SERIE DE FOURIER. 1. Señales periódicas. • • • • Excitaciones periódicas Formas complejas Representación por serie de Fourier Facilidad en el análisis de Sistemas Lineales 2. Respuesta a entrada sinusoidal. • Sistema lineal y “estable” con EDS d n y(t) d n-1y(t) + + ..... + a y(t) a 0 n-1 dt n-1 dt n d n-1u(t) d n-2 u(t) =b +b + .... + b u(t) n-1 dt n-1 n-2 dt n-2 0 donde u(t) = Acos(wt + φ ) A = Amplitud φ = Angulo de desfase [rad] w = Frecuencia angular [rad/seg] y(t) = y (t) + y p (t) h donde y (t) = T x ,0 o h Sistema estable ⇒ y (t) → 0 cuando t → 0 h y p (t) = A s (w)cos(wt + φs (w)) 3. Serie de Fourier trigonométrica • Base ortogonal de funciones • Intervalo [-T/2 , T/2] • Conjunto de vectores (funciones linealmente independientes) β = {1, cos(nw o t), sen(nw o t)} 2π wo = T n = 1,2,3,........ • Producto interno definido como: f(t), g(t) = T/2 ∫ f(t) • g(t)dt - T/2 con f(t), g(t) ∈ β • Resulta un conjunto de vectores ortogonales y n (t), y m (t) = T/2 ; n ≠ m 0 ∫ y n (t) • y m (t)dt = k > 0 ; n = m - T/2 con y n (t), y m (t) ∈ β • Luego y(t) seccionalmente continua y definida en el intervalo [-T/2 , T/2] se puede representar como: ∞ y(t) = A o + ∑ [A cos(nw t) + B sen(nw t)] n o n o n =1 wo = 2π T Ao = 1 T/2 ∫ y(t)dt T - T/2 An = 2 T/2 ∫ y(t)cos(nw o t)dt T − T/2 2 T/2 Bn = ∫ y(t)sen(nw o t)dt T − T/2 • Otra forma de representarla ∞ y(t) = A o + ∑ C n cos(nw o t − φ n ) n =1 en que : C n = A 2n + B 2n B φ n = arctg( n ) An 4. Serie de Fourier exponencial • Representación: y(t) = ∞ jnw ot ∑ Cn e n =−∞ con Cn = A n − jB n 2 C −n = wo = A n + jB n 2 2π T ∀n > 0 ∀n ≤ 0