En general, si una recta se traslada continuamente en forma paralela a su posición inicial, a lo largo de una curva plana, se genera una superficie llamada superficie cilíndrica. En la figura (b) a la recta directriz. se le denomina generatriz y a la curva plana BDE se le llama Si la directriz es una circunferencia la superficie engendrada se llama superficie cilíndrica circular. Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos bolas de cañón de diferente masa desde lo alto de la Torre de Pisa para demostrar que la velocidad de descenso era independiente de la masa. La historia, aunque descrita por un estudiante del propio Galileo, se considera un mito. Pocos años después de finalizada la torre el daño en su estructura se hizo manifiesto y muchos de los elementos de piedra originales realizados en mármol de San Giuliano fueron sustituidos, cambiándose por mármol blanco de Carrara pero sin perder la forma de cilindro. 12.1.1. Superficie de Revolución 12.1.1A. Definición Se llama superficie de revolución a aquella superficie engendrada por la rotación de alguna línea. La línea que al girar engendra una superficie de revolución se llama generatriz de dicha superficie. La recta respecto de la cual se realiza el giro se llama eje de rotación o eje de giro. Cada punto de la generatriz describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje de rotación. Estas circunferencias se llaman paralelos de la superficie y pueden considerarse como secciones producidas en la superficie por planos perpendiculares al eje de giro. Los meridianos son todas las secciones producidas por planos que pasan por el eje. La superficie cilíndrica es, en rigor, ilimitada porque también lo es la recta generatriz que lo genera. Si queremos limitar con ella un cuerpo, es preciso trazar otras superficies. 12.1.2. Cilindro Circular Recto 12.1.2A. Cilindro El cilindro es el cuerpo geométrico que se determina al intersectar la superficie cilíndrica, con dos planos paralelos entre sí. Las secciones determinadas por los planos paralelos en la superficie cilíndrica se llaman bases del cilindro y los segmentos determinados, que son parte de las generatrices de la superficie cilíndrica, son las generatrices del cilindro. Un cilindro se llama cilindro recto si sus generatrices son perpendiculares a sus bases como se observa en la figura (a) y si las generatrices son oblicuas con relación a las bases, el cilindro se llama cilindro oblicuo, tal como la figura (b). 12.1.2B. Definición Se llama Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución al cuerpo geométrico limitado por una superficie de revolución circular y dos planos perpendiculares a su eje. En un cilindro circular recto las bases son círculos y las generatrices son perpendiculares a sus correspondientes bases. Fig. (a) En un cilindro circular recto la sección producida por un plano secante y no paralelo a sus bases se llama Elipse que en la figura está representado por S. Fig. (b) 12.1.1B. Superficie cilíndrica de revolución Se llama superficie cilíndrica de revolución, a la superficie engendrada por la rotación de una recta paralela al eje. Un plano P es tangente al cilindro si éste contiene a la generatriz . El eje del cilindro recto u oblicuo es el segmento OO' que une los centros de sus bases. 748 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos 749 La sección axial del cilindro recto es el rectángulo ABCD y si éste es un cuadrado entonces el cilindro se llama equilátero. 12.1.3. Área y Volumen de un Cilindro Circular Recto Conociendo la longitud «R» del radio básico y la longitud «g» de la generatriz, o altura del cilindro recto, se verifican las siguientes relaciones: 12.1.4. Desarrollo del Cilindro Recto El desarrollo del cilindro recto está compuesto de un rectángulo y dos círculos. La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro y su altura es igual a la generatriz o altura del cilindro. 