matematicas ii

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
MATEMATICAS II
MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACION UNIVERSITARIA DEL CARIBE
CECAR
DIVISION DE EDUCACION ABlERTA Y A
DISTANCIA
MÓDULO
MATEMATICAS II
Compiladores
FRANCISCO FLÓREZ ARIAS
TIRSO MERCADO DÍAZ
PROGRAMA A DISTANCIA DE
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA
CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
SINCELEJO - SUCRE
TABLA CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
JUSTIFICACIÓN
REFERENTES TEÓRICOS
INSTRUCCIONES GENERALES MANEJO DEL MODULO
ESTRUCTURA DEL MÓDULO
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES
PRESENTACIÓN
1.1
SITUACIÓN PROBLEMA
1.2
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
1.3
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
1.4
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.5
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.6
PRODUCTOS NOTABLES
1.7
FACTORIZACIÓN
1.8
FRACCIÓN ALGEBRAICA
1.9
RESUMEN
1.10 EVALUACIÓN
1.11 MAPA CONCEPTUAL DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.12 LECTURA COMPLEMENTARIA
I.
II.
III.
IV.
V.
1.
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
ECUACIONES
PRESENTACIÓN
SITUACIÓN PROBLEMA
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
CONCEPTO DE ECUACIÓN
TIPOS DE ECUACIONES
ECUACIÓN CUADRÁTICA
SISTEMAS DE ECUACIONES
RESUMEN
EVALUACION
MAPA CONCEPTUAL DE ECUACIONES
LECTURA COMPLEMENTARIA
FUNCIONES
PRESENTACIÓN
SITUACIÓN PROBLEMA
COMPETENCIAS ESPECÍFCAS
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL COMOCIMIEMTO
CONCEPTOS DE FUNCIÓN
CLASES DE FUNCIONES
RESUMEN
EVALUACIÓN
MAPA CONCEPTUAL DE FUNCIONES
LECTURA COMPLEMENTARIA
BIBLIOGRAFÍA
CIBERGRAFÍA
I. INTRODUCCIÓN
El término Ciencia (en latín: scientia, que significa conocer), que en su sentido
más amplio se emplea para referirse al conocimiento sistematizado en cualquier
campo, pero que suele aplicarse sobre todo a la organización de la experiencia
sensorial objetivamente verificable.
Como las ciencias naturales es el estudio de todos los fenómenos en la
naturaleza, el álgebra se convierte en ayuda indispensable pare su análisis, dado
que es el lenguaje de las matemáticas, que utiliza modelos que permiten
solucionar problemas propios de su competencia, basados en razonamientos
deductivos.
Se ha dicho que el álgebra es la aritmética simplificada, y es cierto que una
cantidad pequeña de conceptos de álgebra elemental permite resolver muchos
problemas que resultarían sumamente difíciles por medios puramente aritméticos.
Por esta razón nos dedicaremos en este módulo al estudio de los temas básicos,
que le permita, al estudiante de la licenciatura de básica con énfasis en ciencias
naturales a resolver los problemas más frecuentes. Por tanto, el módulo está
diseñado en tres unidades: la primera estudia las definiciones y términos más
frecuentes usados en polinomios, productos notables y factorización, la segunda
introduce las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones, así como sus métodos
para la solución de los mismos, la tercera comprende el estudio de funciones y sus
gráficas en el plano cartesiano.
II. JUSTIFICACIÓN
La matemática siempre ha sido parte importante para aprender los fenómenos de
la naturaleza y las situaciones cotidianas. Es por eso que los futuros licenciados
en educación básica con énfasis en Ciencias Naturales, se hace necesario que
conozcan y manejen adecuadamente a partir de las Competencias básicas de las
matemáticas vistas en el módulo I, continuar con el manejo de las expresiones
algebraica y las funciones algebraico que le permitan afianzar los conceptos
matemáticos con miras a un desempeño profesional bien sea en la carrera
docente, como en el desenvolvimiento en situaciones cotidiana, que le permita
potencializar en el uso y aplicación del pensamiento.
De otro lado, la matemática juega un papel importante en las asignaturas de
Química y Física en la interpretación, análisis y solución de situaciones de sus
contextos a través de la firma de las matemáticas.
Las competencias a propiciar son:
1. Comprende los conceptos básicos de las matemáticas para analizar, modelar y
resolver problemas aplicando métodos y procedimientos cuantitativos y
esquemáticos.
2. Comprende los datos presentados de diferentes formas (tablas, gráficas,
esquemas, símbolos, expresión verbal), así como la generación de
representaciones diversas a partir de datos dados.
3. Comprende los procesos relacionados con la identificación del problema, la
construcción y proposición de estrategias adecuadas para su solución en la
situación presentada.
4. Valora la importancia del desarrollo del pensamiento numérico en el ejercicio
de su profesión
5. Capacidad para apropiarse con sentido crítico de las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación y utilizarlas en su propio beneficio
III. REFERENTES TEÓRICOS
Los fundamentos teóricos están dentro de los Lineamientos Curriculares de
matemática, los Estándares Básico de Competencias y toda la conceptualización
matemática tiene que ver con la bibliografía establecida en este módulo.
De igual modo, se tiene como referente en la evaluación por competencias que
realiza el ICFES en las pruebas saber Pro, los concursos docentes y el ascenso
en el escalafón.
También se tiene en cuenta para el desarrollo del pensamiento matemático los
indicadores de logros.
IV. INSTRUCCIONES GENERALES PARA EL MANEJO DEL MÓDULO
Como futuro licenciado de la educación básica con énfasis en ciencias naturales,
requerirás de formar un pensamiento matemático que te permita no solo la
interpretación de los fenómenos naturales, sino también razonar con lógica ante
situaciones de la vida cotidiana. Es por ello que el módulo te permitirá revisar y
profundizar los conceptos que tienen que ver con los Números reales, la relación
entre magnitudes, sistemas de conversión y los aspectos fundamentales de la
Geometría.
