PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS PROBLEMAS ALGEBRAICOS 1) La suma de un número y su cuadrado es 42. Calcula dicho número. Sea x dicho número 2 La suma del nº y su cuadrado es 42: x + x = 42 −1 + 13 x = =6 −1 ± 1 − 4·(− 42) −1 ± 13 1 2 x + x – 42 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x = −1 − 13 = −7 2 2 2 El número es 6. 2) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 71. Calcula dichos números. Sean x, x + 1 dichos números. 2 2 La diferencia entre sus cuadrados es 71: (x+1) – x = 71 2 2 x + 2x + 1 – x = 71 ⇒ 2x = 70 ⇒ x = 35 Los números son 35 y 36. 3) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85. Calcula dichos números. Sean x, x + 1 dichos números. 2 2 La suma de sus cuadrados es 85: (x+1) + x = 85 2 2 2 x + 2x + 1 + x = 85 ⇒ 2x + 2x – 84 = 0 −1 + 13 x = =6 −1 ± 1 − 4·1· (−42) −1 ± 13 1 2 x + x – 42 = 0 ⇒ x = = = 2·1 2 x = −1 − 13 = − 7 2 2 2 Los números son los pares (6, 7) y (-7, - 6). 4) Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380. Sean x, x + 1 dichos números. El producto es 380: x(x + 1) = 380 −1 + 39 x1 = = 19 − 1 ± 1 − 4·1· ( − 380) − 1 ± 39 2 2 x + x – 380 = 0 x = = = 2·1 2 x = −1 − 39 = − 20 2 2 Los números son los pares (19, 20) y (-20, -19). Luisa Muñoz 1 PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 5) Halla dos números cuya suma es 20 y su producto 84. Sean x e y ambos números La suma es 20 : x + y = 20 ⇒ y = 20 – x Planteamos la ecuación: (20 – x) x = 84 Su producto es 84 : xy = 84 2 x – 20x + 84 = 0 ⇒ x = 20 ± 20 + 8 x = = 14 ⇒ y1 = 20 − 14 = 6 202 − 4·84 20 ± 8 1 2 = = 2 2 x = 20 − 8 = 6 ⇒ y = 20 − 6 = 14 1 2 2 Los números son 14 y 6. 6) Halla dos números cuya suma es 11 y la de sus cuadrados 65. Sean x e y ambos números La suma es 11: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x 2 2 2 2 2 Planteamos la ecuación: (11 – x) + x = 65 2 La suma de sus cuadrados es 65: x + y = 65 2 121 + x – 22x + x = 65 ⇒ 2x – 22x + 56 = 0 11 + 3 x = = 7 ⇒ y1 = 11 − 7 = 4 11 ± 112 − 4·28 11 ± 3 1 2 x – 11x + 28 = 0 ⇒ x = = = 2 2 x = 11 − 3 = 4 ⇒ y = 11 − 4 = 7 1 2 2 2 Los números son 7 y 4. 7) Halla dos números positivos cuya diferencia sea 7 y la diferencia de sus cuadrados 63. Sean x e y ambos números La diferencia es 7: x – y = 7 ⇒ y = x – 7 2 2 2 La diferencia de sus cuadrados es 63: x – y = 63 2 2 Planteamos la ecuación: x – (x – 7) = 63 2 x – x + 14x – 49 = 63 ⇒ 14x = 112 ⇒ x = 8 Los números son 8 y 1. 2 8) Un rectángulo tiene una superficie de 30 m y su perímetro 22 m. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo. Sean x = altura ; y = base Perímetro es 22: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x Planteamos la ecuación: x(11 – x) = 30 Área es 30: xy = 30 2 2 11x – x = 30 ⇒ x – 11 x + 30 = 0 11 + 1 x = = 6 ⇒ y = 11 − 6 = 5 11 ± 112 − 4· 30 11 ± 1 1 2 x= = = 2·1 2 x = 11 − 1 = 5 ⇒ y = 11 − 5 = 6 2 2 Las dimensiones son 7 x 4 m Luisa Muñoz 2 PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 2 9) Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Sean x = ancho ; y = largo Perímetro es 110: x + y = 55 ⇒ y = 55 – x Planteamos la ecuación: x(55 – x) = 750 Área es 750: xy = 750 2 2 55x – x = 750 ⇒ x – 55x + 750 = 0 x= 55 + 25 x = = 40 ⇒ y = 40 − 15 = 25 552 − 4· 750 55 ± 25 1 2 = = 2·1 2 x = 55 − 25 = 15 ⇒ y = 40 − 25 = 15 2 2 55 ± Las dimensiones son 25 x 15 10) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la 2 longitud de cada lado sabiendo que el área es 24m . Sean 3x, 4x y 5x los tres lados del triángulo Área es 24: 2 3x · 4x = 24 2 2 12x = 48 ⇒ x = 4 ⇒ x = 2 Las medidas de los lados son 6, 8 y 10 m. 2 11) Un cuadrado tiene 33 m más que otro y éste 1 m menos de lado que el primero. Halla los lados de los cuadrados. Sea x = medida del lado del cuadrado pequeño x + 1 = medida del lado del cuadrado grande Área cuadrado grande = área cuadrado pequeño + 33 2 2 Planteamos la ecuación: (x + 1) = x + 33 2 2 x + 2x + 1 = x + 33 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 m x 1m Los lados miden 16 y 17 m 2 12) Un campo rectangular tiene 2400 m de superficie y 20 metros de longitud más que de anchura. Halla las dimensiones. Sea x = largo el rectángulo x + 20 = ancho del rectángulo 2 Área del campo es 2400 m : x (x + 20) = 2400 2 x + 20x – 2400 = 0 ⇒ x = −20 ± −20 + 100 x = = 40 202 − 4· (−2400) −20 ± 100 1 2 = = 2·1 2 x = −20 − 100 = −60 !!!! 2 2 Las dimensiones del rectángulo son 60 x 40 m Luisa Muñoz 3 PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 13) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. Sea x = medida de un cateto 14 – x = medida del otro cateto 2 2 La hipotenusa mide 10 cm : 10 = x + (14 – x) 2 2 2 2 100 = x + 196 – 28x + x ⇒ x – 14x + 48 = 0 14 + 2 x = = 8 14 ± 142 − 4· 48 14 ± 2 1 2 x= = = 2·1 2 x = 14 − 2 = 6 2 2 La medida de los catetos son 6 y 8 cm. 14) Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área. Sea x = la mitad de la medida del lado desigual 40 cm y = medida del lado igual y Perímetro es 160: 2x + 2y = 160 ⇒ 80 = x + y ⇒ y = 80 – x 2 2 Altura es 40: y = 40 + x 2 2 2 Planteamos la ecuación: (80 – x) = 40 + x x 2 2 2 6400 + x – 160x = 1600 + x ⇒ 160 x = 4800 ⇒ x = 30 cm Los lados miden 60 cm y 50 cm Área = 40 · 60 2 = 1200 cm 2 15) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula su edad. Edad dentro de 11 años: x + 11 Edad actual: x Edad hace 13 años: x - 13 Dentro de 11 años, su edad será la mitad del cuadrado de la que tenía hace 13 años: (x − 13)2 x + 11 = 2 2 2 2x + 22 = x – 26x + 169 ⇒ x – 28x + 147 = 0 x= 28 ± 28 + 14 x = = 21 282 − 4· 147 28 ± 14 1 2 = = 2·1 2 x = 28 − 14 = 7 2 2 La edad de pedro es 21 años. Luisa Muñoz 4 PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 16) Una persona compra una pieza de tela por 100 €. Con el mismo dinero podría haber comprado otra pieza de tela que medía 30 metros más y costaba 3 € menos por metro. ¿Cuántos metros mide la pieza que ha comprado? Sea x = nº metros de tela y = precio del metro de tela La pieza cuesta 100 €: x · y = 100 La otra pieza de 30 m más cuesta 100 €: (x + 30) (y – 3) = 100 xy = 100 Planteamos el sistema: (x + 30)(y − 3) = 100 xy = 100 xy = 100 ⇒ ⇒ x = 10y – 30 x − 10y = −30 xy − 3x + 30y − 90 = 100 2 (10y – 30)y = 100 ⇒ (y – 3)y = 10 ⇒ y – 3y – 10 = 0 y= 3± 3+7 y = = 5 ⇒ x1 = 20 32 − 4· (−10) 3 ± 7 1 2 = = 2·1 2 y = 3 − 7 = − 2 2 2 La pieza mide 20 metros. 17) Un grupo de amigos van de viaje en vacaciones; los gastos ascienden a 4.000 €, a pagar entre todos. Como hay tres niños en el grupo, los gastos los pagan los mayores, correspondiendo 300 € más a cada uno de los mayores. ¿Cuántas personas formaban el grupo? Sea x = nº personas del grupo y = precio a pagar por persona Los gastos son 4000 €: x · y = 4000 Los 3 niños no pagan, los demás pagan 300 € más: (x - 3) (y + 300) = 4000 xy = 4000 Planteamos el sistema: (x − 3)(y + 300) = 4000 xy = 4000 xy = 4000 ⇒ ⇒ y = 100x – 300 xy − 3y + 300x − 900 = 4000 y − 100x = −300 2 (100x – 300) x = 4000 ⇒ (x – 3) x = 40 ⇒ x – 3x – 40 = 0 x= 3± 3 + 13 x = = 8 ⇒ y1 = 500 32 − 4· (−40) 3 ± 13 1 2 = = 2·1 2 x = 3 − 13 = − 2 2 2 El grupo está formado por personas Luisa Muñoz 5 PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 18) La suma de las edades de tres personas es de 112 años, la mediana tiene 8 años más que la más joven y la mayor tiene tantos como las otras dos juntas. ¿Qué edad tiene cada una? Sean x: edad más joven x + 8: edad de la mediana x + 8 + x = 2x + 8: edad de la mayor La suma de las edades es 112. x + x + 8 + 2x + 8 = 112 ⇒ 4x = 96 ⇒ x = 24 Las edades son 24, 32 y 56 años. 19) Dos ciclistas salen al mismo tiempo para una ciudad que dista 224 Km. Uno de ellos anda 2 Km más por hora que el otro y llega al punto donde se dirigen 2 horas antes que el otro. ¿Cuáles son las velocidades? Sea x = velocidad del segundo ⇒ x + 2 = velocidad del primero Sea y = tiempo del segundo ⇒ y – 2 = tiempo del segundo xy = 224 Planteamos el sistema: (x + 2)(y − 2) = 224 xy = 224 xy = 224 ⇒ ⇒y=x+2 y−x = 2 xy + 2y − 2x − 4 = 224 2 (x + 2) x = 224 ⇒ x + 2x – 224 = 0 x= −2 ± −2 + 30 x = = 14 ⇒ y1 = 16 (−2)2 − 4· (−224) −2 ± 30 1 2 = = 2·1 2 x = −2 − 30 = − 16 2 2 Las velocidades son 16 km/h y 18 km/h 20) Hallar una fracción tal que si se le añade 1 al numerador se convierte en un tercio y añadiendo 1 a su denominador sea igual a un cuarto. Sea x = numerador de la fracción y = denominador de la fracción Si se añade 1 al numerador la fracción es un tercio: x +1 1 = ⇒ 3x + 3 = y y 3 Si se añade 1 al denominador la fracción es un cuarto: x 1 = ⇒ 4x = y + 1 ⇒ y = 4x – 1 y +1 4 Planteamos la ecuación: 3x + 3 = 4x – 1 ⇒ 4x – 3x = 3 + 1 ⇒ x = 4 ⇒ y = 12 + 3 = 15 La fracción es Luisa Muñoz 4 . 15 6