12.1.5. Tronco de Cilindro Recto 12.1.3A. Área lateral del cilindro recto (SL ) Es igual al perímetro de la base (2R) multiplicado por su generatriz (g). Si conocemos el radio «R» de la base circular, la generatriz media o longitud del eje «g», la generatriz mayor g1 y la generatriz menor g2 , como se muestra en la figura, se cumplirá que: SL 2Rg g= 12.1.3B. Área total del cilindro recto (ST ) Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de las bases. g1 g2 2 A1. Área Lateral (AL ) AL 2Rg ST 2R(g R) A2. Volumen (V) 12.1.3C. Volumen del cilindro recto (V) Es igual al área de la base multiplicada por la longitud de la generatriz: V R2g 2 V R g Ejemplo.- El volumen de un cilindro circular recto es numéricamente igual al doble del área lateral. Si su altura mide 5, calculemos el área total y su volumen. Ejemplo.- En un tronco de cilindro circular recto se cumple que la generatriz mayor mide el triple de la generatriz menor y el radio de la base circular mide 4. Si el volumen mide 96, calculemos el área lateral. Elaboramos un esquema en el cual indicamos el dato: Sean «x» y «3x» las longitudes de la generatriz menor y la mayor respectivamente. De la condición planteamos que: V = 2SL ST 2 · 4(5 4) ST 72 2 V·4 ·5 750 Geometría V 80 2 4 x 3x 96 2 Luego el área total (ST ) estará dado por: Finalmente el volumen (V) será: V 96 De la condición tenemos que: · R2 · 5 = 2 · 2 · R · 5 R = 4 2x 6 x 3 Luego el área lateral (AL) se rá: AL 2 4 x 3x 2 Reemplazando: AL 8(6) Und. 12 – Cuerpos Redondos AL 48 751 12.1.6. Cilindro Oblicuo Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases son Elipses y sus generatrices no son perpendiculares a sus bases como el mostrado en la figura. En un cilindro oblicuo es fácil notar que la altura «h» es menor que la generatriz y que la sección axial es un paralelogramo tal como ABCD. En el cilindro oblicuo la sección producida por un plano perpendicular a sus generatrices es un círculo llamado Sección Recta. Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene dado por el ángulo que forman su generatriz CD con el plano de la base. Cumpliéndose que: 01.- Completar las siguientes proposiciones: c. Volumen del cilindro. ( ) 8 a. Un cilindro puede ser .................. u .................. d. Área total del cilindro. ( ) 4 b. Las bases de un cilindro circular recto son ...................................................................... 04.- El gráfico muestra un cilindro circular recto y el desarrollo de su superficie lateral. c. Las generatrices de un cono circular recto son ...................................................................... d. La sección producida en una esfera, por un plano secante es un .................................... 02.- Para un cilindro circular recto, complete el siguiente cuadro: h g sen Además en una elipse como se muestra en la figura adjunta se verifica que: a Longitud del semieje mayor b Longitud del semieje menor Área de la Región Elíptica ab De acuerdo a esto, complete el siguente cuadro: 12.1.7. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo Siendo «g» y «h» las longitudes de la generatriz y la altura del cilindro oblicuo mostrado a continuación y «S» el área de su base elíptica se verifican las siguientes relaciones. 12.1.7A. Área de la Superficie Lateral (SL ) Es igual al perímetro de la sección recta multiplicado por la longitud de la generatriz. SL 2Rg 03.- En el gráfico se muestra una esfera inscrita en un cilindro circular. 05.