)
donde:
x
σ =
0 1
1 0
y
; σ =
0 −i
i 0
z
; σ =
1 0
0 −1
(1.3.13)
Y σ i satisface la relación:
σi σj
σk
,
= iijk
2 2
2
(1.3.14)
Tenemos exactamente la misma álgebra que en SO(3) en (1.3.5). Podemos decir, por tanto:
SO(3) ∼ SU (2)
(1.3.15)
Para hacer esta correspondencia más precisa, expandiremos la exponencial y recolectaremos términos, con lo que obtenemos:
eiσ
3
j θ j /2
= cos(θ/2) + i(σ k nk ) sen(θ/2)
(1.3.16)
También es posible usar el método de las tablas de Young para encontrar más representaciones irreducibles
1.4 Representación de SO(N )
11
donde θi = ni θ y (ni )2 = 1. La correspondencia está dada, entonces, por:
eiτ
j θj
↔ eiσ
j θ j /2
(1.3.17)
done el miembro izquierdo es un matriz ortogonal real 3 × 3, mientras que el miembro derecho
es una matriz compleja unitaria 2 × 24 . Aunque estos elementos pertenecen a espacios diferentes,
poseen la misma ley de multiplicación. Esto nos dice que debe existir una forma directa de expresar
los vectores (x, y, z) en términos de estos spinors. Para observar esta relación, definamos:
z
x − iy
(1.3.18)
h(~x) = ~σ~x =
x + iy
z
Entonces, la transformación SU (2):
h0 = U HU −1
(1.3.19)
es equivalente a la trasformación SO(3):
~x0 = O~x
1.4.
(1.3.20)
Representación de SO(N )
La característica esencial de una rotación en N dimensiones es que conserva
las distancias.
√
i
i
La distancia desde el origen al punto x , por el Teorema de Pitágoras, es xi x . Así, xi xi es un
0
invariante, y una rotación en el espacio N-dimensional viene dada por: xi = Oij xj .
El número de parámetros independientes en cada miembro de O(N ) es N 2 menos el número de
ligaduras que surgen de aplicar la condición de ortogonalidad:
1
1
N 2 − N (N + 1) = N (N − 1)
2
2
(1.4.1)
Este es el número de matrices antisimétricas e independientes, N × N . Podemos parametrizar las
componentes de O(N ), bien a través de matrices ortogonales o bien a través de exponenciales.
Toda matriz ortogonal puede ser parametrizada de la siguiente forma:


N (N −1)/2
X
O = exp i
θi τ i 
(1.4.2)
i=1
donde τ i son matrices linealmente independientes y antisimétricas, con todos sus elementos imaginarios puros. Son llamados los generadores del grupo, y θi son los ángulos de rotación de los
parámetros del grupo.
4
El isomorfismo es sólo local, es decir, cerca de cada uno de los parámetros. En realidad la correspondencia es
realmente una a dos, y no uno a uno.
1.4 Representación de SO(N )
12
Encontrar representaciones de O(N ) es complicado por el hecho de que las tablas de multiplicación de parámetros de O(N ) son complicadas. Sin embargo, sabemos, a partir del teorema
Baker-Campbell-Hausdorff que:
eA eB = eA+B+(1/2)[A,B]+...
(1.4.3)
Si eA y eB son cercanos, entonces estos elementos forman un grupo así como los conmutadores de
A y B forman un álgebra.
Si tomamos el conmutador de dos matrices antisimétricas, obtendremos otra matriz antisimétrica. Esto significa que el álgebra creada por la conmutación de todas las matrices antisimétricas
es cerrada. Representaremos el álgebra como sigue:
l j
(1.4.4)
τ , τ = if ljk τ k
Com antes diremos que f ljk son las constantes de estructura del grupo. Para un N arbitrario,
es posible encontrar la forma exacta de las constantes de estructura. Definamos el generador de
O(N ) como:
(1.4.5)
(M ij )a b = −i δai δbi − δai δbi
Dado que la matriz es antisimétrica en i, j hay N (N − 2) de tales matrices, que es el número
correcto de parámetros libres para O(N ). Los índices a, b denotan las entradas para el generador.
Si hacemos conmutar estas matrices, el cálculo es bastante fácil, porque se reduce a contraer sobre
una serie de funciones delta:
ij
(1.4.6)
M , M im = i −δ il M jm + δ jl M im + δ im M jl − δ mj M il
Otro aspecto interesante es la acción de SO(N ) en los campos. Definamos el operador:
Lij ≡ i xi δ j − xj δ i
(1.4.7)
Es fácil comprobar que Lij satisface las relaciones de conmutación de SO(N ). Ahora construyamos
el operador:
U (θlj ) = eiθ
lj Llj
(1.4.8)
donde θlj es antisimétrico. Las constantes de estructura de la teoría, f ljk , pueden considerarse una
representación del álgebra. Si definimos:
τl
jk
= f ljk
(1.4.9)
entonces τ l reescrita como función de las constantes de estructura también constituye un a representación de los generadores de O(N ). A esta la llamamos la representación adjunta. Esto nos dice
que la constante de estructura f ljk es un tensor constante, justo como δ jk .
1.5 Spinors
1.5.
13
Spinors
En general, existen dos tipos de representaciones que suelen darse en física. La primera, por
supuesto, son los tensores, que se transforman como producto de vectores. Las representaciones
irreducibles se obtienen entonces tomando sus combinaciones simétricas y antisimétricas.
Una de las representaciones más importantes de O(N ), son las representaciones spinoriales.
Para explicar éstas, introduzcamos N objetos Γi que obedecen:
{Γi , Γj } = 2δ ij
{A, B} = AB + BA
(1.5.1)
donde los corchetes representan un anticonmutador y no un conmutador. Esta es la llamada álgebra
de Clifford. Podemos entonces construir la representación spinorial de los generadores de SO(N )
así:
Representación spinorial → M ij =
i i j
Γ ,Γ
4
(1.5.2)
Introduciendo este valor de M ij en la definición del álgebra de O(N ) (para N par), tenemos que
es 2N/2 −dimensional y compleja. La representación más simple de O(4), nos permite obtener la
versión compacta de las matrices de Dirac. Para los grupos impares ortogonales O(N + 1), con
N par,podemos construir los spinors Γi a partir de los spinors de O(N ). Para ello añadimos un
nuevo elemento al anterior conjunto:
ΓN +1 = Γ1 Γ2 · · · ΓN
(1.5.3)
ΓN +1 , posee las mismas reglas de conmutación que los otros spinors y podemos construir los generadores O(N + 1) a partir de los spinors de O(N ). Como antes, podemos construir las propiedades
de transformación de Γi . Definamos:
(1.5.4)
U (θij ) = exp iθij M ij
donde M ij se construye a partir de los spinors Γi . De aquí es fácil ver, que Γi satisface la siguiente
identidad:
U (θij )Γk U −1 (θij ) = (O−1 )kl (θij )Γl
(1.5.5)
lo que demuestra que Γi se transforma como un vector.
Debemos observar que la representación spinorial de O(N ) es reducible. Por ejemplo, podríamos
construir dos operadores de proyección:
1 + ΓN +1
2
1 − ΓN −1
PL =
2
PR =
(1.5.6)
1.6 El grupo de Lorentz
14
que satisfacen las reglas usuales de los operadores de proyección:
PL2
PR2
P R PL
P L + PR
= PL
= PR
=0
=1
(1.5.7)
Con estos operadores de proyección el grupo se divide en dos piezas autocontenidas (en la generalización de esta construcción al grupo de Lorentz, éstos se llamarán representaciones de Weyl
“orientadas a derecha” y “orientadas a izquierda”. Esto nos permitirá describir los campos de
neutrinos (ver Los neutrinos de Weyl).)
1.6.
El grupo de Lorentz
En anteriores secciones hemos discutido brevemente algunos grupos de Lorentz compactos. En
ésta, trataremos de encontrara una representación de los grupos no compactos de Lorentz.
Definimos el grupo de Lorentz como el conjunto de todas las matrices 4×4, que dejan invariante:
2
2
(1.6.1)
s2 = c2 t2 − xi xi = x0 − xi = xµ gµν xν
El signo menos, distingue éste del grupo O(4).
Una transformación de Lorentz puede parametrizarse como:
µ
x0 = Λµν xν
(1.6.2)
Introduciendo esta transformación en el invariante (1.6.1), encontramos que las matrices Λ deben
satisfacer:
gµν = Λρµ gρσ Λσν
(1.6.3)
o, simbólicamente g = ΛT gΛ. Comparando esto con la ecuación (1.1.7), decimos que gµν es la
métrica del grupo de Lorentz. Si no tuviera ningún signo menos en su definición gµν entonces
estaríamos ante un grupo O(4). Podemos recordar más fácilmente que el signo se alterna en el
grupo de Lorentz, llamándolo O(3, 1), don de la coma separa los elementos de signo positivo de
los elementos de signo negativo. En general, un grupo ortogonal que conserva con M índices de
un signo y N índices de otro signo, se denota como O(M, N ).
El signo menos determina una importante diferencia entre el grupo de Lorentz y el O(4): la
distancia invariante s2 puede ser negativa o positiva, pero la distancia invariante en O(4) es siempre
positiva. Esto determina que el plano xµ se divide en dos regiones que no pueden conectarse a
través de una transformación de Lorentz. Si x e y son dos vectores de posición, estas regiones
pueden simbolizarse por el valor de la distancia invariante s2 :
(x − y)2 > 0 Intervalo temporal
(x − y)2 = 0 Intervalo de luz
2
(x − y) < 0 Intervalo espacial
(1.6.4)
1.6 El grupo de Lorentz
15
Excluyendo esta crucial diferencia de signo, la mayor parte de las representaciones de Lorentz
tienen una gran semejanza con las de O(4). Por ejemplo, podemos introducir el operador Lµν para
ver cómo actúa el grupo de Lorentz en los campos:
Lµν = xµ pν − xν pµ = i (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )
(1.6.5)
donde pµ = i∂µ Veamos que esto genera el álgebra del grupo de Lorentz:
[Lµν , Lρσ ] = i (g 3ρ Lµσ − g µρ Lνσ − g νσ Lµρ + g µσ Lνρ )
(1.6.6)
U (Λ) = exp (iεµν Lµν )
(1.6.7)
Λµν = g µν + εµν + · · ·
(1.6.8)
Definamos también:
donde infinitesimalmente, tenemos:
Luego la acción de un grupo de Lorentz sobre un campo vectorial φµ puede expresarse como:
µ
(1.6.9)
U (Λ)φµ U −1 (Λ) = Λ−1 ν φν (x0 )
donde U (Λ) contiene una término adicional que rota el índice vectorial φµ . Parametricemos los Λµν
de una transformación de Lorentz como sigue:
x + vt
x0 = p
;
1 − v 2 /c2
y 0 = y;
z 0 = z;
t + vx/c2
t0 = √
1 − v 2 c2
(1.6.10)
Podemos hacer varias observaciones de estar transformación desde el punto de vista de los grupos.
En primer lugar, la velocidad v es un parámetro de este grupo. Dado que la velocidad varía entre
0 ≤ v < c, decimos que el grupo de Lorentz es no compacto, esto es, el rango del parámetro v no
incluye el valor final c. Esto contrasta con el grupo O(N ), donde los parámetros tienen un rango
finito, incluyendo los extremos, lo que determina su compacidad.
Decimos que las tres componentes de la velocidad v x , v y , v z son los parámetros de los Lorentz
boosts. Si hacemos la sustitución usual:
γ=p
1
1 − v 2 /c2
= cosh φ,
βγ = senh φ,
esta transformación puede escribirse como:
 00  
x
cosh φ senh φ 0 0
 x0 1   senh φ cosh φ 0 0
 2 =
 x0   0
0
1 0
03
0
0
0 1
x
β = v/c

x0
  x1 
 2 
 x 
x3
(1.6.11)

(1.6.12)
1.6 El grupo de Lorentz
16
Reescribamos esto en términos de M µν . Para ello, definamos:
1
J i = εijk M jk
2
K i = M 0i
(1.6.13)
Escribiéndolo explícitamente:

0

1
K x = K 1 = −i 
 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0
(1.6.14)
Entonces esta transformación de Lorentz puede escribirse como :
eiK
De forma semejante, los Lorentz
Kz:

0

0
K y = K 2 = −i 
 1
0
x vx
= cosh φ + i senh φK x
(1.6.15)
boosts en las direcciones x e y se generan exponenciando K y y
0
0
0
0
1
0
0
0

0
0 
;
0 
0

0

0
K z = K 3 = −i 
 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0

1
0 

0 
0
(1.6.16)
Desafortunadamente puede comprobarse que un boost en la dirección x, seguido por un boost
em la dirección y, no genera un nuevo Lorentz boost. Por tanto, las tres matrices K no generan
por sí misma un álgebra cerrada. Para completar el álgebra, debemos introducir los generadores
del grupo de rotación O(3):




