TEMA 52 - Mural UV

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 52
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL Y
PRODUCTO MIXTO. APLICACIONES A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
FISICOS Y GEOMETRICOS.
1. Producto escalar. Propiedades.
1.1.Norma de un vector. Espacio normado.
1.2.Ortogonalidad. Ángulos.
1.3.Producto escalar en V2 .
1.4.Producto escalar en V3 .
2. Producto vectorial de dos vectores de V3 .
2.1.Expresión analítica en una base ortonormal.
3. Producto mixto de tres vectores de V3 .
3.1.Expresión Analítica en una Base Ortonormal.
3.2.Interpretación Geométrica.
4. Aplicaciones.
4.1.Ecuación normal de una recta del plano
4.2.Ecuación normal del plano
4.3.Teorema del coseno y de Pitágoras.
4.4.Las tres alturas de un triángulo son concurrentes en un punto.
4.5.Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
4.6.Obtención de Fórmulas Trigonométricas.
4.7.Trabajo de una fuerza.
4.8.Fórmula de Herón
Bibliografía Recomendada.
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TEMA 52
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL Y
PRODUCTO MIXTO. APLICACIONES A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
FISICOS Y GEOMETRICOS.
1. PRODUCTO ESCALAR.
DEF Sea V un espacio vectorial real. Se llama producto escalar en V a toda aplicación
f : V × V → R que verifique los siguientes axiomas:
Ax1
r r
r r
f( u , u ) > 0 si u ≠ 0
Ax2
f( u , v ) = f( v , u )
Ax3
r v r
r v
r r
f( u , v + w ) = f( u , v ) + f( u , w )
r v r
∀ u ,v , w ∈ V
Ax4
r v
r v
f( α u , v ) = α f( u , v )
∀α ∈R
r v
v r
r v
r v
El número real f( u , v ) se escribe simplemente u · v , y por abuso del lenguaje,
r v
se dice que es el producto escalar de u y v . En lo que sigue adoptaremos esta
notación.
r v r
r r
v r
PROP ( u + v ) w = u w + v w
Dem.
r v r
r r v
r r
r v
r r
r v r
v r
(u +v ) w = w ( u + v ) = w u + w v = u w + v w = (u +v ) w
r
r v
v
PROP u (α v ) = α ( u v )
Dem.
r
r v
v
v r
v r
u (α v ) = ( α v ) u = α ( v u ) = α ( u v )
r r
PROP u 0 = 0
r
∀ u ∈V
Dem.
r r
r r r
r r
r r
u 0 = u (0 +0 ) = u 0 + u 0 ⇒
r r
PROP u u = 0
⇔
r r
u 0 =0
r
r
u =0
Dem.
r
r
Si u = 0 se reduce al caso anterior
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r r
r r
Si u ≠ 0 ,entonces u u > 0, contradicción
1.1. Norma De Un Vector. Espacio Normado.
Supongamos definido un producto escalar en V.
r
r
r
DEF Dado u ∈V, llamamos norma de u (o módulo) y se designa por || u || , al nº real
rr
r
r r
r
|| u || = u·u (La definición tiene sentido pues u u ≥ 0 ∀ u ∈V )
TEOREMA
r v
r v
r
∀ u , v ∈V se verifica | u v | ≤ u
r
v
(Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Dem.
r r v r
r v
Si u = 0 o v = 0 , el teorema es evidente. Supongamos ahora u , v no nulos y sea
r
v
u +α v , α ∈3 un cierto vector.
r
r r
r v
r
r
r2
v r
v
v v
Se verifica u + αv = ( u +α v )( u +α v ) = u u + 2α u v + α 2 v v = u
