Lección 9. Funciones.

Apuntes de Matemática Discreta
9. Funciones
Francisco José González Gutiérrez
Cádiz, Octubre de 2004
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
ii
Lección 9
Funciones
Contenido
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Definiciones y Generalidades
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.1
Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.2
Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.3
Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.1.4
Función Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2.1
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.2
Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.3
Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.1
Función Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.2
Función Suprayectiva
9.3.3
Función Biyectiva
9.3.4
Composición y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Función Inversa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.4.1
Función Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.4.2
Caracterización de una Función Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Composición de Funciones e Inversa de una Función . . . . . . . . . . . . . 258
9.5.1
Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.5.2
Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.5.3
Inversa de la Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Hija orgullosa del Número y del Espacio, he aquı́ a la función.
François Le lionnais
Las funciones son un tipo especial de relaciones binarias. Una función puede tomarse como una relación
de entrada-salida; es decir, para cada entrada o argumento, una función produce una salida o valor. Las
funciones son la base de muchas de las más poderosas herramientas matemáticas, y muchos de nuestros
conocimientos en informática pueden ser codificados convenientemente describiendo las propiedades de
cierto tipo de funciones. En esta lección definiremos las funciones en general y varios casos particulares.
La notación y terminologı́a que utilizamos se usa ampliamente en matemáticas e informática.
225
Universidad de Cádiz
9.1
Departamento de Matemáticas
Definiciones y Generalidades
Una función de un conjunto A en otro conjunto B es una regla que asigna un elemento de B a cada
elemento de A. Notaremos las funciones con las letras f, g, h, . . ..
9.1.1
Función
Sean A y B dos conjuntos no vacı́os. Una función de A en B, y que notaremos f : A −→ B, es una
relación de A a B en la que para cada a ∈ A, existe un único elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . Si
(a, b) ∈ f , escribiremos f (a) = b y diremos que b es la imagen de a mediante f .
Es decir, una función f de A en B es una relación de A a B con las caracterı́sticas especiales siguientes:
1. Cada elemento de A se presenta como la primera componente de un par ordenado de la relación f .
Obsérvese que esto significa que Dom (f ) = A, luego
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
o sea, para cada elemento a de A ha de encontrarse un elemento b en B tal que f (a) = b.
2. Si f (a) = b1 y f (a) = b2 , entonces b1 = b2 .
Las dos condiciones anteriores nos ofrecen la siguiente caracterización de una función.

1. ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b



y
f : A −→ B es función ⇐⇒



2. ∀a ∈ A [f (a) = b1 ∧ f (a) = b2 =⇒ b1 = b2 ]
Nota 9.1 Si en la caracterización anterior negamos ambos miembros, la contrarrecı́proca nos ofrece
una forma sencilla de comprobar que f no es una función.

1. ∃a ∈ A : f (a) 6= b, ∀b ∈ B



ó
f : A −→ B no es función ⇐⇒



2. ∃a ∈ A : (f (a) = b1 ∧ f (a) = b2 ) ∧ b1 6= b2
Es decir, una relación f de A a B puede dejar de ser función porque exista algún elemento en A que
no sea imagen, mediante f , de ninguno de B, o bien porque exista algún elemento en A que tenga dos
imágenes.
Las funciones reciben también el nombre de aplicaciones o transformaciones, ya que desde un punto
de vista geométrico, podemos considerarlas como reglas que asignan a cada elemento a ∈ A, el único
elemento f (a) ∈ B.
9.1.2
Dominio e Imagen
Si f es una función de A en B, entonces A es el dominio de f y su imagen es el subconjunto de B,
Img (f ) = {b ∈ B, ∃a : a ∈ A ∧ f (a) = b}
Ejemplo 9.1 Sean A = {1, 2, 3, 4} , B = {a, b, c, d} y f = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, c)}. Comprobar que
f es una función.
226
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Solución
En efecto, todos los elementos de A aparecen como primer elemento de un par ordenado en la relación,
y ninguno como primero de dos pares diferentes. En la función propuesta,
f (1) = a, f (2) = a, f (3) = d, f (4) = c
La figura siguiente muestra un esquema de la situación.
f
1 •
• a
2 •
• b
3 •
• c
4 •
• d
A
B
Obsérvese que el elemento a ∈ B aparece como segundo elemento de dos pares diferentes de f , es decir,
es imagen de dos elementos distintos de A y además existen elementos en B que no son imagen de ningún
elemento de A. Ninguna de las dos cosas causa conflicto con la definición de función.
Ejemplo 9.2
de A en B.
Sean A = {1, 2, 3} y B = {x, y, z}. Determinar si las relaciones siguientes son funciones
(a) R1 = {(1, x), (2, x)}
(b) R2 = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y)}
Solución
(a) R1 no es una función ya que existen elementos de A que no son primer elemento de ningún par de
la relación, es decir, que no tienen imagen en el conjunto B.
(b) R2 tampoco es función ya que contiene los pares ordenados (1, x) y (1, y), es decir, el 1 tiene dos
imágenes distintas, x e y, lo cual viola la segunda condición de la definición de relación.
La dificultad que encontramos en R1 para que no sea función, no es tan seria como la que presenta la
relación R2 . Obsérvese que R1 es una función del conjunto {1, 2} en B. Esto ilustra la idea general de
que, si una relación f de A en B satisface la segunda condición de la definición anterior, entonces f será
una función del Dom (f ) en B.
Ejemplo 9.3
Sean A = B = Z y f definida en la forma:
f : A −→ B : f (a) = a + 1, ∀a ∈ A
Determinar si f es una función.
Solución
La relación definida está formada por todos los pares ordenados (a, a + 1), siendo a ∈ Z, es decir, f hace
corresponder a cada número entero el siguiente. Veamos si f es función.
227
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
1. Para cada a entero, tomando b = a + 1, tendremos que b también es entero, y
b = a + 1 =⇒ a = b − 1 =⇒ f (a) = f (b − 1) =⇒ f (a) = b − 1 + 1 =⇒ f (a) = b
luego,
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
2. Sea a cualquiera de A. Entonces,



f (a) = b1 
 a + 1 = b1 
y
y
=⇒
=⇒ b1 − b2 = 0 =⇒ b1 = b2



f (a) = b2
a + 1 = b2
f cumple, pues, las dos condiciones exigidas para ser función.
Ejemplo 9.4
Sean A = Z y B = {0, 1}. Determinar si
(
0, si a es par.
f : A −→ B : f (a) =
1, si a es impar.
es una función.
Solución
Veamos si cumple las dos condiciones de función.
1. Sea a ∈ A, cualquiera, entonces como a es un número entero, entonces ha de ser par o impar, luego
tomando b = 0 en el primer caso y b = 1 en el segundo,
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
2. Sea a cualquiera de A y sean b y c de B tales que
f (a) = b y f (a) = c
Entonces,

 b=0
y


f (a) = b 
c=0
y
=⇒ 

 b=1
f (a) = c
y

c=1





, si a es par









=⇒ b = c




, si a es impar 




luego,
∀a ∈ A, [f (a) = b ∧ f (a) = c =⇒ b = c]
Consecuentemente, f es una función.
Ejemplo 9.5 Sean A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}. Determinar si las siguientes relaciones de A en B
son funciones. En caso de que lo sean dar su imagen.
(a) R = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)}
(b) R = {(a, 1), (b, 2), (a, 2), (c, 1), (d, 2)}
(c) R = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
(d) R = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
228
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Solución
Llamaremos f a las relaciones que sean funciones.
(a) R = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)}
Si es función.
f : A −→ B tal que f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 1, f (d) = 2
Img (f ) = {y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y} = {1, 2}
(b) R = {(a, 1), (b, 2), (a, 2), (c, 1), (d, 2)}
No es función, ya que f (a) = 1 y f (a) = 2, siendo 1 6= 2.
(c) R = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
No es función, ya que Dom (R) 6= A
(d) R = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
Si es función.
f : A −→ B tal que f (x) = 1, ∀x ∈ A
Img (f ) = {1}
Ejemplo 9.6
Verificar que las fórmulas siguientes producen una función de A en B.
(a) A = B = Z; f (a) = a2
(b) A = B = R; f (a) = ea
(
(c) A = R, B = {0, 1} ; f (a) =
0, si a ∈
/Z
1, si a ∈ Z
(d) A = R, B = Z y f (a) es igual al mayor número entero que sea menor o igual que a.
Solución
Veamos si se cumplen las condiciones de función.
(a) A = B = Z; f (a) = a2
f : A −→ B tal que f (a) = a2 , ∀a ∈ A
1. Sea a cualquiera de A. Entonces, tomando b = a2 , tendremos que b ∈ B y
√ √ 2
√
b = a2 =⇒ a = b =⇒ f (a) = f
b =⇒ f (a) =
b =⇒ f (a) = b
luego,
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
2. Si f (a) = b1 y f (a) = b2 , entonces a2 = b1 y a2 = b2 de donde se sigue que b1 = b2 .
f cumple las dos condiciones, luego es una función de Z en Z.
(c) A = B = R; f (a) = ea
f : R −→ R tal que f (a) = ea , ∀a ∈ R
1. Sea a cualquier número real. Entonces, tomando b = ea tendremos que b ∈ R y
b = ea =⇒ a = ln(b) =⇒ f (a) = f (ln(b)) =⇒ f (a) = eln(b) =⇒ f (a) = b
229
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
2. Para todo a real, se verifica