El aprendizaje del módulo y su aplicación dependen exclusivamente de ti, de tu
interés, entusiasmo y disciplina para emprender el estudio del mismo. Por lo tanto,
te sugerimos tengas en cuenta:
1. Leer y entender detenidamente los conceptos e ilustraciones que allí
encuentres. No avanzar a otros conceptos sin antes entender muy bien el que
estudias, recuerda que estos son secuenciales y prerrequisito para los
posteriores.
2. Cada vez que estudies un concepto y asimiles su ilustración realiza y revisa las
actividades y ejercicios que encuentres en el respectivo taller de
autoevaluación.
3. En lo posible lleva un cuaderno de ejercicios resueltos, no solo te servirá de
material de apoyo sino que notaras tus avances.
4. Debes desarrollar las actividades previas propuestas en la carta de navegación
5. No te desanimes cuando no entiendas algo, a todos nos ha pasado„ consulta
en otro texto o acláralo con tu grupo de estudio o con el tutor.
V. ESTRUCTURA DEL MÓDULO
MATEMÁTICA II
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2. ECUACIONES
3.FUNCIONES
1.1 OPERACIONES
CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
2.1 CONCEDTO DE
ECUACIÓN
3.1 CONCEPTO DE
FUNCIÓN
1.2 PRODUCTOS
NOTABLES
2.2 TIPOS DE
ECUACIONES
3.2 CLASES DE
FUNCIONES
1.3 FACTORIZACIÓN
2.3 ECUACIÓN
CUADRÁTICAS
1.4 FRACCIÓN
ALGEBRÁICAS
SISTEMAS DE
ECUACIONES
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES
1.1 PRESENTACIÓN
El álgebra elemental fue estudiada de modo sistemático por los árabes durante el
periodo anterior al Renacimiento, cuando Europa estaba sin avanzar
intelectualmente. Al principio del siglo XVII el álgebra se había convertido ya en
una rama bastante desarrollada de las matemáticas, y estos habían empezado a
darse cuenta de que unir el álgebra y la geometría podría ser muy benéfico para
ambas materias; así que el matemático y filósofo francés René descarte (1.596 –
1.650) estableció dicho enlace en la materia que ahora llamamos geometría
analítica. De él fue la idea de hacer interpretaciones graficas de proposiciones
algebraicas e interpretaciones algebraicas de hechos geométricos, tal como suele
hacerse en la geometría analítica.
Se ha dicho que el álgebra es la aritmética simplificada, y es cierto que una
cantidad pequeña de conceptos de algebra elemental permite resolver muchos
problemas que resultarían sumamente difíciles por medios puramente aritméticos.
De otro lado, un aspecto de mucha ayuda en la resolución y simplificación de
problemas es la factorización, representado per el común con expresiones como
"no pueden sumarse peras y manzanas". Sin embargo es posible encontrar un
factor común, en este caso suma de frutas y poder hacer la suma imposible. Los
problemas de factorización son similares, consisten en transformar una expresión
algebraica, aparentemente heterogénea en una serie de productos que faciliten el
manejo de la expresión.1
1.2 SITUACION PROBLEMA
Los trenes de alta velocidad superan los 200km/h.
Esto les permite competir con el transporte aéreo
para distancias medias del orden de cientos de
kilómetros. Son los vehículos más seguros del
mundo, ya que la probabilidad de que choquen es
mínima. La velocidad (𝑣) promedio de un vehículo
es el cociente entre la distancia (𝑠) recorrida por
él y el tiempo (𝑡) que demora en recorrerla.
DESARROLLA EL SABER CRÍTICO
Interpreta
1. Escribe la expresión para calcular la velocidad de un tren de alta velocidad.
2. China se afianza como el líder mundial en la alta velocidad ferroviaria, con más
de 9.300 kilómetros en funcionamiento en todo el país. Calcula la velocidad del
tren de alta velocidad que transporta de las ciudades de Wuhan a Shenyang en
china que están a 1482km y el tiempo que demora es de 4.23horas
aproximadamente.
Analiza
3. Utiliza la expresión hallada para calcular la velocidad de un tren en 1 y escribe
las expresiones para calcular la distancia recorrida y tiempo empleado por un
tren de alta velocidad.
Infiere
4. La misma distancia entre las ciudades de Wuhan a
Shenyang un avión la hace en 2horas y 25 minutos y a
cuatro veces el costo del viaje en tren. Da dos ventajas y
2 desventajas de utilizar el transporte aéreo y por tren.
1.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
•
Identifica los términos que interviene en una expresión algebraica y su
aplicación en las diversas operaciones.
•
Factoriza cualquier expresión algebraica mediante la aplicación de sus
propiedades y la identificación de los casos respectivo.
•
Despierta en los estudiantes la curiosidad y el interés hacia la búsqueda del
conocimiento que le sirva de apoyo para su aprendizaje, asumiendo actitudes
innovadoras e investigativas a partir de los conocimientos matemáticos.
•
Fomenta el interés hacia el estudio del algebra dada su aplicación en
situaciones propias de las ciencias naturales.
1.4 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
ACTIVIDAD PREVIA: Trabajo independiente.
 Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
 Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos y
solución de las actividades finales de la unidad.
 Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
 Use el resume de la unidad
 Resuelva la actividad final de autoevaluación.
ACTIVIDAD EN GRUPO
 Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
 Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
 Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
 Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
1.5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de
adición, sustracción, multiplicación, lo signos de relación, =, >, < y los signos de
agrupación ( ), [ ], { }, uno o más términos algebraicos.
Ejemplo
2
ab 2 − 5ab + 6c ; 2mnp,
3
Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables
y una constante literal o numérica.