r
r v
2α ( u v ) + α 2 v 2 ≥ 0
∀ α ∈R
2
+
Entonces el discriminante de la ecuación de segundo grado en α debe ser ≤ 0
r
r v
⇒ (u v ) - u
2
r
v
2
≤0
r r
r v
|u v |≤ u v
⇒
r v
(La ecuación anterior ocurrirá cuando u y v sean L.D)
PROP Se verifican las siguientes expresiones:
r
a) u ≥ 0
r
b) u = 0 ⇔
r r
r
c) u + v ≤ u
r
d) αu = | α |
r
u=0
r
+v
r
u
Dem.
1, 2 y 4 son evidentes.
r r
3) u + v
2
r
= u
2
r
r v
+ 2(u v ) + v
2
r
≤ u
2
r r
r r
r
r
+ 2 u v ⇒ u + v 2 ≤ ( u + v )2
DEF Un espacio vectorial real V sobre el que se define una aplicación
que verifique las 4 propiedades anteriores es un espacio normado.
DEF Los vectores de norma 1 se llaman unitarios.
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c.q.d.
:V → R
DEF Se dice que una base de V es normada si todos los vectores que la componen son
unitarios.
1.2. Ortogonalidad. Ángulos.
r v
r v
DEF Dos vectores u , v ∈V se dice que son ortogonales si y solo si u v = 0.
PROP Se verifica:
r
r
1) El vector 0 es ortogonal a todo vector u ∈V
r
2) El único vector ortogonal a si mismo es el vector 0
r v
3) Si u y v son ortogonales y no nulos, son linealmente independientes.
r v
r r
r
r
4) Si u y v son ortogonales entonces u + v 2 = u 2 + v 2
DEF Se dice que una base de V es ortogonal si los vectores que la componen son
ortogonales dos a dos.
DEF Una base ortogonal y normada de V es una base ortonormada.
r
r v
r v
Sabemos que si u , v son no nulos se tiene ( u v )2 ≤ u
rr
u ·v
−
1
≤
Cauchy-Schwartz) de donde
r r ≤ 1 podemos entonces
u·v
2
r
v
2
(desigualdad de
r v
DEF Definimos el coseno del ángulo que forman dos vectores u , v mediante la
expresión
rr
u·v
r v
cos( u , v ) = r r
u·v
que puede escribirse también de esta otra forma :
r v
r r
r v
u · v = u · v cos( u , v )
Hasta ahora los conceptos de norma e incluso de ángulo están desprovistos de
sentido geométrico, al tratarse de elementos definidos en un espacio vectorial real de V.
Vamos a particularizar a los espacios vectoriales V2 y V3
DEF Al par formado por el plano afín E2 y un producto escalar definido en V2 lo
llamaremos plano afín euclídeo.
DEF Al par formado por el espacio afín E3 y un producto escalar definido en V3 lo
llamaremos espacio afín euclídeo.
1.3. Producto Escalar en V2 .
r r
r v
Sea B = { u1 , u 2 } una base de V2 y u , v vectores de V2 se tendrá
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r
r
u = x1 u1 + y1 u2
r
r
v
v = x 2 u1 + y 2 u 2
entonces
r v
r
r
r
r
r r
r r
u · v = ( x1 u1 + y1 u 2 )( x 2 u1 + y 2 u 2 ) = ( x1 x 2 )( u1 u 2 ) + ( x1 y 2 )( u1 u 2 ) +
r r
r r
+ ( y1 x 2 )( u 2 u1 )+ ( y1 y 2 )( u 2 u 2 )
(por los axiomas del producto escalar)
En forma matricial puede escribirse así:
r r
r v
 u1 u 2
u · v = ( x1 y1 )  r r
 u 2 u1
OBS Por tanto,
r r
 u1 u 2
(simétrica)  r r
 u 2 u1
r r
u1 u 2 
r r 
u 2 u 2 
 x2 
 