- Se sabe que dos cilindros de revolución son semejantes, cuando sus radios y alturas están en la misma proporción. En el gráfico se muestran dos cilindros semejantes: 12.1.7B. Área de la Superficie Total (ST ) Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de sus bases. ST 2Rg 2S 12.1.7C. Volumen (V) Es igual al área «S» de la base multiplicada por la longitud de su altura «h» o el área de la sección recta multiplicada por la longitud de la generatriz. 2 Según esto, correlacione las columnas coherentemente. a. Volumen de la esfera . b. Área de la superficie de la esfera. ( V S · h R g 752 Geometría ( Und. 12 – Cuerpos Redondos ) 2 ) 4 3 Completar la siguiente tabla: 753 a. Si el volumen del cilindro equivale a 24 veces el volumen del cono, ¿cuál es la relación H ? d ...................................................................... 06.- En el gráfico se muestra un cilindro de revolución, en el cual su base está contenido en el plano «P» y «C» pertenece al plano. b. Si: H = 3d y el volumen del cilindro es 72, ¿cuál es el volumen del cono? ...................................................................... c. Si: 2H = 3d y el volumen del cono es 4, ¿cuál es el volumen del cilindro? ...................................................................... «L» es una recta secante al cilindro en los puntos de «A» y «B». Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro recto si el radio de su base mide 4 y su generatriz mide 8. Graficando y considerando los datos del problema: Luego su volumen V = R2g será: V = · 22· 4 Se sabe que el área de la superficie lateral SL es: c. «A» pertenece a la superficie lateral del cilindro. ...................................................... ( ) Un cilindro de revolución está circunscrito a una esfera cuyo radio mide «R». Calcular el volumen del cilindro. SL = 2Rg donde: R = 4 y g = 8 d. AB está incluido en la superficie lateral del cilindro. ................................................ ( ) Luego: ...................................................................... ...................................................................... SL = 64 Prob. 02 Calcular el volumen de un cilindro equilátero cuyo radio básico es 2. c. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo? ...................................................................... Al circunscribir el cilindro reconocemos que este es equilátero. SL = 2(4)(8) a. ¿Cuánto mide «a» y «b»? b. ¿Qué sólido se obtiene en cada caso? 754 Geometría V = 16 Prob. 03 ) 07.- En el gráfico, se muestra un cilindro de revolución y un cono de revolución donde «d» es la distancia del vértice del cono a la base superior del cilindro. En el cilindro equilátero se cumple que: g = 2R = 2(2) g = 4 08.- El gráfico muestra un rectángulo de lados «a» y «b». Cuando gira en torno a L el volumen generado es 300 y cuando gira en torno a L 1 el volumen generado es 720. Escribe vedadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a. AB está incluido en el cilindro. .............. ( ) b. AB está incluido en el cilindro. ............. ( Prob. 01 Sea «V» el volumen del cilindro, luego: Esquematizando el problema construimos este gráfico: Und. 12 – Cuerpos Redondos 2 V = R g Como: g = 2R V = 2R3 755 Prob. 04 Luego: El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto es una región rectangular cuyas dimensiones son 4 y 8. Calcule el área de la superficie del cilindro. En el BE = CD = 6 y ED = 2R AED de 45º: 2R = 4 R = 2 Luego el volumen del tronco será: 2 VT R 10 6 2 Elaborando el gráfico correspondiente a las condiciones del problema, tenemos: En el triángulo rectángulo OCB de 15º y 75º la altura CH es la cuarta parte de OB es decir: CH OB 2 4 Además por relaciones métricas: gR = (8)(2) 2 VT = (2) · 8 Graficando y considerando datos: Se sabe que el área de la superficie lateral (SL) del cilindro es igual al área de la región rectangular (S) es decir: SL = S SL = 4· 8 VT = 32 ABC: 2R = 8 R 4 Prob. 06 Del Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro de revolución, si el área de la región rectangular que lo genera es 20. Luego el volumen del cilindro será: Graficando el cilindro y su rectángulo generador, tenemos: SL = 32 V 4 6 V = 96 Prob. 08 Nos piden: gR = 16 SL = 2Rg = 2(16) SL = 32 Prob. 09 El área total de un cilindro recto es 60 y la suma de las inversas del radio básico y de su generatriz es 1/4. Calcular el volumen del cilindro. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro, si «O» es centro y OB = 8. Graficando y considerando los datos del problema: Prob. 05 En un tronco de cilindro recto, sus generatrices miden 10 y 6. Calcular su volumen si sus bases forman un diedro de 45º. Elaboramos un gráfico adecuado en donde trazamos DE AB . Se sabe que: SL = 2Rg . . . (1) Por dato: gR = 20 . . . (2) Sustituyendo (2) en (1): SL = 2(20) En primer lugar, trazamos el radio OC (OC = R) SL = 40 ST = 60 = 2R(g + R) . . . (1) Por condición del problema: Prob. 07 111 R g 4 El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto, es una región rectangular cuya diagonal mide 10. Si la altura del cilindro es 6, calcular su volumen. 756 Geometría El área total (ST) está dado por: gR Und. 12 – Cuerpos Redondos Rg 4 . . . (2) 757 Prob. 11 Sustituyendo (2) en (1): Rg 60 2 R 4 2 R g = 120 2 Como el volumen: V = R g V = 120 Prob. 13 Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, se encuentra con cierta cantidad de agua. Se introduce, en dicho recipiente, un bloque de volumen «Vx» y el nivel de agua se incrementa en 2. Calcular «Vx». Esquematizando las condiciones del problema se tiene: a) Calcular la altura del cilindro en términos de «K» y «r». b) Calcular el volumen del cilindro en términos de «K» y «r». Prob. 10 Graficando y considerando datos: Calcular el volumen de un cilindro circular recto, cuyo desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado de lado «a». a) Como los cilindros son semejantes, entonces: h r . . . (1) H R Graficando y considerando que: g = a y 2R = a, se tiene: En un cilindro circular recto, se cumple que el área de la sección axial es «K» veces el área de la base. Si el radio de la base es «r». Del dato: 2r(h + r) = 18 . . . (2) También: 2R(H + R) = 50 . . . (3) Graficando y ubicando los datos correspondientes, tenemos: Dividimos (2) y (3): r( h r ) 9 R( H R ) 25 . . . (*) De (1) hacemos: h = rK H = RK a) La sección axial de un cilindro se determina al trazar un plano perpendicular a la base y que contenga a uno de sus diámetros: como ABCD. Luego reemplazamos en (*): 2 De la igualdad: 2R = a R a 2 Como el volumen «V» del cilindro es: Vx = (2)2· 2 2 V = R g Luego, reemplazando valores, tenemos: 2 a V a 2 Desarrollando: V a 2 4 2 3 758 Geometría V a a 4 Ya que el bloque de volumen «Vx» desplaza agua hacia la parte superior tomando ésta la forma de un cilindro de radio 2 y generatriz 2 se tiene: Vx = 8 Prob. 12 r (K 1) 9 25 2 R (K 1) r 3 R 5 De donde: . . . (4) b) Sean V1 y V2 los volúmenes de los cilindros, se tiene: 2 V1 r h V2 R H Dividimos: a) Calcular la razón en que se encuentran sus radios. Reemplazamos (1) y (4) en esta última expresión: V1 r V2 R 2 V1 3 V2 5 A(ABCD) = KA(Base) H· (2r) = K· r2 H Kr 2 2 Se tienen dos cilindros circulares rectos semejantes, los cuales tienen por áreas totales 18 y 50 respectivamente. b) Calcular la razón en que se encuentran sus volúmenes. Por dato: h H 3 . . . (1) b) El volumen del cilindro (V) está dado por: V = r2· g V = r2· H V1 27 = V2 125 Und. 12 – Cuerpos Redondos Reemplazando (1): 2 V r · K r 2 2 3 V r K 2 759 Prob. 14 El área total (ST) está dado por: En un cilindro de revolución, la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de la base. En una de las bases se traza la cuerda AB de 2 3 cm de longitud y dista del centro de dicha base 3 