Soluciones Especiales de la Ecuación Hipergeométrica Matricial

Soluciones Especiales de la Ecuación Hipergeométrica Matricial
Sebastián Simondi
Instituto de Ciencias Básicas. Universidad Nacional de Cuyo.
ssimondi@uncu.edu.ar
La importancia de la ecuación diferencial hipergeométrica introducida por Euler en 1769 y de la función
hipergeométrica fue percibida por matemáticos famosos como Gauss, Kummer y Riemman. Desde entonces
muchos otros estudiaron diversas generalizaciones y aplicaciones a problemas de distintas ramas de la ciencia
tales como la fı́sica, la ingenierı́a y la estadı́stica.
Toda ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con tres puntos singulares regulares puede transformarse
en una ecuación diferencial hipergeométrica de la forma
z(1 − z)f 00 (z) + (c − z(a + b + 1))f 0 (z) − abf (z) = 0,
donde a, b y c son números complejos. Si c no es un entero positivo se verifica que la única solución analı́tica de
la ecuación hipergeométrica que en z = 0 vale 1 esta dada por la Función Hipergeométrica de Gauss definida
P
n
n (b)n z
por 2F1 ( a c, b ; z) = n≥0 (a)(c)
n! , donde (w)n = w(w + 1) . . . (w + n − 1).
n
Si V un espacio vectorial complejo d-dimensional y A, B y C ∈ End(V ) J. Tirao en [Ti] introdujo la ecuación
diferencial matricial hipergeométrica
(1)
z(1 − z)F 00 (z) + (C − z(A + B + 1))F 0 (z) − ABF (z) = 0
donde F denota una función compleja con valores en V . Además probó que si spec(C) ∩ (−N0 ) = ∅ entonces la
función hipergeométrica matricial de Gauss
X A ; B zn
A;B
;z =
2 F1
C
C
n n!
n≥0
donde
A;B
C
0
= I, y
A;B
C
n+1
= (C + n)−1 (A + n)(B + n)
A;B
C
n
para n ≥ 0, es la una función analı́tica en |z| < 1 con valores en End(V ). Además si F0 ∈ V , entonces
F (z) = 2 F1 AC; B ; z F0 es la única solución de la ecuación (1) tal que F (0) = F0 .
Por otra parte si spec(C) ∩ [(spec(C) + N) ∪ (N + 1)] = ∅ y G0 es un autovector de C de autovalor β entonces
X A+1−β ; B+1−β z n+1−β
F (z) = z 1−β 2 F11−β AC; B ; z G0 =
G0
C+1−β
n (2 − β)n
n≥0
es una solución de la ecuación hipergeométrica (1) sobre una región simplemente conexa de C − {0, 1}.
En dos trabajos [RS1] y [RS2], generalizamos la ecuación hipergeométrica matricial extendiendo naturalmente
el número de parámetros, de esta manera consideramos y resolvimos la siguiente ecuación hipergeométrica
matricial generalizada
d
d
d
d
(2) z
z
+ B1 − 1
z
+ B2 − 1 . . . z
+ Bm − 1 F (z)
dz
dz
dz
dz
d
d
d
−z z
+ A1
z
+ A2 . . . z
+ An F (z) = 0,
dz
dz
dz
donde n, m ∈ Z≥0 , A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ∈ Cr×r y F denota una función compleja con valores en Cr . Si los
autovalores de B1 , . . . , Bm no pertenecen al conjunto {0, −1, −2, . . .} introducimos la siguiente generalización
de la función hipergeométrica matricial
∞
X
z j A1 ; ... ;An A1 ; ... ;An
.
n Fm B1 ; ... ;Bm ; z =
j! B1 ; ... ;Bm j
j=0
que en el caso que n = 2 y m = 1 se obtiene
la función hipergeométrica matricial de Gauss. Estudiamos
1 ; ... ;An
propiedades de las funciones n Fm A
;
z
.
B1 ; ... ;Bm
Para finalizar presentaremos nuevas soluciones de la ecuación hipergeométrica diferencial (1) cuando spec(C) ∩ Z 6= ∅.
En estas nuevas soluciones se escriben en términos de logarı́tmos y funciones hipergeométricas matriciales y
son generalizaciones de las soluciones clásicas. Además estudiaremos la convergencia de estas funciones y sus
propiedades principales.
1
2
Referencias:
[Ti] T. Tirao, The matrix-valued hypergeometric equation, Proc. Natl Acad. Sci U.S.A. 100 (14) (2003)
8138-8141.
[RS1] P. Román, S. Simondi. ”The Generalized Matrix Valued Hypergeometric Equation.” International
Journal of Mathematics. Vol 21 February 2010.
[RS2] P. Román, S. Simondi. ”Solutions at infinity of the generalized matrix-valued hypergeometric equation”
Applied Mathematics Letter. 23. 2010.