16 Teorema Bayes

Teorema de Bayes
Una visión divina de la personalización
Thomas Bayes, 1702 - 1761
Por Ricci Graham
Knowledge Management. Enero 2001.
siguió el llamado de su padre, siendo ordenado en la
iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells a finales de la
década de 1720; sin embargo él retuvo su pasión por las
matemáticas, particularmente en el área de probabilidad
y estadística.
Nació: 1702 en Londres, Inglanterra
Murió: 17 de Abril 1761 en Tunbridge
Wells, Kent, Inglanterra
Muchos grandes hombres parecen haber nacido
anticipados a su época. Este axioma es particularmente
apto cuando se aplica al reverendo Thomas Bayes, un
teólogo inglés del siglo XVIII quien fue además un
matemático. Sus esfuerzos eclesiásticos para salvar las
almas de los protestantes ingleses han desaparecido
gradualmente de la memoria del publico; pero sus
exploraciones matemáticas –irrelevantes hace 200 añosson considerablemente significativas ahora.
Bayes fue autor de trabajos en teología, pero
actualmente es mejor conocido por un par de tratados
matemáticos. "Introducción a la Doctrina de Fluxiones"
(1736) defiende las bases lógicas de los cálculos de
Isaac Newton en contra del ataque del Arzobispo George
Berkeley. "Ensayo para Resolver un Problema en la
Doctrina de Probabilidad" (publicación póstuma en
1763), generalmente se dice ser su trabajo más
convincente, el cual intenta establecer una fórmula
para calcular probabilidades entre diferentes variables
que están relacionadas casualmente pero para las cuales
las relaciones no pueden ser fácilmente derivadas por
medio de la experimentación.
Las teorías que él desarrolló durante los años de
1700 en el área de probabilidad y estadística subrayan
algunos sistemas "inteligentes" de Software que
aprenden del input del usuario para personalizar
información. Estas teorías además han sido acreditadas
por avances en investigaciones legales y médicas. Visto
como un excéntrico durante su tiempo de vida, Bayes es
ahora percibido como un visionario.
Aquí en el siglo XXI, las fórmulas de probabilidad
que una vez parecieron tan esotéricas son la base para
aplicaciones en negocios marcadamente innovadores.
Corporaciones y grupos de investigación han aplicado
la base de los teoremas de probabilidad de Bayes, para
incrementar la estimación y mejorar los sistemas de
basados en conocimiento y agregar contexto a la
información. Por ejemplo, cuando se aplica a la
epidemiología, su trabajo puede ayudar a discernir la
probabilidad de que una enfermedad sea encontrada en
un grupo de personas con una característica dada, en la
base de las tasas globales de esa enfermedad y el
predominio de esa característica tanto en individuos
saludables como enfermos. Su uso más común es en
decisiones de análisis clínico, estimando la probabilidad
de un diagnóstico particular dada la aparición de algún
síntoma o resultado de un examen.
Nacido en Londres en 1702, Thomas Bayes fue el
hijo de un ministro, un disidente que se oponía a las
doctrinas y practicas de la iglesia de Inglaterra. Bayes
En el mundo de la alta tecnología, las matemáticas
Bayesianas han influenciado compañías como Microsoft
Corp. y Autonomy Corp. en el desarrollo de softwares
132
Teorema de Bayes
«Basado en el Conocimiento». En el asistente de
Microsoft Office –el módulo de ayuda para la adecuada
productividad de su negocio- los teoremas de Bayes
ayudan al software a evaluar los problemas de los
usuarios y a determinar qué consejo proporcionarle. De
este modo, el asistente de Office puede modificar la
elección de avisos que ofrece, mientras gana
conocimiento de los hábitos del individuo.
En Autonomy Corp., sus teoremas apoyan softwares
que pueden automáticamente organizar extensos e
inestructurados volúmenes de información, en
información relevante que ayuda a agruparse en lugares
de internet y sitios comerciales en la Web los cuales
sirven a las necesidades de cambio de los usuarios.
Si las fórmulas de Bayes son útiles ahora, ¿por qué
fueron ignoradas tanto tiempo? Cuando él desarrolló
los teoremas hace 200 años, había poco uso práctico
para ellos; algunos estudiantes de probabilidad los
aplicaron en discusiones concernientes a la existencia
de Dios, mientras que otros usaron sus teorías para
evaluar las probabilidades en apuestas.
Sin embargo, en esta época de avances tecnológicos
bruscos, con la escalada del poder de las computadoras
y el desarrollo de ecuaciones matemáticas claves, los
científicos han descubierto maneras más directas de
poner los principios de Bayes a trabajar. Parece que el
conocimiento, se encuentra en el ojo del espectador.
133
Teorema de Bayes
Revisión de las estimaciones anteriores. Teorema de Bayes
Los conceptos teóricos
de este tema se
encuentran en el libro
de texto en el capitulo
4.7 (páginas 196-201)
2.1 Un dado está cargado, de tal forma que el 40% de
las veces marca «1». Otro dado «B» está cargado y
marca «1» un 70% de las veces. Si se selecciona al
azar un dado y este da un «1».
