Cap´ıtulo V Teoremas de Fermat, Euler y Wilson

Capı́tulo V
Teoremas de
Fermat, Euler y Wilson
En este capı́tulo utilizamos los conceptos desarrollados en divisibilidad y conteo
para deducir tres teoremas básicos de la teorı́a de números. En el próximo
capı́tulo, sobre congruencias, estos mismos resultados se obtienen al examinar
la estructura del conjunto de residuos módulo n, donde n es un natural, bajo
las operaciones modulares suma y producto.
V.1.
Función φ de Euler
La función de Euler φ : N → N asigna a n el número de enteros positivos m
con m ≤ n tal que m y n son relativamente primos. Formalmente
φ(n) = |{m ∈ N : 1 ≤ m ≤ n : mcd(m, n) = 1}
Usando lo que sabemos de conteo y divisibilidad vamos a determinar φ(n).
Consideremos primero como ejemplo n = p primo. Entonces todo m con 1 ≤
m < n es relativamente primo con p y por lo tanto
φ(p) = p − 1 = p(1 − 1/p).
Consideremos ahora n = pk con p primo. Si mcd(m, n) = 1 entonces p no
divide m. Es más fácil contar los m tal que p divide m en el rango 1 ≤ m < n;
estos son precisamente los múltiplos de p:
p, 2p, 3p, . . . , p · p, p2 + p, . . . , p3 , . . . , (pk−1 − 1)p
Es decir, los enteros `p con ` = 1, 2, . . . , pk−1 − 1, y entonces
φ(pk ) = pk−1 − 1 = pk (1 − 1/p).
1
2
CAPÍTULO V. TEOREMAS DE FERMAT, EULER Y WILSON
1
Para el caso general, recordamos que m, n ∈ N son relativamente primos si m
y n no tiene ningún factor primo en común. Ası́ que expresando n por medio
de su factorización prima
n = pi11 pi22 · · · pikk
el problema es contar los m con 1 ≤ m ≤ n tal que ningún pi divide m.
Queremos determinar la cardinalidad del conjunto
Rn = {m ∈ N : 1 ≤ m ≤ n, mcd(m, n) = 1}
Pero mcd(m, n) = 1 implica que pi6 |m para todo i ∈ Ik , por lo tanto
Rn = {m ∈ N : 1 ≤ m ≤ n, ∀i ∈ Ik , pi6 |m}
k
\
{m ∈ N : 1 ≤ m ≤ n, pi6 |m}
=
i=1
Sea
Ai = {m : 1 ≤ m ≤ n, pi |m}.
Entonces
Rn =
k
\
Ai
i=1
y
Rn =
k
[
Ai .
i=1
Entonces, la cardinalidad de Rn se puede determinar usando el principio de
inclusión-exclusión:
\ X
(−1)|J|−1 Ai .
|Rn | =
∅6=J⊆Ik
i∈J
Para este cálculo, notamos que (revise la discusión para el cálculo de φ(p))
Ai = {`pi : 1 ≤ ` ≤ n/pi }
y por lo tanto
|Ai | = n/pi .
1
Del conocimiento de φ para n de la forma pk se puede obtener φ para n general, si supieramos que φ satisface φ(n1 n2 ) = φ(n1 )φ(n2 ) cuando mcd(n1 , n2 ) = 1. Pero aquı́ vamos
a seguir otro camino para obtener φ(n) y de ese resultado obtenemos la propiedad citada.
V.1. FUNCIÓN φ DE EULER
3
Q
Por conveniencia, para ∅ 6= J ⊆ Ik , escribimos pJ = j∈J pj . Entonces, similarmente tenemos que
\
\
Ai =
{m : 1 ≤ m ≤ n, pi |m}
i∈J
i∈J
= {m : 1 ≤ m ≤ n, ∀i ∈ J, pi |m}
= {m : 1 ≤ m ≤ n, pJ |m}
= {`pJ : 1 ≤ ` ≤ n/pJ }.
y por lo tanto
\ Ai = n/pJ .
i∈J
Entonces
|Rn | =
X
(−1)|J|−1
∅6=J⊆Ik
n
pJ
y
φ(n) = |Rn |
= n − |Rn |
X
n
= n−
(−1)|J|−1
pJ
∅6=J⊆Ik


X
1
= n · 1 +
(−1)|J| 
pJ
∅6=J⊆Ik
Finalmente, notamos que
1+
X
∅6=J⊆Ik
Y
1
1
(−1)
=
1−
pJ i∈I
pi
|J|
k
(como ejemplo,
(1 − 1/p1 )(1 − 1/p2 )(1 − 1/p3 ) = 1 − 1/p1 p2 − 1/p2 p3 − 1/p1 p3 + 1/p1 p2 p3
) y por lo tanto
φ(n) = n ·
Y
i∈Ik
1
1−
pi
.
De la expresión para φ(n) podemos deducir la siguiente propiedad de la función
φ: si n = n1 n2 con mcd(n1 , n2 ) = 1, entonces
φ(n) = φ(n1 n2 ) = φ(n1 )φ(n2 ).
