Símbolos de potencia residual cuárticos y ócticos y aplicaciones Pedro Berrizbeitia, José G. Fernandes∗ En [1] Berrizbeitia, Luca y Melham demostraron el siguiente Teorema: Teorema 1 Si p ∈ Z es un número primo, Np := Φp (−2) (donde Φp denota el polinomio ciclotómico de orden p) y Rk es la sucesión definida por R0 = 4 y k Rk+1 = Rk2 − 22 +1 para k ≥ 0, entonces: Np primo ⇒ Rp−1 ≡ 8 (mód Np ). La demostración de este teorema se basa en relacionar el problema con el cálculo √ Np2 −1 de (2 + 2) 4 (mód Np ), el cual se obtuvo de la siguiente ecuación: 2 −1 Np 2 −1 Np 2 −1 Np γ(τ (γ)) 4 = (γσ(γ)) 4 (τ (γ)2 ) 4 . √ √ √ donde γ := 1 + i + 2, σ(γ) := 1 + i − 2 y τ (γ) := 1 − i + 2. En nuestra ponencia mostraremos cómo dicha ecuación puede ser vista como un caso particular de un hecho más general que es el siguiente: √ Teorema 2 Si P es un ideal primo en L := Q(i, d) (d libre de cuadrados) que yace sobre un número primo q ∈ Z, q ≡ 3 (mód 4) y tal que: √ q+1 i d≡d 4 (mód P), entonces ∀α ∈ L se tiene que: NL/K (α) NL/H (α) NL/E (σ(α)) = , q q P ∩ OE 4,H 4,K 2,E √ √ donde H, K y E denotan los campos Q( d), Q(i) y Q(i d) respectivamente, ( ·· )m,F denota el símbolo de potencia residual m−ésimo1 definido sobre el campo F y NA/B denota la norma relativa del campo A sobre el campo B. √ 3 Como aplicación a dicho teorema calcularemos 1+ √ , donde Mp deMp 4,Q(i, 3) nota el p−ésimo número primo de Mersenne. 1 en a q 2 −1 4 el caso F = H el símbolo ( aq ) se define como it donde t es el único entero tal que √ q−1 t ≡ d 2 (mód q) Además expondremos un método alternativo √ para calcular símbolos de potencia residual cuárticos sobre elementos de Fq ( d) (q es un número primo tal que q ≡ 3 (mód 4)) basado en relacionar este símbolo con el símbolo de potencia residual cuártico usual en Q(i). Como aplicación a este método calcularemos: √ 2+ 2 Np √ . 4,FNp ( 2) Usando el método alternativo con el método derivado del Teo conjuntamente Mp +1 p+1 = (−1) 2 i. rema ?? probaremos que: 1+3Mp4 i 4,Q(i) Finalmente enunciaremos un teorema análogo al Teorema ?? para símbolos de potencia residual ócticos sobre el campo Q(ζ24 ) (donde ζ24 es una raíz primitiva de la unidad de orden 24) y algunos de sus subcampos. Bibliografía [1] P. Berrizbeitia, F. Luca, R. Melham. On compositness test for 2p + 1 3 . Journal on integer sequences, Vol. 13 (2010). [2] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, 1998. [3] F. Lemmermeyer, Reciprocity Laws. Springer Monographs in Mathematics, Springer- Verlag, Berlin, 2000. [4] R. S. Melham, Probable prime test for generalized Mersenne Numbers, Bol. Soc. Mat. Mexicana 14 (2008), 7-14. 2