0 0 0 0
0 0 0 0
 0 0 0 0 


 ; J y = J 2 = −i  0 0 0 −1 
J x = J 1 = −i 
 0 0 0 1 
 0 0 0 0 
0 0 −1 0
0 1 0 0


(1.6.17)
0 0 0 0
 0 0 1 0 

Jz = J3 = − i 
 0 −1 0 0 
0 0 0 0
Las matrices K y J presentan las siguientes relaciones de conmutación:
i j
K , K = −iεijk J k
i j
J , J = iεijk J k
i j
J , K = iεijk K k
(1.6.18)
Dos Lorentz boosts generados por K i y tomados en sucesión no generan un tercer boost., pero sí
generarán un rotación, generada a su vez por J i (físicamente, esta rotación, que surge tras varios
Lorentz boost, origina la precesión de Thomas).
1.7 Representaciones del grupo de Poincaré
17
Tomando combinaciones lineales de estos generadores, podemos demostrar que el grupo de
Lorentz se divide en dos partes. Hacemos uso, para ello, del hecho de que SO(4) = SU (2)⊗SU (2),
y de que el álgebra del grupo de Lorentz es similar al álgebra de SO(4) (módulo el signo menos
procedente de la métrica). Tomando combinaciones lineales de estos generadores tenemos que el
álgebra puede dividirse realmente en dos piezas:
1 i
J + iK i
2
1
Bi =
J i − iK i
2
Ai =
(1.6.19)
Con esto tenemos que [Ai , B i ] = 0, así que el álgebra se divide en dos piezas, cada una generadora
de un SU (2).
Si cambiamos el signo de la métrica, de forma que sólo tengamos grupos compactos, hemos
probado que el grupo de Lorentz, para nuestros propósitos, puede ser escrito como SU (2)⊗SU (2).
Esto significa que las representaciones irreducibles (j) de SU (2), donde J = 0, 1/2, 3/2, . . ., puede
usarse para construir representaciones del grupo de Lorentz, simbolizado por (j, j 0 ). Simplemente
conjuntando dos representaciones de SU (2), podemos construir todas las representaciones del
grupo de Lorentz5 . De esta forma, podemos construir las representaciones spinoriales y tensoriales
del grupo de Lorentz.
Hay que destacar, sin embargo, que no todos los grupos poseen una representación spinorial.
Por ejemplo, el grupo de todas las matrices reales N ×N , no tiene ninguna representación spinorial
en dimensión finita.
1.7.
Representaciones del grupo de Poincaré
Físicamente, podemos generalizar el grupo de Lorentz añadiendo translaciones:
µ
x0 = Λµν xν + aµ
(1.7.1)
El grupo de Lorentz, con translaciones, se transforma ahora en el grupo de Poincaré. Dado que
el grupo de Poincaré añade incluye cuatro translaciones además de las tres rotaciones y los tres
boosts, se trata de un grupo de diez parámetros. Además del generador usual del grupo de Lorentz,
debemos añadir el generador de translaciones pµ = i∂µ
El álgebra de Poincaré está dada por el álgebra de Lorentz, más unas relaciones nuevas:
[Lµν , Pρ ] = I (−gµρ Pν + gνρ Pµ )
[Pµ , Pν ] = 0
(1.7.2)
Estas relaciones determinan que dos transformaciones conmutan y que las translaciones transforman como un vector bajo el grupo de Lorentz.
5
La representación es spinorial si j + j 0 es semientero.
1.7 Representaciones del grupo de Poincaré
18
Para encontrar las representaciones irreducibles de un grupo de Lie, a menudo se usa la técnica
de diagonalizar simultáneamente un grupo de sus generadores. Sea el rango de un grupo de Lie el
número de generadores que simultáneamente conmutan entre sí. El rango y la dimensión de O(N )
y SU (N ) viene dados por:
Grupo
Dimensión
Rango
SO(N )(N par)
(1/2)N (N − 1)
N/2
SO(N )(N impar) (1/2)N (N − 1) (N − 1)/2
SU (N )
N2 − 1
N −1
Por ejemplo el grupo SO(3) posee rango 1, así que podemos escoger L3 como generador a
diagonalizar. El grupo SO(4), puede ser reexpresado en términos de los subgrupos SU (2), así que
existen dos generadores que conmutan entre ellos.
Además, tenemos los operadores Casimir del grupo, que son aquellos que conmutan con todos
los generadores del álgebra. Para el grupo O(3), sabemos, por ejemplo, que los operadores de
Casimir son la suma de los cuadrados de los generadores L2i . Por tanto, podemos diagonalizar
simultáneamente L2i y L3 . Las representaciones de SO(3) se corresponden, por tanto, con los
autovalores de estos dos operadores.
Para el grupo de Poincaré, debemos saber primero que Pµ2 = m2 (la masa al cuadrado) es un
operador Casimir. Bajo las transformaciones de Lorentz, se transforma como un escalar genuino, y
es invariante. También es invariante bajo translaciones porque todas las translaciones conmutan.
Para encontrar el otro operador Casimir, introducimos:
1
W µ = εµνρσ Pν Lρσ
2
(1.7.3)
que es el llamado tensor de Pauli-Lubanski (donde ε0123 = +1). Entonces, el cuadrado de este
tensor es otro operador Casimir:
Operadores Casimir = Pµ2 , Wµ2
(1.7.4)
Todos los estados físicos en teoría cuántica de campos pueden designarse de acuerdo con el autovalor de estos dos operadores Casimir (dado que los operadores conmutan con todos los generadores
del álgebra). Sin embargo, el significado físico de estos dos operadores Casimir no es obvio. No
puede corresponderse con el spin, dado que nuestra noción intuitiva del momento angular, que
1.7 Representaciones del grupo de Poincaré
19
obtenemos de la mecánica cuántica no relativista, está, estrictamente hablando, perdida una vez
que aplicamos los boosts a nuestras partículas por las transformaciones de Lorentz. El operador
spin usual, ya no puede seguir siendo un operador Casimir para el grupo de Lorentz.
Para encontrar el significado físico de Wµ2 , vayamos al sistema en el que la partícula masiva
se encuentra en reposo: P µ = (m, 0). Introduciendo esto en la ecuación para el tensor de PauliLubanski (1.7.3), tenemos
1
Wi = − mεijk0 J jk = −mLi
2
W0 = 0
(1.7.5)
donde Li es la matriz de rotación usual en tres dimensiones. Por tanto, en el sistema en reposo
de la partícula masiva, el tensor de Pauli-Lubanski es el generador de spin. Su cuadrado es, por
tanto, un operador Casimir para SO(3), que, como sabemos, nos da el spin de la partícula:
Wi2 = m2 s(s + 1)
(1.7.6)
donde s es el autoestado de spin de la partícula. En el sistema en reposo de la partícula masiva,
tenemos 2s+1 componentes para la partícula de spin s. Esto se corresponde con una generalización
de nuestra intuitiva comprensión del spin procedente de la mecánica cuántica no relativista.
Sin embargo, tenemos que analizar aún las partículas no masivas, donde Pµ2 = 0. En general la
regla de contar para las partículas masivas no es válida para las partículas sin masa. Para estas
partículas tenemos:
Wµ2 |pi = Wµ P µ |pi = Pµ P µ |pi = 0
(1.7.7)
La única forma de satisfacer estas tres condiciones es que Wµ y Pµ sean proporcionales, es decir,
Wµ |pi = hPµ |pi = 0 es un estado sin masa |pi. Este número h es llamado la helicidad, y describe
el número de componentes independientes de un estado no masivo.
Usando la definición de Wµ para un estado sin masa, h puede escribirse como:
h=
J~ · P~
|P~ |
(1.7.8)
Debido a la presencia de εµνρσ en la definición de Wµ , el vector de Pauli-Lubanski es un pseudovector. Bajo transformaciones de paridad, la helicidad h se transforma en −h. Esto nos dice
que los estados sin masa, poseen dos estados de helicidad, según Wµ esté alineado paralelamente
con el vector momento o bien antiparalelamente. Luego sin importarnos el spin de la partícula no
masiva, la helicidad puede tener dos valores, h y −h. Existe, por tanto, una diferencia esencial
entre partículas masivas y no masivas en teoría cuántica de campos.
Es destacable que podamos designar todas las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré (y, por tanto, todos los campos conocidos) de acuerdo con los operadores Casimir. Una lista
1.7 Representaciones del grupo de Poincaré
completa se ofrece en (1.7.9) en términos de la masa m, el spin s y la helicidad h:

Pµ2 > 0 : |m, si , s = 0, 1/2, 1, 3/2, · · ·








 Pµ2 = 0 : |hi , h = ±s









Pµ2
20
(1.7.9)
= 0 : s continuo
Pµ2 < 0 : taquión
En la naturaleza, el espectro físico de los estados parece encontrarse sólo para las dos primeras
categorías con P 0 > 0. Los otros estados, que poseen spine continuo o taquiones, no han sido
vistos en la naturaleza.
Capítulo
2
Isospín
2.1.
Introducción
La independencia de la carga en las fuerzas nucleares, nos indica que en la mayoría de los
casos no necesitamos distinguir entre protones y neutrones. Podemos, por tanto, agruparlos en
una familia común, los nucleones. El formalismo para las interacciones nucleares puede depender
de la multiplicidad de estados del nucleón (dos) pero es independiente de si los nucleones son
protones o neutrones. La excepción, por supuesto, es la interacción electromagnética, que sí puede
distinguir entre ambos tipos de partículas. Con respecto a la interacción fuerte, la simetría entre
protones y neutrones sigue siendo válida.
Heisenberg introdujo en 1933 un formalismo elegante, considerado en aquella época sólo una
convención: el formalismo de isospín. Este formalismo estaba en completa analogía con la teoría del
spin, y de hecho, se atribuía al nucleón un isospín de valor +1/2. En un principio, la introducción
del isospín no fue recibida con gran entusiasmo por la comunidad científica. Sin embargo, esta
variable volvió a aparecer en otro contexto: la teoría de la desintegración beta desarrollada por
Fermi en analogía con la electrodinámica cuántica (QED).
En 1935, Yukawa desarrolló una teoría en la que la variable de isospín era usada en el contexto
de la teoría de campos. Dos escuelas diferentes, una en Gran Bretaña y otra en Japón, desarrollaron
la teoría del mesón en la que el isospín era necesario para explicar la independencia de la carga en
las fuerzas nucleares. Mientras, en 1937, Wigner introdujo el isospín en la espectroscopia nuclear
renombrándolo como spin isotópico. De este modo, el isospín pasó de ser sólo una herramienta
útil, a un número cuántico con consecuencias de simetría. La observación experimental, con la
llegada de los aceleradores de partículas, permitió reconocer al isospín como un número cuántico
que se conserva en los procesos de interacción fuerte.
2.2.
Multipletes de isospín
Como ya hemos dicho, podemos considerar al neutrón y al protón como estados de una misma
partícula, el nucleón, que puede aparecer, por tanto, con o sin carga eléctrica. De hecho, ambos
poseen la misma extrañeza, spin y número bariónico, aunque difieren ligeramente en la masa.
21
2.2 Multipletes de isospín
22
Si observamos las tablas (2.2.1) y (2.2.2), veremos que el resto de hadrones también pueden
ser organizados en grupos, de tal forma que cada partícula del mismo grupo posee la misma
extrañeza, el mismo número bariónico y el mismo spin, y sólo pequeñas diferencias entre las
masas1 . Estos grupos son llamados multipletes de isospín. En estos grupos encontramos dobletes
(K + , K 0 ), (K 0 , K − ), (p, n), (Ξ0 , Ξ− ), tripletes (π + , π 0 , π − ), (Σ+ , Σ0 , Σ− ) y singletes η 0 , Λ0 , Ω− .
Para cada multiplete de bariones existe un multiplete de antibariones2 .
Los diversos multipletes difieren unos de otros no sólo en el número de partículas que los
constituyen, también en la carga media. Por ejemplo, en el doblete del nucleón, la carga media
es +1/2 (1 para el protón y 0 para el neutrón), mientras que para el doblete (Ξ0 , Ξ− ), es de
−1/2. En las siguientes secciones veremos que al agrupar los hadrones en multipletes obtenemos
nuevas leyes de conservación. Señalemos primero la interesante relación entre la extrañeza y la
carga media del multiplete, algo que fue percibido por Gell-Mann y Nishijima, tan pronto como
definieron la extrañeza e incluso antes del descubrimiento de muchas partículas que hoy día se
conocen.
La carga media del doblete del nucleón (p, n) es +1/2 y su extrañeza 0. La carga media del
triplete Σ así como la del singlete Λ es 0, y la extrañeza en ambos casos es -1. Las partículas
(Ξ− , Ξ0 ) tienen una carga media de −1/2 y extrañeza -2, mientras que la carga de Ω− es -1 y su
extrañeza -3. De aquí podemos ver una relación obvia entre la carga media y la extrañeza: cuanto
más negativa es la carga media, más negativa es la extrañeza. Una relación similar es válida para
los mesones. Si definimos un número cuántico Y , al que llamaremos hipercarga, como la carga
media del multiplete multiplicada por dos, esta relación puede resumirse en la siguiente ecuación:
Y =S+A
(2.2.1)
donde S es la extrañeza, y A es el número bariónico. Esta ecuación es válida para todos los
hadrones: bariones, antibariones y mesones.
Esta relación entre carga media y extrañeza parece sorprendente , si recordamos que la definición
de extrañeza no contiene mención alguna a la carga media de los multipletes. Esto implica que el
número cuántico que hemos inventado artificialmente para explicar la “extrañeza” de las partículas
extrañas, posee un significado más profundo.
Cuando Murray Gell-Mann y Kazuhiko Nishijima definieron la extrañeza y descubrieron la
relación entre ésta y la carga media, aún no habían sido descubiertos todos los hiperones. Ξ0 no
se conocía, mientras que Ξ− ya se había descubierto, hallándose que su extrañeza era -2. Los
dos físicos concluyeron que Ξ0 debía también existir, pues sustituyendo S = −2 y A = 1 en la
ecuación (2.2.1), obtenían Y = −1, es decir, un valor de −1/2 para la carga media del multiplete.
La partícula Ξ0 fue finalmente descubierta, a través de los productos en los que decaía3 .
Aunque las partículas Σ+ y Σ− eran por aquella época conocidas, se ignoraba la existencia de
Σ0 , de corta vida. Más aún, su existencia no podía haber sido predicha debido a que la extrañeza
1
Estas diferencias entre las masas son de origen electromagnético.
Nótese que los tres piones están agrupados en un multiplete mientras que los cuatro kaones están divididos en
dos multipletes distintos. Esto es debido a que los tres piones tienen la misma extrañeza mientras que en la familia
de los kaones la extrañeza de los (K + , K 0 ) difiere de la respectiva a (K 0 , K − ). Sólo las partículas que poseen la
misma extrañeza están incluidas en el mismo multiplete.
3
Ya que al ser una partícula neutral no dejaba rastro en la cámara de burbujas.
2
2.2 Multipletes de isospín
23
-1 de las partículas sigma (que nos lleva a Y = 0) da una carga media para el multiplete de 0,
aún con la partícula Σ0 incluida. Debido a esto Gell-Mann y Nishijima predijeron la existencia de
esta partícula neutral después de analizar las propiedades del número cuántico que hemos llamado
isospín, y que analizaremos a continuación.
Modos de decaimiento
Partícula Masa (MeV) Vida media (s)
π±
π0
139.6
135.0
2.6·10−8
0.8·10−10
K±
493.6
1.2·10−8
(KS0 ) 8.9·10−11
K 0, K 0
497.7
(KL0 ) 5.2·10−8
η0
547.5
2.8·10−19
Producto
µν
γγ
γe+ e−
µν
π±π0
π±π+π−
π±π0π0
π±π0ν
e± π 0 ν
π+π−
π0π0
π0π0π0
π+π−π0
π±π∓ν
π ± e∓ ν
γγ
e+ e− γ
π0π0π0
π+π−π0
π+π−γ
Tabla 2.2.1: Mesones de spin 0.
Fracción ( %)
∼ 100
98.8
1.2
63.5
21
5.5
1.7
3.2
4.8
68.6
31.4
21.5
12.4
27
38.8
39
0.5
32
23.5
5
2.3 Isospín
24
Modos de decaimiento
Partícula
Masa (MeV)
Vida media (s)
p
n
Λ0
938.3
939.6
1115.6
Estable
889
2.6·10−10
Σ+
1189.4
0.8·10−10
Σ0
Σ−
Ξ0
Ξ−
Ω−
1192.6
1197.4
1314.9
1321.3
1672.4
7.4·10−20
1.5·10−10
2.9·10−10
1.6·10−10
0.8·10−10
Producto
pe− ν
pπ −
nπ 0
pπ 0
nπ 0
Λ0 γ
nπ −
Λ0 π 0
Λ0 π −
Λ0 K −
Ξ0 π −
Ξ− π 0
Fracción ( %)
100
64
36
51.6
48.4
100
99.85
100
100
68
24
8
Tabla 2.2.2: Nucleones e hiperones.
2.3.
Isospín
Para explicar el hecho de que los hadrones aparecen en multipletes, surge el concepto de isospín4 . A partir del análisis del mismo, podemos afirmar que existen dos números cuánticos que
se conservan: uno de ellos en las interacciones fuertes únicamente, y otro en las interacciones
electromagnéticas y fuertes.
El isospín surge como analogía entre la carga y el spin de las partículas. Recordemos que un spin
de magnitud J (en unidades de ~), puede orientarse en 2J + 1 estados con respecto a una dirección
definida del espacio. Como hemos indicado, Heisenberg asumió que partículas similares (como el
neutrón y el protón) eran diferentes estados de una misma partícula básica, al igual que los dos
estados de spin del electrón. Él denotó estos estados por la dirección de un vector imaginario con
propiedades similares a las del spin. Así para tener dos estados, el vector debe tener una longitud
de 1/2; para obtener tres estados, una longitud de 1, y así sucesivamente. Tal vector es el isospín.
2.4.
Componentes de isospín
Matemáticamente, se definen tres operadores I+ , I− e I3 , que cumplen las reglas de conmutación
del momento angular. El operador I3 (la proyección del vector isospín a lo largo del eje z en el
4
También llamado spin isotópico, spin isobárico e I-spin. Suele denotarse por I.
2.4 Componentes de isospín
25
espacio imaginario en el que ha sido definido) está relacionado con la carga eléctrica, y puede
escribirse como5 :
Y
I3 = − + Q
(2.4.1)
2
Donde Q viene dada en unidades de la carga del protón. Por la ecuación (2.2.1) podemos reescribir
(2.4.1) como:
I3 = −
B+S
+Q
2
(2.4.2)
Podemos distinguir las diferentes partículas de un mismo multiplete, ya que éstas son autoestados de I3 . Así, por ejemplo, tenemos:
• Para los nucleones, Y = 1 :
I3 |pi =
1
1
|pi ; I3 |ni = − |ni
2
2
(2.4.3)
• Para los piones, Y = 0:
I3 |π + i =
1 +
1
|π i ; I3 |π 0 i = 0 |π 0 i ; I3 |π − i = − |π − i
2
2
(2.4.4)
En cuanto a la componente I+ , su actuación sobre una partícula la convierte en otra de carga
superior perteneciente al multiplete. Por ejemplo:
I+ |ni = |pi ; I+ |pi = 0
(2.4.5)
La componente I− actúa justo de forma contraria, disminuyendo la carga de la partícula a otra
de carga menor dentro del multiplete.
Por analogía con el momento angular, todas las partículas son autoestados de I2 = 1/2(I+ I− +
I− I+ )+I23 , correspondientes al autovalor I(I +1). I, que es el isospín del multiplete está relacionado
con el número de partículas en el multiplete, que es N = 2I + 1. De esta relación, si conocemos el
número de partículas del multiplete, también podemos obtener el isospín del multiplete:
I=
N −1
.
2
(2.4.6)
Así por ejemplo, el isospín de las partículas η 0 , Λ0 y Ω− es 0, los dobletes (p, n), (K + , K 0 ), (Ξ0 , Ξ− )
poseen isospín +1/2, y los tripletes (piones y sigmas) poseen isospín 1. El isospín de cada partícula
es igual al de su antipartícula.
5
Con esta definición adoptamos ya el criterio de Física de partículas para definir I3 , de signo opuesto al empleado
en Física Nuclear
2.5 Conservación de I e I3 en la interacción fuerte
2.5.
26
Conservación de I e I3 en la interacción fuerte
El isospín se conserva en las interacciones fuertes. Es decir el isospín total de las partículas
participando en una interacción fuerte, es igual al isospín total de los productos. Por otra parte,
I3 se conserva tanto en la interacción fuerte como electromagnética. La ley de conservación de I3
es una simple regla de contaje, mientras que la ley de conservación de I, es más complicada, dado
que es una magnitud vectorial, y usualmente es posible añadir los isospines de varias partículas
de más de una forma.
El isospín, como hemos dicho, es como el momento angular, pero en un espacio abstracto. La
conservación del isospín se corresponde con la invariancia bajo rotaciones en ese espacio imaginario
(I-espacio), de la misma forma que la conservación del momento angular refleja la invariancia
rotacional en el espacio real. Esto nos dice que las interacciones fuertes no poseen una dirección
privilegiada en el I-espacio, no distinguen entre arriba y abajo, entre un protón y un neutrón.
La invariancia de isospín, explica, por tanto, el hecho de que cueste la misma energía extraer un
protón que un neutrón de un núcleo. Podemos realizar un planteamiento más formal, considerando
el Hamiltoniano que describe las partículas, y sabiendo que las partículas de un mismo multiplete
tienen masas parecidas, tenemos6 :
h
i
H = Hf + Hem + Hd , Hf , ~I = 0
(2.5.1)
Indicando así, explícitamente, que la interacción fuerte conmuta con todas las componentes del
isospín, es la llamada simetría de isospín. Ahora bien, la diferencia de masas entre partículas de
un mismo multiplete es del orden de MeV, lo que indica que la interacción electromagnética no
conmuta con los operadores I± . Sin embargo, sí conmuta con I3 , ya que conserva la carga eléctrica,
el número bariónico y la extrañeza, dando lugar a la simple regla de contaje que hemos citado
antes. La interacción débil no conserva ninguna de las componentes del isospín.
2.6.
Sistema de dos nucleones
Antes de observar como se verifica la conservación del isospín, vamos a definir de forma más
precisa las notaciones de este formalismo en el caso más simple, el nucleón (I = 1/2). La representación matricial de un isospín 1/2 en el I-espacio, es idéntico a la de un spin 1/2 en el espacio
de spin, a saber, las matrices de Pauli (el formalismo es el mismo mientras que la representación
física es diferente). Ya vimos en el apartado (2.4), el resultado de aplicar el operador I3 sobre un
estado de nucleón.
En el caso de un sistema de dos nucleones, podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre el
6
Es claro que Hf , Hem , Hd son los Hamiltonianos de las interacciones fuerte, electromagnética y débil respectivamente.
2.6 Sistema de dos nucleones
27
acoplamiento de momentos angulares. Se definen, por tanto, los operadores7 :
2
(1)
(2)
I2 = I(1) + I(2)
y I3 = I3 + I3
(2.6.1)
Tendremos entonces, que al acoplar dos partículas de isospín 1/2:
(
0 estados singlete de isospín
T =
1 estados triplete de isospín
I
1
I3
Estado
1
|1−i |2−i
0
√1
2
h
0
(n, n)
i
|1+i |2+i
-1
0
|1−i |2+i + |1+i |2−i
Sistema
√1
2
h
|1−i |2+i − |1+i |2−i
(n, p)
Isospín (simétrico)
(p, p)
i
(p, n)
Isospín (antisimétrico)
Tabla 2.6.1: Acoplamiento de partículas con I = 1/2.
Debemos observar que la independencia de la carga por parte de la interacción fuerte nos lleva
a atribuir un isospín I = 0 al único estado ligado del sistema de dos nucleones: el deuterio en su
estado fundamental. De forma general la independencia de carga de la interacción nucleón-nucleón
se puede resumir de la forma siguiente: si se desprecia la interacción coulombiana, las propiedades
de un sistema cualquiera de dos nucleones en un estado I = 1 no depende del valor de I3 . Sin
embargo, sus propiedades sí que dependen del valor de I, tal y como efectivamente ocurre. En
particular, y como observamos en la tabla (2.6.1), las características de la interacción fuerte sobre
(n, p) y (p, p) son diferentes ya que el sistema (p, p) sólo puede existir en el estado I = 1, mientras
que el sistema (n, p) puede existir ya sea en el estado I = 1 o en el estado I = 0.
Podemos entonces enunciar un principio de Pauli generalizado: un sistema de dos nucleones
cualesquiera se debe encontrar en un estado antisimétrico respecto al intercambio de las partículas
en el espacio producto de espacio ordinario × espacio de spin × espacio de isospín. Este principio
se puede enunciar de la siguiente forma equivalente: un sistema de dos nucleones cualesquiera en
7
De aquí en adelante y cuando se traten sistemas de nucleones, se considerará el operador I como el isospín
total de sistema, y a I(i) como el isospín del partícula i-ésima. De forma equivalente se realizará para el operador
I3 .
2.7 Ejemplos de la conservación del isospín
28
un estado de momento angular relativo L, de spin S y de isospín I sólo puede consistir en un
estado con L + S + I impar8 .
2.7.
Ejemplos de la conservación del isospín
Describimos a continuación las situaciones en las cuales la conservación del isospín se manifiesta
de forma simple:
1. Prohibición de la reacción9 : d + d → π 0 + α.
El único sistema estable de cuatro nucleones es la partícula α. Siguiendo de nuevo el mismo
argumento que hicimos con el deuterio, debemos atribuir a ese sistema un isospín de I = 0.
Bajo estas condiciones, si el isospín se conserva, la reacción debe estar prohibida, ya que:
I(d) = I(α) = 0 y I(π) = 1:I(d + d) = 0 6= 1 = I(α + π 0 )
(2.7.1)
La experiencia confirma este hecho: la sección eficaz que se observa es muy débil, y se
demuestra que necesariamente se debe a un proceso electromagnético, el que, evidentemente,
no está sujeto a la conservación de I.
2. Comparación de las reacciones: p + p → d + π + y p + n → d + π 0 .
