Tablas de Fourier

Periódica (t,n)
Tiempo
No periódica (t,n)
FT
x(t ) =
∞
∑ X [k ]e
jkω0t
x(t ) =
k = −∞
1
T
X [k ] =
∫
T
0
x(t )e − jkω0t dt
1
2π
∫
∞
−∞
No periódica (k,ω)
Continua (t)
FS
X ( jω )e jω t dω
∞
X ( jω ) = ∫ x(t )e − jω t dt
−∞
x(t) periodo T ⇒ ω0 = 2π T
x[n] =
DTFT
∑ X [k ]e jkΩ0n
X [k ] =
1
N
∑ x[n]e
Discreta (k)
π
jΩ
2π
N
( )
X e
jΩ
jΩ n
−
X e jΩ =
n= N
x[n] y X[k] periodo
∫ π X (e )e
( ) ∑ x[n] e
− jkΩ 0 n
N ⇒ Ω0 =
1
2π
x[n] =
k= N
∞
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
DTFS
dΩ
− jΩ n
n = −∞
tiene periodo 2π
Frecuencia
Continua (ω,Ω)
C.1 Pares de series básicas de Fourier en tiempo discreto
Dominio del tiempo
x[n] = ∑ X [k ]e j k n Ω0; periodo=N
k= N
x[n] =
{0, M < n ≤ N / 2
n ≤M
1,
x[n] = x[n + N ]
x[n] = e j p Ω0 n
x[n] = cos( pΩ 0 n)
x[n] = sen( pΩ 0 n)
Dominio de la frecuencia
X [k ] =
∑ x[n]e
k= N
− j k n Ω0
; Ω0 =
2π
N
⎛ Ω
⎞
sen⎜ k 0 (2 M + 1) ⎟
2
⎝
⎠
X [k ] =
⎛ Ω0 ⎞
N sen⎜ k
⎟
⎝ 2 ⎠
1, k = p, p ± N , p ± 2 N ,K
X [k ] =
0, en otro caso
1 / 2, k = ± p,± p ± N ,± p ± 2 N ,K
X [k ] =
0, en otro caso
1 / 2 j , k = p, p ± N , p ± 2 N , K
X [ k ] = − 1 / 2 j , k = − p,− p ± N ,− p ± 2 N , K
0 , en otro caso
1, k = 0,± N ,±2 N , K
X [k ] =
0, en otro caso
1
X [k ] =
N
{
{
{
{
x[n] = 1
x[n] = ∑ p = −∞ δ [n − pN ]
∞
1
C.2
Pares básicos de series de Fourier
Dominio del tiempo
x(t ) =
∞
∑ X [k ]e
j k ω0 t
; periodo=T
k = −∞
x(t ) =
{10,, T < tt ≤≤TT / 2
s
Dominio de la frecuencia
X [k ] =
1
T
X [k ] =
s
∫
T
x(t )e − j k Ω0 t ; ω0 =
2π
T
sen(kω0Ts )
kπ
x(t ) = e j pω0 t
X [k ] = δ [k − p]
x(t ) = cos( pω0t )
1
1
X [k ] = δ [k − p] + δ [k + p]
2
2
1
1
X [k ] = δ [k − p] − δ [k + p]
2j
2j
1
X [k ] =
T
x(t ) = sen( pω0t )
x(t ) = ∑ p = −∞ δ (t − pT )
∞
C.3 Pares básicos de transformadas de Fourier en
tiempo discreto
Dominio del tiempo
1
x[n] =
X ( e jΩ ) e j Ω n dΩ
∫
2
π
2π
x[n] =
≤M
{01,, ennotro
caso
x[n] = α nu[n], α < 1
x[n] = δ [n]
x[n] = u[n]
x[n] =
1
sen(Wn), 0 < W < π
πn
x[n] = (n + 1)α nu[ n]
Dominio de la frecuencia
X (e j Ω ) =
∞
∑ x[n]e
− jΩn
n = −∞
⎡ ⎛ 2M + 1 ⎞⎤
sen ⎢Ω⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
X (e j Ω ) =
⎛Ω⎞
sen⎜ ⎟
⎝2⎠
1
jΩ