Se dice que φ es una función multiplicativa.
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CAPÍTULO V. TEOREMAS DE FERMAT, EULER Y WILSON
V.2.
Teorema de Fermat
Teorema 1 Sea p primo. Para todo natural n ≥ 0, p divide np − n.
Prueba. Usamos inducción sobre n. Para n = 1, se tiene np − n = 0 y p
divide 0. Como hipótesis de inducción, asumimos que p divide np − n para
n ≥ 1 y lo probamos para n + 1. Utilizando el teorema binomial, se tiene que
p p−1
p p−2
p
p
p
(n + 1) − (n + 1) =
n +
n
+
n
+ ··· +
n + 1 − (n + 1)
1
2
p−1
p p−1
p p−2
p
p
= (n − n) +
n
+
n
+ ··· +
n.
1
2
p−1
Por hipótesis de inducción p divide np − n. Veamos que p divide pk para
1 ≤ k < p: claramente p divide
p
k!
= p(p − 1) · · · (p − k + 1),
k
pero para k < p, p no divide k! = 1 · 2 · 3 · · · · · k (porque k! es producto de
factores menores ó iguales a k y por lo tanto sus factores primos son menores
ó iguales a k), y por lo tanto el lema de Euler implica que p divide pk . Por lo
tanto p divide (n + 1)p − (n + 1).
Prueba. (Alternativa) Esta prueba se basa en analizar los diferentes brazaletes posibles con p cuentas cada una de n colores posibles. Puesto que cada
una de las p cuentas puede tener uno de los n colores, se tiene inicialmente que
el número de brazaletes es np . Sin embargo, algunos de estos son esencialmente
el mismo: uno corresponde a una rotación del otro. La figura V.2 ilustra el caso
p = 4 (no primo) y n = 2. Cada fila corresponde a una clase de equivalencia
bajo rotación; en este caso los tamaños posibles son 1, 2 y 4. La figura V.2
ilustra el caso p = 5 (primo) y n = 2. En este caso, excepto los brazaletes monocromáticos, todas las clases de equivalencia tienen tamaño 5. El argumento
general es el siguiente:
- El número de brazaletes no monocromáticos es np − n.
- Todas las clases de equivalencia tienen tamaño p: Consideramos las rotaciones con un ángulo múltiplo de θp = 2π/p. Para un brazalete, sea
k ≥ 1 el mı́nimo k tal que una rotación con un ángulo kθp transforma el
brazalete en si mismo. Por una parte k > 1 porque k = 1 implica que el
brazalete es monocromático, y por la otra k ≤ p (porque ciertamente la
rotación con ángulo pθp = 2π reproduce el brazalete original. Por el teorema de la división, existen enteros q, r con 0 ≤ r ≤ k tal que p = qk + r.
V.2. TEOREMA DE FERMAT
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A
A
A
A
R
R
R
R
R
A
A
A
R
R
R
A
A
A
A
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R
R
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R
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R
A
A
A
A
A
A
R
A
A
A
R
Figura V.1: Brazaletes con 4 cuentas de 2 colores. Los brazaletes en cada fila
se pueden obtener del primero por rotación.
6
CAPÍTULO V. TEOREMAS DE FERMAT, EULER Y WILSON
A
A
A
R
A
A
A
R
A
A
R
A
A
R
A
A
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R
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R
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A
R
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
R
A
A
A
R
A
A
A
R
R
A
Figura V.2: Brazaletes con 5 cuentas de 2 colores, excepto los 2 monocromáticos. Los 5 brazaletes en cada fila se pueden obtener del primero por rotación.
Se concluye que 5 | 30.
V.3. TEOREMA DE EULER
7
Pero si r > 0, esto significa que una rotación con un ángulo rθp transforma el brazalete en si mismo (la rotación con ángulo pθp se puede dividir
en una rotación con ángulo qkθp la cual reproduce la rotación inicial y
una con ángulo rθp la cual de nuevo reproduce la configuración inicial
porque completa una vuelta), lo que es una contradicción con la minimalidad de k. Por lo tanto r = 0 y de aquı́ que p = qk. Pero, puesto que p
es primo y k > 1, debe ser el caso que k = p.
- Finalmente, se tienen np − n brazaletes agrupados en clases de equivalencia de tamaño p, por lo tanto concluı́mos que p divide np − n.
V.3.
Teorema de Euler
Ahora probamos una generlización del teorema de Fermat, llamada teorema de
Euler. En la prueba siguiente usamos que si n divide a − b, entonces n divide
ak − bk lo cual se deduce de la factorización
ak − bk = (a − b)(ak−1 + ak−2 b + · · · + abk−2 + bk−1 ).
Teorema 2 Si n ≥ 1 y mcd(a, n) = 1, entonces aφ(n) − 1 es divisible por n
Prueba. Primero probamos usando inducción sobre k que para p primo y a
k
tal que mcd(a, pk ) = 1, aφ(p ) − 1 es divisible por pk . El caso base k = 1 se
deduce del teorema de Fermat: por eéste,
p | (ap − a) = a(ap−1 − 1).