 a

f (a) = b1 
 e = b1 
y
y
=⇒
=⇒ ln(b) = ln(c) =⇒ b1 = b2

 a

f (a) = b2
e = b2
Consecuentemente, f es una función de R en R.
(
0, si a ∈
/Z
(c) A = R, B = {0, 1} ; f (a) =
1, si a ∈ Z
(
f : A −→ {0, 1} tal que f (a) =
0, si a ∈
/Z
1, si a ∈ Z
, ∀a ∈ A
Veamos si f es una función.
1. Sea a un elemento arbitrario de A. Entonces,
a ∈ A ⇐⇒ a ∈ (R \ Z) ∪ Z =⇒ a ∈ R \ Z ∨ a ∈ Z =⇒ a ∈
/Z ∨ a∈Z
tomando b = 0 si a ∈
/ Z y b = 1 si a ∈ Z, tendremos que f (a) = b, luego
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
2. Sea a ∈ A, cualquiera. Entonces,



f (a) = b1 
/Z 
 b1 = b2 = 0, si a ∈
ó
y
=⇒



b1 = b2 = 1, si a ∈ Z
f (a) = b2
luego en cualquier caso,
∀a ∈ A [f (a) = b1 ∧ f (a) = b2 =⇒ b1 = b2 ]
Por tanto, f es una función de R en {0, 1}.
(c) A = R, B = Z y f (a) es igual al mayor número entero que sea menor o igual que a.
f : R −→ Z tal que f (a) = máx {p ∈ Z : p 6 a} , ∀a ∈ R
Veamos si es función.
1. Si a es cualquiera de R, entonces
− si a es entero, tomamos b = a.
− si a no es entero, tomamos b igual al primer entero menor que a.
luego,
∀a ∈ R, ∃b ∈ Z : f (a) = b
2. Si a es cualquier número real, entonces



f (a) = b1 
 b1 = máx {p ∈ Z : p 6 a} 
y
y
=⇒ b1 = b2
=⇒



f (a) = b2
b2 = máx {p ∈ Z : p 6 a}
ya que el máximo de un conjunto es único.
Consecuentemente, f es una función.
230
Matemática Discreta
9.1.3
Francisco José González Gutiérrez
Igualdad de Funciones
Dadas dos funciones f y g definidas entre los mismos conjuntos A y B, diremos que son iguales
cuando toman idénticos valores sobre los mismos elementos de dominio. Es decir,
f = g ⇐⇒ f (a) = g(a), ∀a ∈ A
9.1.4
Función Identidad
Dado un conjunto A, se define la identidad iA como la función
iA : A −→ A : iA (a) = a, ∀a ∈ A
9.2
Composición de Funciones
Estudiamos en este apartado una nueva función que se obtiene componiendo dos funciones conocidas.
Introduciremos el concepto con un ejemplo.
Sean los conjuntos
A = {a, b, c} , B = {1, 2} C = {α, β}
y consideremos las funciones
f : A −→ B : f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 1
y
g : B −→ C : g(1) = β, g(2) = α
Observemos lo siguiente:
g(1) = β
)
=⇒ g [f (a)] = β
f (a) = 1
g(1) = β
)
=⇒ g [f (c)] = β
f (c) = 1
g(2) = α
)
=⇒ g [f (b)] = α
f (b) = 2
Si ahora llamamos h a la función
h : A −→ C : h(a) = β, h(b) = α, y h(c) = β
y comparamos con la anterior, tendremos
h(a)
= g [f (a)]
h(b)
= g [f (b)]
h(c)
= g [f (c)]
es decir, h hace el mismo efecto que la f y la g juntas.
A esta nueva función la llamaremos composición o producto de f y g. La figura siguiente ilustra el
ejemplo.
231
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
a •
•
1
• α
•
2
• β
b •
c •
f
A
g
B
a •
C
• α
b •
• β
c •
h=g◦f
A
C
Composición de Funciones
9.2.1
Definición
Dadas dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C, llamaremos composición de f y g a una nueva
relación
h : A −→ C : h(a) = g [f (a)] , ∀a ∈ A
la notaremos h = g ◦ f .
Veamos ahora que esta nueva relación también es una función, es decir, probaremos que la composición
de dos funciones es una función.
9.2.2
Proposición
Dadas dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C, la composición de ambas, g ◦ f es una función de A
en C.
232
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Demostración
Según hemos definido:
g ◦ f : A −→ C : (g ◦ f )(a) = g [f (a)] ; ∀a ∈ A
Veamos que cumple las dos condiciones de función.
1. Sea a cualquiera de A. Entonces, al ser f : A −→ B una función, existirá b ∈ B tal que f (a) = b.
Dado que g : B −→ C también es una función, para el b ∈ B recién encontrado, existirá un c ∈ C
tal que g(b) = c.
Tenemos, pues,

f (a) = b 
y
=⇒ g [f (a)] = c =⇒ (g ◦ f )(a) = c

g(b) = c
luego,
∀a ∈ A, ∃c ∈ C : (g ◦ f )(a) = c
es decir, todos los elementos de A tienen imagen mediante g ◦ f .
2. Sea a cualquiera de A y sean c1 , c2 ∈ C tales que (g ◦ f )(a) = c1 y (g ◦ f )(a) = c2 . Entonces,

(g ◦ f )(a) = c1 
y
=⇒

(g ◦ f )(a) = c2

 g [f (a)] = c1
y

g [f (a)] = c2
=⇒

 g(b) = c1
y

g(b) = c2
{f función =⇒ ∃b ∈ B : f (a) = b}
=⇒
c1 = c2
{g es funcion}
es decir,
∀a ∈ A [(g ◦ f )(a) = c1 ∧ (g ◦ f )(a) = c2 =⇒ c1 = c2 ]
Consecuentemente, la composición de dos funciones es una función.
La figura siguiente ilustra como se calcula el valor de g ◦ f en un punto a ∈ A.
233
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
g◦f
g
f
•
a
•
b = f (a)
A
B
•
c = g(b) = (g ◦ f )(a)
C
Cálculo de (g ◦ f ) (a)
Ejemplo 9.7
Sean A = Z, B = Z y C el conjunto de todos los números enteros pares y
f : A −→ B : f (a) = a + 1, g : B −→ C : g(b) = 2b
Encontrar g ◦ f .
Solución
Sea a cualquiera de A. Entonces,
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g(a + 1) = 2(a + 1)
es decir,
g ◦ f : A −→ C : (g ◦ f )(a) = 2(a + 1), ∀a ∈ A
Ejemplo 9.8
Dadas las funciones
f : R −→ R : f (x) = x2
g : R −→ R : g(x) = x + 5
Calcular g ◦ f y f ◦ g.
Solución
Para cada x de R, se verifica que
(g ◦ f )(x) = g [f (x)] = g(x2 ) = x2 + 5
(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = (x + 5)2 = x2 + 10x + 25
luego
g ◦ f : R −→ R : (g ◦ f )(x) = x2 + 5
234
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
y
f ◦ g : R −→ R : (f ◦ g)(x) = x2 + 10x + 25
Obsérvese que g ◦ f 6= f ◦ g, es decir, la composición de aplicaciones no es, en general, conmutativa.
Puede ocurrir incluso que una de las dos no exista.
Ejemplo 9.9
Sean
f : Z+ −→ Z+ tal que f (x) = x, ∀x ∈ Z+ y g : {0, 1, 2} −→ Z+ tal que g(x) = x, ∀x ∈ {0, 1, 2}
Calcular g ◦ f y f ◦ g.
Solución
g ◦ f no existe ya que el dominio de g no es igual a la imagen de f .
f ◦ g está definida en la forma siguiente:
f ◦ g : {0, 1, 2} −→ Z+ tal que (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x) = x
En este caso, f ◦ g = g.
Ejemplo 9.10
Sean f y g las funciones,
 x
 , si x es par.
+
2
f : Z+
−→
Z
tal
que
f
(x)
=
0
0

0, en cualquier otro caso.
+
g : Z+
0 −→ Z0 tal que g(x) = 2x
Calcular g ◦ f y f ◦ g.
Solución
Sea x cualquiera de Z+
0 . Entonces,
 x
  x
 g
  2 = x, si x es par.
, si x es par.
2
2
(g ◦ f )(x) = g [f (x)] =
=

 
2 · 0 = 0, en cualquier otro caso.
g(0), en cualquier otro caso.
es decir,
(
+
g ◦ f : Z+
0 −→ Z0 tal que (g ◦ f )(x) =
x, si x es par.
0, en cualquier otro caso.
Por otra parte,
(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (2x) =
2x
, ya que 2x siempre es par.
2
luego,
+
f ◦ g : Z+
0 −→ Z0 tal que (f ◦ g)(x) = x
es decir f ◦ g = iZ+
0
9.2.3
Asociatividad
Dadas tres aplicaciones
f : A −→ B g : B −→ C y h : C −→ D
se verifica que
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
235
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
Demostración