X (e ) =
1 − α e− j Ω
X (e j Ω ) = 1
∞
1
X (e j Ω ) =
+ π ∑ δ (Ω − 2π p)
− jΩ
1− e
p = −∞
⎧ 1, Ω ≤ W ⎫
X (e j Ω ) = ⎨
⎬es 2π periódica
⎩0, W < Ω ≤ π ; ⎭
X (e j Ω ) =
1
(1 − αe − j Ω ) 2
2
C.4 Pares básicos de transformadas de Fourier
Dominio del tiempo
1 ∞
x(t ) =
X ( jω )e j ω t dω
∫
−
∞
2π
1, t ≤ T
x(t ) =
0, en otro caso
{
1
x(t ) = sen(W t )
πt
x(t ) = δ (t )
x(t ) = 1
x(t ) = u (t )
x(t ) = e − a t u (t ), Re{a} > 0
x(t ) = t e − a t u (t ), Re{a} > 0
Dominio de la frecuencia
X ( jω ) =
X ( jω ) =
1 ∞
x(t )e − j ω t dt
∫
−
∞
2π
2 sen(ωT )
ω
ω ≤W
X ( jω ) =
0, en otro caso
X ( jω ) = 1
{
1,
X ( jω ) = 2π δ (ω )
1
X ( jω ) =
+ π δ (ω )
jω
1
X ( jω ) =
a + jω
1
X ( jω ) =
( a + jω ) 2
C.5
Pares de transformadas de Fourier para señales
periódicas
Señal periódica en el
Transformada de Fourier
dominio del tiempo
x(t ) =
∞
∑ X [k ]e
j kω0 t
k = −∞
X ( jω ) = 2π
∞
∑ X [k ]δ (ω − kω )
k = −∞
0
x(t ) = cos(ω0t )
X ( jω ) = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 )
x(t ) = cos(ω0t )
X ( jω ) =
x(t ) = e jω0 t
x(t ) =
∞
∑ δ (t − nΤ )
n = −∞
x(t ) =
{01,, Tt ≤<Tt < T / 2
s
s
π
π
δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )
j
j
X ( jω ) = 2πδ (ω − ω0 )
2π ∞ ⎛
2π ⎞
δ ⎜ω − k
X ( jω ) =
⎟
∑
T k = −∞ ⎝
T ⎠
∞
2 sen(kω0Ts )
X ( jω ) = ∑
δ (ω − kω0 )
k
k = −∞
x(t + T ) = x(t )
3
C.6 Pares de transformadas de Fourier en tiempo
discreto para señales periódicas
Señal periódica en el
dominio del tiempo
Transformada de Fourier en tiempo discreto
x[n] = ∑ X [k ]e j kΩ 0 n
N
∑ X [k ]δ (Ω − kΩ
k = −∞
x[n] = cos(Ω1n)
X (e j Ω ) = π
x[n] = sen(Ω1n)
X (e j Ω ) =
x[n] = e
∞
X (e j Ω ) = 2π
∞
∑ δ (Ω − Ω
jΩ1 t
j
− k 2π ) + δ (Ω + Ω1 − k 2π )
∑ δ (Ω − Ω
− k 2π ) − δ (Ω + Ω1 − k 2π )
∞
1
k = −∞
∞
X (e j Ω ) = 2π
∑ δ (Ω − Ω
1
k = −∞
∞
x[n] =
∑ δ (t − k N )
k = −∞
)
1
k = −∞
π
0
X (e j Ω ) =
2π
N
∞
∑ δ (Ω −
k = −∞
− k 2π )
k 2π
)
N
C.7.1 Propiedades de la Transformada de Fourier
Propiedades
Linealidad
FT
x(t ) ←⎯→
X ( jω ) ;
FT
y (t ) ←⎯→
Y ( jω )
FT
z (t ) = ax(t ) + by (t ) ↔ Z ( jω ) = aX ( jω ) + bY ( jω )
FT
Corrimiento en el tiempo
x(t − t0 ) ↔ e − jωt0 X ( jω )
Corrimiento en la frecuencia
e jγ t x(t ) ↔
