De cómo contar lo que no termina

De cómo contar lo que no termina
Maite Fernández Unzueta
La lı́nea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito
de lı́neas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un
número infinito de volúmenes ... No, decididamente no es éste, more geometrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verı́dico es ahora una
convención de todo relato fantástico; el mı́o, sin embargo, es verı́dico.
(Libro de Arena, J.L Borges).
Lo que decididamente sı́ nos proporciona este inicio del relato son ejemplos de cosas infinitas:
los puntos que hay en una recta o las rectas que hay en un plano. De esto no hay duda si
entendemos por “cosa infinita” la que no tiene fin ni término. Con un papel y un lápiz y
dejándonos guiar por la intuición podemos imaginar una estrategia para encontrar, sobre
una recta, infinitos puntos distintos (los invito a pensar una, por ejemplo utilizando la noción
de punto medio).
Dejaremos aquı́ estos ejemplos, pero no todavı́a ese inicio. En él se encierra un gran
interrogante del que el narrador nos distrae al presentarlo como evidente. ¿O es que ha de
ser claro que a las cosas infinitas se les puede asignar un “numero infinito”? La controversia
que se suscitó a finales del siglo IXX al tratar de dar una respuesta satisfactoria a este
interrogante sugiere fuertemente que no. Afortunadamente de esa controversia surgió la
respuesta y hoy disponemos de un modo razonable de asignarles números a las cosas infinitas.
Aquı́ lo haremos en un caso especial.
Empecemos poniéndonos de acuerdo en lo que es un número infinito. Sin detenernos
demasiado en este punto (aún cuando esto nos lleve a encubrir otros interrogantes), entenderemos que se trata de una cantidad que le asignamos a un conjunto de infinitas cosas.
¿Qué número le asignaremos por ejemplo al conjunto infinito de arriba, el de los puntos de
una recta? Una posible respuesta serı́a la de asignarle el mismo número a ese conjunto que
a todos los conjuntos infinitos y no habrı́a nada más que decir. Pero, ¿qué acaso todos los
conjuntos infinitos son igual de grandes? Hoy se sabe que no.
Los números 1, 2, 3, 4, . . . (conocidos como números naturales) forman un conjunto sin
fin. Para convencernos de ello intentemos traer a la mente el número natural más grande
posible. Es éste un espejismo que se esfuma de inmediato, porque un instante después ya
se nos habrá ocurrido otro número más grande aún: el que habı́amos pensado más uno, por
ejemplo.
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La respuesta que acabamos de dar no es gratuita. Entraña la parte esencial del que es el
más chiquito de entre los números infinitos y que se acostumbra llamar ℵ0 (álef cero). Los
cuentos de “Las mil y una noches” nos proporcionan una muestra espléndida de esta esencia:
Schehrazada, con perspicacia, entretiene noche tras noche al emir que la habrı́a de matar.
Entrelaza los cuentos, de modo que el cuento de una noche es el germen del cuento del dı́a
siguiente, como un número natural es el germen del número siguiente (1, 2=1+1, 3=2+1,
4=3+1, . . . , n=(n-1)+1,. . . ), manteniendo ası́ vivo el interés del emir y su propio pellejo.
Las historias de Schehrazada iluminan el corazón y el entendimiento del emir, quien decide
perdonarle la vida y casarse con ella. Ası́ concluye “Las mil y una noches”, pero podrı́a no
concluir nunca si Schehrazada hubiera seguido hilando historias, dando lugar de este modo
a un libro infinito.
El número de cuentos que habrı́a en este imaginario libro infinito de Las mil y una noches
serı́a ℵ0 , el mismo que el del conjunto de los números naturales, puesto que con la ayuda del
ı́ndice (que serı́a continuación del ı́ndice del verdadero libro) se le podrı́a fácilmente asociar
a cada cuento un número natural, según se fueran narrando: 1) Historia del rey Schariar y
su hermano el rey Schahzaman, 2) Fábula del asno, el buey y el labrador, 3) Historia del
mercader y el efrit. . .
Este modo de comprobar que el número de cuentos en ese imaginario libro es ℵ0 no es
particular de este ejemplo. De hecho es un rasgo común que identifica a todos los conjuntos
infinitos con ℵ0 elementos: es siempre posible encontrar una forma de etiquetar todos y
cada uno de los elementos del conjunto de manera subsecuente, con los números naturales
1, 2, 3, 4 . . . Este rasgo identifica a tal grado a estos conjuntos que se conocen como conjuntos
numerables.
El haber dicho antes que no a todos los conjuntos infinitos les asignarı́amos el mismo
número nos impone la tarea de descubrir alguno que no sea numerable. ¿Por dónde empezar?
Quizás otro imaginario libro nos proporcione la respuesta: se tienen fuertes sospechas de que
en El Libro de Arena de J.L. Boges habı́a una cantidad no numerable de páginas. Intentaremos ver si con la escasa e intrigante descripción que se da del libro podemos confirmar esta
teorı́a.
Según se narra, este misterioso libro sagrado era llamado Libro de Arena “porque ni el
libro ni la arena tienen ni principio ni fin” (sic Libro de Arena, J. L. Borges). El primer indicio
que sustenta nuestra sospecha es que al parecer sus infinitas páginas estaban numeradas “de
un modo arbitrario”. Aunque pensándolo bien, esto podrı́a haber sido sólo un capricho:
quizá era posible aún numerarlas adecuadamente. También el desconcertante párrafo:
Me pidió que buscara la primera hoja.
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Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrı́ con el dedo pulgar casi pegado
al ı́ndice. Todo fue inútil: siempre se interponı́an varias hojas entre la portada
y la mano. Era como si brotaran del libro.
podı́a justificarse habiendo sólo ℵ0 número de páginas. Sin embargo hay una afirmación del
vendedor del libro realmente perturbadora. Se la dice al comprador refiriéndose a la página
que incidentalmente estaba leyendo:
Mı́rela bien. Ya no la verá nunca más.
¿A qué se estarı́a refiriendo al pronunciar esa amenaza? Si se pudieran numerar las
páginas ¿por qué habrı́a de resultar imposible encontrar de nuevo la que estaba leyendo?
Habrı́a bastado con numerarlas, ver qué número le tocó a la página y, empezando por
la que tenı́a el número 1 y de una en una, con suficiente paciencia, llegar de nuevo a la
página escogida. ¿Le trataba de decir que habı́a más que ℵ0 páginas? No podemos más que
aventurarnos a imaginar qué inclinó al vendedor a pronunciar esa frase. Nuestra sospecha
sobre el número de páginas sigue siendo eso, una sospecha. Lamentablemente los datos no
resultaron contundentes para demostrar que efectivamente, era un libro con una cantidad
no numerable de páginas.
En cualquier caso, y ante la imposibilidad de hojear el Libro de Arena, la búsqueda
de conjuntos infinitos no numerables la podemos hacer en el mundo de las matemáticas
mismas. Y efectivamente: hay conjuntos infinitos que no se pueden numerar. Fue el
matemático ruso-alemán Georg Cantor quien en 1874 ideó la primera prueba de este hecho.
Esta prueba fue tan bella, sencilla e impecable que sigue usándose desde entonces sin que
el tiempo la haya mejorado. El conjunto infinito que él demostró que no era numerable es
un viejo conocido: “los puntos de una recta”. Por si algún espı́ritu curioso lee estas lı́neas,
déjenme precisar que nuestra prueba de que este conjunto era infinito (la basada en el punto
medio) ¡sólo encuentra una cantidad numerable de puntos sobre la recta! Un esbozo de
la prueba de que en realidad hay muchı́simos más (una cantidad no numerable) se puede
encotrar en www.cimat.mx/aniversario.
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