Ejemplos: 3xy2; 45p; m
En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y
factor literal.
Ejemplo: en el término –3xy2:




El signo es negativo
La parte numérica o coeficiente 6
Las partes literales x, y
Exponentes 1 y 2
Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de
los exponentes de su factor literal.
Ejemplo: en la expresión –3xy2 es de tercer grado
Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión
algebraica se denomina:
Monomio: Un término algebraico
: a2bc4 ; –35z
Binomio: Dos términos algebraicos
: x + y ; 3 – 5b
Trinomio: Tres términos algebraicos
: a + 5b -19
Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2
Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el
mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.
Ejemplo: el polinomio 2x + x2 – 5y3 es de segundo grado para x y de tercer grado
para y.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x, y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24x.
Valoración de expresiones algebraicas: Valorar una expresión algebraica
significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las
operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
Ejemplo: dar el valor numérico de la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando
x = 2; y = –1
Solución: se le asigna los valores dados y se opera.
5x 2 y − 8xy 2 − 9y 3 = 5 ⋅ 2 2 ⋅ (− 1) − 8 ⋅ 2 ⋅ (− 1) − 9 ⋅ (− 1)
= − 5(4) − 16(1) − 9( −1)
= − 20 − 16 + 9
= − 27
Luego el valor numérico es − 27
2
3
Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión
algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.
Ejemplos:
En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b
En la expresión x2y3 – 8xy2 +
2 2 3
2 2 3
x y , x2y3 es semejante con
xy
5
5
Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos,
conservando el factor literal que les es común.
Ejemplos:
1) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7ab = 3a2b – 5ab
2)
13 3 2 1 2 3
3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2
x y + x y
x y − x y + x y + x y =
2
4
3
3
12
6
3 1 9 + 4 13
+ =
=
4 3
12
12
{
[
−
(
1 2 −3+ 4 1
+ =
=
2 3
6
6
3) m − − 7 mn + − n − m − 3mn + 2n
2
2
2
{
[
− {− 7 mn − n
2
)]}=
m 2 − − 7 mn + − n 2 − m 2 + 3mn − 2n 2
m2
2
}
] }=
− m 2 + 3mn − 2n 2 =
m 2 + 7 mn + n 2 + m 2 − 3mn + 2n 2 =
2m 2 + 4mn + 3n 2
1.6 OPERACIONES CON EXPERSIONES ALGEBRAICAS
Adición de polinomios: Para sumar polinomios, ordenamos uno de los
polinomios en forma ascendente o descendente, luego colocamos en columna los
términos de los otros polinomios, teniendo en cuenta que sean términos
semejantes.
Ejemplo: sumar P 1 = 3 x2 + 2 x y – 5 y; P 2 = – 6 xy + 6 x2 – 7 y
Solución: se ordenan y se colocan los términos semejantes en la misma columna
3 x2 + 2 xy – 5 y
6 x2 – 6 xy – 7 y
9 x2 – 4 xy – 12 y
Sustracción de polinomios: Para restar polinomios se utiliza el mismo principio
de la resta de números reales, es decir, sumamos al minuendo inverso aditivo del
sustraendo (opuesto)
Ejemplo: reste P 1 = 3 x2 + 2 x y – 5 y de P 2 = – 6 xy + 6 x2 – 7 y
Solución: P 1 – P 1 = (3 x2 + 2 x y – 5 y) – (– 6 xy + 6 x2 – 7 y)
= 3 x2 + 2 x y – 5 y + 6 xy – 6 x2 + 7 y
= –3 x2 + 8 x y + 2 y
Producto de polinomios:
Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:
1º Multiplicar los signos (ley de los signos para la multiplicación )
2º Multiplicar los coeficientes numéricos.
3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).
 Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra;
esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y
polinomios por polinomios.
Monomios por monomios: Para multiplicar monomios procedemos así:
 multiplicamos los coeficientes con sus respectivos signos.
 Escribimos la misma parte literal y sumamos los exponentes de ellas.
Ejemplo
Multiplicar:
a) (–4a5b4)(12ab)=( –4)(12)a5+1b4+1 = –48 a6b6
b) ( 6 m5n-3p-4)(5 mn-1p2)= 30 m6n–4p–2
c)  3 a 4 b  ⋅  2 ab 3  =  3  2 a 5 b 4 = 1 a 5 b 4
4
 3

 4  3 
2
Monomios por polinomios: Para hallar el producto de un polinomio por un
monomio primero, se ordena el polinomio y, luego se halla el producto del
monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplo: multiplicar,
a) 7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )= 7 a4b (2a3 ) –7a4b(a b ) + 7a4b(5 b3 )
= 14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4
b) ( a x + b y – c z ) • (- x y )= – ax2y – bxy2 + cxyz
c)  − 2 m 2a−3  ⋅  − 5 m a−1 + 5 m 5a  = 1 m 3a−4 − m 7a−3
 5
  4
2

2
Producto de polinomios: Para realizar el producto de polinomios se recomienda tener en
cuenta los siguientes pasos:
 Se ordenan los polinomios respecto a la misna tetra en forma ascendente o descendente.
 Se halla el producto de cada termino del multiplicador, por cada uno de los término
del multiplicando, teniendo en cuenta la ley de los signos y las propiedades de
las potencias
 Se reducen los términos semejantes si los hay.
Ejemplo: efectuar el producto: (3x − 2)(x 2 + 2 x + 4)
Solución: se realiza en forma vertical:
x2 + 2x + 4
3x – 2
3
3x + 6x2 + 12x
+ 2x2 – 4x – 8
3
3x + 8x2 + 8x – 8
División de monomios: Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte
literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable
correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la
misma base.