g : B −→ C 
h : C −→ D
=⇒


h ◦ g : B −→ D 
f : A −→ B
=⇒ (h ◦ g) ◦ f : A −→ D

Por otra parte,

f : A −→ B 
g : B −→ C
=⇒


g ◦ f : A −→ C 
h : C −→ D
=⇒ h ◦ (g ◦ f ) : A −→ D

es decir, (h ◦ g) ◦ f y h ◦ (g ◦ f ) tienen el mismo dominio y el mismo conjunto final.
Además, para cada a de A, tenemos:
[(h ◦ g) ◦ f ] (a) = (h ◦ g) (f (a)) = h [g (f (a))]
[h ◦ (g ◦ f )] (a) = h [(g ◦ f ) (a)] = h [g (f (a))]
por tanto,
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Ejemplo 9.11 Sean A = B = C = R y sean f : A −→ B, g : B −→ C definidas por f (a) = a − 1 y
g(b) = b2 . Encontrar
(a) (g ◦ f )(2)
(b) (f ◦ g)(2)
(c) (f ◦ g)(x)
(d) (g ◦ f )(x)
(e) (f ◦ f )(y)
(f) (g ◦ g)(y)
Solución
(a) (g ◦ f )(2) = g [f (2)] = g(2 − 1) = g(1) = 12 = 1
(b) (f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (22 ) = 22 − 1 = 3
(c) (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x2 ) = x2 − 1
(d) (g ◦ f )(x) = g [f (x)] = g(x − 1) = (x − 1)2 = x2 − 2x + 1
(e) (f ◦ f )(y) = f [f (y)] = f (y − 1) = y − 1 − 1 = y − 2
(f) (g ◦ g)(y) = g [g(y)] = g(y 2 ) = y 4
Ejemplo 9.12 Sean A = B = C = R y sean f : A −→ B, g : B −→ C definidas por f (a) = a + 1 y
g(b) = b2 + 2. Encontrar:
236
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(a) (f ◦ g)(−2)
(b) (g ◦ f )(−2)
(c) (f ◦ g)(x)
(d) (g ◦ f )(x)
(e) (f ◦ f )(y)
(f) (g ◦ g)(y)
Solución
(a) (f ◦ g)(−2) = f [g(−2)] = f (−2)2 + 2 = (−2)2 + 2 + 1 = 7
(b) (g ◦ f )(−2) = g [f (−2)] = g(−2 + 1) = g(−1) = (−1)2 + 2 = 3
(c) (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x2 + 2) = x2 + 2 + 1 = x2 + 3
(d) (g ◦ f )(x) = g [f (x)] = g(x + 1) = (x + 1)2 + 2 = x2 + 2x + 3
(e) (f ◦ f )(y) = f [f (y)] = f (y + 1) = y + 1 + 1 = y + 2
(f) (g ◦ g)(y) = g [g(y)] = g(y 2 + 2) = (y 2 + 2)2 + 2 = y 4 + 4y 2 + 6
Ejemplo 9.13 Sean A = B = {x : x ∈ R \ {0, 1}}. Examine las siguientes funciones de A en B, cada
una definida por su fórmula.
f1 (x) = x
f4 (x) =
1
1−x
f2 (x) = 1 − x
f5 (x) =
x
x−1
1
x
x−1
f6 (x) =
x
f3 (x) =
Demuestre, sustituyendo una fórmula en otra, que la composición de cualquier par de estas seis funciones
es alguna otra de ellas.
Solución
Antes que nada, observemos que si iA es la función identidad sobre el conjunto A, entonces
(iA ◦ fi )(a) = iA [fi (a)] = fi (a), ∀a ∈ A =⇒ iA ◦ fi = fi , ∀i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
(fi ◦ iA )(a) = fi [iA (a)] = fi (a), ∀a ∈ A =⇒ fi ◦ iA = fi , ∀i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Pues bien, dado que f1 es la función identidad sobre A, tendremos que
f1 ◦ fi = fi y fi ◦ f1 = fi , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
237
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
Por otra parte, para cada x ∈ A se verifica:
(f2 ◦ f2 )(x) = f2 [f2 (x)] = f2 (1 − x) = 1 − (1 − x) = x = f1 (x) =⇒ f2 ◦ f2 = f1
1
1
x−1
(f2 ◦ f3 )(x) = f2 [f3 (x)] = f2
=1− =
= f6 (x) =⇒ f2 ◦ f3 = f6
x
x
x
1
1
x
(f2 ◦ f4 )(x) = f2 [f4 (x)] = f2
=1−
=
= f5 (x) =⇒ f2 ◦ f4 = f5
1−x
1−x
x−1
f2 ◦ f5 = f2 ◦ (f2 ◦ f4 ) = (f2 ◦ f2 ) ◦ f4 = f1 ◦ f4 = f4
f2 ◦ f6 = f2 ◦ (f2 ◦ f3 ) = (f2 ◦ f2 ) ◦ f3 = f1 ◦ f3 = f3
1
=⇒ f3 ◦ f2 = f4
(f3 ◦ f2 )(x) = f3 [f2 (x)] = f3 (1 − x) = 1−x
(f3 ◦ f3 )(x) = f3 [f3 (x)] = f3 x1 = x = i(x) =⇒ f3 ◦ f3 = f1
f3 ◦ f4 = f3 ◦ (f3 ◦ f2 ) = (f3 ◦ f3 ) ◦ f2 = f1 ◦ f2 = f2
1
x−1
x
(f3 ◦ f5 (x) = f3 [f5 (x)] = f3 x−1
= x =
= f6 (x) =⇒ f3 ◦ f5 = f6
x
x−1
f3 ◦ f6 = f3 ◦ (f3 ◦ f5 ) = (f3 ◦ f3 ) ◦ f5 = f1 ◦ f5 = f5
f4 ◦ f2 = (f3 ◦ f2 ) ◦ f2 = f3 ◦ (f2 ◦ f2 ) = f3 ◦ f1 = f3
f4 ◦ f3 = (f3 ◦ f2 ) ◦ f3 = f3 ◦ (f2 ◦ f3 ) = f3 ◦ f6 = f5
f4 ◦ f4 = (f3 ◦ f2 ) ◦ f4 = f3 ◦ (f2 ◦ f4 ) = f3 ◦ f5 = f6
f4 ◦ f5 = (f3 ◦ f2 ) ◦ f5 = f3 ◦ (f2 ◦ f5 ) = f3 ◦ f4 = f2
f4 ◦ f6 = (f3 ◦ f2 ) ◦ f6 = f3 ◦ (f2 ◦ f6 ) = f3 ◦ f3 = f1
f5 ◦ f2 = (f2 ◦ f4 ) ◦ f2 = f2 ◦ (f4 ◦ f2 ) = f2 ◦ f3 = f6
f5 ◦ f3 = (f2 ◦ f4 ) ◦ f3 = f2 ◦ (f4 ◦ f3 ) = f2 ◦ f5 = f4
f5 ◦ f4 = (f2 ◦ f4 ) ◦ f4 = f2 ◦ (f4 ◦ f4 ) = f2 ◦ f6 = f3
f5 ◦ f5 = (f2 ◦ f4 ) ◦ f5 = f2 ◦ (f4 ◦ f5 ) = f2 ◦ f2 = f1
f5 ◦ f6 = (f2 ◦ f4 ) ◦ f6 = f2 ◦ (f4 ◦ f6 ) = f2 ◦ f1 = f2
f6 ◦ f2 = (f2 ◦ f3 ) ◦ f2 = f2 ◦ (f3 ◦ f2 ) = f2 ◦ f4 = f5
f6 ◦ f3 = (f2 ◦ f3 ) ◦ f3 = f2 ◦ (f3 ◦ f3 ) = f2 ◦ f1 = f2
f6 ◦ f4 = (f2 ◦ f3 ) ◦ f4 = f2 ◦ (f3 ◦ f4 ) = f2 ◦ f2 = f1
f6 ◦ f5 = (f2 ◦ f3 ) ◦ f5 = f2 ◦ (f3 ◦ f5 ) = f2 ◦ f6 = f3
f6 ◦ f6 = (f2 ◦ f3 ) ◦ f6 = f2 ◦ (f3 ◦ f6 ) = f2 ◦ f5 = f4
Ejemplo 9.14 Dadas las funciones f : A −→ B y g : B −→ C, probar que (g ◦ f )(A) ⊆ g(B). ¿Es
cierto el recı́proco?. Justificar la respuesta.
Solución
Probaremos que todos los elementos de (g ◦ f )(A) están en g(B).
Por definición de composición de funciones,
f : A −→ B
g : B −→ C
)
=⇒ g ◦ f : A −→ C
238
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
luego,
(g ◦ f )(A) = {c ∈ C, ∃a : a ∈ A, ∧ (g ◦ f )(a) = c}
y
g(B) = {c ∈ C, ∃b : b ∈ B ∧ g(b) = c}
por tanto,
∀c ∈ (g ◦ f )(A) ⇐⇒
∃a : a ∈ A ∧ (g ◦ f )(a) = c
⇐⇒
∃a : a ∈ A ∧ g [f (a)] = c
=⇒
∃b : b ∈ B ∧ g(b) = c
⇐⇒
c ∈ g(B)
{f es función, luego ∃b : b ∈ B ∧ f (a) = b}
de aquı́ que
(g ◦ f )(A) ⊂ g(B)
El recı́proco, en general, no es cierto. El siguiente contraejemplo lo prueba.
Sean A = {x, y}, B = {1, 2, 3} y C = {α, β} y sean f y g las funciones
f : A −→ B : f (x) = 1, f (y) = 2
g : B −→ C : g(1) = α, g(2) = α, g(3) = β
entonces,
(g ◦ f )(x) = g [f (x)] = g(1) = α
)
(g ◦ f )(y) = g [f (y)] = g(2) = α
=⇒ (g ◦ f )(A) = {α}
por otro lado,

