Práctico 1

Á LGEBRA I
S EGUNDO C UATRIMESTRE - A ÑO 2016
P R ÁCTICO 1
(1) Demostrar las siguientes afirmaciones donde a, b, c y d son siempre números reales.
Justificar cada uno de los pasos en cada demostración indicando el axioma o resultado que
utiliza.
(a) 0 + 0 = 0 y 1 · 1 = 1.
(b) a = b si y sólo si a − b = 0
(c) Todo número es igual al opuesto de su opuesto.
(d) a = b si y sólo si −a = −b.
(e) 0 = −0.
(f) Si un número es distinto de cero su opuesto también lo es.
(g) Si un número es igual a la suma de él consigo mismo entonces el número es cero.
(2) Idem Problema 1.
(a) Si a 6= 0 y a · b = a · c entonces b = c.
(b) 1 = 1−1 y −1 = (−1)−1 .
(c) Si un número es distinto de cero su inverso también lo es.
(d) Dado un número distinto de cero, él es igual al inverso de su inverso.
(e) Si a 6= 0 y b 6= 0 entonces (a · b)−1 = a−1 · b−1 .
(f) Dados c y d con c 6= 0 , existe un único número real x que satisface c · x = d.
a
(3) Idem Problema 1. Recordar que
denota al número real a · b−1 , con b 6= 0.
b
0
(a) Si b 6= 0 entonces = 0.
b
b
(b) = b.
1
a
c
(c) Si b 6= 0 y d 6= 0 entonces = si y sólo si a · d = b · c.
b
d
−1
b
d
(d) Si b 6= 0 y d 6= 0 entonces
= .
d
b
a
a·d
(e) Si b 6= 0 y d 6= 0 entonces b =
.
b
d
a −a
a
−a
a
(f) Si b 6= 0 entonces −
=
=
y
= .
b
b
−b
−b
b
a c
a·c
(g) Si b 6= 0 y d 6= 0 entonces · =
.
b d
b·d
Práctico 1
Álgebra I - 2016
(4) Idem Problema 1.
(a) El producto de dos números positivos es positivo.
(b) a < b y c < 0 implican b · c < a · c.
(c) Si 0 < a y 0 < b entonces a < b si y sólo si b−1 < a−1 .
(d) Si a + a = 0 entonces a = 0.
(5) Probar las siguientes afirmaciones, justificando los pasos que realiza.
(a) Dados dos números distintos entonces la suma de sus cuadrados es positiva.
(b) Dado un número distinto de cero la suma de su cuadrado más el inverso de su cuadrado
es mayor o igual a dos. La igualdad vale si y sólo si el número es uno o menos uno.
(c) No existe ningún z ∈ R tal que para todo x ∈ R x ≤ z.
(d) Probar que si a + c < b + c entonces a < b.
(6) Analizar la validez de las siguientes demostraciones.
T EOREMA 1. Si a ∈ R entonces a = 0.
Prueba.
a2 = a2
⇒ a2 − a2 = a2 − a2
⇒ (a − a)(a + a) = a(a − a)
⇒a+a=a
⇒ a = 0.
T EOREMA 2. Si a ∈ R entonces 0 < a.
Prueba.
0<1
⇒0·a<1·a
⇒ 0 < a.
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