[ l-I] d - Revista de Matemáticas

REVISTA
DE
MATEMATICA:
ftSICAS
Y
SEMIJUBIO DE MATEMATICAS.-ESCUELA DE lNGENIEBIA
DE
FACULTAD
DE
CIENCIAS
MATEMATJCA
LA UNIVUSIDAD
liE COJ!
Metodo del factor integrante aplicado
las ecuaciones diferenciales ordinarias
a
Tomado de la elase del profesor Dgo. Almendras
El metodo que a eontinuaei6n
la determinaei6n de la so1uci6n
en
coeficientes
eon stantes
factor X
un
(x)
que al
reduzca al
primero
peeto
(x);
a
y
en
expone, eneuentra
se
general
su
campo de
de la ecuaci6n diferencial
aplicaci6n
lineal, con
segundo miembro. El consi te en la determinacion de
multiplicar los dos miembros de la ecuaci6n diferencial
una derivada de una expresi6n de menor orden con res­
y
la eeuaci6n siendo de la forma:
"-1
mer
(1)
An D"y + An_I Dy
Multiplicando
por X
miembro
en una
lOB eoefieientes An
+
son
D
d
d"-I
[XDy-I_DX Dy-2] +D2>.Dy-2,
.
eesivas transformaeiones y
mula
y
general:
analogamente,
se
=
f(x)
constantes:
[ l-I]
=
+ Ao y
(x) la eeuaei6n anterior procuraremoa reducir al pri­
derivada, para 10 cual se puede escribir, considerando que
X-y--�·-yXDny=�
dxn-I
dx
dx dx?""
XDy
....
tiene:
I-Rev de Matem6I1cas-N.· 1
ax
dy-I
.yeomo---=
dx
dxO-'
expresi6n, que sometiendola a su­
reemplazos, analogoe al anterior, conducira a la f6r­
UVI8'1'A DB MA'1'BMA'1'ICAS
,
ADy
AY
=
D
[AY]
yDA
-
AY
-=
Multiplicando estas relaciones por los respectivos coeficientes de
(1) y sumando obtenemos esta ecuaci6n multiplicada por el factor
forms. siguien te:
oi6n
Is.
donde
relaci6n
I{I es una
Y '()"
x, Y ,
y
....
(n-I)
conocida,
que
depende
de los coeficientes
la
X
Aj, de
ecua­
(x)
y
en
(x)
'\
1\.
y de
El primer miembro de
(e)
se
reduce
a una
derivada
perfecta si,
(3)
Esta ecuaci6n
permitira encontrar n factores integrantes, que son las so­
particulares linealmente independientes. Estos factores integrantes re­
emplazados en (2) y luego integrando condueira a n ecuaciones de Is. forma:
nOB
luciones
+ [AIXj-AzD).j±'
+
AnAjDn-ly+[An_I-AnD).;] nn-ly+
(-I)nAnDn-IA,] y jAjf(x)dx+Cj
(4)
....
...
=
i
Para:
Este sistema
=
Be
1, 2,
n
resolver'
can
respecto y(x). Para ella
determinante de los coeficientes del sistema que
AnAl
AnAl
es
previa el calculo del
es:
[AIAI-AzDAI ±
[A1Xl-AlDXl±
[An_I Aj-AnDAt]
[An_I Az-AnDAZ]
(-I)�-1 AnDn-IXtl
(_I)n-1 AnDn-IXz]
.6=
uno
por
Este determinante
Be
solo
cera
es
distinto de
consiguiente,
n
se
puede descomponer
anulan.
(n-I)
Al
Xz
r»,
DXz
--l.6=
(-1)
en
una suma
y los demfls tienen dos
Finalmente Be tiene:
DZ).I'
D2).l'
...
...
Dn-I).1
Dn-I),l
......................
Ann
......................
x,
r»,
Dl�
....
Dn-l�
a
de otros y
en
que
mas columnae iguales y,
MBTODO DBL FACTOR INTEGRANTB
En forma
lor de
analoga
se
y( x), llegan dose
al
determina el numerador de
siguien te resultado :
DX1
D>-z
XI
X2
.•••.•
la
expresi6n
que da el
va­
Dn-2X, II + C,
Dn-2X2 12 + C2
Donde:
(5)
Y=
(_l)n-1
Esta f6rmula
'XI
DXI
X2
D X2
permite
.••.•.
He gar
Dn-2X, Dn-IXI
Dn-2X2 Dn-I X2
la soluci6n
a
general
mas facilmente que por el
metcdo de variacion de las constantes.
Ejemplo.-Sea integrar
La ecuacion que
proporciona
y
Reemplazadas
y=
Ejercicios:
la ecuacion
:
D}+
m
Dy
los facto res in tegran tes,
Luego:
estas funciones
XI
X2
en
C1eZmx + Cze-Jmx
(5)
se
=
=
DZy
D2y
Dly
tiene
y
=
es:
:
(3m + logn) (2m -logn)
4Dy + 3y= eJx
=ex cos
+ 4y
-
+ y
m2
eJxm
e-2mx
In tegrar
1)
2)
3)
-6
=sec x.
2x
n",