cm. a) Calcular el radio de la base del cilindro. ST = 2R(g + R) ST = 96 cm c) El volumen (V) está dado por: 2 Prob. 16 2 V = R · g V (2 3) · 6 3 V 72 3 cm Graficamos el tronco del cilindro e inscribimos en él la esfera: V = 360 2 3 Prob. 15 Construimos el gráfico y ubicamos los datos del problema: 2 2 V R g V (6) 10 ST 2(2 3)(8 3) b) Calcular el área de la superficie total del cilindro. c) Calcular el volumen del cilindro. b) Como sabemos que el volumen del cilindro (V) está dado por: Un cilindro recto se encuentra inscrito en un prisma recto de base cuadrada, cuyas bases están contenidas en las bases del prisma. Si la altura del prisma mide 10 y la diagonal de la base mide 12 2 . Un cilindro de 30 cm de radio y 50 cm de altura está completamente lleno de agua si dentro de él se introduce un trozo de madera labrado en forma de prisma de base cuadrada de 10 cm de lado y cuya altura es de 20 cm, el agua se derrama. Calcular la cantidad de agua que se queda en el recipiente. a) Sea «R» el radio de la base del tronco de cilindro. En el ABCD, por el teorema de Pitot: AB + CD = BC + AD a) Calcular el radio de la base del cilindro. 2 + 8 = BC + 2R BC = 10 – 2R b) Calcular el volumen del cilindro. Trazamos BE CD BE = 2R y CE = 6 En el Construimos el gráfico según condiciones del problema: Efectuando: Sea: VH a) En la base inferior trazamos la cuerda AB . 2O VH Por el dato: AB 2 3 También del dato: OM = 3 VH Como «M» es punto medio, entonces: 2 2 (AO) 3 3 AMO: R2 3 Es decir: b) Por otro lado por condición del problema, tenemos: AC = 3R AC 6 3 760 Geometría VCILINDRO VPRISMA VT R 2 (30) 50 10 20 139, 372 cm 2 3 a) Como la base del prisma recto es un cuadrado y su diagonal mide 12 2 , entonces deducimos que: L = 12. Sea «R» el radio de la base del cilindro, entonces: R L R 12 6 2 2 2O 139,372 L 2 T VT 64 5 1 Lt = 1000 cm VH R8 5 AB 2 CD V 85 · 2 2 8 3 2 AO 2 3 2O (10 – 2R)2 = (2R)2 + 62 b) El volumen del tronco (VT) está dado por: el volumen de agua, luego: 2 2O AM MB 3 En el BCE: Prob. 18 Se tiene un tronco de cilindro de revolución cuyas generatrices mínima y máxima miden 2 y 8, que está circunscrita a una esfera. En la figura mostrada se tiene un prisma recto ABC-A’B’C’ cuyas bases son triángulos rectángulos rectos en B y B’. El semicilindro está inscrito en el prisma, siendo O y O’ los centros de las bases. Si: AB = 3, BG = 4 y OO’= 7. a) Calcular el radio de la base del tronco. a) Calcular el radio de la base del semicilindro. b) Calcular el volumen del cilindro. b) Calcular el volumen del semicilindro. Prob. 17 Und. 12 – Cuerpos Redondos 761 Prob. 19 Si una persona consume 12 litros diarios, entonces 5000 personas consumirán: La curva de longitud mínima trazada entre «A» y «B» (sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa en torno a un cilindro recto de radio 1 y de altura 2, tiene por medida «L». Calcular su longitud. Consideremos que sea «O» el centro de la base semicircular: 5000· 12 = 60000 litros El 25% de 60000 es: 25 60000 15000 L 100 Graficamos el cilindro recto y su desarrollo lateral: a) La sección determina la cuerda AD en el círculo de la base y como es perpendicular a dicha base, entonces: CD AD Al desarrollar la superficie lateral del cilindro se obtiene el rectángulo ADBC, donde la diagonal AB = L, es la mínima longitud de la curva AB. a) En la base superior ABC trazamos: En el ACB: ON BC y OM AB Como: BC = 4 y AB = 3 Sea: ON = OM = R, entonces: AM = 3 – R AMO: R 4 R 12 3R 3 7 b) Sea «V» el volumen del semicilindro, entonces: 2 V 1 R (AA') 2 En el 2 L 2 1 2 Se tiene un cilindro de resolución cuyo radio de la base mide 40 cm y la altura es de 30 cm. Se traza un plano paralelo al eje y que pasa a 24 cm del eje. a) ¿Qué figura es la sección obtenida por dicho plano? b) Calcular el área de la sección obtenida. 