Ejemplo:
a) axn ÷ bxm = (a ÷ b)xn – m
6x3 y 4 z 2
= 2 xyz
b)
3x 2 y 3 z
División de polinomios:
Dado los polinomios p(x) = –x4–5x6+3x2–3 y q(x) = x2+2x–1. Calcule: p(x)÷q(x).
Para realizar la división entre los polinomios se procede así:
1. Ordenar los polinomios en forma descendente ambos polinomios
q(x) = –x2+2x–1
p(x) = –5x6–x4+3x2–3
2. En caso de que el polinomio dividendo no sea completo la regla dice dejar
espacios en los monomios faltantes.
p(x) = –5x6 __–x4__+3x2__–3
Para mayor practicidad los llenaremos con términos nulos.
p(x) = –5x6+0x5–x4+0x3+3x2+0x–3
3. Se sitúa del lado derecho el divisor: q(x) = –x2+2x–1
|–x2+2x–1
–5x6+0x5–x4+0x3+3x2+0x–3
4. Se divide el primer monomio del divisor por el primer monomio del divisor y
este resultado se multiplica por cada termino del divisor y se le resta de los
términos del dividendo (se cambia de signo) como se indica:
− 5x 6
= +5 x 4
2
−x
5. El resultado se coloca debajo del divisor y se multiplica por polinomio divisor
–5x6+ 0x5 – x4 + 0x3 + 3x2 + 0x – 3
|–x2+2x–1
+5x6–10x5+5x4
5x4
5
4
3
2
–10x +5x + 0x + 3x + 0x – 3
6. Se repite la operación la división como en el primer paso.
La división termina cuando el grado del dividendo es menor que el grado del
divisor.
7. La división completa se indica a continuación
–5x6+ 0x5 – x4 + 0x3 + 3x2 + 0x – 3
|–x2+2x–1
+5x6–10x5+5x4
5x4 +10x3 +16x2 +22x +25
5
4
3
2
–10x + 5x + 0x + 3x + 0x – 3
+10x5– 20x4+10x3
–16x4+10x3 + 3x2+0x–3
+16x4–32x3+16x2
–22x3+19x2–0x–3
+22x3–44x2+22x
–25x2+22x –3
+25x2–50x+25
–28x+22
→
Esto es el resto.
DIVISIÓN SINTÉTICA: Llamada también Regla de Ruffini. La división sintética se
realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma
x – c, bx – c logrando una manera más compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente
Dividir: 3x4 – 8x3 + 9x – 2 entre x – 2
Solución:
3x4 – 8x3 + 0x2 + 9x – 2
|x – 2
4
3
–3x +4x
3x3 – 2x2 – 4x +1
– 2x3 + 0x2 + 9x – 2
2x3 – 4x2
–4x2 + 9x – 2
4x2 – 8x
x–2
–x +2
0
Para la división sintética se procede de la siguiente forma:
Paso 1: se toman los coeficientes del divisor teniendo en cuenta los que hacen
falta, Para este caso c = 2 (cambia de signo)
3
–8
0
9
–2
| 2
Paso 2: se baja el primer coeficiente del dividendo a la tercera fila, como se indica.
3
–8
0
9
–2 | 2
3
Se multiplica 2x3 = 6 y se coloca en la columna del segundo término y se realiza la
suma algebraica y así sucesivamente
3
–8
0
9
–2 | 2
3
6
–2
–4
–4
–8
1
2
0
El cociente es un polinomio de grado igual al grado del polinomio dividendo
menos uno y sus coeficientes son los resultados menos el último que
corresponde al residuo, esto es:
C(x) = 3x3 –2x2 –4x +1
El residuo es r(x) = 0
1.7 PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo
cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos
que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado.
Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la
multiplicación.
Algunos de ellos son los siguientes:
Cuadrado de un Binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del
primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el
segundo más el cuadrado del segundo término”
(a + b )2 = (a + b ) ⋅ (a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Ejemplo
2
2
a) ( p + 2b ) = p 2 + 2 ⋅ p ⋅ 2b + (2b ) = p 2 + 4 pb + 4b 2
b)
c)
(3m + 4n )2 = (3m )2 + 2 ⋅ 3m ⋅ 4n + (4n )2 = 9m 2 + 24mn + 16n 2
(5 x − y )2 = (5 x )2 + 2 ⋅ 5 x ⋅ y + ( y )2 = 25 x 2 + 10 xy + y 2
Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio: El cuadrado del
binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en
el plano.
La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del
cuadrado de lado a+ b, es decir:
Suma por la diferencia: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Ejemplo: efectuar
a) (x + 3)(x – 3) = x2 – 9
b) ( x + 2)( x − 2) =
( x) −2
2
2
= x−4
Cubo de un binomio: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Ejemplo: efectuar
a) (3b + 2c)3 = (3b)3 + 3(3b)2( 2c) + 3(3b)( 2c)2 +(2c)3
= 27b3 + 3(9b2)(2c) + 9b(4c2) + 8c3
= 27b3 + 54b2c) + 36bc2 + 8c3
b) (2 – 3x)3 = 23 – 3(2)2(3x) + 3(2)( 3x)2 – (3x)3
= 8 – 3(4)(3x) + 6(9x2) – 27x3
= 8 – 363x + 54x2 – 27x3
Trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Producto de dos binomios que tienen un término común, de la forma
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo: efectuar
a)
(x + 3) ⋅ (x + 2) = x 2 + (3 + 2)x + 3 ⋅ 2 = x 2 + 5 x + 6 ,
b)
(a + 8) ⋅ (a − 7 ) = a 2 + (8 − 7 )a + 8 ⋅ − 7 = a 2 + a − 56 , observa que
observa que
3 + 5 = 5

 3⋅ 2 = 6
 8 + (−7) = 1

8 ⋅ (−7) = −56
Producto de dos binomios que tienen un término común, de la forma
(mx + a)(nx + b) = mnx2 + (mb + na)x + ab
Ejemplo:
(3x – 2)(4x + 5) = 3(4)x2 + [ 3(5) + [4(–2)] x+ (–2)(5)
= 12x2 + [15 –8] x–10
= 12x2 + 7x –10
Producto de la forma:
(x – a) (x2 + ax + b2) = x3 – a3
(x + a) (x2 – ax + b2) = x3 + a3
Productos Notables
(a + b)° = 1
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2ab + b = (a + b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)(a + b)(a + b)
Triángulo de Pascal: es un arreglo triangular de números enteros con muchos
usos en matemáticas, incluyendo
la representación de los coeficientes
binomiales, debe su nombre al filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662).
