Control Automático Compensadores de adelanto en el dominio de la frecuencia Contenido Introducción Estrategia g Ecuaciones del compensador de adelanto Cálculo de un compensador de adelanto para corrección simultánea del margen de fase y del ancho de banda Ejemplos y ejercicios Introducción Los métodos corrientes de diseño implican realizar iteraciones o probar varios compensadores, evaluar sus resultados y seleccionar el más adecuado adecuado. Se pueden establecer ecuaciones para la ganancia y fase que deben ser aportadas por los compensadores co pe sado es a u una a frecuencia ecue c a pa particular t cu a y luego uego resolver los sistemas de ecuaciones para obtener de un solo paso el compensador de adelanto requerido. Estrategia Según la estrategia de cálculo, el compensador de adelanto es el último en ser calculado después de haber corregido el error de estado estacionario estacionario. Para corregir el ancho de banda y el margen de fase en un solo paso paso, se tienen que satisfacer dos condiciones: un adelanto de fase y una ganancia a una frecuencia específica Ya que existe interacción entre los diferentes parámetros: polo, cero y atenuación o ganancia, existirá solamente un compensador de adelanto que pueda satisfacer simultáneamente tales condiciones Corrección del ancho de banda El ancho h de d b banda d se pude d corregir i utilizando: tili d Una ganancia estática Un compensador de adelanto Aumenta o disminuye el ancho de banda; aunque afecta el margen de ganancia. Puede aumentar el ancho de banda; además g de g ganancia aumenta en margen Una combinación de ganancia estática + compensador de adelanto Utilizada si el compensador de adelanto escogido no es capaz de llevar el ancho de banda al valor deseado Corrección del margen de fase El margen de fase se corrige con un compensador de adelanto El compensador de adelanto utilizado tili ado tiene ganancia mitad (20*log10 b/a [dB]) a la frecuencia media. Efectos: La frecuencia de cruce de ganancia se desplaza hacia valores mayores (derecha) El ancho de banda aumenta En margen de fase cambia, usualmente empeora Se debe de utilizar un compensador cuyo aumento de fase a la frecuencia media sea: máx. > Aumento de fase deseado + pérdida de fase debida al compensador p + margen g de seguridad g Resumen de fórmulas del compensador de adelanto (1 b ( s a ) b a lim K LEAD ( s ) lim K LEAD ( j ) s j s j a ( s b ) a b (1 ; max 0 a 1 90 2 * tan b a m b a b b b m a b j j a b ) ) Gráficas de Bode del compensador de adelanto Diagram a de Bode 20 a/b=0.1 Magnitud (dB) 15 a/b=0.2 10 a/b=0.3 5 a/b=0.5 0 60 Fase (d deg) a/b=0.2 a/b=0.1 30 a/b=0.3 a/b=0.5 0 10 -1 10 0 10 1 Fre cue ncia norm alizada = w /a (rad/s e c) 10 2 Gráfica de máx Á Ángulo agregado por un compensador de adelanto 90 80 Se puede agregar fácilmente unos 70° 70 60 máx [°] 50 40 30 20 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 relación a/b 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Ecuaciones Partimos del compensador de adelanto de primer orden con ganancia unitaria a = 0 1 ( j z ) z ( ) K LEAD ( j ) ( j p ) p 1 j z (1 j ) ; 1 (1 j ) j p Con = 1/p, = p/z El ángulo de fase del compensador ( ) tan 1 ( ) tan 1 ( ) Ecuaciones (2) La ecuación del ángulo puede reescribirse, utilizando identidades trigonométricas generales, como: ( ) tan 1 ( ) 2 1 Evaluando a la frecuencia de cruce de ganancia c la tangente p es: c c p tan(( (c )) 1 (c ) 2 Y la magnitud g M ((en dB)) del compensador p expresada p como número real c es: c 10 M 10 1 (c ) 2 1 (c ) 2 Ecuaciones (3) Despejando c de ambas ecuaciones anteriores y resolviendo las ecuaciones simultáneas ( p 2 c 1)α 2 (2*p 2*c) ( p 2*c 2 c 2 c) 0 Luego L resolviendo l i d para con la l condición di ió c p 1 2 sustituyendo el valor de obtenemos 1 c c c 2 1 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad a) Defina la frecuencia de cruce de ganancia c requerida, que garantice que se cumple la especificación de ancho de banda BW. (BW se lee entre -6dB y -7.5dB). b) Defina en margen de fase MF deseado a la frecuencia de cruce de ganancia requerida, según la especificación de sobreimpulso. MF 100 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad (2) c) Determine la fase m, (m > 0), que desea aumentar y tomando en cuenta que existe incertidumbre en la lectura del gráfico, sobrecompense con un pequeño margen de seguridad (3° ó 4°). Si el ángulo requerido es > 70°, puede ser necesario usar hasta un compensador doble. m MFdeseado MF MSeg C d) Luego haga p tan( m ) Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad (3) e)) Encuentre E t ell margen de d ganancia i MG en dB (MG > 0) a la frecuencia c para que la curva de magnitud cruce p por cero a esta frecuencia f) Luego encuentre la ganancia c, en números reales, que debe ser aportada por el compensador de adelanto a la frecuencia de cruce de