Pero puesto que mcd(a, n) = 1, por el lema de Euler se concluye que
p | (ap−1 − 1).
Asumimos como hipótesis de inducción que
k
pk | (aφ(p ) − 1).
Es decir, existe un entero q tal que
k
aφ(p ) = 1 + qpk .
Primero notamos que
φ(pk+1 ) = pk+1 (1 − 1/p) = pφ(pk );
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CAPÍTULO V. TEOREMAS DE FERMAT, EULER Y WILSON
entonces, usando el teorema binomial obtenemos
k+1 )
aφ(p
k
= apφ(p )
k
= (aφ(p ) )p
= (1 + qpk )p
p
p
p
k
k 2
= 1+
qp +
(qp ) + · · · +
(qpk )p−1 + (qpk )p .
1
2
p−1
Teniendo en cuenta que p1 = p, se observa que todos los terminos de la derecha
después del 1 son divisibles por pk+1 (puesto que k ≥ 1, 2k ≥ k + 1, y ası́ los
términos siguientes ciertamente son divisibles por pk+1 ). Por lo tanto
k+1 )
pk+1 | (aφ(p
− 1).
Ahora para el caso general, consideramos la factorizacón prima de n:
n = pk1 1 · pk2 2 · · · · · pkr r .
Note que si mcd(a, n) = 1, entonces mcd(a, pki i ) = 1. Como hemos probado el
caso n = pk , lo aplicamos a cada pki i y obtenemos que
ki
pki i | (aφ(pi ) − 1)
Puesto que φ es multiplicativa, φ(n)/φ(pki i ) es un entero, y usando que m | (a−
b) implica m | (a` − b` ) con la potencia ` = φ(n)/φ(pki i ) concluı́mos que para
i = 1, . . . , r
ki
pki i | (a`φ(pi ) − 1` ) = (aφ(n) − 1).
Finalmente, puesto que los pi son primos diferentes, esto implica que
n = pk1 1 pk2 2 · · · pkr r | (aφ(n) − 1).
V.4.
Teorema de Wilson
Teorema 3 Sea p primo. Entonces p divide (p − 1)! + 1.
Prueba. Consideramos polı́gonos con p vértices, p-gonos; los vértices se consideran separados uniformemente por un ángulo θp = 2π/p sobre una circumferencia. La figura ilustra el caso p = 5. Si fijamos un vértice, una permutación
de los otros p − 1 vértices especifica la secuencia de conexiones. Sin embargo, se
obtiene el mismo p-gono con las dos permutaciones diferentes, que corresponden a las dos direcciones desde el vértice inicial. Ası́ que el número de p-gonos
posibles es
(p − 1)!
.
2
V.4. TEOREMA DE WILSON
9
Figura V.3: Pentágonos.
Para p = 5, este número es 12 y estos se muestran en la figura. Algunos de
estos p-gonos, llamados “estelares” son especiales en que se reproducen bajo
una rotación con ángulo θp . Cada uno de estos está especificado por un entero
k, 1 ≤ k < p, que indica el número de vértices que “salta” en cada conexión
(note que se regresa al vértice inicial por primera vez después de ` saltos con
ángulo kθp precisamente cuando ` = p, debido a la primalidad de p: se regresa
al vértice inicial por primera vez después de rotar np veces θp para algún n, lo
que implica np = k` y, puesto que k < p, entonces que ` es un múltiplo de p;
finalmente ` = p y n = k nos da el primer retorno al vértice inicial). De nuevo,
por la simetrı́a en las dos posibles direcciones, sólo existen
p−1
2
de estos p-gonos. La primera fila en la figura muestra los dos pentágonos estelares. Ignorando los p-gonos estelares, nos quedan
(p − 1)! − (p − 1)
2
p-gonos. Un argumento como el usado en la prueba del teorema de Fermat
prueba que estos p-gonos no estelares se agrupan en clases de equivalencia de
tamaño p bajo rotación por ángulos múltiplos de θp . La segunda y tercera fila
en la figura muestran las dos clases de equivalencia para p = 5. Por lo tanto
p|
(p − 1)! − (p − 1)
.
2
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CAPÍTULO V. TEOREMAS DE FERMAT, EULER Y WILSON
Por lo tanto
p | ((p − 1)! − (p − 1))
y
p | ((p − 1)! + 1).
La implicación contraria también es cierta: Si p divide (p − 1)! + 1 entonces p
es primo. (Ejercicio.)
Congruencias
Para p, q ∈ Z y n ∈ N con n ≥ 1, se dice que p y q son congruentes módulo
n si n divide p − q. Esto se escribe
p ≡ q (módn).
Con este concepto, los tres teoremas anteriores se pueden escribir como
ap ≡ a (módp) para p primo
aφ(n) ≡ 1 (módn) para mcd(a, n) = 1
(p − 1)! ≡ −1 (módp) para p primo.