Sin embargo, como en muchos casos matemáticos, su origen es muy anterior. Se
tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus
propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII),
así como el persa Omar Khayyam (siglo XII).
Recordemos brevemente su construscción. El triángulo se construye desde la
cúspide hacia abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La fila
1 está formada por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí,
la construcción es como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la
anterior. El elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y
cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que
se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior.
(a + b)°
1
(a + b)¹
1
(a + b)²
1
(a + b)³
1
1
3
4
5
6
1
3
1
(a + b) 5
(a + b) 6
2
1
(a + b) 4
1
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
1.8 FACTORIZACIÓN
Al expresar 32 siendo 8 y 4 factores enteros de 32, en este caso se dice que se
ha factorizado 32.
Al expresar u n p olin o m io co mo e l p ro d u cto de ot ros p o lin om ios
pertenecientes a un conjunto dado, se ha efectuado una factorización del
polinomio. Entonces, factorizar es escribir una expresión algebraica como el
de producto dos o más expresiones. La expresión (3x+2)(x–5) está
factorizadas porque se encuentra expresada coma un producto, en este caso
de dos factores; por el contrario la expresión (4x–1)(y +6) + (x + 2) no esta
factorizada ya que, aunque aparece un producto, la expresión se encuentra escrita
coma una suma.
Para lograr una factorización se deben realizar ciertos pasos que dependiendo de
la expresión que se quiera transformar, seran diferentes. Estos procedimientos no
son otra cosa que los métodos (casos) empleados para dejar indicado como el
producto de otras, una expresión dada. En otras palabras, como las expresiones
algebraicas tienen diferentes formatos, la manera de factorizarlas, también sera
distinta; esto origina la existencia de métodos, usualmente Ilamados casos de
factorización.
Factor Común: Todos los términos del polinomio contienen un mismo factor
numérico y/o lineal; en otras palabras, cada término es divisible por un mismo
monomio. Este se extrae como monomio que multiplica a un nuevo polinomio que
resulta de dividir a cada término del polinomio original.
Ejemplo: Factorice 5 x4 y2 – 10 x2 y3 –15 x3 y2
Tiene como divisor máximo común a: 5 x2 y2
Luego puede extraerse como factor que multiplica a: x2 – 2 y – 3 x
Y esto implica que:
5 x4 y2 – 10 x2 y3 –15 x3 y2 = 5 x2 y2( x2 – 2 y – 3 x )
En el caso de factor común, se puede encontrar que solo existe un factor literal,
numérico y tanto numérico como literal.
Ejemplo: factorice a2 + ab – 3ab2
Se observa que:
 Todos los término tienen como factor común a y se toma la de menor
exponente.
 Cada término se divide por el factor comun, que en este caso es a
 a 2 ab 3ab 2 
 = a (a + b − 3b 2 )
−
a 2 + ab − 3ab 2 = a +
a
a 
 a
Ejemplo: factoriza 6a – 12b + 24
El M.C.D (6, 12, 24) = 6, que sería el factor numérico de los tres términos, luego:
6a – 12b + 24 = 6 ( a – 2b + 4)
Factor común por agrupación: A veces el polinomio que se quiere factorizar, no
contiene un factor común en todos los términos, pero si por grupos, los cuales se
puede asociar de tal manera que contengan un factor común, como se indica en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Factorice 3ax+ b2 y + ay + 3b2 x
Aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa, se obtiene:
3a x+ b2 y + a y + 3 b2 x = (3ax + 3b2x) + (b2y + ay) factorizando en cada grupo:
= 3x (a+ b2) + y(a + b2) factorizando en grupos
= (a + b2 )(3 x + y)
Diferencia de Cuadrados: un binomio es una diferencia de cuadrado sí:
 Sus terminus tienen distintos signos
 A cada término se le puede extraer la raiza cuadrada o indicarla.
Ejemplo: Consideremos el caso del binomio (4a2 – 9b2), se puede factorizar así:
1. Se extrae la raíz cuadrada a cada término
2. Se aplica la regla que dice: todas diferencia de cuadrados se descompone en
dos factores, la suma de las raíces cuadras por la diferencia de las mismas.
así:
Los terminos son cuadrados perfectos y sus raíces son respectivamente 2a y
3b.
La suma de las raíces es 2a + 3b y la diferencia de las raíces es 2a – 3b,
luego:
(4a2 – 9b2) = (2a + 3b)( 2a – 3b)
Ejemplo: Factorice ( 9 – 16y2 )
Aplicando el producto especial (a – b)(a + b) obtenemos:
( 9 – 16y2 ) = (3 –4 y) ( 3 + 4y)
Trinomio cuadrado perfecto: Son expresiones cuya forma es: a2n – 2anbn + b2n.
Observando esta expresión se establecen tres criterios para reconocer si la expression es, o no,
un trinomio cuadrado perfecto.
1. La expression debe estar ordenada
2. Los términos primero y tercero deben pcseer igual signo (+) y raíz cuadrada
exacta
3. El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas
de los terminus primero y tercero.
"Un trinomio cuadrado perfecto se factorize en un binomio elevado al
cuadrado."