 y2 
el producto escalar queda determinado cuando se conoce la matriz
r r
u1 u 2 
r r  que se llama matriz del producto escalar.
u 2 u 2 
r r r r
r r r r
OBS Cuando la base B es ortonormal se tiene u1 u1 = u 2 u 2 = 1 u1 u 2 = u 2 u1 = 0, y
entonces la matriz del producto escalar es la matriz identidad.
En una base ortonormal tenemos que:
El producto escalar es
r v
u v = x1 x 2 + y1 y 2
r
El módulo de u = ( x1 , x 2 ) es
r
u =
r v
El coseno del ángulo que forman u , v es
x12 + y12
r v
cos( u , v ) =
x1 x 2 + y1 y 2
x12 + y12 x 22 + y 22
r v
r r
r v
OBS La relación u v = u v cos( u , v ) obtenida de la simple definición de producto
escalar, es la expresión clásica del producto escalar ordinario. En ocasiones suele
introducirse el producto escalar directamente, suponiendo conocidos los conceptos de
módulo, norma o longitud de un vector, y el concepto de ángulo. En ese caso, las
propiedades que definen el producto escalar deben demostrarse.
r
NOTA: El módulo o longitud de un vector u de V2 es la longitud del segmento de un
r
r
representante de u . Se denota por u .
r v
r r
r v
r r
r r
Si se define u v = u v cos( u , v ), entonces u u = u u pero también es
r
r
r r r r
u u = u u , luego u = u
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1.4. Producto Escalar En V3 .
r
r
Sea B = { u1 , u2 , u3 } una base de V3 ,
expresamos ambos vectores en la base B
r v
u , v ∈V3 dos vectores. Entonces, si
r
r
r
u = x1 u1 + y1 u2 + z1 u3
r
r
v
v = x 2 u1 + y 2 u2 + z 2 u3
tenemos que su producto escalar es:
r v
r
r
r
r
r r
r
u v = ( x1 u1 + y1 u2 + z1 u3 )( x 2 u1 + y 2 u2 + z 2 u3 ) = ( x1 x 2 )( u1 u1 ) + ( x1 y 2 )( u1 u2 ) +
r r
r
r
r r
( x1 z 2 )( u1 u3 ) + ( y1 x 2 )( u2 u1 ) + ( y1 y 2 )( u2 u2 ) + ( y1 z 2 )( u2 u3 ) + ( z1 x 2 )( u3 u1 )+
r
r r
( z1 y 2 )( u3 u2 ) + ( z1 z 2 )( u3 u3 )
por los axiomas del producto escalar.
Nuevamente en forma matricial
r r
 u1 u1
r r
r v
u v = ( x1 y1 z1 )  u 2 u1
 ur ur
 3 1
r r
 u1 u1
r r
donde  u 2 u1
 ur ur
 3 1
r r
u1 u 2
r r
u 2u 2
r r
u 3u 2
r r
u1 u 2
r r
u 2u 2
r r
u 3u 2
rr
u1u 3 
r r 
u 2u 3 
r r
u3 u3 
 x
 
