Guía de isometrías

Geometría
Prof. L. Solorza
Curso: 1° medio
Guía de isometrías
A)
Simetrías
a) Reflexiones o Simetrías axiales
Concepto: Una reflexión o simetría axial, con eje la recta L, es un movimiento del plano
tal que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', tal que la recta L es
mediatriz (o simetral) del segmento PP'.
o La reflexión con eje la recta L transforma
el punto P en el punto P’.
Se dice: P’ es la imagen de P, mediante la
reflexión con eje L.
o La imagen del segmento AB aplicando la
reflexión de eje la recta L, es el segmento
A’B’.
Nota. Se dice:
P’ es el simétrico de P con respecto a la recta L.
El segmento A’B’ es el simétrico del segmento AB con respecto a la recta L.
b) Simetría central
Concepto: Una simetría central de centro el punto O, es un movimiento del plano tal que
a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del
segmento de extremos P y P'.
Figura 1
Figura 2
La figura 2 presenta un triángulo ABC, un punto O, y el triángulo A’B’C’ que es la
imagen del triangulo ABC mediante simetría central de centro O. Considerando esta
figura:
a) ¿Cómo son las distancias AO y A`O?
b) ¿Cómo se relacionan los triángulos ABC y A’B’C’?
Nota. La simetría central de centro O, corresponde a la rotación con centro O en un
ángulo de 180°.
c) Simetrías de figuras
Concepto Dada una figura F. La figura F tiene un eje de simetría propio si y solo dicho
eje es una recta que divide a la figura en dos partes congruentes (es decir, en dos figura
exactamente iguales).
Es decir, la figura F tiene un eje de simetría si y solo dicho eje es una recta L tal que al
aplicar a F la simetria axial de eje la recta L, la imagen de F es exactamente la misma
figura F.
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Ejercicios
1. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene simetría axial?
Para cada figura que tenga simetría axial, ¿cuántos ejes de simetría tiene?
2. Dibuja el simétrico de cada figura aplicando la simetría central de centro el punto dado.
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3. En el plano cartesiano, dibuja un polígono F cuyos vértices son:
A (1,1) ;
B(4,-1) ;
C(5,3)
D(2,2).
a) Dibuja el simétrico del polígono F con respecto al punto (0,0). Sea A’B’C’D’ la
imagen del poligono F.
Responde lo siguiente:
el punto simétrico de A es A′ = (__,__)
el punto simétrico de B es B′ = (__,__)
el punto simétrico de C es C′ = (__,__)
el punto simétrico de D es D′ = (__,__)
De acuerdo a lo obtenido, podrías generalizar un principio que permita construir las
imágenes de figuras con simetría central a través del origen, sin hacer uso de compás ni
regla,
PRINCIPIO:
b) Dibuja la imagen del polígono F aplicando la simetría axial (reflexión) con respecto al
eje Y, obteniendo la figura A’’B’’C’’D’’. Considerando la figura obtenida, responde lo
siguiente:
el punto simétrico de A con respecto al eje Y es A’’ = (__,__)
el punto simétrico de B con respecto al eje Y es B’’ = (__,__)
el punto simétrico de C con respecto al eje Y es C’’ = (__,__)
el punto simétrico de D con respecto al eje Y es D’’ = (__,__)
Ejercicio:
En tu cuaderno dibuja en un sistema de ejes cartesianos. Construye un pentágono cuyos
vértices son A(2,2); B(-2,8) ; C(-10,0) ; D(-4,-4) ; E(0,-2). Luego determina las imágenes
de sus vértices a través de la simetría central con centro el origen (0,0), y construye la
imagen del pentágono dado.
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B) Traslaciones
I)
En un plano cartesiano
1. Dibuja el polígono cuyos vértices son A(-5,2) ; B(-2,3) ; C(-3,6) ; D(-6,7) y E(-8,4).
2. Traslada cada vértice 8 cuadritos hacia la derecha y 3 hacia arriba.
Las posiciones de los nuevos vértices son:
A’ ( , )
B’ ( , )
C’ ( , )
D’ ( , )
E’ ( , )
II)
Dibuja la imagen de la figura aplicando la traslación definida por la flecha.