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea el dado
A?
2.2- La compañia Beck’s utiliza tres políticas para
recuperar las cuentas por cobrar: Visitas personales 70%
con un 75% de éxito. Llamadas telefónicas 20% con
un 60% de recuperación. A través de carta 10% con un
65% de efectividad.
a. Calcule la efectividad conjunta para recuperar la
mora como porcentaje de personas que han pagado
su mora
2.3- Un gerente de personal ha establecido que el 50%
de los trabajadores que fueron contratados sin test de
aptitud trabajan en forma satisfactoria en su puesto y
el otro 50% no hace un trabajo satisfactorio. Así mismo,
del otro grupo de empleados que se sometieron al test
de aptitud el gerente obtuvo la siguiente información:
- Del 100% de los trabajadores que hoy día hacen
bien su trabajo (opinión de su jefe inmediato):
- El 90% de ellos aprobaron dicho test de aptitud.
- El 10% de ellos reprobaron dicho test de aptitud.
- Del 100% de los trabajadores que hoy día no hacen
bien su trabajo, (opinión de su jefe inmediato):
- El 85% de ellos reprobaron dicho test de aptitud.
- El 15% de ellos aprobaron dicho test de aptitud.
satisfactorio en el trabajo, si un solicitante escogido
al azar pasa el test?. O sea, ¿cuál es la probabilidad
de que el rendimiento de un solicitante sea
satisfactorio si aprueba el test?
b. ¿Cuál es la probabilidad posterior del rendimiento
satisfactorio en el trabajo, si un solicitante escogido
al azar reprueba el test? O sea, ¿cuál es la
probabilidad de que el rendimiento de un solicitante
sea satisfactorio si reprueba el test?
2.4- Se realiza una nueva película. La compañia
productora juzga la probabilidad de un éxito arrollador
en p =.0.30. También sabe que cierto crítico gusta del
75% de todas las películas que al final resultaron
grandes éxitos, así como él expresó su desatisfacción
con el 25% de las películas que al final resultaron ser
éxito. Por otra parte, el crítico expresó que no le
gustaban el 90% de todas las que al final resultaron
rotundos fracasos, sin embargo, expresó su opinión
favorable en el 10% de las películas que resultaron ser
un fracaso. Si la compañía utiliza el método de Bayes,
a. ¿Cómo corregiría su cifra de probabilidad de éxito
si supiera que el crítico elogió la película?
b. Refierase al resultado del inciso «a», donde el primer
crítico dio una opinión favorable. Un segundo crítico
da también una opinión favorable. ¿Cómo cambian
las probabilidades posteriores?
Olvide los incisos «a» y «b» y replantee el siguiente
escenario:
c. ¿Qué pasaría con las probabilidades posteriores si
el primer crítico reprueba la película severamente
(o sea, da una opinión desfavorable?
d. Posteriormente al primer crítico que dio una opinión
desfavorable, un segundo crítico da una opinión
favorable. ¿Cómo cambian las probabilidades
posteriores?
2.5- Un productor de vino ha diseñado una nueva y
distintiva botella con la esperanza de aumentar sus
ventas. El gerente ha estimado la probabilidad de éxito
en 0.50. A fin de informarse mejor de la percepción de
los clientes, pide un estudios de mercado.
a. ¿Cuál es la probabilidad posterior del rendimiento
134
Teorema de Bayes
El sabe que cuando la economía están por elevarse,
(la demanda de este tipo de producto sube), los
consumidores muestran estar motivados y confiados
en la economía en un 90% de los estudio. Pero también
en un 10% de los estudios dirán lo contrario (o sea, los
consumidores entrevistados dirán estar desmotivados
y pesimistas con la economía).
Así mismo, cuando la economía están en recesión,
(la demanda de este tipo de producto baja ) los
consumidores no se impresionan, se muestran
desmotivados en un 60% de los estudios, y en un 40%
de los casos dirá lo contrario. (o sea, los consumidores
entrevistados dirán estar motivados y confiados con la
economía).
Al realizar un nuevo estudio, éste muestra gran
entusiasmo y optimismo por parte de los consumidores
a. ¿Cuál es la probabilidad posterior de éxito?
b. ¿Cuál es la probabilidad posterior de fracaso?
Al realizar un segundo estudio, éste muestra gran
entusiasmo y optimismo por parte de los consumidores
c. ¿Cuál es la probabilidad posterior de éxito?
d. ¿Cuál es la probabilidad posterior de fracaso?