 y
z
 
rr
u1u 3 
r r 
u 2 u 3  es la matriz del producto escalar en la base B.
r r
u3 u3 
Si la base es ortonormal entonces dicha matriz es la identidad y el producto
escalar se escribe de forma más simple como:
r v
u v = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
Igualmente, la norma de un vector y el coseno del ángulo de dos vectores se
pueden escribir, respectivamente, como:
r
u =
x12 + y12 + z12
r v
cos( u , v ) =
x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2
x12 + y12 + z12 x22 + y 22 + z 22
El producto escalar ordinario de dos vectores puede definirse partiendo de:
r
u
r
u
r r
r v
v
v = u v cos( u v )
v
v =0
r v
si u , v son no nulos
r r
v r
si u = 0 ó v = 0
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r
r
El símbolo u expresa el módulo de u , la longitud de uno de sus representantes
y coincide con el concepto de norma, al igual que vimos para V2 .
2. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES DE V3 .
r
r r
r
r r
DEF Sean a b ∈V3 , llamamos Producto Vectorial de a y b y se escribe a x b a otro
vector que verifica:
r r
r r
r r
1) axb = a b sen (a , b )
r r r
r r r
2) ( a x b ) a = 0 , ( a x b ) b = 0
r
r
3) En caso que a y b sean linealmente independientes, la orientación
r
r
determinada por la base ortonormal {u1 , u2 , u3 } de V3 es la misma que la determinada
r r r r
por ( a , b , a x b ), o lo que es lo mismo,
r
r
r r r r
signo [det( u1 , u2 , u3 )] = signo [det( a , b , a x b )]
2.1. Expresion Analítica en una Base Ortonormal.
r
r
Sea B = { u1 , u2 , u3 } una base ortonormal de V3
r
a = ( a1 , a 2 , a 3 )
r
b = ( b1 , b2 , b3 )
r r r
w = a x b = ( w1 , w2 , w3 )
por 2) se tiene
r r r
(a xb ) a = 0 ⇒
r r r
(a xb ) b = 0 ⇒
a1 w1 + a 2 w2 + a 3 w3 = 0
b1 w1 + b2 w2 + b3 w3 = 0
r
r
r
r
Si a y b fuesen linealmente dependientes sería a = λ b , y por 1)
r r r
r r
⇒ a x b = 0 , luego podemos suponer a y b linealmente independientes.
r r
axb = 0
Entonces
 a1 a 2 a 3 
 = 2, y tomando un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo
rang 
b
b
b
 1 2 3
a1 a 2
= ∆≠0
b1 b2
a1 w1 + a 2 w2 = − a 3 w3 
⇒
b1 w1 + b2 w2 = − b3 w3 
w1 =
a2 a3
b2 b3
∆
w3
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Llamemos w3 = t ∆
w2 =
⇒ w1 = t
a2 a3
b2 b3
,
w2 = t
a3 a1
,
b3 b1
a3 a1
b3 b1
w3
∆
w3 = t
a1 a 2
b1 b2
Si la base está orientada positivamente, entonces por 3),
a1 a 2 a 3
a2 a3
a3 a1
a1 a 2
b1 b2 b3 > 0 ⇒ w1
+ w2
+ w3
>0
b2 b3
b3 b1
b1 b2
w1 w2 w3
⇒ w1
w1
w
w
1
+ w2 2 + w3 3 >0 ⇒ ( w1 2 + w2 2 + w3 2 ) > 0
t
t
t
t
a2 a3
r r
Además w w = t2 (
b2 b3
r r
w w= a
2
2
+
a3 a1
b3 b1
r
r r
b 2 sen2 ( a , b ) = a
2
r
b
2
+
2
a1 a 2
b1 b2
2
) y también
r r
- (a b )2 ⇒
r r
w w = ( a1 2 + a 2 2 + a 3 2 )( b1 2 + b2 2 + b3 2 ) – ( a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 )2 = … =
= a1 2 b1 2 + a 2 2 b1 2 + a 3 2 b1 2 + a1 2 b2 2 + a 2 2 b2 2 + a 3 2 b2 2 + a1 2 b3 2 + a 2 2 b3 2 + a 3 2 b3 2 - a1 2 b1 2 - a 2 2 b2 - a 3 2 b3 2 - 2 a1 a 2 b1 b2 - 2 a1 a 3 b1 b3 - 2 a 2 a 3 b2 b3 = … =
= ( b1 a 2 - a1 b2 )2 + ( a 3 b1 - a1 b3 )2 + ( a 3 b2 - a 2 b3 )2 =
a1 a 2
b1 b2
2
+
a3 a1
b3 b1
2
+
a2 a3
2
b2 b3
⇒ t2 = 1 ⇒ t = 1
por tanto
r
a = ( a1 , a 2 , a 3 )
r
b = ( b1 , b2 , b3 )
a 2 a 3 a3 a1 a1 a 2
r r
a xb = (
,
,
)
b2 b3 b3 b1 b1 b2
(cuando la base es ortonormal)
OBS A veces se suele adoptar como definición, demostrando en este caso 1), 2) y 3). Lo
hemos hecho de esta forma pues la interpretación geométrica del producto vectorial es
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r r
más inmediata. Así el producto vectorial de dos vectores a , b es otro vector ortogonal a
r r
r r
ambos, cuyo módulo es a b sen( a , b ), siendo el área del paralelogramo determinado