Escalamiento
Diferenciación en el tiempo
Diferenciación en la frecuencia
Integración / sumatoria
Convolución
Modulación (Sumatoria)
Dualidad
FT
X ( j (ω − γ ))
1 ⎛ ω⎞
X⎜ j ⎟
a ⎝ a⎠
FT
x(at ) ↔
FT
d
x(t ) ↔ jω X ( jω )
dt
FT d
− jt x(t ) ↔
X ( jω )
dω
FT 1
t
∫−∞ x(τ )dτ ↔ jω X ( jω ) + π X ( j 0)δ (ω )
∞
FT
x(t ) * y (t ) = ∫ x(τ ) y (t − τ )dτ ↔ X ( jω )Y ( jω )
−∞
1 ∞
FT
x(t ) z (t ) ←⎯→
X ( jυ )Y ( j (ω − υ ))dυ
2π ∫−∞
FT
X ( jt ) ←⎯→
2π x(−ω )
4
C.7.2 Propiedades de la Serie de Fourier
Propiedades
Linealidad
Corrimiento en el tiempo
Corrimiento en la frecuencia
FS :ω0
FS :ω0
x(t ) ←⎯
⎯→ X [k ] ; y (t ) ←⎯
⎯→ Y [k ] ; perido = T
FS ;ω0
z (t ) = ax(t ) + by (t ) ↔ Z [k ] = aX [k ] + bY [k ]
FS ;ω0
x(t − t0 )
FS ;ω0
e jk0ω0t x(t )
Escalamiento
↔
FS ;ω0
d
x(t ) ↔ jkω0 X [k ]
dt
Diferenciación en la frecuencia
******
Integración / sumatoria
Modulación (Sumatoria)
X [k − k0 ]
FS ; aω0
x(at ) ↔ X [k ]
Diferenciación en el tiempo
Convolución
e − jkω0t0 X [k ]
↔
******
FS ;ω
x(t ) ⊗ y (t ) = ∫ x(τ ) y (t − τ )dτ ←⎯⎯→ T X [k ] Z [k ]
T
FS ;ω0
x(t ) y (t ) ←⎯
⎯→ X [k ] * Y [ k ] =
∞
∑ X [l ]Z [k − l ]
l = −∞
Dualidad
DTFT
FS ;1
x[n] ←⎯
⎯→ X (e jΩ ) ; X (e jt ) ←⎯
⎯→ x[− k ]
C.7.3 Propiedades de la FT en tiempo discreto
Propiedades
Linealidad
Corrimiento en el tiempo
Corrimiento en la frecuencia
Escalamiento
DTFT
x(t ) ←⎯
⎯→ X (e jΩ ) ;
DTFT
y (t ) ←⎯
⎯→ Y (e jΩ )
DTFT
z[n] = ax[n] + by[n] ↔ Z (e jΩ ) = aX (e jΩ ) + bY (e jΩ )
x[n − n0 ]
e jΓn x[n]
DTFT
↔
DTFT
↔
e − jΩn0 X (e jΩ )
X (e j ( Ω − Γ ) )
DTFT
x z ( pn) ↔ X z (e jΩ / p ) ; x z (n) = 0, n ≠ l p
Diferenciación en el tiempo
******
Diferenciación en la frecuencia
d
− jn x[n] ↔
X ( e jΩ )
dΩ
Integración / sumatoria
∑ x[k ]= y[n] ↔
DTFT
∞
DTFT
k = −∞
Convolución
Modulación (Sumatoria)
Dualidad
∞
X ( e jΩ )
+ π X (e j 0 ) ∑ δ (Ω − k 2π )
− jΩ
1− e
k = −∞
DTFT
x[n] * y[n] = ∑l = −∞ x[l ] y[n − l ] ↔ X (e jΩ )Y (e jΩ )
1
DTFT
x[n]z[n] ←⎯
⎯→
X (e jΓ )Y (e j ( Ω −Γ ) )dΓ
2π ∫ 2π
DTFT
FS ;1
x[n] ←⎯
⎯→ X (e jΩ ) ; X (e jt ) ←⎯
⎯→ x[− k ]
∞
5
C.7.4 Propiedades de la FS en tiempo discreto
DTFS :Ω 0
DTFS :Ω 0
x(t ) ←⎯
⎯⎯→ X [k ] ; y (t ) ←⎯
⎯⎯→ Y [k ] ; N per.