762 Geometría Elaboremos el gráfico que represente las condiciones del problema: 2 AMO: (AM) + 24 = 40 Pero sabemos que: Luego el pozo deberá tener un volumen de: 2 V = 60000 + 15000 AM = 32 AM = MD Prob. 20 V 1 · 12 · 7 2 7 V 72 7 2 4 4 2 b) Por dato OM = 24 (Distancia del eje a la sección). (Dato) mCAB = 53º En el L= Análogamente AB AD , y como AB = CD, entonces la figura ABCD será un rectángulo. AD = 64 V = 75000 L Como: V = R2 . 8R = 8R3 Finalmente: A(ABCD) 64 30 A(ABCD) 1920 cm Donde: 2 8R3 = 75000 L = 75 m3 R 1 3 75 m 2 Nota.- 1000 L = 1 m3 Prob. 21 Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de H2O diariamente, determinar el radio de la base de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga además capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro. Und. 12 – Cuerpos Redondos Prob. 22 En un cilindro de revolución se encuentra inscrito un hexaedro regular, calcular el volumen del cilindro; si la distancia del punto medio de una de la generatrices que pertenece al hexaedro hacia la diagonal de dicho hexaedro que no se intersecta con dicha generatriz es 2. 763 Sean R y h; el radio de la base y la altura del cilindro, veamos en el gráfico: Entonces el volumen del cilindro: VC = R2h . . . (1) Sea «a» la arista del octaedro y «R» el radio de la base del cilindro. Prob. 24 Prob. 25 En un octaedro circular recto regular E-ABCD-F; se inscribe un cilindro circular recto de modo que sus bases estén contenidas en dos caras opuestas del octaedro. Si la arista del octaedro es «L», calcular el volumen del tronco de cilindro que determina el plano BED. En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de revolución, la altura es el doble del diámetro de la base; si el vaso contiene un líquido que ocupa las 3/4 partes de su capacidad. Determinar el ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido esté por derramarse. La arista del octaedro es «L», entonces por L 6 propiedad; OQ = , ya que «O» y «Q» 3 son centros de dos caras opuestas. Asumiendo que el diámetro es 2R, entonces la altura será: 4R. Y al ser inclinado el cilindro «» la parte no ocupada por H2O toma la forma de un tronco de cilindro recto. Sabemos que: OB = a 3 = PQ 6 AQ = a 3 3 También: Del gráfico se observa que: La parte no ocupada por H2O es: V/4 AP = AQ – PQ MN = AO = R Por dato: MN = 2 De donde: R= 2 En el En el cuadrado ABCD: Es decir: AD = 2 Además: h = AD = 2 Reemplazando en (1): AD = R 2 Luego por la simetría de la figura a partir del plano diagonal BEDF, deducimos que: APB: 2 2 h AB AP VC = ( 2 )2· 2 VC = 4 Un octaedro regular está inscrito en un cilindro de revolución; de tal manera que dos de sus caras opuestas están inscritas en las circunferencias que limitan las bases del cilindro, calcular la razón de volumen de ambos sólidos. a 3 2 2 a 3 6 2 OP = PQ = AF = 2R 3 Luego el volumen del octaedro es: Vo a 3 3 2 R= 3 V R 2 a 4 2 Pero: V =R2· 4R = 4R3 2 3 VTC = R2· OP 3 Reemplazando: 4R 3 R 2 a = 4 2 Luego: L Luego el volumen del tronco de cilindro: 2 Vc R H a 3 a 6 a 6 3 9 3 Vo = 3 Vc Luego: L = 2R 3 2 Y el volumen del cilindro es: L 6 6 Ahora en el ABF equilátero: h a 6 3 Prob. 23 764 Geometría AP = a 3 6 VTC L 12 6 Und. 12 – Cuerpos Redondos Simplificando: Finalmente en el a = 2R ABC, como: AB = BC = 45º 765 766 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos 767 01.- Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro recto cuyo radio básico mide 4 y su altura 6. A) 48 B) 84 C) 72 D) 81 E) 100 02.- Calcular el área total y volumen de un cilindro recto de 15 de radio y 45 de altura. A) 900; 10125 B) 1800; 9125 C) 1800; 10125 D) 900; 528 E) 1800; 8125 03.- De la figura: AB es diámetro de la base del cilindro de revolución que mide 10 y su generatriz mide 8. Calcular el área lateral del cilindro. A) 40 C) 2 D) 2/3 E) 3 07.