g(1) = α 


g(2) = α
=⇒ g(B) = {α, β}



g(3) = β
y es obvio que
{α, β} * {α}
luego,
g(B) * (g ◦ f )(A)
Ejemplo 9.15
Si U es el conjunto universal, S, T ⊆ U , g : P(U ) −→ P(U ) y g(A) = T ∩ (S ∪ A).
Probar que g 2 = g, siendo g 2 = g ◦ g.
Solución
Sea A cualquiera de P(U ),entonces
g 2 (A)
=
(g ◦ g)(A)
= g [g(A)]
= g [T ∩ (S ∪ A)]
= T ∩ [S ∪ (T ∩ (S ∪ A))]
=
(T ∩ S) ∪ [T ∩ (S ∪ A)]
=
(T ∩ S) ∪ [(T ∩ S) ∪ (T ∩ A)]
=
(T ∩ S) ∪ (T ∩ A)
= T ∩ (S ∪ A)
= g(A)
239
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Departamento de Matemáticas
luego,
g2 = g ◦ g
Ejemplo 9.16 Se considera un conjunto no vacı́o U y un subconjunto suyo X. Se define la función
caracterı́stica fX del conjunto X como la función
(
)
1, si x ∈ X
fX : U −→ {0, 1} tal que fX (x) =
0, si x ∈
/X
Si A y B son dos subconjuntos de U , demostrar:
(a) fA = fB ⇐⇒ A = B
(b) fA∪B = fA + fB − fA∩B
(c) fA\B = fA (1 − fB )
Solución
(a) fA = fB ⇐⇒ A = B
=⇒) Supongamos que fA = fB y sea a cualquiera de A. Entonces,
a ∈ A ⇐⇒ fA (a) = 1 ⇐⇒ fB (a) = 1 ⇐⇒ a ∈ B
luego,
∀a (a ∈ A ⇐⇒ a ∈ B)
es decir, A = B.
⇐=) Recı́procamente, supongamos que A = B y sea x cualquiera de U .
Si x ∈ A, entonces al ser A = B, será x ∈ B, luego
fA (x) = 1 = fB (x)
y si x ∈
/ A, por la misma razón, x ∈
/ B, luego
fA (x) = 0 = fB (x)
Consecuentemente,
fA (x) = fB (x), ∀x ∈ U
es decir,
fA = fB
(b) fA∪B = fA + fB − fA∩B
En efecto, sea x ∈ U , cualquiera.
Si x ∈ (A ∪ B), entonces fA∪B (x) = 1, pero

x∈
/ A y x ∈ B =⇒ fA (x) + fB (x) − fA∩B (x) = 0 + 1 − 0 = 1






∨



x ∈ A y x ∈ B =⇒ fA (x) + fB (x) − fA∩B (x) = 1 + 1 − 1 = 1
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒




∨





x∈Ayx∈
/ B =⇒ fA (x) + fB (x) − fA∩B (x) = 1 + 0 − 0 = 1
240
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
y si x ∈
/ (A ∪ B), entonces fA∪B (x) = 0, pero
x∈
/ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈
/Ayx∈
/ B ⇐⇒ fA (x) + fB (x) − fA∩B (x) = 0 + 0 − 0 = 0
Ası́ pues,
fA∪B (x) = (fA + fB − fA∩B )(x), ∀x ∈ U
de aquı́ que
fA∪B = fA + fB − fA∩B
(c) fA\B = fA (1 − fB ). En efecto, sea x cualquiera de U . Entonces,
x ∈ A y x ∈ B, luego, fA\B = 0 y fA (x) (1 − fB (x)) = 1(1 − 1) = 0
x∈Ayx∈
/ B, luego, fA\B = 1 y fA (x) (1 − fB (x)) = 1(1 − 0) = 1
x∈
/ A y x ∈ B, luego, fA\B = 0 y fA (x) (1 − fB (x)) = 0(1 − 1) = 0
x∈
/Ayx∈
/ B, luego, fA\B = 0 y fA (x) (1 − fB (x)) = 0(1 − 0) = 0
Consecuentemente,
fA\B (x) = (fA (1 − fB )) (x), ∀x ∈ U
y
fA\B = fA (1 − fB )
9.3
Tipos de Funciones
Examinaremos en este apartado distintas clases especiales de funciones.
9.3.1
Función Inyectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen
de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho
de otra forma:
f : A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1 , a2 ∈ A [a1 6= a2 =⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )]
La “mejor forma” de probar en la práctica la inyectividad de una función es utilizar la contrarrecı́proca,
es decir,
f : A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1 , a2 ∈ A [f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2 ]
241
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
a •
• 1
a •
• 1
b •
• 2
b •
• 2
c •
• 3
c •
• 3
d •
• 4
d •
• 4
g
f
B
A
A
B
En la figura anterior f es inyectiva y g no lo es.
Ejemplo 9.17
Determinar si cada una de las aplicaciones siguientes es inyectiva.
(a) A cada alumno de álgebra se le asigna el número que se corresponde con su edad.
(b) A cada paı́s en el mundo se le asigna la longitud y la latitud de su capital.
(c) A cada libro escrito por un determinado autor, se le designa con el nombre del mismo.
(d) A cada paı́s en el mundo que tenga un primer ministro se le asigna su primer ministro.
Solución
(a) No, ya que hay muchos alumnos de álgebra que tienen la misma edad.
(b) Si, porque a dos paı́ses distintos le corresponderán diferentes longitudes y latitudes.
(c) No, ya que hay diferentes libros que están escritos por el mismo autor.
(d) Si, porque a paı́ses diferentes les corresponderán distintos primeros ministros.
Ejemplo 9.18
Determinar si la función f : R −→ R tal que f (x) = x + 2 es inyectiva.
Solución
En efecto, sean x1 y x2 dos números reales cualesquiera, entonces
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 + 2 = x2 + 2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.
Nota 9.2
Observemos lo siguiente:
f : A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1 , a2 ∈ A (a1 6= a2 =⇒ f (a1 ) 6= f (a2 ))
lo que puede escribirse en la forma:
f es inyectiva ⇐⇒ ∀a1 , a2 ∈ A [¬(a1 6= a2 ) ∨ f (a1 ) 6= f (a2 )]
242
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
y negando ambos miembros, tendremos
f no es inyectiva ⇐⇒ ∃a1 , a2 ∈ A tal que a1 6= a2 ∧ f (a1 ) = f (a2 )
es decir, la función f no es inyectiva si podemos encontrar dos elementos a1 y a2 en A, tales que siendo
distintos sus imágenes sean iguales.
Ejemplo 9.19
Sea f : R −→ R tal que f (x) = 2. ¿Es inyectiva?
Solución
La función propuesta no lo es. En efecto, si tomamos dos números reales x1 y x2 , distintos, tendrı́amos
x1 6= x2 y f (x1 ) = 2 = f (x2 )
luego según lo dicho en la nota anterior, la función no es inyectiva.
Ejemplo 9.20
Sea f : R −→ R tal que f (x) = x2 . ¿Es inyectiva?
Solución
Sea x1 cualquiera de R. Si tomamos x2 = −x1 , entonces x2 ∈ R y
f (x1 ) = x21 y f (x2 ) = f (−x1 ) = (−x1 )2 = x21
luego
∃x1 , x2 ∈ R : x1 6= x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )
es decir, f no es inyectiva.
9.3.2
Función Suprayectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando
cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,
f : A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f (a) = b
En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f ) = B.
a •
a •
• 1
b •
• 1
b •
• 2
• 2
c •
c •
d •
d •
• 3
g
f
A
• 3
B
A
243
B
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
En la figura anterior f es suprayectiva y, sin embargo g no lo es.
Ejemplo 9.21
Sea f : A −→ B donde A = B = R y f (x) = x + 1, ∀x ∈ A. ¿Es suprayectiva?
Solución
Sea y cualquiera de B. Hemos de encontrar un x en A tal que f (x) = y. Dicho de otra forma se trata
de ver si la ecuación
x+1=y
tiene solución, lo cual, en este caso, es evidente. En efecto,
x + 1 = y ⇐⇒ x = y − 1
luego dado y ∈ R, tomando x = y − 1, se verifica que
f (x) = f (y − 1) = y − 1 + 1 = y
es decir,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f (x) = y
luego f es suprayectiva.
Nota 9.3
Obsérvese lo siguiente:
f es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
si negamos ambos miembros, tendremos
f no es suprayectiva ⇐⇒ ∃b ∈ B : f (a) 6= b, ∀a ∈ A
es decir, f no es suprayectiva si podemos encontrar un elemento en B tal que no es imagen de ningún
elemento de A.
Ejemplo 9.22
Sea f : A −→ B, siendo A = B = R y f (x) = x2 , ∀x ∈ A
Solución
Esta función no es suprayectiva. En efecto, dado un y cualquiera negativo en B, no existe ningún x en
A tal que su cuadrado sea y, ya que el cuadrado de cualquier número siempre es positivo. Es decir,
si y < 0, entonces x2 6= y, ∀x ∈ A
luego,
∃y ∈ B : ∀x ∈ A, f (x) 6= y
de aquı́ que según la nota anterior, la función propuesta no sea suprayectiva.
9.3.3
Función Biyectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva
y suprayectiva.
Ejemplo 9.23
Sea f : A −→ B tal que A = B = R y f (x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?
Solución
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.
244
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos números reales arbitrarios. Entonces,
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.
(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,
y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x =
luego tomando x =
y+3
2
y+3
, se verifica que x ∈ A y
2
y+3
y+3
f (x) = f
=2
−3=y
2
2
Consecuentemente,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f (x) = y
o sea, f es suprayectiva.
Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.
Ejemplo 9.24
Estudiar la función
f : R −→ R : f (x) =
x2
x
+1
Solución
Veamos si f es inyectiva.
En efecto, sean x1 y x2 dos números reales cualesquiera. Entonces,
f (x1 ) = f (x2 )
=⇒
x1
x2
= 2
+1
x2 + 1
x21
=⇒ x1 x22 + x1 = x21 x2 + x2
=⇒ x1 x22 − x21 x2 + x1 − x2 = 0
=⇒ x1 x2 (x2 − x1 ) + x1 − x2 = 0
=⇒ (x1 − x2 )(1 − x1 x2 ) = 0
=⇒ x1 = x2 ó x1 =
Ası́ pues, tomando x1 ∈ R y x2 =
tanto f no es inyectiva.
1
x2
1
, tendremos que x1 6= x2 y, sin embargo, f (x1 ) = f (x2 ), por lo
x1
Veamos si f es suprayectiva.
Sea y ∈ R, tal que 1 − 4y 2 < 0. Entonces
y no serı́an imágenes de ningún x ya que
p
x=
1 − 4y 2 no es un número real y, por tanto, estos valores de
1±
p
1 − 4y 2
∈
/R
2y
luego f no es suprayectiva. Consecuentemente, la función propuesta no es biyectiva.
Ejemplo 9.25
Sea f : [0, 1] −→ [a, b] : f (x) = (b − a)x + a. Determinar qué tipo de función es.
Solución
245
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(a) Veamos si f es inyectiva.
Sean x1 y x2 cualesquiera de [0, 1]. Entonces,
f (x1 ) = f (x2 )
=⇒ (b − a)x1 + a = (b − a)x2 + a
=⇒ (b − a)x1 = (b − a)x2
=⇒
{a 6= b}
x1 = x2
luego,
∀x1 , x2 ∈ [0, 1] (f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 )
es decir, f es inyectiva.
(b) Veamos si f es suprayectiva.
En efecto, sea y cualquiera de [a, b]. Entonces,
y = (b − a)x + a ⇐⇒ x =
y−a
b−a
y al ser a 6= b existe x, y
a6y6b
⇐⇒
−b 6 −y 6 −a ⇐⇒ a − b 6 a − y 6 a − a
⇐⇒
0 6 y − a 6 b − a ⇐⇒ 0 6
⇐⇒
0 6 x 6 1 ⇐⇒ x ∈ [0, 1]
y−a
61
b−a
Pues bien,
f (x) = f
y−a
b−a
= (b − a)
y−a
+a=y
b−a
luego,
∀y ∈ [a, b], ∃x ∈ [0, 1] : f (x) = y
es decir, f es suprayectiva.
Al ser inyectiva y suprayectiva, la función propuesta es biyectiva.
Ejemplo 9.26
f (x) = x
f (x) = 2x
f (x) = x2
f (x) = x3 + 2x2
Las propiedades de ser inyectiva, suprayectiva y biyectiva pueden interpretarse en términos de las gráficas
de funciones de R en R. En la figura anterior consideramos las gráficas de algunas funciones.
Como son gráficas de funciones de R en R, cualquier recta vertical cortará a la gráfica exactamente en
un punto. Si cada recta horizontal la corta al menos, una vez, entonces la gráfica representa una función
suprayectiva. Ası́ que, de las funciones anteriores, f (x) = x y f (x) = x3 + 2x2 son sobreyectivas y las
otras no.
Si ninguna recta horizontal corta al gráfico más de una vez, entonces la función es inyectiva. Ası́, f (x) = x
y f (x) = 2x son inyectivas y, sin embargo las otras no lo son.
246
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Si cada recta horizontal corta a la gráfica exactamente una vez, entonces la función es biyectiva; f (x) = x
es biyectiva y las otras no.
Ejemplo 9.27
Determinar el carácter de las funciones siguientes:
(a) A = {1, 2, 3, 4} = B y f = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2)}
(b) A = {1, 2, 3} , B = {a, b, c, d} y f = {(1, a), (2, a), (3, c)}
1 1 1
1
1
1
(c) A =
, ,
, B = {x, y, z, w} y f =
,x ,
,y ,
,w
2 3 4
2
4
3
(d) A = {1.1, 7, 0.06} B = {p, q} y f = {(1.1, p), (7, q), (0.06, p)}
Solución
(a) Según los datos del enunciado,
f : A −→ B : f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 2
y se observa que
∀a1 , a2 ∈ A, a1 6= a2 =⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )
y
∀b ∈ B, ∃a tal que a ∈ A ∧ f (a) = b
Consecuentemente f es inyectiva y sobreyectiva y, por tanto, biyectiva.
(b) Según el enunciado,
f : A −→ B tal que f (1) = a, f (2) = a, f (3) = c
Pues bien, se observa que existen dos elementos distintos en A, el 1 y el 2, con la misma imagen,
es decir,
∃a1 , a2 ∈ A : a1 6= a2 ∧ f (a1 ) = f (a2 )
luego f no es inyectiva.
También se observa que existen dos elementos en B, el b y el d que no son imagen de ninguno de
A, es decir,
∃b1 ∈ B : (f (a1 ) 6= b1 , ∀a1 ∈ A
por tanto, f no es sobreyectiva.
(c) Razonando igual que en los casos anteriores, se observa que la función propuesta es inyectiva, pero
no sobreyectiva.
(d) De una forma similar se prueba que f es sobreyectiva y no inyectiva.
Ejemplo 9.28
Determinar el carácter de cada una de las siguientes funciones.
(a) A = B = Z, f : A −→ B tal que f (a) = a − 1
(b) A = B = R, f : A −→ B tal que f (a) = |a|
(c) A = R, B = R+
0 , f : A −→ B tal que f (a) = |a|
(d) A = R × R, B = R, f : A −→ B tal que f (a, b) = a
(e) S = {1, 2, 3} , T = {a, b} , A = B = S × T y f : A −→ B tal que f (n, a) = (n, b) y f (n, b) =
(1, a), n = 1, 2, 3
247
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(f) A = B = R × R, f : A −→ B tal que f [(a, b)] = (a + b, a − b)
2
(g) A = R, B = R+
0 , f : A −→ B tal que f (a) = a
Solución
Determinar el carácter de cada una de las siguientes funciones.
(a) A = B = Z, f : A −→ B tal que f (a) = a − 1
Inyectividad. Sean a1 y a2 cualesquiera de A. Entonces,
f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 − 1 = a2 − 1 =⇒ a1 = a2
luego,
∀a1 , a2 ∈ A, (f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2 )
es decir, f es inyectiva.
Sobreyectividad. Sea b cualquiera de B. Tomando a = b + 1, tendremos que a ∈ A, y
f (a) = f (b + 1) =⇒ f (a) = b + 1 − 1 = b
luego,
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
o sea, f es sobreyectiva.
Biyectividad. Por ser inyectiva y sobreyectiva, la función propuesta es biyectiva.
(b) A = B = R, f : A −→ B tal que f (a) = |a|
Recordemos que si a es un número real arbitrario,
(
a, si a > 0
|a| =
−a, si a < 0
luego |a| > 0.
Inyectividad. Sea a cualquiera de A. Si tomamos a1 = a y a2 = −a, tendremos
f (a1 ) = f (a) = |a|
f (a2 ) = f (−a) = | − a| = | − 1||a| = |a|
luego,
∃a1 , a2 ∈ A : a1 6= a2 ∧ f (a1 ) = f (a2 )
es decir, f no es inyectiva.
Sobreyectividad. Sea b un elemento arbitrario de B. Si b < 0 entonces, no hay ningún a en A tal
que f (a) = b luego la función no es sobreyectiva.
Biyectividad. Al no ser inyectiva ni sobreyectiva, la función propuesta no es biyectiva.
(c) A = R, B = R+
0 , f : A −→ B tal que f (a) = |a|
Inyectividad. Por un razonamiento idéntico al del apartado anterior, la función no es inyectiva.
Sobreyectividad. Dado cualquier b ∈ B, bastarı́a tomar a = b, y
f (a) = f (b) =⇒ f (a) = |b| = b
luego f es sobreyectiva.
Biyectividad. Por no ser inyectiva, tampoco será biyectiva.
248
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(d) A = R × R, B = R, f : A −→ B tal que f (a, b) = a
Inyectividad. Sean (a, b1 ) y (a, b2 ) dos elementos de A tales que b1 6= b2 . Entonces,
f (a, b1 ) = f (a, b2 ) = a
luego,
∃(a, b1 ) ∈ A y ∃(a, b2 ) ∈ A : (a, b1 ) 6= (a, b2 ) ∧ f (a, b1 ) = f (a, b2 )
es decir, f no es inyectiva.
Sobreyectividad. Sea c cualquiera de B. Entonces, tomando en A, (a, b) : a = c y b ∈ R, tendremos
f (a, b) = f (c, b) =⇒ f (a, b) = c
luego,
∀c ∈ B, ∃(a, b) ∈ A : f [(a, b)] = c
es decir, f es sobreyectiva.
Biyectividad. Por no ser inyectiva, f no es biyectiva.
(e) S = {1, 2, 3} , T = {a, b} , A = B = S × T y f : A −→ B tal que f (n, a) = (n, b) y f (n, b) =
(1, a), n = 1, 2, 3
Inyectividad. Observemos lo siguiente:
(1, b) 6= (2, b) y, sin embargo, f (1, b) = (1, a) y f (2, b) = (1, a)
luego,
∃(x1 , y1 ) ∈ A y ∃(x2 , y2 ) ∈ A : (x1 , y1 ) 6= (x2 , y2 ) ∧ f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 )
es decir, f no es inyectiva.
Sobreyectividad. Obsérvese que (2, a) y (3, a) no están en B y, sin embargo, no existe en A ningún
elemento que se transforme, mediante f , en ellos, luego
∃(u, v) ∈ B : f (x, y) 6= (u, v), ∀(x, y) ∈ A
es decir, f no es sobreyectiva.
Biyectividad. La función propuesta no es inyectiva ni sobreyectiva, por tanto tampoco será biyectiva.
(f) A = B = R × R, f : A −→ B tal que f [(a, b)] = (a + b, a − b)
Inyectividad. Sean (a1 , b1 ) y (a2 , b2 ) cualesquiera de A. Entonces,
f (a1 , b1 ) = f (a2 , b2 ) ⇐⇒
⇐⇒
(a1 + b1 , a1 − b1 ) = (a2 + b2 , a2 − b2 )
(
a1 + b1 = a2 + b2
a1 − b1 = a2 − b2
=⇒
a1 = a2 y b1 = b2
=⇒
(a1 , b1 ) = (a2 , b2 )
luego f es inyectiva.
Sobreyectividad. Sea (c, d) cualquiera de B. Tomando,
a=
c+d
c−d
yb=
2
2
tendremos
f (a, b) = f
c+d c−d
,
2
2
=f
c+d c+d c−d c−d
+
,
−
2
2
2
2
luego,
∀(c, d) ∈ B, ∃(a, b) ∈ A : f (a, b) = (c, d)
es decir, f es sobreyectiva.
249
= (c, d)
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Departamento de Matemáticas
Biyectividad. La función propuesta es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva.
2
(g) A = R, B = R+
0 , f : A −→ B tal que f (a) = a
Inyectividad. Sea a cualquiera de A. Si tomamos a1 = a y a2 = −a, entonces
f (a1 ) = f (a) = a2 y f (a2 ) = f (−a) = (−a)2 = a2
luego,
∃a1 , a2 ∈ A : a1 6= a2 y f (a1 ) = f (a2 )
es decir, f no es inyectiva.
√
Sobreyectividad. Sea b cualquiera de B. Tomando a = b, entonces a ∈ A ya que b > 0, y
√ √ 2
f (a) = f
b =⇒ f (a) =
b =⇒ f (a) = b
luego,
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
y f es sobreyectiva.
Biyectividad. f no es biyectiva ya que no es inyectiva.
Ejemplo 9.29
Sea f : A −→ B, g : C −→ D, h : A × C −→ B × D tal que h(a, c) = (f (a), g(c)).
Probar que h es biyectiva si y solo si f y g son biyectivas.
Solución
“Sólo si ”. Supongamos que h es biyectiva.
(a) f y g son inyectivas.
En efecto, sean a1 , a2 de A y c1 , c2 de C cualesquiera. Entonces,