Los estados finales de las anteriores reacciones son I = I(d + π) = 1, en ambos casos.
Busquemos la probabilidad de encontrar los sistemas iniciales en estados I = 1. Para ello:
|pi |pi = |1+i |2+i = |1, −1i
i
1 h
|pi |ni = |1+i |2−i = √ |1, 0i + |0, 0i
2
(2.7.2)
Es decir el sistema (p, p) está en un estado puro I = 1 mientras el sistema (p, n) es una
superposición lineal de los estados I = 1 e I = 0. Entonces, si el isospín se conserva , sólo
el estado I = 1 pude contribuir y, por tanto, las secciones eficaces totales de esas reacciones
estarán en la relación:
σ(pp → dπ + )
1
σ+
=
=
√ 2 = 2
0
0
σ
σ(pn → dπ )
1/ 2
(2.7.3)
La experiencia lo confirma. Por ejemplo, a 600 MeV, σ + = 3.15±0.22 mb y σ 0 = 1.5±0.3 mb.
A esta energía la contribución de los procesos electromagnéticos es despreciable.
8
9
Un enfoque más formal lo encontramos en [2].
Denotaremos por el símbolo d al deuterio.
2.8 Estados análogos en Física Nuclear
2.8.
29
Estados análogos en Física Nuclear
Los estados análogos pueden considerarse otro ejemplo de la independencia de carga de la
interacción fuerte. En Física Nuclear, como hemos dicho en la sección (2.4), para cada nucleón:
I3 |pi =
1
1
|pi ; I3 |ni = − |ni
2
2
(2.8.1)
Para un núcleo compuesto de A nucleones de los que Z son protones y N son neutrones se tiene:
I3 =
A
X
(i)
I3 = −
i=1
N −Z
2
(2.8.2)
126 − 82
= −22.
2
Los núcleos con A fijo, para los que N y Z difieren en una unidad se denominan núcleos espejo.
Algunos ejemplos:
Por ejemplo para el núcleo
3
1 He
208
82 Pb,
↔ 23 He ;
tenemos I3 = −
5
2 He
↔ 35 Li ;
7
3 Li
↔ 47 Be ;
9
4 Be
↔ 59 B
El miembro que tiene más neutrones se caracteriza por I3 = −1/2 y el que excede en protones
por I3 = +1/2. Se trata, por tanto, de dobletes de isospín (I = 1/2). Si se desprecia la interacción
coulombiana se esperaría que los espectros de estas parejas fueran idénticos, y así efectivamente
se observa, por ejemplo, en el caso particular del 178 O ↔ 179 F; las pequeñas diferencias se deben a
las correcciones coulombianas. Se dice que esos niveles son “estados análogos” el uno del otro.
Debemos subrayar el hecho de que la existencia de estados análogos en los núcleos espejo no
explica ni la independencia de carga de la interacción fuerte ni la simetría de carga. De hecho,
esa analogía de los núcleos espejo se puede entender en un modelo como el de Heisenberg (que
privilegiaba la interacción p − n), ya que en los núcleos espejo existe el mismo número de ligaduras
p − n en cada uno de los núcleos que forman pareja especular. El formalismo de isospín que fue
introducido en este modelo de Heisenberg, era cómodo, pero no tenía el significado físico que tiene
actualmente.
En cambio si se consideran los espectros de
14
O
14
O,14 N y14 C:
14
N
14
C
I3
+1
0
-1
I
1
1
1
2.9 Reglas de selección del isospín
30
Se observa que son totalmente análogos, y este sí que es un argumento a favor de la independencia de carga de la interacción fuerte, ya que los espectros manifiestan claramente la presencia
de estados análogos aunque la composición de esos núcleos no hace intervenir el mismo número
de ligaduras (n − p).
De forma sistemática, el estado de un núcleo caracterizado por N = Z (I3 = 0), llamado núcleo
autoconjugado, es un estado singlete de isospín (I = 0). Esto significa que estos núcleos presentan
mayor simetría cuando se encuentran en tales estados. Este resultado puede generalizarse: el estado
fundamental de un núcleo caracterizado por I3 = −(N − Z)/2, tiene como valor de isospín I el
mismo compatible con su valor de I3 , es decir I = |I3 |. Los estados I = 2 que podría haber en común
con los núcleos 145 B, 147 N y 149 F (quintupletes de isospín) están situados a unas energías mucho más
elevadas, tan elevadas que los núcleos son inestables por emisión de partículas. Igualmente ocurre
en el caso de los núcleos 145 B y 149 F, donde el estado fundamental tiene I = 2.
2.9.
Reglas de selección del isospín
Ya hemos dicho que el isospín no se conserva en los procesos de interacción electromagnética
ni débil, pero debido a que en muchos casos se puede despreciar su influencia, constituye un
buen número cuántico en los sistemas de interacción fuerte, y por tanto conduce a unas ciertas
reglas de selección. En particular, las transiciones dipolares eléctricas caracterizadas por |∆I| y
las transiciones β caracterizadas por ∆I = 0, están favorecidas. Esta última regla de selección se
interpreta así: las amplitudes de transición β que relacionan estados análogos están favorecidas ya
que el solapamiento de las funciones de onda de los estados inicial y final es óptimo. Por ejemplo,
el núcleo 14 O en su estado fundamental10 (J π = 0+ , T = 1), se desintegra por emisión β + hacia
el núcleo 14 N. Sin embargo, la mayoría de las veces se efectúa la transición, no hacia el estado
fundamental de este elemento (J π = 1+ , I = 0), sino hacia el estado análogo (J π = 0+ , I = 1)
situado a 2.31 MeV del fundamental. Este tipo de transición entre estados análogos es lo que se
denomina transición superpermitida. Estará caracterizado, entre otras cosas, por ∆I = 1, ∆J = 0
y ∆Π = 0.
También existen reglas de selección en el dominio de las partículas. Por ejemplo, las desintegraciones “no leptónicas” de bariones por la interacción débil se efectúan respetando la regla de
selección |∆I| = 1/2.
2.10.
Clasificación de los estados nucleares: J,Π,I,I3
Cuando el núcleo está aislado existe isotropía espacial, y , por tanto, el Hamiltoniano conmuta
con el operador momento angular ~J, es decir,
h
i
~
H, J = 0
10
Denotamos por J π al momento angular total junto con la paridad.
2.10 Clasificación de los estados nucleares: J,Π,I,I3
31
lo que nos permite caracterizar los estados por los valores propios de J2 y Jz , es decir, podemos
dejar los autoestados de forma que sean autoestados de los operadores:
J2 |ψi = J (J + 1) |ψi
Jz |ψi = M |ψi
Es decir que las cantidades J y M se conservan. Como ya sabemos. Por Mecánica Cuántica
sabemos que M puede tomar 2J + 1 valores y la energía de un estado no depende del valor de M
(existe degeneración).
En lo que se refiere al problema de hallar los autoestados de HN ,
HN ψN = EψN
Y resulta por lo anterior que podemos elegir ψ = ψ(J) con un valor determinado de J. Si se
observan los resultado experimental es en cuanto a los spines de los estados fundamentales:
• N , Z pares: de forma sistemática se observa que el estado fundamental es J π = 0+ (parece
energéticamente más favorable acoplarse a 0)
• N impar y Z par: parece existir una tendencia a presentar el spin de una partícula solitaria
(lo que sugiere un modelo de capas).
• N y Z impares: no hay una regla general.
Además de la conservación de J también podemos elegir los estados nucleares de forma que
tengan una paridad definida:
P |ψi = ± |ψi
Por tanto podremos caracterizar el estado de un núcleo por J π . Pero además como I es un buen
número cuántico e I3 es una cantidad conservada, podemos completar la caracterización de un
núcleo con I e I3 ,
ψ (J π , I, I3 )
Capítulo
3
Los campos de Dirac y Maxwell
3.1.
Introducción
La ecuación de Klein-Gordon fue el primer intento de construir una teoría cuántica relativista.
Los problemas fundamentales que surgieron para rechazarla en un primer momento fueron:
• admitía soluciones de energía negativa,
• la densidad de probabilidad asociada con las funciones de onda no era definida positiva.
Sin embargo, Dirac propuso una nueva ecuación, en la que los estados de energía negativa se
asociaban a las antipartículas. Este hecho, permitió analizar la ecuación de Klein-Gordon desde
otra perspectiva, y asociarla a una teoría de las partículas de spin cero, que obedecen la estadística
de Bose-Einstein.
Es de esperar, por tanto, que la cuantización del campo de Dirac nos lleve a una teoría para
las partículas de spin semientero, los fermiones. La interacción entre ambas partículas, fermiones
de spin 1/2 y bosones de spin nulo, nos lleva a discutir el problema del acople de las electrones de
Dirac con el campo de Maxwell, y por tanto, a la cuantización de dicho campo. La teoría resultante
es la llamada Electrodinámica Cuántica (QED).
3.2.
3.2.1.
El campo de Dirac
El campo spinorial de Dirac
Después de que Dirac considerara la teoría relativista de la radiación en 1927, trató de construir
al año siguiente la teoría relativista de los electrones. Una de las importantes limitaciones era el
problema de las probabilidades negativas. Dirac comenzó observando que la ecuación no relativista
de Schrödinger no tenía probabilidades negativas porque era lineal en el tiempo, mientras que al
ecuación de Klein-Gordon, siendo cuadrática en el tiempo, tenía probabilidades negativas.
32
3.2 El campo de Dirac
33
Así pues, Dirac intentó encontrar un ecuación de onda que fuera lineal en el tiempo pero
satisfaciendo la ligadura relativista:
pµ pµ = E 2 − p~ 2 = m2
(3.2.1)
La idea original de Dirac fue tomar la raíz cuadrada de la ecuación de la energía. De esta forma,
llegó a la representación spinorial del grupo de Lorentz. Dirac comenzó con la ecuación de primer
orden:
i
∂ψ
= −iαi ∇i + βm ψ
∂t
(3.2.2)
donde αi y β, son matrices constantes, que actúan en un vector columna ψ.
Elevando al cuadrado el operador que actúa sobre el campo ψ, queremos recobrar la condición
(3.2.1),
−
2
→
−
∂2
2
2
ψ
=
−i~
α
·
∇
+
βm
ψ
=
−∇
+
m
ψ
∂t2
(3.2.3)
que es sólo posible si hacemos que las matrices satisfagan:
{αi , αk } = 2δik
{αi , β} = 0
αi2 = β 2 = 1
(3.2.4)
Para hacer las ecuaciones más simétricas podemos definir γ 0 = β y γ i = βαi . Multiplicando la
ecuación de onda por β, tenemos la ecuación de Dirac:
(iγ µ ∂µ − m) ψ = 0
(3.2.5)
{γ µ , γ ν } = 2g µν
(3.2.6)
donde las matrices γ satisfacen:
En Spinors, ya discutimos la representación de O(N ) definiendo un álgebra de Clifford, que es
precisamente el álgebra formada por los γ µ . Entonces, lo que realmente estamos construyendo es
la representación de spin 1/2 del grupo de Lorentz, esto es, los Spinors.
Para calcular el comportamiento de esta ecuación bajo el grupo de Lorentz, definamos como
los spinors se transforman bajo alguna representación S(Λ) del grupo de Lorentz:
ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x)
Entonces la ecuación de Dirac se transforma como sigue:
h
i
−1
iS (Λ) γ µ S(Λ)∂µ − m ψ = iγ µ (Λ)νµ ∂ν − m ψ = 0
(3.2.7)
(3.2.8)
3.2 El campo de Dirac
34
donde hemos multiplicado la ecuación transformada de Dirac por S −1 (Λ) por la izquierda, y hemos
tomado en cuenta el transformado ∂µ0 = (Λ)µν ∂ ν . Para que la ecuación sea además, covariante
Lorentz, debemos tener la siguiente relación:
S(Λ)γ µ S −1 (Λ) = (Λ−1 )µν γ ν
(3.2.9)
que ya habíamos encontrado en la sección Spinors. Para encontrar una representación explícita de
S(Λ), introduzcamos la siguiente matriz:
σµν =
i
[γµ , γν ]
2
(3.2.10)
Ya vimos que los generadores de O(N ) (ver Elementos de Teoría de Grupos) eran (i/4) [Γµ , Γν ]
en la representación spinorial. Por tanto, σµν /2, son los generadores del grupo de Lorentz en esta
representación.
Escribamos ahora un nuevo generador del grupo de Lorentz que es la suma de los viejos generadores Lµν (que actúan en el espacio−tiempo de las coordenadas) más un nuevo término que
también genera el grupo de Lorentz, pero en la representación spinorial:
1
Mµν Lµν + σµν
2
(3.2.11)
Los σµν también obedecen la siguiente relación:
[γ µ , σαβ ] = 2i δαµ γβ − δβµ γα
(3.2.12)
lo que demuestra que las matrices de Dirac se transforman como vectores en la representación
spinorial del grupo de Lorentz.
En términos de esta nueva matriz, podemos encontrar una representación explícita de la matriz
S(Λ):
S(Λ) = e(−i/4)σµν ω
µν
(3.2.13)
Ahora podemos construir invariantes bajo el grupo. Cojamos el hermítico conjugado de la ecuación
de Dirac:
µ←
−
γ † iγ † ∂ µ + m = 0
(3.2.14)
Podemos afirmar, además, que existe una representación de las matrices de Dirac que satisface:
†
γ0 = γ0
(3.2.15)
(γ i )† = −γ i
donde γ 0 es antihermítica y γ i hermítica. Esto puede escribirse también como γ µd ag = γµ .
Definamos:
ψb ≡ ψ † γ 0
(3.2.16)
3.2 El campo de Dirac
35
Si aplicamos la ecuación conjugada de movimiento a γ 0 , podemos reemplazar los γ † por las matrices
γ, dejándonos con:
←
−
ψb iγ µ ∂ µ + m = 0
(3.2.17)
Bajo una transformación de Lorentz, el nuevo campo ψb obedece:
0
−1
b
b
ψb0 (x0 ) = ψ(x)γ
S(Λ)† γ 0 = ψ(x)S
(x)
(3.2.18)
b
Esto es justo lo que necesitamos para formar tensores invariantes y covariantes. Por ejemplo, ψψ
es invariante bajo el grupo de Lorentz:
−1
b
b
ψb0 (x0 )ψ 0 (x0 ) = ψ(x)S
(Λ)S(Λ)ψ = ψ(x)ψ(x)
(3.2.19)
b µ ψ es un vector bajo el grupo de Lorentz:
De la misma forma, ψγ
µ ν
b −1 γ µ Sψ = ψ(x)Λ
b
ψb0 (x0 )γ µ ψ 0 (x0 ) = ψS
ν γ ψ(x)
(3.2.20)
donde hemos usado el hecho:
S −1 γ µ S = Λµν γ ν
(3.2.21)
que no es más que decir que γ µ se transforman como vectores bajo la representación spinorial del
grupo de Lorentz1 .
b µν ψ se transforma como un verdadero tensor de
De la misma forma, es directo mostrar que ψσ
rango 2 bajo el grupo de Lorentz. Para encontrar otros tensores de Lorentz que puedan representarse como bilineales en los spinors, introduzcamos la matriz:
i
γ5 = γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − εµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ
4!
(3.2.22)
donde εµνρσ = −εµνρσ , y ε0123 = +1. Dado que γ5 se transforma como εµνρσ , se trata de un
b 5 ψ, es un
pseudoescalar; esto es, cambia de signo, bajo transformaciones de paridad. Por tanto, ψγ
pseudoescalar.
De hecho, el conjunto completo de bilineales, sus propiedades de transformación y el número
de elementos en cada tensor vienen dados por:
Escalar :
Vector :
b
ψψ
b µψ
ψγ
[1]
[4]
b µν ψ [6]
ψσ
b 5 γ µ ψ [4]
Pseudovector : ψγ
b 5ψ
Pseudoescalar : ψγ
[1]
Tensor :
(3.2.23)
Para obtener esta fórmula tomar primero una transformación de Lorentz infinitesimal. Entonces S −1 γ µ S se
hace proporcional al conmutador entre σλρ y γ µ , lo que nos da otra matriz gamma. Si exponenciamos este proceso
para transformaciones finitas, obtenemos la ecuación deseada.
1
3.2 El campo de Dirac
36
Vemos, por tanto, que hay un total de 16 componentes. Podemos ver que las siguientes 16 matrices
son linealmente independientes:
ΓA = {I, γµ , σµν , γ5 γµ , γ5 }
(3.2.24)
donde (ΓA )2 = ±1. Para demostrar que estas 16 matrices forman un conjunto completo, asumimos,
por el momento, que existe una relación entre ellas, tal que:
X
(3.2.25)
cA ΓA = 0
A
donde cA son números. Entonces, multipliquemos esto por ΓB y tomemos la traza. Si ΓB = 1,
tenemos que ci = 0. Si ΓB 6= 1, entonces usamos el hecho de que existe ΓC 6= 1 tal que ΓA ΓB = ΓC ,
si A 6= B. Tomando la traza, vemos que cB = 0. Dado que B es arbitrario, esto determina que
todos los coeficientes son cero, por lo que estas 16 matrices son linealmente independientes.
Dado que las γ µ se transforman como un vector bajo el grupo de Lorentz, la siguiente Lagrangiana es invariante bajo el grupo de Lorentz:
L = ψb (iγ µ ∂µ − m) ψ
(3.2.26)
Esta es la Lagrangiana correspondiente a la ecuación de Dirac. Variaciones de esta ecuación por
ψ o ψb generarán las dos versiones de la ecuación de Dirac.
Hasta ahora, no hemos dicho nada referente la representación de las matrices de Dirac por sí
mismas. De hecho, un número considerable de identidades puede deducirse de estas matrices de
cuatro dimensiones sin mencionar una representación específica, tales como:
γ µ γµ
γ ρ γ µ γρ
γ ρ γ ν γ µ γρ
γ ρ γ µ γ ν γ σ γρ
=4
= −2γ µ
= 4g µν
= −2γ σ γ ν γ µ
Algunas operaciones con la traza pueden definirse:
Tr γ 5 γ µ = Trσ µν = Trγ µ γ ν γ 5 = 0
Tr (γ µ γ ν ) = 4g µν
Tr (γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4 (g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ )
Tr γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ = 4iεµνρσ
(3.2.27)
(3.2.28)
En particular, esto significa:
Tr (
abcd ) = 4 [(a · b)(c · d) + (a · d)(b · c)]
donde a ≡ aµ γ µ .
(3.2.29)
3.2 El campo de Dirac
37
A menudo es conveniente encontrar una representación explícita de las matrices de Dirac. La
representación más común de estas matrices es la llamada representación de Dirac:
0 σi
I 0
0
i
γ =
; γ =
;
0 −I
−σ i 0
(3.2.30)
I 0
0 σi
i
β=
; α =
;
0 −I
σi 0
donde las σ i son las matrices de spin de Pauli. Entonces, el spinor ψ es un campo complejo con
cuatro componentes que describen una partícula con masa de spin 1/2.
Ahora descompongamos ψ(x) en ondas planas para podes comenzar con la cuantización canónica. Para esto, necesitamos un conjunto básico de spinors independientes para ψ. Tomamos la
elección obvia:
 
 
 
 
1
0
0
0
 0 
 1 
 0 
 0 

 
 
 
(3.2.31)
u1 (0) = 
 0  ; u2 (0) =  0  ; v1 (0) =  1  ; v2 (0) =  0 
0
0
0
1
La estrategia ahora, es aplicar a estos spinors S(Λ) para aplicarles un boost y llevarlos a un estado
de momento p. Los spinors que ahora dependen del momento son:
uα (p) = S(Λ)uα (0)
vα (p) = S(Λ)vα (0)
(3.2.32)
(γ · p − m)u(p) = 0
(γ · p + m)v(p) = 0
u(p)(γ · p − m) = 0
v(p)(γ · p + m) = 0
(3.2.33)
que obedecen:
Si ahora hacemos cero todas las rotaciones, quedándonos sólo con boosts de Lorentz, la matriz de
transformación no es difícil de construir. Entonces, los únicos generadores son los generadores K,
que además son proporcionales a σ i . En particular, tenemos:
r
~
σ ·~
p E+n
I
cosh(φ/2)
~σ · ~n senh(φ/2)
E+m
S(Λ) =
=
(3.2.34)
~
σ ·~
p
~σ · ~n senh(φ/2)
cosh(φ/2)
I
2m
E+m
donde cosh(φ/2) = [(E + m)/2m]1/2 y senh(φ/2) = [(E − m)/2m]1/2 . Aplicando S(Λ) a la base
3.2 El campo de Dirac
38
de spinor independientes, encontramos:

1
r
E+m
 p0z
u1 (p) =
2m  E+m

r
u1 (p) =
E+m

2m 
p+
E+m
pz
E+m
p+
E+m
1
0


r

,

u2 (p) =

E+m

2m 

r

,

u1 (p) =
E+m

2m 
1
0
p−
E+m
pz
E+m
p−
E+m
−pz
E+m
0
1





(3.2.35)



donde p± = px ± ipz .
Debido a la descomposición que hemos elegido, los spinors u corresponden a electrones con energía positiva (moviéndose hacia delante en el tiempo), mientras que los spinors v se corresponden
con electrones de energía negativa (moviéndose hacia atrás en el tiempo).
Ahora describiremos spinors de un spin definido. Dado que es posible producir impulsos polarizados de electrones, es importante determinar cómo incorporar operadores de proyección que
puedan seleccionar un determinado spin.
Esto no es tan simple como puede parecer, dado que nuestro concepto intuitivo de spin está
arraigado con el grupo de rotación, que es sólo un subgrupo del grupo de Lorentz. Sin embargo,
el concepto intuitivo de spin y sus autofunciones ya no se pueden aplicar para sistemas a los que
le hemos aplicado un boost.
En el sistema en reposo, sabemos que el spin del sistema puede describirse via un vector tridimensional ~s que apunta en una determinada dirección. Por tanto, deberíamos introducir el
cuadrivector sµ , que, en el sistema en reposo, se reduce a sµ = (0, ~s). Entonces, imponiendo que
se transforma como un cuadrivector, podemos aplicar un boost a este vector por una transformación de Lorentz. Si definimos ~s 2 = 1, tenemos que s2µ = −1. En el sistema en reposo, tenemos
pµ = (m, 0); luego tenemos también pµ sµ = 0, que debe mantenerse para cualquier sistema por
invariancia Lorentz. Por tanto, ahora tenemos dos condiciones para nuestro cuadrivector de spin:
s2µ = −1
p µ sµ = 0
(3.2.36)
Lo que nosotros queremos es definir un operador proyección que seleccione los estados de un
determinado spin. De nuevo, definiremos el operador de proyección invariante Lorentz examinando
el sistema en reposo. De esta forma, sabemos que el operador ~σ · ~s actúa como un operador que
determina el spin del sistema:
~σ · ~suα (0) = uα (0)
~σ · ~svα (0) = −vα (0)
(3.2.37)
Para sistemas de spin 1/2, el operador de proyección en reposo, puede ser escrito como:
P (~s) =
1 ± ~σ~s
2
(3.2.38)
3.2 El campo de Dirac
39
donde el signo + hace referencia al spinor u, y el signo − al spinor v. Nuestra meta es escribir una
versión de esta ecuación a la que le hayamos aplicado un boost. Definamos el operador:
P (s) =
1 + γ5 s
2
(3.2.39)
En el sistema en reposo, este operador se reduce a:
1 1 + ~σ · ~s
0
P (s) =
0
1 − ~σ · ~s
2
(3.2.40)
Esta es la expresión deseada. Las nuevas autofunciones poseen ahora un spin s asociadas a ellas
u(k, s). Éstas satisfacen:
P (s)u(k, s) = u(k, s)
P (s)v(k, s) = v(k, s)
P (−s)u(k, s) = P (−s)v(k, s) = 0
(3.2.41)
(3.2.42)
(3.2.43)
Estos spinors pueden ser útiles en algunos cálculos porque satisfacen ciertas relaciones de completitud. Cualquier cuadrispinor puede ser escrito en términos de una combinación lineal de los
cuatro uα (0) y vβ (0), ya que éstos abarcan el espacio de los cuadrispinors. Si ahora aplicamos un
boost a estos spinors mediante S(Λ), entonces uα (p) y vβ (p) abarcarán el espacio de todos los
cuadrispinors que satisfacen la ecuación de Dirac.
Igualmente, uTα (0)vβ (0), etc. poseen 16 elementos independientes, que abarcan el espacio entero
de las matrices 4 × 4. Por tanto, uα (0)vβ (0), etc. abarcan el espacio de todas las matrices 4 × 4
que también satisfacen la ecuación de Dirac.
Si normalizamos nuestros spinors:
u(p, s)u(p, s) = 1
v(p, s)v(p, s) = −1
(3.2.44)
Con esta normalización podemos ver que los spinors satisfacen ciertas relaciones de completitud:
X
{uσ (p, s)uβ (p, s) − vσ (p, s)v β (p, s)} = δσβ
(3.2.45)
s
Para la representación particular que hemos elegido:
p + m 1 + γ5 s
uσ (p, s)uβ (p, s) =
·
2m
2
σβ
(3.2.46)
y,
vσ (p, s)v β (p, s) = −
m − p 1 + γ5 s
·
2m
2
(3.2.47)
σβ
3.2 El campo de Dirac
40
Si sumamos sobre la helicidad s, obtenemos dos operadores proyección:
X
p + m
|Λ+ (p)|αβ =
uα (p, s)uβ (p, s) =
2m αβ
±x
X
−p + m
|Λ− (p)|αβ = −
vα (p, s)v β (p, s) =
2m
αβ
±x
(3.2.48)
Estos operadores de proyección satisfacen:
Λ2± = Λ± ;
Λ+ Λ− = 0;
Λ+ + Λ− = 1
(3.2.49)
Por la relaciones de completitud, Λ± tiene una interpretación simple: proyecta las soluciones de
energía positiva o negativa.
3.2.2.
Cuantizando el campo spinorial
Hasta ahora, hemos discutido sólo la teoría clásica. Para hacer la segunda cuantización sobre
el campo de Dirac, debemos calcular el momento conjugado del campo spinorial:
π(x) =
δL
= iψ †
δψ(x)
Descompongamos el campo spinorial en sus componentes de Fourier:
Z r
m d3 k X q
ψ(x) =
bσ(k)uσ (k)e−ikx + d†α (k)vα (k)eikx
k0
(2π)3 σ=1,2
Z r
m d3 k X †
b
q
b σ(k)uσ (k)eikx + dα (k)v α (k)e−ikx
ψ(x) =
k0
(2π)3 σ=1,2
(3.2.50)
(3.2.51)
En términos de partículas y antipartículas, este descomposición nos da la siguiente interpretación
física:
b(p)u(p)e−ipx Aniquila un electrón de energía positiva
(3.2.52)
ψ(x)
b† (p)v(p)eipx Crea un electrón de energía positiva
Si invertimos las ecuaciones (3.2.51) y resolvemos para los momentos en términos de los campos:
Z
α
bα (k) = d3 x U k (x)γ 0 ψ(x)
Z
†
bα (k) = d3 x ψ(x)γ 0 Ukα (x)
Z
(3.2.53)
3
0 α
dα (k) = d x ψ(x)γ Vk (x)
Z
α
†
dα (k) = d3 x V k γ 0 ψ(x)
3.2 El campo de Dirac
41
donde,
m
−ikx
3 u(k)e
k0 (2π)
r
m
Vk (x) =
v(k)eikx
k0 (2π)3
Uk (x) =
r
(3.2.54)
Ahora insertemos nuestra descomposición de Fourier de nuevo, en la expresión del Hamiltoniano:
Z
Z
3
H = d x π ψ̇ − L = d3 x ψ(iγ 0 ∂0 ψ) =
Z
(3.2.55)
X
= d3 x k0
b†α (k)bα (k) − dα (k)d†α
α
Aquí encontramos un serio problema, es decir, que la energía del Hamiltoniano puede ser negativa.
Sin embargo, existe una forma de quitarnos este signo menos. Definamos las relaciones de conmutación canónicas en el mismo instante de tiempo de los campos y campos conjugados mediante
anticonmutadores, en lugar de con conmutadores:
{ψi (~x, t), ψj† (~y , t)} = δ 3 (~x − ~y )δij
(3.2.56)
Para que las relaciones canónicas de anticonmutación se cumplan„ los momentos de Fourier deben
obedecer por sí mismos las relaciones de anticonmutación, dadas por:
{bα (k), b†α0 (k 0 )} = δα,α0 δ 3 (~k − k~0 )
{dα (k), d† 0 (k 0 )} = δα,α0 δ 3 (~k − k~0 )
(3.2.57)
α
Si ahora ordenamos de forma normal el Hamiltoniano, quitaremos el punto cero infinito de energía,
y, por tanto:
Z
X
H = d3 k k0
b†α (k)bα (k) + d†α (k)dα (k)
α
P~ =
Z
(3.2.58)
X
d3 k ~k
b†α (k)bα (k) + d†α (k)dα (k)
α
Por tanto el uso de relaciones de anticonmutación y de orden normal, resuelve fácilmente el
problema del Hamiltoniano con autovalores de energía negativos.
Aún más, los d† pueden interpretarse como operadores creación para la antimateria (o operadores aniquilación para los electrones de energía negativa). De hecho, esta fue la motivación original
para que Dirac postulase la antimateria. Para ver como emerge la interpretación de estos nuevos
estados, observemos que la Lagrangiana de Dirac es invariante bajo:
ψ → siΛ ψ;
b −iΛ
ψb → ψe
(3.2.59)
Además debe existir una corriente conservada con tal simetría. Una aplicación directa del teorema
de Noether nos lleva a:
b µ ψ;
J µ = ψγ
∂µ J µ = 0
(3.2.60)
3.2 El campo de Dirac
42
que se conserva, si usamos la ecuación de Dirac.
b Esta es pues, una
Clásicamente, la carga conservada es definida positiva al ser proporcional a ψψ.
mejora respecto a la ecuación de Klein-Gordon, donde la carga podía ser negativa. Sin embargo,
una vez cuantizado el sistema, la carga de Dirac también puede ser negativa. La carga cuantizada
asociada con esta corriente vienen dada por:
Z
Z
Z
X
3
0
3
†
Q = d xJ = d x : ψ ψ : = d3 k
b†α (k)bα (k) − d†α (k)dα (k)
(3.2.61)
α
Esta cantidad puede ser negativa y de ahí que no pueda asociarse con la densidad de probabilidad.
Sin embargo, podemos, como se hace en el campo de Klein-Gordon, interpretar esto como la
corriente asociada con el acople al electromagnetismo; así Q corresponde a la carga eléctrica. En
este caso, el signo menos en Q es una característica útil, ya que significa que d† es el operador
creación de la antimateria, esto es, un positrón con carga opuesta al electrón.
Por lo que hemos dicho, tenemos que abandonar la interpretación simple de ψ como una función
de onda de un solo electrón, pues ahora describe ambos, electrón y positrón. Las relaciones de
anticonmutación también reproducen el Principio de Exclusión de Pauli que hallamos en mecánica
cuántica. Dado que d†α (k)d†α (k) = 0, sólo una partícula puede ocupar un estado de energía distinto
con un determinado spin. Un estado multipartícula, vendrá dado entonces por:
N
Y
i=1
†
d
αi (ki )
M
Y
b†αj (kj ) |0i
(3.2.62)
j=1
con sólo una partícula en cada estado cuántico dado. Este es el primer ejemplo del teorema de la
estadística de spin: las teorías de campo definidas con spin entero y conmutadores son llamadas
bosónicas, mientras que las teorías con spin semientero son cuantizadas con anticonmutadores y
son llamadas fermiónicas. La existencia de dos tipos de estadísticas, una basada en conmutadores
(estadística de Bose-Einstein), y otra basada en anticonmutadores (estadística de Fermi-Dirac), ha
sido observada experimentalmente en muchas situaciones físicas, y se ha empleado para explicar
el comportamiento a bajas temperaturas de los sistemas e incluso de las enanas blancas.
El tensor de energía−momento puede calcularse también a partir del teorema de Noether2 :
b µ∂µψ
T µν = iψγ
i µν
λµν
λ
µ ν
ν µ
b
M
= iψγ x ∂ − x ∂ − σ
ψ
2
El tensor de momento angular es:
Z
Z
i µν
µν
0µν 3
3
†
µ ν
ν µ
M = M d x = d x iψ x ∂ − x ∂ − σ
ψ
2
(3.2.63)
(3.2.64)
Observemos que el tensor de momento angular tiene un elemento extra proporcional a σ µν , lo que
representa que la teoría tiene un spin de 1/2.
2
El término Lagrangiano en el tensor de energía−momento puede eliminarse ya que la Lagrangiana de Dirac es
cero si se cumplen las ecuaciones de movimiento.
3.2 El campo de Dirac
43
Para completar nuestra discusión, podemos calcular como un campo spinorial se transforma
como un campo de spin 1/2 bajo el grupo de Poincaré:
U (Λ, a)ψα (x)U −1 (Λ, a) = S −1 (Λ)αβ ψβ (Λx + a)
(3.2.65)
Una de las hipótesis fundamentales de la teoría de campos es que debe ser causal. De hecho,
el teorema de la estadística de spin está íntimamente ligado con la microcausalidad, es decir,
que las señales no pueden propagarse a una velocidad mayor que la de la luz. Desde el punto de
vista de la teoría de campos, la microcausalidad puede interpretarse como que el conmutador (o
anticonmutador) de dos campos bosónicos (fermiónicos) se anula para separaciones espaciales:
[φ(x), φ(y)] = 0
b
=0
{ψ(x), ψ(y)}
para (x − y)2 < 0
para (x − y)2 < 0
(3.2.66)
Par demostrar el teorema de la estadística de spin, cuanticemos los bosones con anticonmutadores, y llegaremos a una contradicción. Para grandes separaciones encontramos además que:
Z
d3 k
−ik(x−y)
ik(x−y)
h0| φ(x), φ(y) |0i =
e
+
e
(2π)3 2ωk
q
(3.2.67)
2
2
0
0
exp −m |~x − ~y | − (x − y )
∼
|~x − ~y |2 − (x0 − y 0 )2
que claramente viola nuestra hipótesis de microcausalidad (de la misma forma, los fermiones
cuantizados con conmutadores llevan a una contradicción).
Históricamente, Dirac introdujo anticonmutadores y antimateria, y al mismo tiempo se preocupó de que la teoría tuviera o no problemas con los estados de energía negativa. Dado que todos los
sistemas físicos prefieren los estados de menor energía, existe una probabilidad finita de que todos
los electrones de la naturaleza decaigan en estos estados de energía negativa, constituyendo una
catástrofe. Para resolver este problema de los estados de energía negativa, Dirac dio una nueva
interpretación del vacío: consideró que el vacío está formado por un mar infinito de estados de
energía negativa. La materia ordinaria no radia de repente una cantidad infinita de energía y decae
al mar de estados de energía negativa, porque éste está completamente lleno. Por las relaciones de
anticonmutación, sólo un electrón puede ocupar un estado de energía negativa a la vez. Así que
un electrón no podría decaer en el mar de estados de energía negativa si éste ya está lleno, De eta
forma, electrones de energía positiva no podrían decaer en avalancha hacia los estados de energía
negativa.
Sin embargo, un electrón del mar de Dirac puede ser expulsado del mismo, creando un hueco.
Este hueco actuará como una partícula. Dirac observó que la ausencia de un electrón de carga −|e|
y estado de energía negativa −E es equivalente a la presencia de una partícula de carga positiva
+|e| y energía positiva |E|. Este hueco posee entonces una carga positiva y la misma masa que el
electrón.
Dirac postuló que este hueco se correspondería con un nuevo estado de la materia, un antielectrón. El vacío fue entonces elevado a un infinito almacén de materia de energía negativa.
3.2 El campo de Dirac
44
La teoría de los huecos de Dirac, determina que un nuevo proceso físico es posible, la producción
de pares, donde la materia puede aparecer a partir del propio vacío. Los fotones que chocan con
un electrón del mar de Dirac, pueden expulsarlo creando un hueco, y, por tanto, dando lugar a un
par, el electrón y su hueco, esto es, un electrón y un positrón.
Nuestra interpretación inicial (de que los electrones de energía negativa van hacia atrás en el
tiempo son equivalentes a los positrones de energía positiva que van hacia delante en el tiempo)
es equivalente a la mar de energía negativa de Dirac. De hecho, quitar la constante infinita del
Hamiltoniano, puede interpretarse como quitar la energía del mar de energía negativa de Dirac.
Para observar como estos estados de energía positiva y negativa se mueven en el tiempo, definamos la evolución de nuestra función de onda a través de una fuente J(x) como sigue:
(iγ µ ∂µ − m) ψ = J(x)
(3.2.68)
Par resolver esta ecuación, introducimos el propagador de Dirac:
(iγ µ ∂µ − m) SF (x − y) = δ 4 (x − y)
(3.2.69)
Entonces las soluciones a la ecuación de onda vienen dadas por:
Z
ψ(x) = ψ0 (x) + d4 y SF (x − y)J(y)
(3.2.70)
donde ψ0 es solución de la ecuación de Dirac homogénea.
Una representación explícita del propagador de Dirac puede obtenerse usando la transformada
de Fourier:
Z
d4 p −ip(x−y) γ µ pµ + m
e
(3.2.71)
SF (x − y) =
(2π)4
p2 − m2 + i
que satisface:
SF (x − y) = (iγ µ ∂µ + m) ∆F (x − y)
(3.2.72)
donde ∆F (x − y) es el propagador de Klein-Gordon.
Ahora podemos resolver integrando sobre k 0 . Respecto al caso de Klein-Gordon, tenemos un
factor adicional de p + m en el numerador.
Integrando la energía, podemos escribir la función de Green en términos de ondas planas. El
resultado es casi idéntico al que se halla en el propagador de Klein-Gordon, excepto por la inclusión
de las matrices:
Z
i
d3 p m h
0
−ip(x−x0 )
0
ip(x−x0 )
0
SF (x − x ) = −i
Λ+ (p)e
θ(t − t ) + Λ− (p)e
θ(t − t) =
(2π)3 E
"
#
(3.2.73)
Z
2
4
X
X
3
0
r
r 0
0
r
r 0
b
b
= d p −iθ (t − t )
ψ (x)ψ (x ) + iθ(t − t)
ψ (x)ψ (x )
p
r=1
p
p
r=3
p
3.2 El campo de Dirac
45
donde:
ψpr (x) ≡
r
m
(2π)−3/2 ωr (~p)e−i~
E
r px
(3.2.74)
donde r = (1, 1, −1, −1) y ω1 = u1 , ω2 = u2 , ω3 = v1 y ω4 = v2 . Escritos de esta manera, los
estados con energía positiva se desplazan hacia delante en el tiempo, mientras que los estados con
energía negativa se propagan hacia atrás en el tiempo.
Ahora podemos reemplazar las ondas planas ψp , por el campo spinorial cuantizado ψ(x) tomando el valor esperado del vacío del campo spinorial:
iSF (x − y)αβ = h0| T ψα (x)ψbβ (y) |0i
(3.2.75)
que es uno de los más importantes resultados, usado en las matrices de scattering.
3.2.3.
Los neutrinos de Weyl
Hemos visto que la representación spinorial del grupo de Lorentz es realmente reducible si introducimos los operadores de proyección PL y PR . Aunque nosotros no teníamos que preocuparnos
de esto, porque el grupo completo de Poincaré es irreducible para estados masivos.
Sin embargo, existe un situación en la que la representación spinorial es reducible incluso bajo
el grupo de Poincaré, y es cuando los fermiones carecen de masa. Por ejemplo, podemos tomar
una representación imaginaria de las matrices γ, que nos da los llamados spinors de Majorana.
Para nuestros propósitos es más útil tomar la representación de Weyl, que nos permite obtener
una representación de los neutrinos.
Si tomamos la representación:
0 I
0
γ =
;
I 0
i
γ =
0 σi
−σ i 0
;
5
γ =
I 0
0 I
Entonces, en esta representación, podemos escribir dos operadores quirales:
1 + γ5
I 0
PR =
=
0 0
2
1 − γ5
0 0
PL =
=
0 I
2
(3.2.76)
(3.2.77)
Para ver cómo estos operadores afectan al campo del electrón, dividamos ψ como sigue:
1 + γ5
ψR
ψ=
0
2
(3.2.78)
1 − γ5
0
ψ=
ψL
2
Dado que PR y PL conmutan con los generadores de Lorentz:
[PL,R , σ µν ] = 0
(3.2.79)
3.3 El campo de Maxwell
46
tenemos que el spinor de cuatro componentes ψ realmente abarca una representación reducible
del grupo de Lorentz. Aunque ψL y ψR forma cada uno una representación reducible del grupo de
Lorentz, no constituyen una representación del grupo de Poincaré para partículas con masa. Para
encontrar una representación irreducible del grupo de Poincaré debemos imponer m = 0.
b
La razón de que estos fermiones quirales deban ser no masivos es que el término de masa mψψ
en el Lagrangiano no es invariante bajo dos transformaciones de Lorentz independientes. Dado
que:
b = ψbL ψR + ψbR ψL
ψψ
(3.2.80)
los términos de masa en la acción necesariamente mezclarán estas dos representaciones distintas
del grupo de Lorentz. Por tanto, esta representación nos fuerza a tener fermiones de masa nula;
es decir, que esta es una teoría de neutrinos sin masa.
La teoría de los neutrinos de masa nula es invariante bajo las siguientes transformaciones
quirales:
ψ → eiγ5 Λ ψ
b iγ5 Λ
ψb → ψe
(3.2.81)
Esta simetría es violada por los términos con masa. Así pues, la representación spinorial del grupo
de Poincaré (para partículas de masa nula) es reducible, y tenemos la libertad de escoger una
representación spìnorial de dos componentes en lugar de una de cuatro.
3.3.
3.3.1.
El campo de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell
Ahora que hemos discutirlo el electrón libre de Dirac, nos gustaría tratar el acople del electrón
de Dirac al campo de spin 1 de Maxwell, Aµ . La teoría resultante es, como hemos dicho, la
electrodinámica cuántica.
Nuestra discusión sobre el campo no masivo de spin 1 comienza con las ecuaciones de Maxwell:
−~
→
∇E
~
→ ~ ∂E
−
∇ ×B−
∂t
→~
−
∇B
~
→ ~ ∂B
−
∇ ×E+
∂t
=ρ
= ~j
(3.3.1)
=0
=0
La fuente, además, obedece la ecuación de conservación:
→
∂ρ −
+ ∇~j = 0
∂t
(3.3.2)
3.3 El campo de Maxwell
47
Dado que la divergencia del rotacional es cero, y dado que el rotacional del gradiente también
se anula, podemos reemplazar los campos magnético y eléctrico por el potencial:
~
→ 0 ∂A
~ = −−
;
E
∇A −
∂t
→ ~
~ =−
B
∇ ×A
(3.3.3)
Estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para ver esta invariancia
de forma más clara definamos:
µ
0 ~
A = A ,A
(3.3.4)
j µ = ρ, ~j
Entonces la ecuación de conservación de la corriente puede reescribirse como:
∂µ j µ = 0
(3.3.5)
y las ecuaciones de Maxwell pueden resumirse como:
∂µ F µν = j ν
(3.3.6)
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(3.3.7)
donde:
o bien:

0 −E 1 −E 2 −E 3
 E1
0
−B 3 B 2 

=
 E2 B3
0
−B 1 
E 3 −B 2 B 1
0

F µν
(3.3.8)
y:
F 0i = −E i ;
F ij = −ijk B k
Podemos derivar las ecuaciones de Maxwell a partir del Lagrangiano:
1 ~ 2 ~ 2
1
E −B
L = − Fµν F µν =
4
2
(3.3.9)
(3.3.10)
Si introducimos ésta en las ecuaciones del movimiento de Euler-Lagrange tenemos que la ecuación
de movimiento viene dada por:
∂µ F µν = 0
que es la clásica ecuación de Maxwell cuando no hay fuente.
(3.3.11)
3.3 El campo de Maxwell
48
Una consecuencia clave de esta construcción es que la teoría de Maxwell es invariante bajo una
simetría local, esto es, una cuyos parámetros dependen del espacio−tiempo3 :
δAµ = ∂µ Λ(x)
(3.3.12)
Si aplicamos transformaciones de Lorentz sucesivas, observaremos que forman un grupo con la
regla de adición:
Λ3 = Λ1 + Λ2
(3.3.13)
Esta es la misma ley de adición que encontramos para U (1), así que las ecuaciones de Maxwell
son localmente invariantes bajo U (1) (ver Elementos de Teoría de Grupos).
Bajo esta transformación, el tensor de Maxwell es un invariante:
δFµν = 0
(3.3.14)
así que la Lagrangiana también es invariante.
Hay por tanto una gran redundancia en la teoría. Las ecuaciones para Aµ son idénticas a las
ecuaciones para A0µ = Aµ + ∂µ A.
También debemos observar que el tensor de energía−momento asociado con la teoría de Maxwell tiene propiedades erróneas. No es simétrico ni invariante gauge. Una aplicación intuitiva del
teorema de Noether nos da el siguiente tensor de energía−momento:
1
T µν = −F µλ δ ν Aλ + g µν Fρσ F ρσ
(3.3.15)
4
que no es simétrico. Esto determina que no tenemos un tensor de momento angular que se conserve.
Aún peor, ni siquiera tenemos la invariancia gauge, ya que no está completamente escrito en
términos del tensor Fµν .
Sin embargo, dado que el tensor de energía−momento no es una cantidad directamente medible,
podemos añadirle libremente un tensor:
(3.3.16)
T µν → T µν + ∂λ F µλ Aν
El tensor resultante es simétrico, invariante gauge y se conserva:
1
T µν = F µρ Fρν + g µν Fρσ F ρσ
(3.3.17)
4
Aunque hemos añadido un término extra, esto no afecta a las cargas, que son directamente medibles. Para ver cuáles son las cargas conservadas que están asociadas a este tensor de
energía−momento, tenemos:
1 ~ 2 ~ 2
T 00 =
E +B
2
(3.3.18)
i
~ ×B
~
T i0 = E
es decir, la densidad de energía y el vector de Poynting. Este nuevo tensor de energía−momento
es una cantidad aceptable físicamente y además es compatible con la invariancia gauge.
3
Una transformación cuyos parámetros son constantes es llamada una t4ransformación global, como las transformaciones de isospin y de Lorentz.
3.3 El campo de Maxwell
3.3.2.
49
Acoplando campos
El problema cuya solución perseguimos es escribir el Lagrangiano de la teoría de Dirac acoplada
a la teoría de Maxwell. El camino más conveniente es usar la corriente del electrón como fuente
b µ ψ, y proponemos el acople:
para el campo de Maxwell. La corriente del electron está dada por ψγ
b µψ
eAµ ψγ
(3.3.19)
Ya vimos que esta corriente surge a causa de la invariancia del Lagrangiano bajo la simetría
ψ → exp (iΛ) ψ. Consideremos Λ como un parámetro local gauge, de tal forma que Λ es una
función del espacio−tiempo. Queremos un Lagrangiano invariante bajo:
ψ(x) → eieΛ(x) ψ(x)
Aµ → Aµ − ∂µ Λ(x)
(3.3.20)
El problema con esta transformación es que Λ(x) es una función del espacio−tiempo. Por tanto,
la derivada de un spinor ∂µ ψ no es un objeto covariante. De hecho, tiene incluso un término
extraño en su transformación, ∂µ Λ(x). Para eliminar este término extraño introducimos la derivada
covariante:
∂µ → Dµ ≡ ∂µ + ieAµ
(3.3.21)
La ventaja de introducir la derivada covariante es que se transforma de forma covariante bajo una
transformación gauge:
Dµ ψ → eieΛ(x) Dµ ψ + (ie∂µ Λ − ie∂µ Λ) ψ → eieΛ(x)Dµ ψ
(3.3.22)
Esto significa que el siguiente Lagrangiano es invariante:
1
L = ψb (iγ µ Dµ − m) ψ − Fµν F µν
4
(3.3.23)
que obtenemos simplemente reemplazando ∂µ por Dµ .
En el límite de velocidades pequeñas comparadas con la de la luz, la ecuación de Dirac debería
reducirse a la versión modificada de la ecuación de Schrödinger. Nos interesa conocer las correcciones de la ecuación de Dirac al orden más bajo. Esto nos permitiría reproducir los resultados no
relativistas y las correcciones a los mismos. La ecuación de movimiento de Dirac, en la presencia
de un potencial electromagnético es ahora:
i
i
→
−
∂ψ h
~ + βm + eAµ ψ
= α
~ · (−i ∇ − eA)
∂t
(3.3.24)
Para encontrar las soluciones de esta ecuación, descompongamos este cuadrispinor en dos spinors
más pequeños:
−imt φ
e
Φ
ψ=
=
(3.3.25)
χ
e−imt Ψ
3.3 El campo de Maxwell
50
De este modo la ecuación de Dirac puede descomponerse como la suma de dos ecuaciones spinoriales:
∂φ
= ~σ · ~π χ + eA0 φ + mφ
∂t
∂χ
i
= ~σ · ~π φ + eA0 χ + mχ
∂t
i
(3.3.26)
~ Ahora, eliminaremos χ. Para pequeños campos podemos hacer la aproximación
donde ~π = p~ − eA.
0
eA 2m. En ese caso, podemos resolver la segunda ecuación como sigue:
χ∼
~σ · ~π
φφ
2m
(3.3.27)
En esta aproximación, la ecuación de Dirac puede ser expresada como una ecuación de Schrödinger,
pero con correcciones importantes dependientes del spin:
(~σ · ~π )2
∂Φ
0
=
+ eA Φ =
i
∂t
2m
"
#
(3.3.28)
~ 2
(~p − rA)
e
0
~
=
−
~σ · B + eA Φ
2m
2m
donde hemos usado el hecho de que:
~
(~σ · ~π )2 = ~π 2 − e~σ · B
(3.3.29)
Esta ecuación da la primera corrección a la ecuación de Schrödinger en presencia de un campo
electromagnético. Clásicamente, sabemos que la energía de un dipolo magnético en un campo
magnético está dada por el producto escalar del momento magnético por el campo magnético:
~
~ = − e~ ~σ · B
E = −~µ · B
2mc
(3.3.30)
~ = ~~σ /2 el momento magnético del electrón es:
Dado que S
~µ ≡
e e ~~σ
~
=2
S
mc 2
2mc
(3.3.31)
Por tanto, la teoría de Dirac predice que el electrón debería tener un momento magnético dos
veces mayor que el que uno esperaría que tuviera, esto es, dos veces el magnetón de Bohr.
Otro resultado importante es el desdoblamiento de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno.
~ = 0, y
Para resolver este problema y buscar correcciones del átomo de Schrödinger, hacemos B
0
tomamos A como el potencial de Coulomb. La ecuación de Dirac puede entonces reescribirse
como:
→
−
Zα
Eψ = −i~
α · ∇ + βm −
ψ = Hψ
(3.3.32)
r
3.3 El campo de Maxwell
51
donde α = e2 /4π y,
H=
~σ p~
m − Zα
r
~σ p~
−m −
Zα
r
(3.3.33)
Es conveniente ahora introducir una primera solución a la ecuación de Dirac. Primero, como en
el caso de Schrödinger, queremos separar variables, así que tomamos ψ ∼ f (r)Y (θ, φ), donde la
función radial está explícitamente separada. Segundo, dado que ∇2 contiene el operador Casimir
L2i , en el formalismo usual de Schrödinger, escogemos Y (θ, φ) como el esférico armónico estándar,
esto es, las autofunciones del operador momento angular. Para el caso del spin, tenemos que:
~ +S
~=L
~ + ~σ /2
J~ = L
(3.3.34)
~ y spin intrínseco S.
~ Por tanto,
esto es, que tenemos una combinación lineal de spin orbital L
nuestras autofunciones para el caso de Dirac, deben etiquetarse con los autovalores j, l y m.
Basándonos en estos argumentos, escogemos como nuestra primera solución:
i|Glj (r)/r|φ0 jm
†
ψjm =
|Flj(r)/r |(~σ · rb)φ0 jm
(3.3.35)
Introduciendo esta solución en la ecuación (3.3.33), y factorizando para la parte angular, encontramos que la parte radial de nuestras autofunciones obedecen:
dFlj (r)
1 Flj (r)
Zα
Glj (r) = −
∓ j+
E−m+
r
dr
2
r
(3.3.36)
Zα
1 Glj (r)
dGlj (r)
E+m+
∓ j+
Flj (r) = −
r
dr
2
r
donde usamos el signo + ó − para j = l + 1/2 ó j = l + 1/2. Expandiendo en potencias esta
ecuación en r, estas series de ecuaciones pueden ser resultas en términos de funciones hipergeométricas. Estas funciones, una vez expandidas en serie de potencias, nos dan los autoestados de
energía del átomo de hidrógeno:

!2 −1/2
Zα

p
(3.3.37)
Enj = m 1 +
n − (j + 1/2) + (j + 1/2)2 − Z 2 α2
Experimentalmente, esta fórmula da las correcciones dependientes de spin a la fórmula de Bohr,
al orden más bajo. En contraste con la fórmula usual de Bohr, la energía es ahora una función del
número cuántico principal n y del spin total j. De nuevo por expansión de potencias, podemos
recobrar el resultado no relativista al orden más bajo:
Z 2 α2 (Z 2 α2 )2
n
Enj = m 1 −
−
− 3/4 + · · ·
(3.3.38)
2n2
2n4
j + 1/2
Aún así, sólo hemos considerado el electrón de Dirac interaccionando con el potencial de Coulomb.
No es sorprendente, por tanto, que esta fórmula desprecie pequeñas correcciones en los niveles del
átomo de hidrógeno (la siguiente corrección que es el desplazamiento de Lamb).
3.3 El campo de Maxwell
3.3.3.
52
Cuantizando el campo de Maxwell
Debido a la invariancia gauge, hay complicaciones cuando cuantizamos la teoría. Una cuantización intuitiva de la teoría de Maxwell fallará por una simple razón: el propagador no existe. Para
ver esto escribamos la Lagrangiana de la siguiente forma:
1
L = Aµ Aµν ∂ 2 Aν
2
(3.3.39)
Pµν = gµν − ∂µ ∂ν /(∂)2
(3.3.40)
donde:
El problema con este operador, es que no es invertible, y por tanto, no podemos construir un
propagador para la teoría. De hecho, esto es típico de toda teoría gauge, no sólo de la teoría de
Maxwell. Ocurre también en Relatividad General y Teoría de Supercuerdas. El hecho de que no
sea invertible es porque Pµν es un operador de proyección, esto es, su cuadrado es igual a sí mismo:
Pµν P νλ = Pνλ
(3.3.41)
∂ µ Pµν = 0
(3.3.42)
y proyecta estados longitudinales:
El hecho de que Pµν sea un operador proyección ya apunta a que la teoría de Maxwell es una
teoría gauge. Este operador proyección, proyecta cualquier estado con la forma ∂µ Λ, que es justo
la invariancia gauge.
La solución de nuestro problema es romper esta invariancia, escogiendo un gauge. Dado que
tenemos la libertad de añadir ∂µ a Aµ , escogeremos valores específicos de Λ que romperán dicha
invariancia. Garantizaremos este grado de libertad si la variación δAµ = ∂µ Λ puede ser invertida.
Hay varias formas de fijar el gauge y remover las redundancias. Podemos, por ejemplo, colocar
ligaduras directamente en el campo gauge Aµ , o añadir el siguiente término a la Lagrangiana:
−
1
(∂µ Aµ )2
2α
(3.3.43)
donde α es arbitrario. Algunos de los gauge más comunes pueden verse en la tabla 3.3.1. Cada vez
que fijamos la ligadura restringiendo el campo Aµ , debemos comprobar que existe una elección de
Λ tal que esta condición gauge sea posible. Por ejemplo, si hacemos A3 = 0, debemos demostrar
que:
A03 = 0 = A3 + ∂3 Λ
(3.3.44)
tal que:
Z
Λ=
x
d3 xA3
(3.3.45)
3.3 El campo de Maxwell
53
Gauge de Coulomb gauge
∇ i Ai
Gauge Axial gauge
A3 = 0
Gauge Temporal
A0 = 0
Gauge de Landau
∂µ Aµ = 0
Gauge de Landau
α=0
Gauge de Feynman
α=1
Gauge Unitario
α=∞
Tabla 3.3.1: Gauge más comunes.
En el gauge de Coulomb, extraemos los modos longitudinales del campo desde el principio. Para demostrar que la libertad que nos ofrece la elección gauge nos permite hacer esta elección,
escribamos:
→ ~0 −
−
→ ~ −→
(3.3.46)
∇ ·A = ∇ · A
+ ∇Λ = 0
Resolviendo para Λ tenemos:
→ ~
1 −
Λ= −
→2 ∇ · A = −
∇
Z
→0
d3 x0 −
∇ · A(x0 )
0
4π|~x − ~x |
(3.3.47)
De la misma forma si elegimos el gauge de Landau, podemos encontrar una Λ tal que:
Λ=−
1
∂µ Aµ
∂2
(3.3.48)
Para comenzar el proceso de la cuantización canónica, tomaremos el gauge de Coulomb donde sólo
a los estados físicos se les permite propagarse. Calculemos primero el canónico conjugado de los
campos. Dado que Ȧ0 no aparece en la Lagrangiana, esto nos dice que A0 no parece propagarse,
lo que es un signo de que existen modos redundantes en la acción.
Sin embargo, los otros modos, tienen canónicos conjugados:
δL
=0
δ Ȧ0
δL
πi =
= −Ȧi − ∂i A0 = E i
δ Ȧi
π0 =
(3.3.49)
3.3 El campo de Maxwell
54
Escribamos la Lagrangiana como:
1
1
1 2
= F0i2 − Fij2
L = − Fµν
4
2
4
(3.3.50)
Ahora introduzcamos el campo independiente Ei usando un truco. Reescribimos la acción como:
1
1
L = − Ei2 − Ei F0i − Fij2
2
4
(3.3.51)
Eliminado ahora Ei a través de su ecuación de movimiento, encontramos que Ei = F0i . Introduciendo de nuevo este valor en la Lagrangiana, encontramos la Lagrangiana original.
Podemos escribir la Lagrangiana para la electrodinámica cuántica (QED), como:
→ ~ 1 ~2
~ ·A
~˙ − A0 −
L = −E
∇ ·E− E −
2
1
~2 + B
~2 + L
~ ·A
~˙ −
E
= −E
2
1 2 b
F + ψ(iD − m)ψ
4 ij
b 0ψ
~ − A0 ∇
~ ·E
~ − eψγ
ψ, A
(3.3.52)
A0 es un multiplicador de Lagrange. Si resolvemos la ecuación de movimiento para este campo,
encontramos que existe una ligadura adicional:
Ley de Gauss
− ~
→
b 0ψ
∇ · E = ρ = eψγ
(3.3.53)
Por tanto, la ley de Gauss surge tras resolver la ecuación de movimiento de A0 . Si ahora contamos
los grados de libertad independientes, encontramos que tenemos sólo dos grados de libertad menos, que se corresponden con los dos estados independientes de helicidad transversal. De las cuatro
componentes de Aµ , vemos que A0 puede ser eliminada por su ecuación de movimiento, y que podemos escoger el modo longitudinal, dejándonos con dos estados de helicidad que son precisamente
aquellos predichos por la teoría de grupos en Representaciones del grupo de Poincaré.
Intuitivamente esto nos dice que un fotón moviéndose en la dirección z puede vibrar en las
direcciones x e y, pero no en la dirección z o en la dirección del tiempo. Esto se corresponde con
la comprensión intuitiva de los fotones transversales. En el gauge de Coulomb, podemos reducir
todos los campos a sus componentes transversales eliminando sus componentes longitudinales.
→
~ = E
~T + E
~ L , donde −
Dividamos las partes longitudinales y transversales como sigue E
∇ET y
→
−
∇EL = ρ. Resolvamos ahora para EL en términos de ρ. En ese caso, tenemos:
→
−
∇
~
EL = 2 ρ
∇
(3.3.54)
Si introducimos esto en la Lagrangiana encontraremos que todos los modos longitudinales se
cancelan, dejando sólo las partes transversales, excepto por el término:
Z
1~ 2 1 1
e2
ψ † (~x, t)ψ(~x, t)ψ † (~y , t)ψ(~y , t)
EL = ρ 2 ρ =
d3 xd3 y
(3.3.55)
2
2 ∇
8π
|~x − ~y |
Este último término es el llamado término instantáneo de los cuatro fermiones de Coulomb, que
parece violar la relatividad especial, pues esta interacción viaja instantáneamente a través del
3.3 El campo de Maxwell
55
espacio. Sin embargo, como mostraremos al final de esta sección este término se cancela con otro
término en el propagador, de forma que la simetría Lorentz no se rompe.
Si ahora imponemos relaciones de conmutación canónicas, obtendremos una nueva complicación. Intuitivamente, nos gustaría imponer:
(3.3.56)
Ai (~x, t), π j (~y , t) = −iδij δ 3 (~x − ~y )
Sin embargo, esto no puede ser correcto porque tomamos la divergencia de ambos miembros de
la ecuación. La divergencia de Ai es nula, así que el miembro izquierdo es nulo, pero no así el
miembro derecho. Debemos modificar nuestras relaciones canónicas de conmutación como sigue:
(3.3.57)
Ai (~x, t), π j (~y, t) = −iδ ij (~x − ~y )
donde el miembro derecho debe ser transversal, esto es:
Z
d3 k i~k(~x−~x0 )
ki kj
δ ij =
e
δij −
~k 2
(2π)3
(3.3.58)
Como antes, nuestro próxima tarea es descomponer el campo de Maxwell en términos de los modos
de Fourier, y demostrar que satisfacen las relaciones canónicas de conmutación. Sin embargo,
debemos llevar cuidado de mantener la condición de transversalidad, que impone una ligadura en
el vector de polarización. La descomposición está dada por:
~
A(x)
=
2
X
d3 k
Z
p
(2π)3 2k0
h
i
†
~λ (k) aλ (k)e−ikx + aλ (k)eikx
(3.3.59)
λ=1
~ transversal, tomamos la divergencia de esta ecuación y la igualamos a cero. Esto
Para mantener A
significa que debemos imponer4 :
~ε λ · ~k = 0
~ε λ (k) · ~ε
λ0
= δλ
λ0
(3.3.60)
Invirtiendo estas relaciones, podemos resolver para los momentos de Fourier en términos de los
campos:
Z
←
→
d3 x
λ
~
a (k) = i p
eikx ∂ 0 ~ε λ (k) · A(x)
3
(2π) 2k0
(3.3.61)
Z
→ λ
d3 x
†λ
−ikx ←
~
a (k) = −i p
e
∂ 0 ~ε (k) · A(x)
(2π)3 2k0
4
La forma más sencilla de satisfacer estas condicione de transversalidad s tomar el momento a lo largo de
la dirección z y mantener el vector de polarización totalmente en las direcciones transversales, es decir, en las
direcciones x e y.
3.3 El campo de Maxwell
56
Para satisfacer las relaciones canónicas de conmutación entre los campos, debemos imponer las
siguientes relaciones de conmutación entre los momentos de Fourier5 :
h
i
0
λ
†λ0
0
a (k), a (k ) = δ λ,λ δ 3 (~k − ~k 0 )
(3.3.62)
Insertemos ahora la descomposición de Fourier en la expresión de la energía y del momento:
Z
2 Z
X
1
3
2
2
~
~
H=
d x E +B =
d3 k ω|a†λ (k)aλ (k)|
2
λ=1
(3.3.63)
Z
2
Z
X
~ ×B
~ : = d3 k ~k
P~ = d3 x : E
aλ† (k)aλ (k)
i=1
Después de hacer el orden normal, la energía es de nuevo positiva. Finalmente, queremos calcular
el propagador de la teoría. De nuevo existe una complicación, porque el campo es transversal. La
forma más simple de construir el propagador es escribir el valor esperado ordenado en el tiempo
de los dos campos. El cálculo es casi idéntico al realizado para los campos escalares y al que
nosotros hemos explicitado en los campos spinoriales, excepto que tenemos que insertar un tensor
de polarización:
Z
0
2
d4 k e−ik(x−x ) X λ
tr
0
0
µ (k)λν (k)
(3.3.64)
iDF (x − x )µν = h0| T Aµ (x)Aν (x ) |0i = i
4
2
(2π) k + i λ=1
La anterior expresión no es invariante Lorentz ya que tenemos estados transversales. Estos términos que violan la invariancia Lorentz desaparecen con la matriz S completa. Para ver esto
explícitamente, escojamos una nueva base ortogonal de cuatro vectores, dados por 1µ (k), 2µ (k),
k µ y un nuevo vector η µ = (1, 0, 0, 0). Cualquier tensor puede ser expandido en serie de potencias
de esta nueva base. Por tanto, la suma sobre los vectores de polarización que aparecen en el propagador puede expresarse siempre en términos de los tensores gµν , ηµ ην , kµ kν y kµ ην . Podemos
calcular los coeficientes de esta expansión imponiendo que ambos miembros de la ecuación sean
transversales. Entonces vemos que:
2
X
λ=1
λµ (k)λν (k) = −gµν −
kµ kν
(k · η)(kµ ην + kν ηµ )
k 2 ηµ ην
+
−
(k · η)2 − k 2
(k · η)2 − k 2
(k · η)2 − k 2
(3.3.65)
Afortunadamente todos los términos no invariantes que envuelven η pueden eliminarse. Los términos proporcionales a kµ desaparecen cuando se insertan en una amplitud de scattering. Esto
es porque el propagador se acopla a dos corrientes, que a su vez se conservan por la invariancia
gauge.
Si eliminamos términos proporcionales a kµ en el propagador, tenemos que:
DFtr (x − x0 )µν = −gµν ∆F (x − x0 ; m = 0) − ηµ ην
5
δ(t − t0 )
4π|~x − ~x0 |
(3.3.66)
Debemos notar que el signo de las relaciones de conmutación nos da estados de norma positiva. No existe
estados de norma negativa, ni fantasmas, en esta construcción del gauge de Coulomb, En cambio en la cuantización
de Gupta−Bleuler, sí que existen tales estado fantasma.
3.3 El campo de Maxwell
57
El primer término es lo que queremos ya que es covariante. El segundo término es proporcional al
término de Coulomb. En cualquier diagrama de Feynman, esto ocurre entre dos corrientes, creando
(ψ † ψ)∇−2 (ψ † ψ). Este término es el que cancela el término de Coulomb en el Hamiltoniano, en la
ecuación (3.3.55).
Como esperábamos, hemos encontrado que aunque las funciones de Green son dependientes
del gauge (y poseen términos que viajan instantáneamente a través del espacio), la matriz S es
invariante Lorentz y causal.
Índice alfabético
A
anticonmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 y ss.
antimateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 y ss.
antipartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 40
antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
C
campo
➫ bosónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
➫ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 32, 40
➫ de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
➫ de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 4, 32, 46, 49, 52, 55
➫ de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
➫ de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
➫ escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
➫ fermiónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
➫ irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
➫ spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 43, 45
cuantizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
➫ spinorial de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
➫ tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
➫ vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10, 15
campo!spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
conmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 42, 43
constante de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
➫ de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 54, 56
➫ de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
➫ más comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
generador de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
grupo
➫ O(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4, 8
➫ SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
➫ U (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
➫ Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
➫ continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
➫ de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
➫ de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7
➫ de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
➫ de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
➫ discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
➫ especial
de matrices en dos dimensiones . . . . . . . . . 6
➫ grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
➫ no Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
➫ ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
➫ uniparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
➫ unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
E
ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Electrodinámica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . 32, 54
estadística
➫ de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
➫ de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
G
gauge
L
ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Lie
➫ álgebra de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
➫ grupo de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
M
mar de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 44
58
ÍNDICE ALFABÉTICO
microcausalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
N
neutrinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45, 46
➫ de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
R
representación
➫ de O(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
➫ irreducible
de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
de U (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
representación irreducible
➫ de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
S
spinors . . . . . . . . . . . 7, 11, 13, 33, 35, 37 y ss., 49
➫ de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
subgrupo
➫ SO(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
T
tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
teorema
➫ de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . 12
➫ de la estadística de spin . . . . . . . . . . . . . . 42, 43
59
Bibliografía
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