r r
por representantes de origen común de a y b y cuyo sentido viene dado por la regla del
sacacorchos (orientación positiva de la base ortonormal de V3 elegida).
r r r
PROP ∀ a , b , c ∈V3 y ∀ α ∈R, se verifica:
r r
r r
1) a x b = - b x a
r
r
r r
r r
2) a x( α b ) = α ( a x b ) = ( α a )x b
r r r
r r
r r
3) a x( b + c ) = a x b + a x c
r
r
r
r r r
r
4) ( a + b )x c = a x c + b x c
r r r
5) a x 0 = 0
r r r
r r
6) a x b = 0 ⇒ a , b son linealmente independientes.
Dem.
Estas propiedades se demuestran fácilmente si pensamos en la forma usual de
calcular el producto vectorial cuando nos dan 2 vectores expresados en una base
ortonormal:
r
u1
r
r
a x b = a1
b1
r r
u2 u3
a2 a3
b2 b3
Evidentemente la expresión no es un determinante pero ayuda mucho a recordar la
expresión del producto vectorial.
3. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES DE V3 .
r r r
DEF Dados x , y , z ∈V3 se define el producto mixto de los tres vectores como el nº
real:
r r r
r r r
[ x , y , z ] = x · (y x z )
3.1. Expresión Analítica en una Base Ortonormal.
r
x = ( x1 , x 2 , x3 )
r
y = ( y1 , y 2 , y 3 )
r
z = ( z1 , z 2 , z 3 )
⇒
x1 x 2 x 3
y2 y3
y 3 y1
y1 y 2
r r r
r r r
⇒ x ( y x z ) = x1
+ x2
+ x3
= y1 y 2 y 3 = det ( x , y , z )
z 2 z3
z 3 z1
z1 z 2
z1 z 2 z 3
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PROP Se verifica:
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
1) [ x , y , z ] = [ z , x , y ] = [ y , z , x ] = - [ x , z , y ] = - [ z , y , x ] = - [ y , x , z ]
r
2) Si alguno
de
ellos
es
0
r r r
r r ,rentonces el producto mixto es 0
3) λ [ x , y , z ] = [ λ x , y , z ]
r r r r
r r r
r r r
4) [ x + x ’, y , z ] = [ x , y , z ] + [ x ’, y z ]
Dem.
Son propiedades de determinantes.
3.2. Interpretación geométrica.
−→
r
r
Sea R = { 0, u1 , u2 , u3 } una referencia ortonormal del espacio E3 y AB ,
→
−→
r r r
AC , AD representantes respectivos de los vectores x , y , z .
−→
→
−→
Dichos vectores determinan un paralelepípedo del que AB , AC , AD son 3
aristas concurrentes en un vértice.
El volumen del paralelepípedo es: A x Base x h
→
−→
A x Base = || AC x AD ||
→
−→
La altura h es la distancia de B al plano ACD y como AC x AD es un vector
−→
normal al plano se tiene que h = || AB
→
→
AC x AD
→
→
|| ⇒
AC x AD
→
−→
−→
→
−→
−→
→
−→
V = || AC x AD ||· h = | AB ( AC x AD )| = [ AB , AC , AD ]
4. APLICACIONES.
El producto escalar definido en V2 y V3 de la forma ordinaria permite introducir
las nociones métricas de distancia y ángulo en el plano y espacio de forma clara y
sencilla. Igua lmente el producto vectorial nos facilita el cálculo de áreas, y el producto
mixto, el cálculo de volúmenes. Todas estas cuestiones, que perfectamente pueden
introducirse aquí, son propias del tema 53, y ahí se verán con detalle. Pero igualmente,
nos facilitan la resolución de numerosos problemas geométricos y físicos. Veamos
ejemplos de algunos de los más destacados.
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4.1. Ecuación Normal de una Recta del Plano.
r
Supongamos R = { 0, u1 , u2 } referencia ortonormal. Una recta r puede venir
r
dada por un punto A( x 0 , y 0 ) y un vector u = (A, B) en la dirección perpendicular a r.
Cualquier punto P(x, y) de r verifica
r −→
u · AP = 0 ⇒ (A, B)(x - x 0 , y - y 0 ) = 0 ⇒ A(x- x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0
ó bien
Ax + By + (-A x 0 - B y 0 ) = 0 ⇒ Ax + By + C = 0
4.2. Ecuación Normal del Plano.
Igualmente , un plano π viene dado por un punto A( x 0 , y 0 , z 0 ) de π y un
r
vector n = (A, B, C) normal al plano.
Si P∈π se tiene que
−→ r
AP n = 0 ⇒ A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0
⇒ Ax + By + Cz + D = 0
siendo
D = -A x 0 -B y 0 -C z 0
4.3. Teorema del coseno y de Pitágoras.
TEOREMA
En todo triangulo ABC se verifica a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
Dem.
se tiene
r → r → r →
Si llamamos b = AC , a = CB , c = AB
r r r
r r r
c = a +b ⇒ a =c -b
r
r r
r
r r r r r r
r
( a )2 = a a = ( c - b )( c - b )= ( c )2 + ( b )2 - 2b c ⇔ a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
OBS Si el triángulo es rectángulo en A entonces se obtiene el teorema de Pitágoras.
4.4. Las Tres Alturas de un Triángulo son concurrentes en un Punto.
TEOREMA
Dados 4 puntos A, B, C, D cua lesquiera del plano, se verifica que
→
→
→
→
−→
→
AB CD + AC DB + AD BC = 0
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Dem.
→
r → r −→ v → v r →
r v →
r r
Llamamos AB = u , AC = v , AD = w , CD = w - v , DB = u - w , BC = v - u
Luego, basándonos en las propiedades del producto escalar
r v r
r r v
v r r
u ( w - v ) + v (u - w ) + w (v - u ) = 0
Ello nos permite probar, por ejemplo que :
PROP Las tres alturas de un triángulo son concurrentes.
Dem.
Tracemos las alturas correspondientes a C y B que se cortan en O. Debemos
→
→
probar que AO es ortogonal a BC .
Aplicando la igualdad anterior a los puntos A, B, C, O obtenemos
→
→
→
→
→
→
AB CO + AC OB + AO BC = 0
pero
→
→
→
→
AB CO = 0 y AC OB = 0 por hipótesis,
luego
→
→
AO BC = 0 como queríamos demostrar.
4.5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
→
r → r r
r
En efecto AB = u , AC = v || u || = || v ||,
Pero
→
−→
→
−→
r r
r r
r r r r
BC = v - u y AD = v + u ⇒ BC AD = ( v + u )( v - u ) = 0.
4.6. Obtención de Fórmulas Trigonométricas.
Complicadas fórmulas de trigonometría se obtienen fácilmente con el producto
escalar.
r r
r
Sea B ={ u1 , u2 } una base de V2 ortonormal y a , b vectores unitarios tal que
r
r r
( u1 , a ) = α , ( u2 , b ) = β
r
r
r r
Entonces a = λ1 u1 + λ2 u2 ⇒ u1 a = λ1 =cosα
y
Así
r
u2 a = λ2 = cos( π /2 - α ) = senα
r
r
a = cosα u1 +senα u2
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y análogamente
r
r
b = cos β u1 + sen β u2
r r
r r
a b = cosα cos β + sen α sen β = || a || || b || cos ( β -α )
⇒ cos ( β -α )=cos α cos β + sen α sen β
r r
r r r
Otro ejemplo si a , b son unitarios y determinan un ángulo entonces (a , a + b )
r r
α
= ( al ser unitarios a + b es la diagonal del cuadrado que forman)
2
r r r
r r r
α
a ( a + b ) = 1 + cos α = || a || || a + b || cos
2
r r
|| a + b || =
r r r r
( a + b )( a + b ) = 2 + 2 cos α ⇒ 1+ cosα =
cos
α
=
2
2 + 2 cos α cos
α
⇒
2
1 + cos α
2
4.7. Trabajo de una Fuerza.
El producto escalar está asociado en física con un concepto muy importante, el
de TRABAJO.
r
r
Así, la aplicación de una fuerza F a un móvil que sigue una trayectoria d , nos
r r
proporciona un trabajo que puede definirse como T = F d .
4.8. Fórmula de Herón para el cálculo del Área de un Triángulo.
A=
b·hB
2
h B2 = c 2 - c12
Por el teorema del coseno (demostrado con el p. escalar) a2 = b2 + c2 – 2bc cosα
⇒ a2 = b2 + c2 – 2bc1 ⇒ c1 =
2
b2 + c 2 − a 2
2b
 b2 + c 2 − a 2  
b 2 + c2 − a 2



h =c -
 = c +
2b
2b

 
2
B
2
 a 2 − (b − c ) 2

2b


b 2 + c 2 − a 2   (b + c ) 2 − a 2
  c −
 = 
2
b
2b

 
 (b + c − a)( b + c + a)( a − b + c )( a + b − c )
 =
4b 2

Llamando p =
a+b+c
2
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


h B2 =
2( p − a) 2 p 2( p − b) 2( p − c)
2
⇒ hB =
2
4b
b
luego A =
p( p − a)( p − b)( p − c )
p ( p − a)( p − b )( p − c)
Bibliografía Recomendada.
Curso de Álgebra y Geometría. Aut. Juan de Burgos. Ed. Alambra Universidad.
Álgebra Lineal. Aut. F. Puerta. Ed. Univ. Politécnica de Barcelona.
Matemáticas COU, Tomo I. Aut. Vizmanos-Anzola.
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