f (a1 ) = f (a2 ) 
∧
⇐⇒ (f (a1 ), g(c1 )) = (f (a2 ), g(c2 ))

g(c1 ) = g(c2 )
⇐⇒
h(a1 , c1 ) = h(a2 , c2 ) {h es inyectiva}
=⇒
(a1 , c1 ) = (a2 , c2 )

 a1 = a2
∧

c1 = c2
⇐⇒
luego f y g son, ambas, inyectivas.
(b) f y g son sobreyectivas.
En efecto, sean b y d dos elementos cualesquiera de B y D, respectivamente, entonces

b∈B 
∧
⇐⇒ (b, d) ∈ B × D {h es sobreyectiva}

d∈D
=⇒
∃(a, c) ∈ A × C : h(a, c) = (b, d)
⇐⇒
∃a ∈ A ∧ ∃c ∈ C : (f (a), g(c)) = (b, d)

 ∃a ∈ A : f (a) = b
∧
⇐⇒

∃c ∈ C : g(c) = d
luego f y g son, ambas, sobreyectivas
250
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Dado que f y g son inyectivas y sobreyectivas, serán biyectivas.
“Si ”. Recı́procamente, supongamos que f y g son biyectivas.
(a) h es inyectiva.
En efecto, sean (a1 , c1 ) y (a2 , c2 ) dos elementos cualesquiera de A × C, entonces
h(a1 , c1 ) = h(a2 , c2 ) ⇐⇒
⇐⇒
=⇒
⇐⇒
(f (a1 ), g(c1 )) = (f (a2 ), g(c2 ))

 f (a1 ) = f (a2 )
∧
{f y g son inyectivas}

g(c1 ) = g(c2 )

 a1 = a2
∧

c1 = c2
(a1 , c1 ) = (a2 , c2 )
luego h es inyectiva.
(b) h es sobreyectiva.
En efecto, sea (b, d) un elemento cualquiera de B × D, entonces

 b∈B
∧
{f y g son sobreyectivas}
(b, d) ∈ B × D ⇐⇒

d∈D

 ∃a ∈ A : f (a) = b
∧
=⇒

∃c ∈ C : g(c) = d
⇐⇒
∃(a, c) ∈ A × C : (f (a), g(c)) = (b, d)
⇐⇒
∃(a, c) ∈ A × C : h(a, c) = (b, d)
luego
∀(b, d) ∈ B × D, ∃(a, c) ∈ A × C : h(a, c) = (b, d)
consecuentemente, h es sobreyectiva.
Ejemplo 9.30
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {x, y, z}
(a) Dar cinco funciones de A a B.
(b) ¿Cuántas funciones f : A −→ B hay?
(c) ¿Cuántas de éstas funciones son inyectivas?
(d) ¿Cuántas funciones f : B −→ A hay?
(e) ¿Cuántas de éstas funciones son inyectivas?
(f) ¿Cuántas funciones f : A −→ B cumplen que f (1) = x
(g) ¿Cuántas funciones f : A −→ B cumplen que f (1) = x y f (2) = y
Solución
(a) Escribimos cinco funciones de A en B.
251
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
1. f1 : A −→ B : f1 (1) = x, f1 (2) = x, f1 (3) = y, f1 (4) = z
2. f2 : A −→ B : f2 (1) = x, f2 (2) = y, f2 (3) = y, f2 (4) = z
3. f3 : A −→ B : f3 (1) = x, f3 (2) = y, f3 (3) = z, f3 (4) = z
4. f4 : A −→ B : f4 (a) = x, ∀a ∈ A
5. f5 : A −→ B : f5 (a) = y, ∀a ∈ A
(b) Al 1 ∈ A le puede corresponder x, y o z, es decir, hay 3 opciones y para cada una de ellas habrá
otras tantas para el 2, luego tendremos 3 · 3 = 32 opciones, para cada una de las cuales habrá 3
opciones distintas para el 3 lo cual nos dará 32 · 3 = 33 opciones, y para cada una de ellas habrá 3
opciones para el 4, luego el número de funciones que pueden establecerse entre A y B es
3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81
(c) ¿Cuántas de éstas funciones son inyectivas?
Ninguna, ya que al ser |A| = 4 > 3 = |B| habrá, al menos, dos elementos de A a los que le
corresponda el mismo elemento en B.
(d) ¿Cuántas funciones de B en A hay?
Razonando igual que en el apartado (b), tendremos
4 · 4 · 4 = 43 = 64
(e) ¿Cuántas de estas funciones son inyectivas?
A x ∈ B le puede corresponder el 1, el 2, el 3 ó el 4 y para cada una de ellas habrá tres opciones
para la y, luego tendrı́amos 4 · 3 = 12 opciones, para cada una de las cuales quedarı́an dos opciones
para la z, luego en total habrá
4 · 3 · 2 = 24
funciones inyectivas de B en A.
(f) ¿Cuántas funciones de A en B cumplen que f (1) = x?
Si dejamos fijo el 1 en A tal que le corresponda siempre la x, la pregunta equivale a calcular cuántas
funciones hay entre los conjuntos A1 = {2, 3, 4} y B = {x, y, z} lo que razonando igual que en el
apartado (b), nos da un total de
3 · 3 · 3· = 33 = 27
funciones entre A y B tales que f (1) = x.
(g) Razonando igual que el apartado anterior, calculamos cuántas funciones hay entre los conjuntos
A2 = {3, 4} y B = {x, y, z} que son
3 · 3 = 32 = 9
Ejemplo 9.31
Sean a y b dos números enteros y
f : Z −→ Z tal que f (x) = ax + b
Discutir para que valores de a y b,
(a) f es inyectiva.
(b) f es sobreyectiva.
(c) f es biyectiva.
252
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Solución
(a) Sean x1 y x2 dos números enteros arbitrarios, entonces
f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒
=⇒
=⇒
=⇒
ax1 + b = ax2 + b
ax1 = ax2 , ∀b ∈ Z
a
x1 = x2 , ∀b ∈ Z
a
x1 = x2 , ∀b ∈ Z, y ∀a ∈ Z \ {0}
luego f es inyectiva para cada entero a distinto de cero y para cualquier entero b.
(b) Sea y cualquier número entero, tomando
x=
y−b
a
entonces
x ∈ Z ⇐⇒
y−b
∈ Z ⇐⇒ ∃k ∈ Z : y − b = a · k
a
además,
f (x) = f
y−b
a
=a
y−b
+ b = y, ∀a ∈ Z \ {0}
a
luego f es sobreyectiva para cada a, b tales que a se distinto de cero e
y.
y−b
a
sea entero, cualquiera que sea
(c) De (a) y (b) se sigue que f es biyectiva
∀a ∈ Z \ {0} y ∀b :
y−b
∈Z
a
9.3.4
Composición y Tipos de Funciones
Dadas las funciones f : A −→ B y g : B −→ C, se verifica:
(i) Si f y g son inyectivas, entonces la composición de ambas es inyectiva.
(ii) Si f y g son sobreyectivas, entonces la composición de ambas es sobreyectiva.
(iii) Si f y g son biyectivas, entonces la composición de ambas es biyectiva.
(iv) Si la composición de dos funciones es inyectiva, entonces la primera de ellas es inyectiva.
(v) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva, entonces la segunda de ellas es sobreyectiva.
(vi) Si la composición de dos funciones es inyectiva y la primera de ellas es sobreyectiva, entonces
la segunda es inyectiva.
(vii) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva y la segunda de ellas es inyectiva, entonces
la primera es sobreyectiva.
Demostración
(i) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.
253
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
En efecto, sean a1 y a2 dos elementos cualesquiera de A, entonces,
(g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ g)(a2 )
=⇒ g [f (a1 )] = g [f (a2 )]
{g es inyectiva}
=⇒ f (a1 ) = f (a2 )
{f es inyectiva}
=⇒ a1 = a2
(ii) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.
En efecto, dado c cualquiera de C, como g es sobreyectiva, existe b ∈ B tal que g(b) = c y al ser f
también sobreyectiva, dado b ∈ B, existirá a ∈ A tal que f (a) = b, luego
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g(b) = c
y g ◦ f es, por tanto, sobreyectiva.
(iii) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.
Se sigue directamente de (i) e (ii).
(iv) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
En efecto, sean a1 y a2 cualesquiera de A, entonces por ser g función
f (a1 ) = f (a2 )
=⇒ g [f (a1 )] = g [f (a2 )]
=⇒ (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) {g ◦ f es inyectiva}
=⇒ a1 = a2
luego f es inyectiva.
(v) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
En efecto, sea c ∈ C, cualquiera, entonces al ser g ◦f sobreyectiva, existirá a ∈ A tal que (g ◦f )(a) =
c, es decir,
g [f (a)] = c
pero si a ∈ A, como f es función f (a) pertenece a B, tomando b = f (a), tendremos que
∃b ∈ B : g(b) = c
luego g es sobreyectiva.
(vi) Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva.
En efecto, sean b1 , b2 ∈ B cualesquiera, entonces al ser f sobreyectiva, existirán a1 , a2 ∈ A tales
que f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2 . Pues bien,
g(b1 ) = g(b2 ) ⇐⇒
g [f (a1 )] = g [f (a2 )]
⇐⇒
(g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) {g ◦ f es inyectiva}
⇐⇒
a1 = a2
⇐⇒
f (a1 ) = f (a2 )
⇐⇒
b1 = b2
{f es función}
(vii) Si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva.
En efecto, sea b ∈ B, cualquiera. Al ser g función g(b) ∈ C y como g ◦ f : A −→ C es sobreyectiva,
existirá a ∈ A tal que
(g ◦ f )(a) = g(b)
es decir,
g [f (a)] = g(b)
254
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
de donde teniendo en cuenta que g es, por hipótesis, inyectiva, se sigue que
f (a) = b.
Resumiendo,
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
luego f es sobreyectiva.
9.4
Función Inversa
Dada una función f entre los conjuntos A y B, consideremos su relación inversa, es decir aquella que se
obtiene intercambiando cada uno de los pares que componen la relación.
Pues bien, según hemos visto en el apartado anterior, la relación inversa de una función no es, en general,
otra función.
Dedicamos este apartado al estudio de las relaciones inversas que son funciones.
9.4.1
Función Invertible
Dada una función f entre los conjuntos A y B, diremos que es invertible si su relación inversa también
es función. En tal caso, a la relación inversa de f , la notaremos f −1 y la llamaremos función inversa
de f , estando definida en la forma:
f −1 : B −→ A : f −1 (b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
A la vista del ejemplo del apartado anterior, podemos deducir que para que f −1 sea función, f ha de ser
inyectiva y también suprayectiva ya que de lo contrario f −1 dejarı́a de cumplir las condiciones requeridas
para que sea función.
9.4.2
Caracterización de una Función Invertible
La condición necesaria y suficiente para que una función f sea invertible es que sea biyectiva.
Demostración
Sea f : A −→ B una función entre los conjuntos A y B.
“La condición es necesaria”
En efecto, supongamos que f es invertible, es decir, que su relación inversa f −1 es una función,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
Pues bien,
f es inyectiva. En efecto, sean a1 , a2 cualesquiera de A.
Como f es función, existirán b1 y b2 en B tales que
f (a1 ) = b1 y f (a2 ) = b2
y también
f −1 (b1 ) = a1 y f −1 (b2 ) = a2
255
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
Pues bien,
f (a1 ) = f (a2 )
=⇒
b 1 = b2
=⇒
f −1 (b1 ) = f −1 (b2 )
⇐⇒
a1 = a2
Por ser f −1 función
f es suprayectiva. En efecto, como f −1 es función, tendremos que
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f −1 (b) = a
y al ser,
f −1 (b) = a ⇐⇒ f (a) = b
tendremos que
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
luego f es sobreyectiva.
Como f es inyectiva y sobreyectiva, será biyectiva.
“La condición es suficiente”
En efecto, si f es biyectiva, entonces será sobreyectiva, luego,
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b
y al ser,
f (a) = b ⇐⇒ f −1 (b) = a
tendremos que
∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f −1 (b) = a
luego todos los elementos de B tienen imagen mediante f −1 , además por ser f inyectiva, tendremos que
si b ∈ B es tal que