 El primer término del binomio corresponde a la ráiz cuadrada del primer término del
trinomio.
 El Segundo término del binomio corresponde a la raíz a cuadrada del tercer término del
trinomio.
 El signo del binomio sera el signo del segundo término del trinomio.
Ejemplo: factorice x2 + 6x + 9.
Veamos: ya está ordenada
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x2 = x
9 =3
2( x)(3) = 6 x
Ejemplo: factorice: 24m – 9m2 – 16
Solución:
Se ordenan el trinomio 1 colocando los cuadrados perfectos en los extremos
– 9m2 + 24m – 16
Como los términos que son cuadrados perfecto son negativos se agrupan en un
paréntesis precedido de signo menos: – (9m2 – 24m + 16)
Se factoriza:
 Raíz cuadrada del primer término: 3m
 Raíz cuadrada del segundo término: 4
 Doble producto de las raíces cuadradas: 2(3m)(4) = 24m
Entonces la expresión se puede factorizar:
24m – 9m2 – 16 = – (9m2 – 24m + 16) = – (3m – 4)2
Trinomio de la forma x2n + bxn + c
Un trinomio de esta forma debe cumplir con las siguientes normas:
 Estar ordenado en forma descendente
 El primer término del trinomio debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
 La variable que aparece en el segundo término debe corresponder a la raíz
cuadrada del primer término.
Un trinomio que cumpla estos requisitos se factoriza como el producto de dos
binomios así:
 El primer término de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término del
trinomio.
 Para encontrar los segundo términos de cada binomio debemos hallar dos
números que cumplan:
 La suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio
 El producto sea igual al tercer término
x2 + bx + c = (x + M)(x + m)
Donde b = M + m y c = Mm
 El signo del primer binomio es el signo del segundo término y el signo del
segundo binomio es el producto de los signos del segundo término y tercer
término.
Nota: si no existe números que cumplan con las dos última condiciones, la
expresión no se puede factorizar por este método o no es factorizable.
Ejemplo: factorice x2 + 6x + 5
Solución: la expresión está ordenada descendentemente, el primer término es
positivo y tiene raíz cuadrada exacta. La variable que aparece en el segundo
término (x) es la raíz cuadrada del primer término.
La expresión se puede factorizar así:
Se buscan los números M y m para este caso son 5 y 1, porque:
5+1=6
5(1) = 5
Por lo tanto: x2 + 6x + 5 = ( x + 5)(x + 1)
Ejemplo: factorice q4 – 5q2 – 36
Solución: están ordenados en forma descendente y cumple con el primer
requisito, siendo los números 9 y 4, luego:
q4 – 5q2 – 36 = (q2 – 9)( q2 + 4)
Se observa que el primer factor es una diferencia de cuadrados, por lo tanto se
puede seguir factorizando:
q4 – 5q2 – 36 = (q + 3)(q – 3)( q2 + 4)
Verifique Ud. el resultado.
Trinomio de la forma ax2n + bxn + c: la solución se indica con la factorización del
trinomio 3x2 + 7x – 6, no puede aplicar el caso anterior porque el primer término
no tiene raíz cuadrada exacta, entonces se multiplica y divide por el coeficiente de
primer término y se procede:
(
)
3 3x 2 + 7 x − 6
3x + 7 x − 6 =
, se multiplica y divide por 3
3
9 x 2 + 3(7 x) − 18
=
, se efectúa la operación
3
(3x + 9)(3x − 2)
=
, factorizando el numerado como en el caso anterior
3
3(x + 3)(3x − 2)
=
, factor común 3 en el primer factor
3
= (x + 3)(3x − 2), simplificando
2
EXAMPLE: Small Steel Frame
Your company is going to make frames as part of a new product they are
launching.
The frame will be cut out of a piece of steel, and to keep the weight down, the final
area should be 28 cm2
The inside of the frame has to be 11 cm by 6 cm
What should the width x of the metal be?
Area of steel before cutting:
Area = (11 + 2x) × (6 + 2x) cm2
Area = 66 + 22x + 12x + 4x2
Area = 4x2 + 34x + 66
Area of steel after cutting out the 11 × 6 middle:
Area = 4x2 + 34x + 66 - 66
Area = 4x2 + 34x
1.9 FRACCIÓN ALGEBRAICAS
p( x)
, donde p(x), q(x) ∈ P(x); q(x) ≠ 0. El polinomio
q( x)
p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica
Ejemplos:
Es toda expresión de la forma
x+5
, (x ≠ 3)
x−3
2x − 3y
c)
7
a)
8
3

, x ≠ − 
2x + 3 
2
3x + 4
d) 2
, (x ≠ 4, x ≠ − 2)
x − 2x − 8
b)
Fracciones equivalentes: Los polinomios están definidos pare todos los números
reales, pero las expresiones racionales no están definidos para valores de la
variable que anulen el denominador de a fracción. Observa la fracción:
x 2 − 7x + 12
x 2 − 16
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada,
ya que:
x 2 − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3)
x 2 − 16 = (x + 4)(x − 4)
Luego:
x 2 − 7x + 12 (x − 4)(x − 3) x − 3
=
=
donde x ≠ – 4
x 2 − 16
(x + 4)(x − 4) x + 4
Simplificación de expresiones algebraicas
c
a
y
son equivalentes, si una expresión puede obtenerse de la otra
b
d
al multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por una misma
expresión diferente de cero.
En general
Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.
Unos de los conceptos más importantes en el trabajo de simplificación de
fracciones algebraicas es el mínimo común denominador. Como su nombre lo
indica el mínimo común denominador es la expresión algebraica más simple, de la
cual son factores todos los denominadores.
ab
a + 2b
y 3
2
a − 5ab + 6b
a − 4ab 2
Solución: se factorizan los denominadores de cada una de la expresiones
algebraicas.