ganancia definida c. MGc c 10 g) 10 Garantice, para un compensador de orden 1, que las raíces sean finitas verificando que: c p2 1 Cálculo del compensador de adelanto con ganancia unidad (4) h) Resuelva para y tome el valor positivo, (ya i) que es una ganancia), como solución de ( p 2 c 1)α 2 (2*p 2*c) ( p 2*c 2 c 2 c) 0 Encuentre la constante de tiempo 1 c c c 2 1 j) Escriba el compensador p de adelanto como (s 1 ) ; 1 K LEAD ( s) 1 (s ) Ejemplo 1: Descripción Dado el sistema cuya gráfica de Bode se muestra G(s) H (s) 5 s ( s 1)( s 3) H ((ss ) 1 Haga que el margen de fase sea al menos de 45° a la frecuencia de 2 rad/s Ejemplo 1: Diagrama de Bode Diagram a de Bode 60 40 Magnitud (dB) 20 0 MG = 10.2dB -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 90 Fase (deg) -135 MF = 23.4° 23 4° -180 MF = -7° 7° -225 -270 -2 10 -1 10 0 10 2 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 1 10 2 10 Ejemplo 1: Cálculos La ganancia requerida a c = 2 rad/s es MG = 10.2dB y el margen de fase a 2 rad/s será = -7°. U Usando d 3 3.125° 125° como margen de d seguridad id d tenemos m 45 (7) 3.125 55.125 Con p = tan (m) = 1.4348 y c = 10(MG/10)= 10.4, se verifica que (c > p2 + 1), 1) queda entonces: (7.3413)α 2 (42.82) (320.424) 0 Resolviendo para y tomando la raíz positiva 10.138 α 4.3053 Ejemplo 1: Cálculos Calculamos la constante de tiempo del polo 1 c 1 1 10.4 0.1595 2 2 c c 2 10.4 10.138 1 Y finalmente el compensador de adelanto s 1 (10.138 * 0.1595) K LEAD ( s ) 10.138 s 1 0.1595 ( s 0.6184) K LEAD ( s ) 10.138 ( s 6.27) Ejemplo 1: Resultados Diagram a de Bode 40 20 Magnitud (dB) 0 -20 -40 -60 Original -80 Com pensado -100 Com pensador Frecuencia;Fa ase (deg) 90 0 -90 45° 23° -180 MF -270 -2 10 -1 10 0 10 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 1 10 2 10 Ejemplo 1: Análisis La frecuencia de cruce de ganancia c es de 2 rad/s como se pidió; la ganancia requerida de 10.2 dB, fue proporcionada por el compensador de adelanto Se cumple el margen de fase pedido más el margen de seguridad; y todo ese adelanto de fase fue proporcionado por el compensador de adelanto a la frecuencia c = 2 rad/s En este caso, de casualidad, la combinación de ambas, la ganancia y el adelanto de fase a la frecuencia c, se cumplen a aproximadamente la frecuencia media del compensador. Ejemplo 2: Descripción Dado el sistema 24 G ( s) H ( s) s( s 2)( s 6) H ( s) 1 cuya gráfica de bode se muestra en la siguiente figura Haga que el margen de fase sea al menos de 60° a 3 rad/s Ejemplo 2: Compensador de 38° adelanto Mag gnitud (dB) MG = 9 9.6 6 dB @ 3 rad/s d/ MF’=7° @ 3 rad/s m=60 =60°-7°+2°= 7 +2 = 55 55° p = 1.428 c = 9.12 Cumple: c > p2 + 1 Diagram a de Bode Gm = 12 dB (at 3.46 rad/s e c) , Pm = 38.1 de g (at 1.54 rad/s e c) 30 20 10 MG’=9.6dB 0 MG -10 -20 -30 10.0904 3.972 -40 -90 0.0987 Fase (deg) -135 ( s 1.005) K lead ( s ) 10 . 09 l d ( s 10.14) MF -180 MF’=7° -225 10 -1 10 0 Fre cue ncia [rad/s ] (rad/s e c) 10 1 Ejemplo 2: Resultados Diagrama de Bode 100 Original Compensador Magnitud (dB B) 50 Compensado 0 -50 -100 -150 90 Fase (d deg) 0 -90 -180 MF=60° MF 60 -270 -2 10 -1 10 0 10 3 Frecuencia (rad/s) 1 10 2 10 3 10 Ejemplo 2: Análisis Se logró dimensionar el compensador que produce simultáneamente un margen de fase de +60° a la frecuencia escogida de 3 rad/s (relacionada con el ancho de banda). El margen de fase original de 7° 7 fue llevado a +60° +60 por el compensador de adelanto calculado El margen de seguridad utilizado de 2° fue suficiente para que el resultado fuese satisfactorio. Si se obtienen sin demasiados errores los datos de MF y MG a la frecuencia escogida, el cálculo produce directamente un compensador p p adecuado. Ejercicio Sintetice un compensador de adelanto- atraso para el ejemplo 2 que haga que el sistema tenga una respuesta con: Sobreimpulso 21% +/- 5% Error de estado estacionario menor al 5% Tiempo de subida menor a 0.15s Ejercicios Encuentre la forma de calcular un compensador doble cuando el ángulo a aumentar sobrepasa unos 70° o cuando no se satisface que c p 2 1 2. Calcule un compensador de adelanto para la planta dada en el ejemplo 1 que satisfaga: Margen de fase 60° 60 a c = 3 rad/s 3. Haga que el sistema cuya gráfica de Bode se muestra en la página siguiente tenga: 1 1. 4. ess < 2% y MF 60° a una frecuencia f i d de cruce d de ganancia tal que tenga unos 30 rad/s de BW Restricción: la ganancia estática solamente puede ser aumentada t d en incrementos i t de d +5dB 5dB Encuentre como calcular un compensador de p atraso usando un método similar al presentado. Diagrama de Bode para el ejercicio 2 Diagram a de Bode 0 Magnitud (dB B) -20 -40 -60 -80 -100 -120 0 Fase ((deg) -45 -90 -135 -180 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 1 10 2 10 3 10 Referencias [1] Dorf, Richard; Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, España, 2005