135
Teorema de Bayes
Resolución de Ejercicios propuestos
Ejercicio 2.1
P(B/1) = P(B1)/P(1)
P(A/1) = P(A1)/P(1)
Evento
Probabilidad
Elemental del evento
Dado A
0.5
Dado B
0.5
1.0
Probabilidad de escoger
aleatoriamente el
dado “X” de una caja
P(“1”/evento
elemental)
0.4
0.7
Probabilidad de que el
dado seleccionado sea
el “x” y que el número
obtenido sea “1”
P(“1”,evento
elemental)
0.4*0.5=0.20
0.7*0.5=0.35
P(“1”) = 0.55
Probabilidad de obtener
un “1” en el dado
“X”
Probabilidad
(Dado X/”1”)
0.2/0.55= 0.36
0.35/0.55=0.64
1.00
Probabilidad de que
el resultado de lanzar
el dado sea “1”
Ejercicio 2.2
Evento
Probabilidad
(Política)
del evento
Visita
0.7
Teléfono
0.2
Carta
0.1
1.00
P(“Pague”
/evento)
0.75
0.60
0.65
P(“pague” y
suceda evento)
0.7*0.75 = 0.525
0.2*0.6 = 0.120
0.1*0.65 = 0.065
P(“pague”) = 0.71
P (Evento/
”Pagó”)
0.525/0.71= 0.74
0.12/0.71 = 0.17
0.065/0.71= 0.09
1.00
136
Teorema de Bayes
Tabla de Ayuda para ejercicio #2.3
Evento.
P(evento) P(
/ evento)
Total
La probabilidad del
evento "
"=
P(evento
y
P(evento /
)
)
1.00
137
Teorema de Bayes
Tabla de Ayuda para ejercicio #2.4
Evento.
P(evento) P(
/ evento)
Total
La probabilidad del
evento "
"=
P(evento
y
P(evento /
)
)
1.00
138
Teorema de Bayes
Tabla de Ayuda para ejercicio #2.5
Evento.
P(evento) P(
/ evento)
Total
La probabilidad del
evento "
"=
P(evento
y
P(evento /
)
)
1.00
139
Teorema de Bayes
Tabla de Ayuda extra
Evento.
P(evento) P(
/ evento)
Total
La probabilidad del
evento "
"=
P(evento
y
P(evento /
)
)
1.00
140
0.85
0.10
La probabilidad del
evento "reprobar la
prueba" es =
0.50
No
satisfactorio
Total
0.50
Satisfactorio
0.475
0.425
0.05
1.00
0.89
0.11
P(evento P(evento /
y
reprobar
reprobar el test)
el test)
0.15
No satisfactorio
Evento.
P(evento) P(reprobar
El
el test /
rendimiento
evento)
final del
empleado es..
0.90
Aprueba
Total
No
satisfactorio
Satisfactorio
0.15
0.90
La probabilidad del
evento "aprobar la
prueba" es =
0.50
0.50
Evento.
P(evento) P(aprobar
El
el test/
rendimiento
evento)
final del
empleado es..
0.85
0.10
Reprueba
En el test de aptitud, el candidato
……….. el test.
Satisfactorio
Al final, el
rendimiento del
empleado es …
Ejercicio 2.3. Pruebas de aptitud a empleados “Tip”
0.525
0.075
0.45
1.00
0.14
0.86
P(evento P(evento /
y aprobar aprobar el
el test)
test)
Teorema de Bayes
141
Total
Un
fracaso
0.10
La probabilidad del
evento "crítico de una
opinión favorable" es
=
0.7
0.295
0.070
1.00
0.24
P(evento /
crítico de
opinión
favorable)
0.76
0.90
0.25
Desfavorable
0.90
0.25
La probabilidad del
evento "crítico de una
opinión no favorable"
es =
0.7
Un
fracaso
Total
0.3
Un éxito
arrollador
P(evento) P(crítico da
Evento.
La
opinión no
película
favorable /
resulta en:
evento)
0.10
Un fracaso
Evento.
P(evento) P(crítico P(evento y
La
de opinión crítico)
película
favorable/
resulta en:
evento)
Un éxito
0.3
0.75
0.225
arrollador
0.75
Favorable
La opinión del crítico respecto a las
películas fue:
Un éxito
Al final, las
películas
resultaron en …
Ejercicio 2.4. La nueva película y el crítico. Tip
0.705
0.630
0.075
P(evento
y crítico)
1.00
0.89
0.11
P(evento /
crítico da
opinión no
favorable)
Teorema de Bayes
142
0.40
0.90
La probabilidad del
evento "estudio con
opinión favorable" es =
0.50
Un fracaso
Total
0.50
Un éxito
Evento.
P(evento) P(resultado
El resultado
de estudios es
del nuevo
favorable /
Producto
evento)
(botella)
es..
0.65
0.20
0.45
1.00
0.31
0.69
P(evento /
resultado
de
estudios es
favorable)
Respondió
positivamente.
Ventas altas ‡ Éxito
Respondió
negativamente.
Ventas bajas ‡
Fracaso
Al final el
mercado ……..
P(evento
y
resultado
del
estudio)
Ejercicio 2.5. Nuevo diseño
de la botella
Total
Evento.
0.40
/ evento)
La probabilidad del
evento "
"=
P(evento) P(
0.60
Motivados,
No motivados,
interesados, creen indiferentes, creen
que Ventas (Gral.) que Ventas (Gral.)
subirán
bajarán
0.90
0.10
Los consumidores se mostraron en el
estudio…
)
P(evento
y
1.00
)
P(evento /
Teorema de Bayes
143