Reticulados - Desplazamientos Reticulados

Reticulados - Desplazamientos
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
C) Método de carga unitaria
Vimos como determinar el desplazamiento de
una carga utilizando conceptos energéticos.
Extenderemos esta idea en base al teorema
de Castigliano, un poderoso teorema que
permite determinar los desplazamientos de un
nodo, en cualquier dirección, y para cualquier
configuración de carga
Para una carga P, el
desplazamiento en la dirección
de la carga quedaba:
Trabajo interno de
un reticulado:
Ni: Normal en
la barra i.
uP =
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Teorema de Castigliano
Si se expresa el trabajo interno (U) en función
de las fuerzas aplicadas y se deriva respecto de
una de ellas (Pi), se obtiene la proyección del
desplazamiento del punto donde se aplica la
carga, según la línea de acción de ésta (ui).
∂U
= ui
∂Pi
El teorema se expresa
matemáticamente como:
2 n N i2 Li
∑
P i =1 2 Ei Ai
N i2 Li
i =1 2 E A
i
i
n
U =∑
N1i: Normal en la barra
i producida por una
carga unitaria.
Reticulados - Desplazamientos
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C) Método de carga unitaria
Usaremos el teorema de Castigliano para evaluar el desplazamiento en un reticulado sometido a varias cargas.
n
Ni: Normal en la barra i para todas
N 2L
U =∑ i i
las cargas
i =1 2 E A
i
i
NPi: Normal en la barra i para las
cargas P1, P2 … Pm.
∂U
= ui
N1i: Normal en la barra i para una
∂Pi
carga unitaria en dirección de P0.
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Si consideramos P0 como una carga
ficticia, podemos hallar el desplazamiento en su dirección. Aplicando
el teorema de Castigliano, y anulando la carga P0 (se puede interpretar
también que la carga tiende a 0),
obtenemos el desplazamiento en su
dirección, por más que la carga P0
no se considere.
n
 ∂U 
L
 = ∑ i N Pi N1i
u P = 
 ∂P0  P =0 i =1 Ei Ai
0
0
Ejemplo
n
 ∂U 
L
 = ∑ i N Pi N1i
u P = 
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 ∂P0 1 P =0 i =1 Ei Ai
0
0
P0
Para el
reticulado de la
figura, determine
el desplazamiento
vertical del punto D.
Barras horizontales y
verticales de largo L=1m,
todas las barras con
A=cte y E=cte.
Barra
Atención! Recordar que es la derivada de la
energía, evaluada para P0=0. Si incorrectamente evaluamos primero P0=0, y luego
derivamos, el resultado será siempre nulo.
Si uP0 queda con signo negativo es porque el
desplazamiento es en dirección opuesta al P0
utilizado.
Li (m)
Ei
Ai
NPi (kN)
Π
N1i (adim)
AC
BC
BD
CD
CE
DE
Σ
¿ u Dh ? ¿ uCv ? ¿ uCh ?
Carga en vanos de reticulados
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1) Analizo cada tramo con carga en el vano y
descompongo las reacciones en dos componentes:
a) En la dirección de la normal de la barra (N)
b) En la dirección de la resultante de las cargas externas (V)
2) Las reacciones b) indican como se distribuye la carga externa
a los nodos del reticulado. Ahora puedo resolver el reticulado
(directas) con cargas en los nodos (como se vio en el módulo 3).
3) Analizando las componentes b) y las directas halladas,
obtengo los diagramas (V, M, N) del tramo con cargas.
Deberes:
¿Cómo se
procedería en
estos casos?
Sistemas Mixtos
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40
40 kN/m
Ej.: Ex. Dic 2014
F
G
1.00 m
1.50 m
D
E
1.00 m
C
B
1.00 m
A
1.00 m
1.00 m
1.00 m
1.50 m
1.50 m
Reticulados compuestos por sustitución
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Ej.: Ex. Dic 2014
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Comparación reticulado/viga
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Equivalencia entre solicitaciones
Reticulado: “Viga aligerada”
42
¿Porqué Pratt o Howe?