- De la figura, calcular el volumen del cilindro de revolución, si: OO1 10 3 , AB es diámetro de la base. A) 150 B) 1000 3 C) 400 E) 200 3 C) 20 08.- Calcular el volumen de un cilindro equilátero de altura «a». D) 80 E) 100 04.- Calcular el volumen de un cilindro recto, si su generatriz es el doble del radio de la base siendo éste de longitud 3. B) 54 C) 60 D) 64 E) 72 A) a 2 3 A) 125 A) 12 C) 100 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36 Und. 12 – Cuerpos Redondos B) a 3 3 C) a 4 3 D) a 5 3 E) a 6 3 09.- De la figura, calcular el volumen del cilindro de revolución, si AB y CD son diámetros de las bases del cilindro, OC 5 2 . 05.- El radio de la base de un cilindro circular recto mide 2 y es la tercera parte de la medida de su altura. Calcular el volumen del cilindro. 06.- Calcular el volumen del cilindro mostrado, si: AB 2 2 . 768 Geometría B) 2/ D) 250 3 B) 160 A) 52 A) B) 250 D) 100 2 E) 50 2 769 10.- El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto es un rectángulo de dimensiones 4 y 6. Calcular el área lateral del cilindro. A) 8( 3 2) A) 12 D) 8(3 2 2) B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 11.- El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de diagonal 4 2. Calcular el área lateral del cilindro A) 8 B) 16 C) 32 D) 24 E) 64 12.- Calcular el área lateral de un cilindro recto, si el área de su rectángulo generador es «A». A) 2A B) A C) 1 A D) 3A E) 1 A 2 3 13.- Calcular el volumen de un cilindro circular recto; de altura «h» y la longitud de la circunferencia de la base «L». 2 2 2 2 2 A) L h B) L h C) L h D) L h E) L h 2 3 4 5 14.- Calcular el volumen de un cilindro recto en el cual la longitud de su circunferencia es «L» y el área del rectángulo generador es «S». A) S · L B) S L C) S L D) S L E) S L 3 2 4 5 15.- De la figura, evaluar el área de la superficie lateral del cilindro de revolución, si su generatriz mide 8 y AC = 3. ( AB es diámetro de su base). B) 8( 2 3) C) 8(2 3 3) E) 8( 5 1) 17.- ¿Qué volumen de tierra tendrá que extraerse para hacer un túnel de 100 m de largo, siendo su sección recta un semicírculo de diámetro 10 m? A) 1250m3 3 D) 5000m B) 250m3 18.- Calcular el volumen de un cilindro de revolución si su altura mide 20 y el desarrollo de la superficie lateral del cilindro tiene un área de 200. 19.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 y 24. La circunferencia inscrita es la base de un cilindro de altura igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo. Calcular el volumen del cilindro. A) 215 B) 225 C) 220 D) 230 E) 600 20.- Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20 y su altura 40, está lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso, cuyo diámetro mide 40, ¿a qué altura llegará el agua? A) 5 B) 8 C) 10 D) 20 E) 40 D) 32 3 22.- Se tiene un recipiente cilíndrico, cuya base tiene un radio igual a 4 u. El recipiente tiene una cierta cantidad de agua. Al introducir un bloque metálico se observa que el nivel del agua sube 2 u. Calcular el volumen del bloque. A) 24 B) 6 B) 26 C) h 4 D) h 12 E) h 16 3 B) 10cm 24.- Calcule el área de la superficie lateral del cilindro mostrado. C) 8 C) 28 D) 12 D) 30 E) 16 E) 32 C) 6cm3 D) 18cm3 3 E) 20cm 2 A) a A) 250 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600 A) 4 770 Geometría A) 4cm3 B) h 6 3 C) 24 3 16.- Calcular el área total del cilindro de revolución, si: AC = 4, OO1 = 6 («O» y «O1» son centros de su base). A) h 2 E) 500m B) 16 3 E) 12 3 28.- En el cilindro de revolución mostrado BO1 101 cm, O2 M 26 cm, PM = MQ. Calcular el volumen del cilindro. C) 2500m3 21.- En un recipiente cilíndrico se introduce un cuerpo y el nivel de agua que contiene se eleva en 4. Si el radio de la base del recipiente es 2, calcular el volumen del cuerpo. A) 8 3 23.