Sea la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e

Sea la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y :
fXY (x, y) = k(x − y)IR (x, y)
siendo R = {(x, y)| 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}
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Hallar el valor de k.
Hallar P (X + Y < 1).
Hallar la función de densidad marginal fX (x).
Hallar la función de densidad condicional fY |X=x (y).
Calcular P (Y > 0, 1|X = 0, 5).
Analizar si X e Y son independientes.
Calcular la Cov(X,Y)
Aclaración con respecto al ı́tem 6. En clase lo pensamos de dos maneras distintas:
a) Sabemos que si X e Y son variables aleatorias independientes entonces E(XY ) = E(X)E(Y ).
Como E(XY ) y E(X)E(Y ) dan valores distintos entonces podemos afirmar que X e Y no son
independientes.
Otra forma:
b) X e Y son independientes sı́ y sólo si fXY (x, y) = fX (x)fY (y) salvo quizás en un conjunto de
área nula. Por lo tanto no basta con elegir un punto y ver que difieren sólo en ese punto. Hay que
mostrar que difieren en un conjunto de área positiva. Recuerden que alguna vez vimos en clase que
la función de densidad de una variable aleatoria (lo mismo para vector aleatorio) no es única, pueden
diferir en un conjunto de área nula, porque integran lo mismo!
Si tomamos por ejemplo, el punto (0.5,0) y mostramos que fXY (0.5,0)6= fX (0.5) fY (0), esto no
alcanza para probar que no son independientes. Debemos ver que difieren en un conjunto de área
positiva. Por ejemplo, tomando el rectángulo [0.5,0.6] × [0,0.1] y viendo que las integrales dobles de
fXY (x, y) y fX (x)fY (y) en ese rectángulo son distintas. Y listo!
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