1 El juego Craps Solución detallada. Queremos calcular P(G). S∞ Nótese que G = n=1 G(n) pues el juego eventualmente terminará. Claramente G(k) ∩ G(j) = ∅ tenemos que ! ∞ ∞ ∞ [ X X P(G) = P G(n) = P(G(n)) = P(G(1)) + P(G(n)) n=1 n=1 ∀k 6= j por lo que (1) n=2 Claramente P(G(1)) = P(D(1, 7) ∪ D(1, 11)) pues en el primer lanzamiento, el jugador ganará si sale 7 u 11. Para ganar en cualquier lanzamiento que no sea el primero, debemos obtener en el primer lanzamiento algún valor en R = {4, 5, 6, 8, 9, 10} y obtener de nuevo ese valor antes de obtener un 7 en los lanzamientos sucesivos. En consecuencia, si n > 1, ! P(G(n)) = P [ G(n, x) = x∈R Finalmente tenemos que " P(G(n, x)) = P D(1, x) ∩ X P(G(n, x)). (2) x∈R n−1 \ ! (D(i, x) ∪ D(i, 7)) # ∩ D(n, x) i=2 = P(D(1, x)) n−1 Y ! P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) P(D(n, x)) i=2 (por independencia de los lanzamientos) = P(D(1, x)) "n−1 Y # (1 − P(D(i, x)) − P(D(i, 7))) P(D i=2 Dado que P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) = 1 − P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) y D(i, x) ∩ D(i, 7) = ∅ ∀x 6= 7. Nótese que la probabilidad de obtener un valor particular en un lanzamiento no depende ni del número de lanzamientos efectuados ni de los resultados previos (los lanzamientos son idénticamente distribuidos e independientes), por lo que podemos decir que para n > 1 n−2 P(G(n, x)) = P(D(1, x))2 (1 − P(D(i, x)) − P(D(i, 7))) (3) Considerando Dz = D(1, z) ∀z ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} para simplificar la notación y sustituyendo (3) en (2) obtenemos, para n > 1 X n−2 P(G(n)) = P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 )) . (4) x∈R 2 Sustituyendo (4) en (1) nos queda P(G) = P (G(1)) + = P (G(1)) + ∞ X X n=2 x∈R ∞ XX n−2 P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 )) n−2 P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 )) x∈R n=2 (intercambiando las dos sumatorias) ∞ X X n−2 = P (G(1)) + P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 )) n=2 x∈R (P(Dx ) no depende de n) ∞ X X j 2 = P (G(1)) + P(Dx ) (1 − P(Dx ) − P(D7 )) j=0 x∈R (cambio de variable j = n − 2) X 1 = P (G(1)) + P(Dx )2 1 − (1 − P(Dx ) − P(D7 )) x∈R (suma de la serie geométrica con razón (1 − P(Dx ) − P(D7 )) < 1) X P(Dx )2 = P (G(1)) + P(Dx ) + P(D7 ) x∈R (simplificando) = P (D7 ) + P (D11 ) + X x∈R P(Dx )2 P(Dx ) + P(D7 ) (sustituyendo P(G(1))) Finalmente sabemos que z P(Dz ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Por lo que la probabilidad de que el jugador gane en Craps es P(G) = 244 495 = 0.49292929 . . . ≈ 0.493. Es interesante notar que ganar en Craps es apenas ligeramente mas difícil que acertar el resultado del lanzamiento de una moneda justa. P(Moneda justa sale sello) − P(G) = 7 990 Nótese que este análisis es respecto al punto de vista del jugador efectúa una de las apuestas mas sencillas (pass line wager). Si desea más información visite http://en.wikipedia.org/wiki/Craps (en inglés).