Nota: Para definir una traslación sin hacer un dibujo, por ejemplo: trasladar una figura
moviendo (o desplazando) cada punto 2 unidades a la derecha en la dirección del eje X y 1
unidad hacia arriba en la dirección del eje Y, ella se puede describir:
(x,y)
( x+2; y+1)
Este movimiento describe una traslación tal que (2,1) es el vector de traslación.
Este movimiento convierte (o desplaza) a cada punto (x,y) del plano en el punto (x+2 ,
y+1).
Traslación con vector de traslación (2,1)
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Ejercicio. Dado el polígono HIJG de la figura.
Determine la imagen del polígono aplicando la traslación cuyo vector de traslación es el
vector dado, en cada caso. Dibuje en cada caso, la imagen del polígono HIJG en plano
cartesiano.
1) Vector de traslación (2,5)
2) Vector de traslación (-3,4)
3) Vector de traslación (3,-4)
C) Rotación
1) Dibuje la imagen del polígono aplicando la rotación en torno del punto E en un
ángulo de 90º.
Denote por A, B, C, D los vértices del polígono dado y por A’, B’,C’ D’ los
vértices de la imagen por la rotación señalada. Determine:
A’( ;
), B’( ;
), C’( ;
), D’( ;
),
2) En un plano cartesiano dibuje el polígono ABCD cuyos vértices son:
A(2,1) ; B(8,2) ; C( 12,11) ; D( 5,5)
Se denotará por R( H, α ) la rotación del plano con centro de rotación el punto H
en un ángulo de rotación α . También se dice, giro con centro en H en un ángulo α .
Dibuje la imagen del poligono ABCD en cada caso (puede usar plantillas
diferentes).
•
Aplique R( O, 90°) al poligono ABCD. Es decir, rote el polígono ABCD,
aplicando la rotación con centro en el origen O en un ángulo de 90º. Dibuje el
poligono obtenido.
•
Aplique R( O, 180°) al poligono ABCD. Dibuje el poligono obtenido.
•
Aplique R( O, 270°) al poligono ABCD. Dibuje el poligono obtenido.
•
Aplique R( O, 360°) al poligono ABCD. Dibuje el poligono obtenido.
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c) Complete lo siguiente:
• Al girar el poligono ABCD con respecto al origen en un ángulo de 90º, se obtiene
la figura A’B’C’D’ cuyos vértices son:
A( 2,1), Imagen de A: A’ ( , )
B( 8,2), Imagen de B: B’ ( , )
C( 12,11), Imagen de C: C’ ( , )
D( 5,5), Imagen de D: D’ ( , )
•
Al rotar el poligono ABCD con respecto al origen en un ángulo de 180º , se obtiene
la figura A’’B’’C’’D’’ cuyos vértices son:
A( 2,1), Imagen de A: A’’ ( , )
B( 8,2), Imagen de B: B’’ ( , )
C( 12,11), Imagen de C: C’ ( , )
D( 5,5), Imagen de D: D’’ ( , )
Luego, completa el siguiente cuadro
Vértices
del poligono
R (0,90º)
R (0,180º)
R(0,270º)
R(0,360º)
A( 2,1)
B( 8,2)
C( 12,11)
D( 5,5)
d) Determinar las coordenadas de los vértices de la imagen del triángulo ABC siendo que
A(-7,3) ; B(-2,6) ; C( -10,8) al aplicar un giro en 90º con respecto al origen.
A( -7, 3), Imagen de A: A’ ( , )
B( -2, 6), Imagen de B: B’ ( , )
B( -10, 8), Imagen de C: C’ ( , )
Autoevaluación: Encierra en un circulo la alternativa correcta.
1. En el sistema de coordenadas se ha dibujado el triángulo de vértices A(5,2), B(2,-1)
y C(-1,3). ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una traslación T de vector de
traslación (2,-1)?
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2. Al aplicar la rotación con centro en el origen y ángulo de 180°, al triángulo de
vértices A(2,3), B(7,-2), C(5,8), resulta otro triángulo de vértices:
3. De acuerdo a la figura, es FALSO que: