Control de Procesos Industriales 8. Control Multivariable por Pascual Campoy Universidad Politécnica Madrid U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 1 ejemplo sistemas multivariables Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto de quilibrio definido por T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 : Diseñar un control de F y T utilizando ambas variables manipuladas F1 y F2 F1 T1 FC F2 T2 TC TT FT U.P.M.-DISAM P. Campoy Tref FT Fref a) ¿qué variable de salida se controla con qué variable de manipulada? b) ¿afecta una perturbación de T1 en el flujo F? ¿cómo? c) ¿puede calcularse el controlador de flujo independientemente de controlador de temperatura? Control Multivariable 2007/08 2 1 Control multivariable • Sistemas multivariables y su problemática de control • Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • (Desacoplamiento) suprimido del temario U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 3 Sistemas multivariable: definición • Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas Y1(s) = G11(s) U1(s) +...+G1m(s) Um(s) utilizando la notación matricial: ... Y (s) U1(s) G(s) = G11(s) ... G1m(s) Y(s) = 1 U(s) = ... ... ... Yp(s) = Gp1(s) U1(s) +...+Gpm(s) Um(s) Yp(s) U1(s) U2(s) ... Um(s) G11(s) G12(s) + ... + Y1 (s) Um(s) Gp1(s) ... Gpm(s) Y(s) = G(s) U(s) + G1m(s) ... ... ... Gp1(s) Gp2(s) ... + + Yp (s) + Gpm(s) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 4 2 Sistemas multivariables: problemas para el control y1ref(s) + u1(s) GC1(s) G11(s) G12(s) y2ref(s) + - GC2(s) u2(s) G21(s) G22(s) + y1(s) + + + y2(s) • Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazo de control, rebotando el efecto sobre el lazo original • La f.d.t. entre cada salida y cada entrada cambia en función del resto de los lazos de control ⇒ No se pueden sintonizar los controladores de cada lazo de forma independiente U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 5 Control multivariable • Sistemas multivariables y su problemática de control • Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 6 3 Evaluación iteraciones: ejemplo u1(s) G11(s) G12(s) y2ref(s) - GC2(s) u2(s) U.P.M.-DISAM G21(s) G22(s) P. Campoy + y1(s) + + y2(s) Control Multivariable 2007/08 7 Evaluación iteraciones: ejemplo u1(s) G11(s) G12(s) y2ref(s) - GC2(s) u2(s) U.P.M.-DISAM P. Campoy G21(s) G22(s) + y1(s) + + y2(s) Control Multivariable 2007/08 8 4 Evaluación iteraciones: Matriz de ganancias estáticas relativas … Definición: en la que: lim Yi ( s ) los lazos U j ( s ) todos abiertos lim Yi ( s ) U j ( s ) resto de los lazos s→0 λij = s→0 U.P.M.-DISAM = cerrados P. Campoy yi ( ! ) u j (!) uk=0, k≠j yi ( ! ) u j (!) yk=0, k≠i Control Multivariable 2007/08 9 Evaluación iteraciones: … Matriz de ganancias estáticas relativas Cálculo dado: # y1 (")& #K11 L K1n & # u1 (")& % ( % (% ( % M ( = % M O M (% M ( %$y n (")(' %$K n1 L K nn (' %$un (")(' entonces: ! λij = Kij yi ( ! ) u j (!) yk=0 k≠i Propiedad: n n !" ij =1 y i =1 U.P.M.-DISAM donde “o” representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento >> K.*inv(K)’ P. Campoy !" ij =1 j =1 Control Multivariable 2007/08 10 5 Análisis de la matriz de ganancias relativas λij = lim Yi (s) U s→0 lim Yi (s) s→0 λij →0 j (s) U j (s) todos los lazos abiertos resto de los lazos cerrados sintonización en bucle cerrado 0< λ ij<1 menor ganancia estática en bucle abierto λ ij = 1 sin iteración 1< λ ij mayor ganancia estática en bucle abierto λ ij →∞ control imposible en bucle cerrado cambia de signo la ganancia estática en bucle cerrado y por tanto la estabilidad del sistema λij < 0 U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 11 Ejercicio evaluación interacciones Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 F1 T1 F2 T2 FT a) Calcular λTF1 y λTF2 (5 puntos) b) Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de T queda menos alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la F (5 puntos) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 12 6 Control multivariable • Sistemas multivariables y su problemática de control • Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 14 Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Criterios restrictivos: – no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima cuando λij<0 – no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima cuando λij≈∞ – no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima cuando λij=0 • Criterios de prioridad: – controlar las variables de salida más importantes con aquellas variables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sin respuesta inversa • puede implicar desintonización de los lazos poco importantes – cerrar bucles de control con λij próximas a 1 U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 15 7 Emparejamiento de variables: ejemplo a) Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para el siguiente sistema: y2ref y1ref - + GC2M(s) + GC1M(s) y3ref GC3M(s) - + u1 e # "5s % "1.2 % 15s +1 % "15s % % 60s +1 % " 0.1 "5s % 15s +1 $ u2 e u3 e e 2 "5s 15s +1 "15s e 60s +1 0.1 "5s 15s +1 e e y1 e y2 e y3 & " 0.1 "5s ( 15s +1 ( 0.2 "5s ( ( 15s +1 ( "5s ( 15s +1 (' ! U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 17 Control multivariable • Sistemas multivariables y su problemática de control • Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 18 8 Sintonización de controladores multivariables: desintonización • Disminuir las interacciones desintonizando los controladores de las salidas menos importantes (la desintonización es mayor cuanto menos importante es el bucle de control) ⇒ sólo haya iteración entre unos poco bucles, que son los más importantes. U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 19 Sintonización de controladores multivariables: Reglas de McAvoy Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de 2x2: G ( s )G12 ( s )GC 2 M ( s ) Y1 ( s ) = G11 ( s ) ! 21 U1 ( s) 1 + G22 ( s )GC 2 M ( s ) Y1 ( s ) • si el lazo 1 es mucho más rápido que el 2: U ( s) ! G11 ( s) 1 ⇒ puede sintonizarse independientemente: GC1M ( s ) = GC1S ( s ) • si el lazo 1 es mucho más lento que el 2: ⇒ la ganancia del controlador se multiplica por λ11 • ambos lazos tienen dinámicas parecidas: KCM = ≥ 0,5 KCS 0,5< λ<1,5 tCM = 0,5 KCS 1,5<λ U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 Y1 ( s ) G11 ( s ) " !11 U1 ( s) GC1M ( s ) = !11GC1S ( s ) 2 tCS tCS 0,5< λ<1 1<λ 20 9 Sintonización multivariable: ejemplo a) Calcular los controladores de la estructura de la figura: y2ref + y1ref - GC1M(s) + y3ref GC2M(s) + - GC3M(s) u1 e # "5s % "1.2 % 15s +1 % "15s % % 60s +1 % " 0.1 "5s % 15s +1 $ u2 e u3 e e 2 "5s 15s +1 "15s e 60s +1 0.1 "5s 15s +1 e e y1 e y2 e y3 & " 0.1 "5s ( 15s +1 ( 0.2 "5s ( ( 15s +1 ( "5s ( 15s +1 (' Kc Ganancia Ti Tiempo integral PI 0,9 t p K p tm 3,33 tm PID 1,2 t p K p tm 2 tm Tipo de regulador Td Tiempo derivativo 0,5 tm 0.9 15 t ic1 = 3.33 x 5 = 16.6 = 1.35 ! 2 5 0.9 60 = "21KC 2S = 0.621 = 2.23 t ic 2 = 3.33 x 15 = 50 1 15 KC1M = KC1S = KC 2M ! ! KC 3M = KC 3S = 0.9!15 = 2.7 1 5 U.P.M.-DISAM P. Campoy ! t ic 3 = 3.33 x 5 = 16.6 Control Multivariable 2007/08 21 ! ! Ejercicio control multivariable Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 F1 T1 # 1 % 3s +1 G(s) = % % "0.8333 e"3s %$ 10s + 1 F2 T2 1 & ( 3s + 1 ( "3s ( 4.166 e 10s + 1 (' FT ! control multivariable de T y F (4 puntos) Diseñar y calcular un a) b) Dibujar la volución de las salidas ante un cambio de refrencia de F y también ante un cambio de referencia de T (3 puntos) c) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle (3 puntos) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 22 10 Ejercicio emparejamiento incorrecto Dado el sistema del ejercicio anterior F1 T1 # 1 % 3s +1 % G(s) = % "0.8333 e"3s %$ 10s + 1 F2 T2 1 & ( 3s + 1 ( 4.166 e"3s ( 10s + 1 (' FT ! a) Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que el control de T se efectué con F1 y el de F con F2 (5 puntos) b) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle (5 puntos) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 26 Control multivariable • Sistemas multivariables y su problemática de control • Evaluación de las interacciones • Emparejamiento de variables controladas y manipuladas • Sintonización de controladores • Desacoplamiento U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 29 11 Desacoplamiento: Objetivo y estructura • Objetivo: eliminar o reducir las iteracciones de cada variable de entrada con las variables de salida distintas de la que controla. • Estructura (caso 2x2): m´1 m1 Desacoplador m2 m´2 U.P.M.-DISAM P. Campoy Y2(s) M´1(s) = 0 y1 Sistema y2 Y1(s) =0 M´2(s) Control Multivariable 2007/08 30 Desacoplamiento lineal total: cálculo de la matriz del desacoplador m´1(s) D12(s) + + G (s) D21(s) = - G21(s) 22 P. Campoy + G11(s) G21(s) m2(s) G22(s) G (s) D12(s) = - G12(s) 11 y1(s) + G12(s) D21(s) m´2(s) U.P.M.-DISAM + m1(s) + + y2(s) + 1 D(s) = Control Multivariable 2007/08 D12(s) D21(s) 1 31 12 Desacoplamiento lineal total: características del desacoplo (1/2) • Sintonización dependiente de otras f.d.t.: G11(s) λ11(s) G(s)D(s) = 0 0 G22(s) λ22(s) • Limitaciones en la realización de desacopladores análogos a los controladores anticipativos: K (t s+1) -(t -t )s D21(s) = - K21(t22s+1) e m21 m22 22 21 • No son robustos ante errores de modelado cuando la λij es elevada U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 32 Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo F 1 T1 Fref(s) + F 2 T2 - FT desacopladores: F1(s) + D12(s) - GC2D(s) F2(s) + & 0,75 e'5s 0,2 e'5s # $ ! 15s + 1 ! $ 15s + 1 $ ' 0,105 e'15s 0,252 e'15s ! $ ! 60s + 1 " % 60s + 1 F(s) T(s) controladores: ) G 0.105 D21 = ! 21 = = 0.416 G22 0.252 ) G12 0.2 D12 = ! =! = !0.26 G11 0.75 U.P.M.-DISAM + + D21(s) + Tref(s) + GC1D(s) P. Campoy K C1D = "11 K C1S = 0,9 ! 3,6 = 3,24 tic1 = 3,33 ! 5 = 16,6 K C 2 D = "22 K C 2 S = 0,9 ! 14,28 = 12,852 tic 2 = 3,33 !15 = 50 Control Multivariable 2007/08 34 13 Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo F-Fr T-Tr con desacoplo total sin desacoplo con desacoplo total sin desacoplo F-Tr T-Fr con desacoplo total sin desacoplo U.P.M.-DISAM P. Campoy con desacoplo total sin desacoplo Control Multivariable 2007/08 35 Desacoplamiento lineal total: ejemplo con error 10% en el modelo T-Tr F-Fr sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22 sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22 F-Tr T-Fr con error del 10% con error del 10% U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 36 14 Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ elevada Y1ref(s) - + U1(s) + D12(s) D21(s) + Y2ref(s) + + + GC1D(s) - GC2D(s) U2(s) + desacopladores: Y1(s) ( ) = &$'65 ( = K * K '1 Y2(s) T % ' 5# 6 !" controladores: G 0.7875 D21 = ! 21 = ! = !3.125 G22 0.252 ) G 0.2 D12 = ! 12 = ! = !0.26 G11 0.75 U.P.M.-DISAM & 0,75 e'5s 0,2 e'5s # $ ! 15s + 1 ! $ 15s + 1 ' 15 s ' 15 s $ 0.7875 e ! 0,252 e $ ! 60s + 1 " % 60s + 1 tic1 = 3,33 ! 5 = 16,6 K C1D = "11 K C1S = 6 ! 3,6 = 21.6 K C 2 D = "22 K C 2 S = 6 ! 14,28 = 85.71 P. Campoy tic 2 = 3,33 !15 = 50 Control Multivariable 2007/08 37 Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo Y1-Y1ref Y2-Y2ref sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22 Y2-Y1ref Y1-Y2ref sin error de modelo con error del 10% U.P.M.-DISAM P. Campoy sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22 sin error de modelo con error del 10% Control Multivariable 2007/08 38 15 Desacoplamiento lineal parcial: objetivo y estructura • Objetivo: eliminar o reducir la interacción mediante el desacoplo de la salida más importante del resto de las entradas m´1(s) m1(s) + G11(s) + G12(s) D21(s) m´2(s) + + G21(s) m2(s) G22(s) G (s) D21(s) = - G21(s) 22 U.P.M.-DISAM P. Campoy y1(s) + y (s) 2 + D12(s) = 0 Control Multivariable 2007/08 39 Desacoplamiento lineal parcial: características La sintonización del lazo de control de la variable importante es independiente de las otras f.d.t. del sistema, pudiéndose considerar el resto de la entradas como perturbaciones a dicho lazo de control G11(s) G (s) G(s)D(s) = λ11(s) 12 G22(s) 0 La sintonización de los otros lazos de control depende de otras f.d.t. ajenas al lazo El comportamiento del lazo de control de la variable importante es más sensible a errores de modelo a medida que crece su ganancia estática relativa U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 40 16 Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ11=0,9 error 10% en el modelo sin error de modelado con error 10% en K11 y K22 T-Tr T-Tr desacoplo total desacoplo parcial desacoplo total y desacoplo parcial F-Tr F-Tr desacoplo total desacoplo parcial U.P.M.-DISAM P. Campoy desacoplo total desacoplo parcial Control Multivariable 2007/08 41 Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo sin error de modelado con error 10% en K11 y K22 Y2-Y2r desacoplo total y desacoplo parcial desacoplo total desacoplo parcial Y1-Y2r Y1-Y2r desacoplo total desacoplo parcial U.P.M.-DISAM P. Campoy Y2-Y2r desacoplo total desacoplo parcial Control Multivariable 2007/08 42 17 Desacoplamiento no-lineal: objetivo • Objetivo: reducir la interacción en sistemas en los que su comportamiento no-lineal de lugar a un mal funcionamiento de los desacopladores lineales m´1 m´2 m1 Desacoplador no-lineal U.P.M.-DISAM P. Campoy y1 Sistema m2 y1≈f1(m'1 ) y2 y2≈f2(m'2 ) Control Multivariable 2007/08 43 Desacoplamiento no-lineal: estructura del desacoplador Desacoplamiento no-lineal por inversión del modelo estático. modelo estático: y1 = f1 (m1,m2 ) " # y 2 = f 2 (m1,m2 )$ inversión del modelo: m = g (y , y ) # " 1 1 1 2 $ m2 = g2 (y1, y 2 )% y=f(m) ! m=f-1(y) m´!1 m´2 m=f-1(m') m1 (inversión del modelo estático del sistema) m2 cálculo de entradas: m1 = g1 ( m1", m"2 ) # $ m2 = g2 ( m1", m"2 )% m=f-1(m') ! y1 Sistema y 2 En régimen permanente y sin error de modelado: y≡m' U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 44 18 Desacoplamiento no-lineal: caracteristicas útil en sistemas fuertemente no-lineales no tiene en cuenta la dinámica del sistema U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 45 Desacoplamiento no-lineal: ejemplo ecuaciones estáticas: F 1 T1 F 2 T2 inversión del modelo: F = F1 + F2 # " TF = T1 F1 + T2 F2 ! FT m´1 m´2 U.P.M.-DISAM T2 ! m2" T2 ! T1 T1 ! m2" F2 = m1" T1 ! T2 F1 = m1" P. Campoy T2 % T $ !! T2 % T1 # T %T F2 = F 1 = F % F1 ! !" T1 % T2 F1 = F F1 F Sistema F2 Control Multivariable 2007/08 T 46 19