f −1 (b) = a1 ⇐⇒ f (a1 ) = b 


∧
=⇒ f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2



f −1 (b) = a2 ⇐⇒ f (a2 ) = b
luego f −1 es una función y, por definición, f será invertible.
Ejemplo 9.32
Sean A = B = R y f : A −→ B tal que f (x) = 2x, ∀x ∈ A. Calcularemos f −1 .
Solución
Según la definición de función inversa,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (y) = x ⇐⇒ y = f (x), ∀y ∈ B
Sea y cualquiera de B. Como f es sobreyectiva, existirá x ∈ A tal que f (x) = y. Pues bien,
f (x) = y ⇐⇒ 2x = y ⇐⇒ x =
y
y
⇐⇒ f −1 (y) =
2
2
Es decir, f −1 es la función de B en A que hace corresponder a cada número real su mitad.
f −1 : B −→ A tal que f −1 (y) =
y
, ∀y ∈ B
2
Ejemplo 9.33
Sean A = B = R y f : A −→ B tal que f (x) = 2x − 3
256
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(a) ¿Es f invertible?
(b) Si (a) es afirmativo, hallar f −1
Solución
(a) Veamos si f es invertible.
Inyectiva. Sean x1 y x2 dos números reales cualesquiera, entonces
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
Sobreyectiva. Sea y ∈ B, cualquiera. Tomando
x=
y+3
2
tendremos que
x ∈ R y f (x) = f
y+3
2
=2
y+3
−3=y
2
luego f es sobreyectiva.
Por ser inyectiva y sobreyectiva, f es biyectiva, luego por 9.4.2, f es invertible.
(b) Calculamos f −1 .
Sea y un elemento arbitrario de B. Entonces, al ser f sobreyectiva, existirá x en A tal que f (x) = y.
Pues bien, apoyándonos en la definición de f −1 ,
f (x) = y ⇐⇒ 2x − 3 = y ⇐⇒ x =
y+3
y+3
⇐⇒ f −1 (y) =
2
2
luego,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (y) =
y+3
, ∀y ∈ B
2
Ejemplo 9.34 Sean A = B = R y f : A −→ B definida por f (x) = x3 + 2. Encontrar una fórmula
para la función inversa de f .
Solución
(a) Veamos si f es invertible.
Inyectiva. Sean x1 y x2 cualesquiera de A.
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x31 + 2 = x32 + 2 =⇒ x31 = x32 =⇒ x1 = x2
√
Sobreyectiva. Para cada y ∈ B, tomando x = 3 y − 2, tenemos que x ∈ B y
p
p
3
f (x) = f 3 y − 2 = 3 y − 2 + 2 = y − 2 + 2 = y
Por ser inyectiva y sobreyectiva es biyectiva y, por tanto, invertible.
(b) Calculamos su inversa.
Sea f −1 la inversa de f e y cualquiera de B. Dado que f es sobreyectiva, existe x en A tal que
f (x) = y. Pues bien,
p
p
f (x) = y ⇐⇒ x3 + 2 = y ⇐⇒ x = 3 y − 2 ⇐⇒ f −1 (y) = 3 y − 2
luego,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (y) =
p
3
y − 2, ∀y ∈ B
257
Universidad de Cádiz
9.5
Departamento de Matemáticas
Composición de Funciones e Inversa de una Función
Veremos ahora como la composición de funciones nos permite definir y caracterizar de otra forma la
inversa de una función.
A lo largo de todo el apartado, f será una función entre dos conjuntos A y B.
9.5.1
Proposición
La función f es invertible si, y sólo si existe una función g de B en A tal que g ◦ f = iA y f ◦ g = iB ,
donde iA y iB son las identidades en A y B, respectivamente.
Demostración
f es invertible ⇐⇒ ∃g : B −→ A tal que g ◦ f = iA y f ◦ g = iB
=⇒) Supongamos que f es una función invertible y sea f −1 su función inversa. Tomando g = f −1 y
teniendo en cuenta la definición de inversa, tendremos
g : B −→ A tal que g(b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
Pues bien,
f : A −→ B
)
=⇒ g ◦ f : A −→ A
g : B −→ A
y si a ∈ A, tenemos
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g(b) = a = iA (a)
es decir,
g ◦ f = iA
donde
iA : A −→ A tal que iA (a) = a, ∀a ∈ A
es decir, iA es la identidad en A.
Análogamente,
)
g : B −→ A
=⇒ f ◦ g : B −→ B
f : A −→ B
y si b ∈ B, tendremos que
(f ◦ g)(b) = f [g(b)] = f (a) = b = iB (b)
por tanto,
g ◦ f = iB
donde,
iB : B −→ B tal que iB (b) = b, ∀b ∈ B
o sea, iB es la identidad en B.
⇐=) Recı́procamente, supongamos que existe una función g de B en A tal que g ◦ f = iA y f ◦ g = iB ,
entonces,
(a) f es inyectiva. En efecto, si a1 , a2 son dos elementos cualesquiera de A, entonces
f (a1 ) = f (a2 )
=⇒ g [f (a1 )] = g [f (a2 )]
=⇒ (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) {Por hipótesis g ◦ f = iA }
=⇒ iA (a1 ) = iA (a2 )
=⇒ a1 = a2
258
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(b) f es sobreyectiva. En efecto, sea b ∈ B, cualquiera. Entonces,
g(b) ∈ A
tomando g(b) = a, tendremos que a ∈ A y
f (a) = f [g(b)] = (f ◦ g)(b) = IB (b) = b
luego f es sobreyectiva.
De (a) y (b) se sigue que f es biyectiva luego por 9.4.2 tendremos que f es invertible.
Obsérvese que además de caracterizar las funciones invertibles, con la proposición anterior, hemos construido la inversa de la función f (f −1 = g).
Ejemplo 9.35
Sea f una función de A en B. Encontrar f −1 en los siguientes casos:
(a) A = {x : x ∈ R y x > −1} , B = {x : x ∈ R y x > 0} y f (a) =
√
a + 1.
(b) A = B = R y f (a) = a3 + 1
(c) A = B = R y f (a) =
2a − 1
3
(d) A = B = {1, 2, 3, 4, 5} y f = {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5), (5, 1)}
Solución
(a) A = {x : x ∈ R y x > −1} , B = {x : x ∈ R y x > 0} y f (a) =
√
a + 1.
Sea g la inversa de f . Según hemos visto en 9.5.1, f ◦ g = iB . Pues bien,
f ◦ g = iB
⇐⇒
(f ◦ g)(b) = iB (b), ∀b ∈ B
⇐⇒
⇐⇒
f [g(b)] = b, ∀b ∈ B
p
g(b) + 1 = b, ∀b ∈ B
⇐⇒
g(b) = b2 − 1, ∀b ∈ B
luego,
g : B −→ A tal que g(b) = b2 − 1, ∀b ∈ B
es la inversa de f .
(b) A = B = R y f (a) = a3 + 1
Procediendo igual que en el apartado anterior,
f ◦ g = iB
⇐⇒
(f ◦ g)(b) = iB (b), ∀b ∈ B
⇐⇒
f [g(b)] = b, ∀b ∈ B
⇐⇒
(g(b))3 + 1 = b, ∀b ∈ B
√
g(b) = 3 b − 1, ∀b ∈ B
⇐⇒
luego,
g : B −→ A tal que g(b) =
es la inversa de f .
259
√
3
b − 1, ∀b ∈ B
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Departamento de Matemáticas
2a − 1
3
De un modo similar a los apartados anteriores,
(c) A = B = R y f (a) =
f ◦ g = iB
⇐⇒
(f ◦ g)(b) = iB (b), ∀b ∈ B
⇐⇒
f [g(b)] = b, ∀b ∈ B
⇐⇒
⇐⇒
2g(b) − 1
, ∀b ∈ B
3
3b + 1
, ∀b ∈ B
g(b) =
2
luego,
g : B −→ A tal que g(b) =
3b + 1
, ∀b ∈ B
2
es la inversa de f .
(d) A = B = {1, 2, 3, 4, 5} y f = {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5), (5, 1)}
Es inmediato que
f −1 = {(3, 1), (2, 2), (4, 3), (5, 4), (1, 5)}
es la inversa de f .
9.5.2
Unicidad de la Inversa
Si f es invertible, entonces su inversa es única.
Demostración
Supongamos que f es invertible y sea f −1 su inversa, es decir,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
con f −1 ◦ f = iA y f ◦ f −1 = iB .
Supongamos que existe otra función h que es también inversa de f ,
h : B −→ A tal que h ◦ f = iA y f ◦ h = iB
entonces,
h = h ◦ iB = h ◦ (f ◦ f −1 ) = (h ◦ f ) ◦ f −1 = iA ◦ f −1 = f −1
h = iA ◦ h = (f −1 ◦ f ) ◦ h = f −1 ◦ (f ◦ h) = f −1 ◦ iB = f −1
es decir,
h = f −1
Consecuentemente la inversa de f , si existe, es única.
9.5.3
Inversa de la Composición de Funciones
Si f y g son invertibles, entonces g ◦ f es invertible y
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
Demostración
Sea g una función entre los conjuntos B y C.
260
Matemática Discreta
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(a) g ◦ f es invertible. En efecto,
f es invertible, luego es biyectiva
)
(9.3.4)
=⇒ g ◦ f es biyectiva ⇐⇒ g ◦ f es invertible
g es invertible, luego es biyectiva
(b) Veamos ahora quien es la inversa de la composición.
Por definición,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (b) = a ⇐⇒ b = f (a), ∀b ∈ B
g −1 : C −→ B tal que g −1 (c) = b ⇐⇒ c = g(b), ∀c ∈ C
Pues bien, para cada c ∈ C se verifica
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 )(c)
f −1 ◦ g −1 (c)
= (g ◦ f ) f −1 g −1 (c)
= (g ◦ f ) f −1 (b)
=
(g ◦ f )
=
(g ◦ f )(a)
= g [f (a)]
= g(b)
= c
= iC (c)
luego,
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = iC
(9.1)
Por otro lado, para cada a ∈ A, tenemos
(f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f )(a)
=
(f −1 ◦ g −1 ) [(g ◦ f ) (a)]
=
(f −1 ◦ g −1 ) [g (f (a))]
=
(f −1 ◦ g −1 ) [g(b)]
(f −1 ◦ g −1 )(c)
= f −1 g −1 (c)
=
= f −1 (b)
= a
= iA (a)
es decir,
(f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = iA
(9.2)
De (9.1), (9.2) y de 9.5.1 se sigue que
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
Ejemplo 9.36 Verificar el teorema anterior para las funciones f : A −→ B y g : B −→ C donde
A = B = C = R y f (a) = 2a + 1 y g(b) = b/3, respectivamente.
Solución
f : A −→ B tal que f (a) = 2a + 1, ∀a ∈ A
g : B −→ C tal que g(b) =
261
b
, ∀b ∈ B
3
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Cálculo de g ◦ f .
Sea a cualquiera de A. Entonces,
2a + 1
3
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g(2a + 1) =
es decir,
g ◦ f : A −→ C tal que (g ◦ f )(a) =
2a + 1
, ∀a ∈ A
3
Cálculo de (g ◦ f )−1 .
(g ◦ f )−1 : C −→ A tal que (g ◦ f ) ◦ (g ◦ f )−1 = iC
Pues bien,
(g ◦ f ) ◦ (g ◦ f )−1 = iC
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(g ◦ f ) ◦ (g ◦ f )−1 (c) = c, ∀c ∈ C
(g ◦ f ) (g ◦ f )−1 (c) = c, ∀c ∈ C
2(g ◦ f )−1 (c) + 1
= c, ∀c ∈ C
3
3c − 1
(g ◦ f )−1 (c) =
, ∀c ∈ C
2
luego,
(g ◦ f )−1 : C −→ A tal que (g ◦ f )−1 (c) =
3c − 1
, ∀c ∈ C
2
Cálculo de f −1 .
f −1 : B −→ A tal que f ◦ f −1 = iB
Entonces,
f ◦ f −1 = iB
⇐⇒
(f ◦ f −1 )(b) = iB (b), ∀b ∈ B
f f −1 (b) = b
⇐⇒
2f −1 (b) + 1 = b
⇐⇒
f −1 (b) =
⇐⇒
b−1
2
luego,
f −1 : B −→ A tal que f −1 (b) =
b−1
, ∀b ∈ B
2
Cálculo de g −1 .
g −1 : C −→ B tal que g ◦ f −1 = iC
luego,
g ◦ f −1 = iC
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(g ◦ f −1 )(c) = iC (c), ∀c ∈ C
g g −1 (c) = c
g −1 (c)
=c
3
g −1 (c) = 3c, ∀c ∈ C
es decir,
g −1 : C −→ B tal que g −1 (c) = 3c, ∀c ∈ C
Cálculo de f −1 ◦ g −1 .
f −1 ◦ g −1 : C −→ A tal que (f −1 ◦ g −1 )(c) ∈ A, ∀c ∈ C
Pues bien, sea c cualquiera de C. Entonces,
3c − 1
(f −1 ◦ g −1 )(c) = f −1 g −1 (c) = f −1 (3c) =
2
por tanto,
f −1 ◦ g −1 : C −→ A tal que (f −1 ◦ g −1 )(c) =
262
3c − 1
, ∀c ∈ C
2
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Consecuentemente,
(f −1 ◦ g −1 )(c) = (g ◦ f )−1 (c), ∀c ∈ C
de aquı́ que
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
verificándose el teorema anterior.
Sean f : A −→ B y g : B −→ A. Verificar que g = f −1 en los casos siguientes:
Ejemplo 9.37
(a) A = B = Z, f (a) =
a+1
, g(b) = 2b − 1
2
2
(b) A = R+
0 , B = {y : y ∈ R e y > −1} , f (a) = a − 1, g(b) =
√
b+1
(c) A = B = P(S), donde S es un conjunto. f (X) = X c , g(X) = X c , ∀X ∈ P(S)
(d) A = B = {1, 2, 3, 4} , f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} y g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
Solución
Según hemos visto en 9.5.1, tendremos que probar, en cada uno de los casos, que
g ◦ f = iA y f ◦ g = iB
a+1
, g(b) = 2b − 1
2
Sea a ∈ A, cualquiera. Entonces,
(a) A = B = Z, f (a) =
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g
a+1
2
=2
a+1
− 1 = a = iA (a)
2
Sea b ∈ B, cualquiera. Entonces,
(f ◦ g)(b) = f [g(b)] = f (2b − 1) = 2
2b − 1 + 1
− 1 = b = iB (b)
2
luego,
g ◦ f = iA y f ◦ g = iB
y, consecuentemente, g es la inversa de f .
2
(b) A = R+
0 , B = {y : y ∈ R e y > −1} , f (a) = a − 1, g(b) =
√
b+1
Para cada a ∈ A, se verifica:
(g ◦ f )(a) = g [f (a)] = g(a2 − 1) =
p
a2 − 1 + 1 = a = iA (a)
y para cada b ∈ B,
(f ◦ g)(b) = f [g(b)] = f
√
√
2
b+1 =
b + 1 − 1 = b = iB (b)
luego,
g ◦ f = iA y f ◦ g = iB
yg=f
−1
.
(c) A = B = P(S), donde S es un conjunto. f (X) = X c , g(X) = X c , ∀X ∈ P(S)
Para cada X ∈ P(S), tenemos
c
(g ◦ f )(X) = g [f (X)] = g(X c ) = (X c ) = X = iP(S) (X)
c
(f ◦ g)(X) = f [g(X)] = f (X c ) = (X c ) = X = iP(S) (X)
luego, g = f −1 .
263
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(d) A = B = {1, 2, 3, 4} , f = {(1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} y g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
g ◦ f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} = iA
f ◦ g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} = iB
luego g = f −1 .
264