- Un vaso cilíndrico de diámetro «d» y altura «h» está lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso de diámetro «2d», ¿hasta qué altura «H» subirá el agua? B) a 2 2 C) a 3 2 D) a 4 2 2 E) a 16 25.- Calcular (en u3) el volumen de un cilindro recto de revolución de 64 u2 de área total si: 1 1 1 , siendo r: radio de la base y h: altura r h 4 A) 100 B) 112 C) 128 D) 136 E) 140 26.- En la figura se muestra un cilindro donde AB es su generatriz. «O» es el centro de la base. AC = 17 y AO 241 . Calcular el área total del cilindro. 29.- En un cilindro de revolución las generatrices AB y CD son diametralmente opuestas (B y C en una misma base), en el arco BC se ubica el punto «P». Si: 2(AB)2 + (BC)2 = 20, 2 2 calcule: (AP) + (PD) A) 5 B) 10 A) 81 3 u E) 25 3 B) 60 3 u 3 C) 50 3 u 3 E) 20 3 u B) 144 D) 20 30.- En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si se cumple: AH = 2(HB) = 6u, además. EB = BC, calcular el volumen del cilindro. D) 30 3 u A) 148 C) 15 3 3 D) 150 31.- En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular. Calcular la razón de volúmenes de dichos sólidos. E) 152 A) 2 27.- Se tienen dos cilindros circulares rectos semejantes, los cuales tienen por volúmenes: 54 y 128. Calcular la relación en que se encuentran sus áreas laterales. 32.- Un cilindro circular recto está inscrito en un prisma triangular regular. ¿Qué relación existe entre las áreas de las superficies laterales de dichos sólidos? A) 9 4 A) C) 146 B) 3 4 C) 9 16 D) 9 7 Und. 12 – Cuerpos Redondos E) 3 16 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 9 3 3 3 6 3 3 3 B) 2 2 C) D) E) 2 771 33.- Calcular la relación entre los volúmenes de un cilindro de revolución y un prisma triangular regular, si los desarrollos de sus superficies laterales son congruentes. 3 3 A) 3 2 B) D) 3 E) 2 3 C) 3 3 A) 3 B) 5 3 75 D) 1 3 75 2 C) 3 75 E) 1 3 25 2 35.- Un tanque cilíndrico cuyo diámetro mide 4 3 y su altura 12, tiene sus cinco sextas partes con vino. Desde su posición inicial se inclina el tanque hasta que el vino esté a punto de caer por el borde. Calcular la medida del ángulo de inclinación. A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º B) 2 C) 3 D) 2 E) 2 37.- Un cilindro recto de radio «R» y altura «H» que contiene un líquido, se pone en posición horizontal sobre el suelo. Si el líquido alcanza una altura «h» (desde el suelo), determinar el área de la capa superior del líquido. 772 Geometría C) 2h 2 RH H 2 E) 2 R 2hH H 2 A) 100 B) 50 D) 50 2 E) 60 B) 2h 2 RH h 2 D) 2R 2 Hh h 2 C) 50 3 39.- Un tronco de cilindro circular recto está circunscrito a una esfera; si las generatrices máxima y mínima miden 6 y 3 respectivamente, calcular el área de la superficie lateral del tronco. A) 24 B) 26 D) 18 E) 36 C) 27 40.- Calcular el volumen de un cilindro oblicuo cuya generatriz forma un ángulo que mide 60º con la base y la altura mide el doble de lo que mide el radio de la sección recta, siendo este igual a 4 3 . A) 383 B) 400 D) 540 E) 349 E) 60º 36.- Calcular el volumen de un cilindro circular recto circunscrito a un octoedro regular cuya arista mide 2 . Además dos vértices opuestos de dicho octoedro están ubicados en los centros de las bases del cilindro. A) 2 38.- Calcular el área de la sección recta de un cilindro oblicuo, si el área de la base es 100 y la generatriz forma con la base un ángulo de 60º. 34.- Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de agua diariamente. Determinar el radio de la base de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura del pozo sea cuatro veces el diámetro de la base. 25 A) 2H 2Rh h C) 768 CLAVES 01 A 02 C 03 D 04 B 05 C 06 C 07 B 08 C 09 A 10 E 11 B 12 A 13 D 14 C 15 B 16 D 17 A 18 C 19 B 20 C 21 E 22 E 23 C 24 B 25 C 26 E 27 C 28 B 29 D 30 A 31 A 32 E 33 B 34 D 35 E 36 D 37 A 38 C 39 D 40 C