Propiedades
DTFS ;Ω 0
Linealidad
z[n] = ax[n] + by[n] ↔ Z [k ] = aX [k ] + bY [k ]
Corrimiento en el tiempo
x[n − n0 ]
DTFS ;Ω 0
↔
e − jkΩ0 n0 X [k ]
DTFS ;Ω 0
Corrimiento en la frecuencia
e jk0Ω0 n x[n] ↔ X [k − k0 ]
Escalamiento
xz ( pn)
DTFS ; pΩ 0
↔
p X z [k ] ; x z (n) = 0, n ≠ l p
Diferenciación en el tiempo
******
Diferenciación en la frecuencia
******
Integración / sumatoria
******
∑ x[l ] y[n − l ] ←⎯ ⎯⎯→ N X [k ] Z [k ]
DTFS ;Ω 0
Convolución
x[n] ⊗ y[n] =
Modulación (Sumatoria)
DTFS ;ω0
x[n] y[n] ←⎯
⎯
⎯→ X (k ) ⊗ Y (k ) =
l= N
Dualidad
DTFS ;Ω 0
X [n] ←⎯
⎯⎯→
∑ X [l ]Z [k − l ]
l= N
1
x[− k ]
N
C.8 Relaciones de las cuatro representaciones de
Fourier.
FS ;ω0 = 2π / T
DTFT
g (t ) ←⎯
⎯⎯
⎯→ G[k ] ; v[n] ←⎯
⎯→V (e jΩ )
DTFS ;Ω 0 = 2π / N
w[n] ←⎯
⎯⎯⎯
⎯→W [k ]
•Representación de la FT para una señal periódica en tiempo continuo
( FS )
g (t ) =
∞
FT
G ( jω ) = 2π
∑ G[k ]e j k ω0 t ←⎯→
k = −∞
∞
∑ G[k ]δ (ω − kω )
0
k = −∞
•Representación de la DTFT para una señal periódica en tiempo discreto
( DTFS ) N −1
w[n] =
∑ W [k ]e
jkΩ 0 n
DTFT
←⎯
⎯→ W (e jΩ ) = 2π
k =0
∞
∑ W [k ]δ (Ω − kΩ )
0
k = −∞
•Representación de la FT para una señal no periódica en tiempo discreto
vδ (t ) =
∑ v[n]δ (t − nT ) ←⎯→Vδ ( jω ) = V (e ) |
∞
n = −∞
FT
jΩ
( DTFT )
Ω =ωT
= =
∞
∑ x[n] e
− jωT n
n = −∞
•Representación de la FT para una señal periódica en tiempo discreto
∞
2π ∞
Ω ⎞
⎛
FT
wδ (t ) = ∑ w[n]δ (t − nT ) ←⎯→
Wδ ( jω ) =
W [k ]δ ⎜ ω − k 0 ⎟
∑
T k = −∞
T ⎠
⎝
n = −∞
6
C.9 Relaciones de muestreo y traslape
FT
x(t ) ←⎯→
X ( jω )
DTFT
v[n] ←⎯
⎯→V (e jΩ )
•Muestreo por impulsos para señales periódicas en tiempo continuo
∞
⎛
1 ∞
2π ⎞ 2π
FT
xδ (t ) = ∑ x(nTs ) δ (t − nTs ) ←⎯→
X δ ( jω ) =
X ⎜⎜ j (ω − k
)⎟ ;
∑
Ts k = −∞ ⎝
Ts ⎟⎠ Ts
n = −∞
•Muestreo de una señal en tiempo discreto
1 q −1
DTFT
y[n] = v[qn] ←⎯
⎯→ Y (e jΩ ) = ∑ V (e j ( Ω − m 2π ) / q ) ; 2π
q m =0
•Muestreo de la DTFT en frecuencia
N ; w[n] =
∞
1
π
⎯→ W [k ] = V (e
∑ v[n + mN ] ←⎯ ⎯ ⎯ ⎯
N
DTFS ;Ω 0 = 2 / N
j k Ω0
)
m = −∞
•Muestreo de la FT en frecuencia
T ; g (t ) =
∞
1
∑ x(t + mT ) ←⎯ω⎯ ⎯π⎯→ G[k ] = T X ( jkω )
n = −∞
FS ;
0 =2
/T
0
7