Ejemplo: halle el mínimo común denominador de:
2
ab
ab
, denominado r (a − 2b) y (a − 3b)
=
2
(a − 2b)(a − 3b)
a − 5ab + 6b
2
a + 2b
1
a + 2b
a + ab
, denominado r a y (a - 2b)
=
=
=
2
2
2
a(a − 4b ) a(a + 2b)(a − 2b) a(a + 2b)
a − 4ab
3
Así, los factores del mínimo común denominador son un factor de (a – 2b), un
factor (a – 3b) y un factor a, luego el M.C.D = a(a – 2b)(a – 3b)
1.10 RESUMEN
Expresiones algebraicas: es un conjunto de números y letras unidos entre sí por
las operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y por paréntesis.
3+2x2 y o xy – 32(xy2 – y)
Una expression algebraica puede ser un monomio, binomio, trinomio o polinomios.
Valor numérico: A cada letra o factor literal se le asigna un determinado valor
numérico entero.
Operaciones con expresiones algebraicas: con las expresiones se pueden
realizar todas las operaciones: adición, sustración, productos, cocientes, etc.
Productos notables:
Binomio al cuadrado: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Suma por la diferencia: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Cubo de un binomio:(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Producto de dos binomios que tienen un término común, de la forma
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Producto de dos binomios que tienen un término común, de la forma
(mx + a)(nx + b) = mnx2 + (mb + na)x + ab
Producto de la forma:
(x – a) (x2 + ax + b2) = x3 – a3
(x + a) (x2 – ax + b2) = x3 + a3
Descomposición factorial: Descomponer factorialmente una expresión
algebraica es hallar dos o más expresiones algebraicas, cuyo producto sea la
expresión inicial.
En la factorización se presentan casos que con el uso de los productos notable,
las fracciones algebraicas, y el uso de las propiedades de las matemáticas
permiten resolver cada uno de ellos si es posible.
1.11 EVALUACIÓN
I.
En cada ejercicio propuesta realiza tu solución con adecuado procedimiento y
elegante presentación.
1. En las siguientes expresiones, reduce términos semejantes:
a) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x
b) − 4 − (x − y) − 5 + (x + 3y) − 2 − {x − 3y + 5 − [− x + y −1+ 2 + (x − y)]}
c) − {+ [(x − y + z )]}+ {− [(z + x − y )]}− [{− (x + y )}]
d) (4x3 + 4x2 – 2x) + (5x2 – 6x – 7x3)
2. Hallar el valor numérico
a) 5x4 –3x3 +8x – 9
b) x5 –4x4 – 2x2 + 6
c) 2x4 – 3x3 +8x – 5
d) 2x3 – 6x2 + 5x + 4
para x = 2
para x = -1
para x = 3
para x = - 2
3. Resuelve las siguientes operatorias propuestas:
a) 2x(4x2 – 6x +2) + 3(5x2 –3x– 4) – 14 x2
b) (3x3 –x + 5)(2x3 +1)
c) (x3y3 + 2)(x3y3 - 2)
d) (7x3 – 5x + 3)(2x2 +x –1)
4. Realiza los siguientes productos por simple inspección
a) (4x3 + 5y3 )2 =
b) (7x5 – 2y6 )2=
c) (5x2 + 7y3)(5x2 – 7y3)
d) (7x3 – 6y2)(7x3 + 6y2)
e) (2x + 1)(2x – 1)
f) (x + 1)(x – 1)
g) (2x + 10)(3x – 8)
h) (x + 1)(x – 5)
i) (x – 3)(x – 1)
j) (2x + 3y2)3
5. Realiza las siguiente divisiones, puedes usar la división sintética, según sea
el caso
a) (8x5 – 2x2 + x3 – 3) ÷ (–2x2 + 4x3 + x –1)
b) (2x3 + 5x2 + 11x – 7 ) ÷ (2x –1)
c) 3y4 + y2 –5y+4) ÷ (y +1)
d) (–2x + 3x2 – x3 + 2x4 + x5 ) ÷ ( x – 2)
II.
En cada una de los ejercicios sustenta tu respuesta de acuerdo con los
conceptos, principios y propiedades estudiadas.
1. El valor numérico de la expresión
a) -
2
5
b)
2
5
c)
14
5
2
(b - c) sí b = 3 y c = 4, es:
5
14
d) 5
2. Al reducir términos semejantes en la expresión 4x3 + 4x2 – 2x + 5x2 – 7x3 se
obtiene:
a) –3x3 + 9x2 – 2x
c) 3x3 – 9x2 – 2x
3
2
b) 11x + 9x + 2x
d) – 9x2 – 2x
3. El perímetro de la siguiente figura está
dado por
Responde 4 y 5 de acuerdo con
siguiente información: Isaac pintó
mural rectangular que tiene 760cm
perímetro, cuyo largo es 2x – 40 y
ancho es x.
la
un
de
de
4. La expresión asociada al largo del mural
2x – 40, se puede interpretar como:
a) el largo tiene 40cm menos que le
doble del ancho
b) el largo excede en 40cm al valor del ancho.
c) El ancho al cuadrado menos 40cm es igual al ancho.
d) 40cm menos dos veces el ancho es el valor del largo.
5. El área que utilizo Isaac para pintar el mural es:
a) 2[(2x – 40) + x]
c) (2x)x - 40
b) 2x2 – 40x
d) x2 – 40x
6. Al factorizar la expresión x4 – 16 se obtiene:
a) (x2 + 4)(x2 – 4)
c) x2 + 4)(x +2)(x – 2)
b) (x2 + 4)(x +2)(x – 4)
d) x2 + 4)(x – 4)
7. Al operar la expresión algebraica
3
2
x
se obtiene como
- 2
+
x +1 x -1
x -1
resultado:
a)
3
x +1
b)
2
x -1
2
c) 2
d) –2
1.12 MAPA CONCEPTUAL DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.13 LECTURA COMPLEMENTARIA
LA POLÍTICA HA CAMBIADO LAS MATEMÁTICAS A LO LARGO DE LA
HISTORIA
Los matemáticos se replantean cómo los cambios políticos han tenido influencia
sobre la claridad y universalidad de sus teorías, supuestamente al margen de
formas sociales y de Estado, de opiniones políticas y de la procedencia de quienes
las formulan.
Desde la negación de la contribución árabe al álgebra hasta el nuevo enfoque de
los científicos alemanes tras la Primera Guerra Mundial, influidos por la filosofía y
la literatura del momento, los vaivenes políticos de las matemáticas han sido
analizados por el alemán Norbert Schappacher en un artículo que publica La
Gaceta de la Real Sociedad Española de Matemáticas. "Las matemáticas son
hijas de su tiempo", afirma Schappacher. Este matemático y profesor en la
Universidad Louis Pasteur de Estrasburgo destaca lo difícil que resulta creer en
esa interferencia de lo político y lo social en la ciencia, mientras que es mucho
más natural pensar a la inversa, al ver cómo los progresos en las matemáticas han
cambiado la sociedad a través de sus aplicaciones. Es lo que ha sucedido con los
algoritmos diseñados por los matemáticos, imprescindibles para el funcionamiento
de los teléfonos móviles y las cámaras digitales; o los descubrimientos de la
matemática financiera en las últimas décadas, sin los que serían imposibles
nuevas formas de comercio en la Bolsa.
Schappacher encuentra una primera muestra de interferencia en las matemáticas
de los sucesos históricos en la Revolución Científica que tuvo lugar entre los siglos
XV y XVII. Uno de sus frutos, el álgebra moderna, nació con los prejuicios de los
sabios europeos que la impulsaron y quisieron ignorar la contribución de los
matemáticos árabes durante la Edad Media a esta rama de la ciencia. Aunque el
propio nombre de álgebra es árabe y está sacado del primer tratado sistemático
sobre ecuaciones, publicado en Bagdad en el siglo IX, Schappacher recuerda que
siglos después los matemáticos europeos se atribuyeron haber resucitado un arte
que, según ellos, "había sido tan profanado y contaminado por los bárbaros que
hubo que darle una forma enteramente nueva".
De ese odio de los humanistas a lo árabe, que desfiguró la historia de las
matemáticas, Schappacher salta a la Primera Guerra Mundial, tras la cual el
propio contenido de esa ciencia fue politizado. Por encima del boicot internacional
a los matemáticos alemanes o de la marginación de los científicos judíos en la
Alemania nazi, Schappacher destaca el caso del matemático Hermann Weyl, al
que califica como "un sismógrafo extraordinariamente sensible a las sacudidas de
su tiempo".
Tras el paréntesis de la Primera Guerra Mundial, Weyl no retomó sus estudios
donde los había dejado, sino que hizo tabula rasa: comenzó de cero y se dejó
seducir por campos de investigación nuevos como la teoría de la relatividad.
Analizando sus escritos, Schappacher llega a la conclusión de que fue la
atmósfera de los años de guerra, a través de las nuevas corrientes filosóficas y
literarias, la que cambió el pensamiento de Weyl y le hizo abordar de una manera
radicalmente diferente los problemas teóricos de las matemáticas y salir de unos
círculos de razonamiento "viciosos", lo que resultó muy fructífero para esta ciencia.
Otro vaivén político, la llegada de los nazis al poder, llevó a EE.UU. a Weyl,
casado con una judía. Schappacher recuerda cómo se politizaron las academias e
institutos matemáticos en la era de Hitler, durante la cual se impusieron teorías
racistas sobre los estilos matemáticos, que distinguían entre el estilo alemán y el
judío de abordar la ciencia. El resultado fue un boicot a los profesores judíos en
las Universidades, una vuelta de tuerca más a los nacionalismos científicos de los
que habían sido víctimas los propios matemáticos germanos tras la Primera
Guerra Mundial.
Revista: Servicio de Noticias Científicas
0678-2005 (NC&T/Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española).
Fecha de publicación: 10 / 6 / 2005 (España)
Fuente bibliográfica: Servicio de Noticias Científicas
© 2005 Servicio de Noticias Científicas
Código documento: 1318811
2. ECUACIONES
2.1 PRESENTACIÓN
La solución de ecuaciones es una parte importante del algebra y de las
matemáticas en general. Con frecuencia, las ecuaciones surgen como modelos
matematicos de problemas de aplicación de cualquier contexto, de las
matemáticas, de las ciencias naturales, de la economía, de la vida diaria, entre
otras.
La tarea consiste en revisar cada uno de los métodos de solución de ecuaciones
lineales, sistemas de ecuaciones, ecuaciones cuadrática y con radicales y de otro
interpreter situaciones problemas y escribirla en el lenguaje de ecuaciones y dar
su solución.
2.2 SITUACIÓN PROBLEMA
Los químicos utilizan símbolos para representar elementos, fórmulas para
representar compuestos y ecuaciones para representar las reacciones químicas.
El químico francés Lavoisier fue quien planteo la primera ecuación para una
reacción química, a partir de sus estudios sobre la fermentación del mosto de la
uva. En este proceso, el azúcar, en forma de glucosa, se transforma en alcohol
etílico y dióxido de carbono.
Esta transformación se representa mediante la ecuación
Glucosa
𝑎𝐶6 𝐻12 𝑂6
Lado izquierdo
(Reactivos)
𝑏𝐶2 𝐻5 𝑂𝐻 + 𝑐𝐶𝑂2
lado derecho
(Productos)
La reacción anterior no está balanceada. Para balancear una reacción química se
utilizan los coeficientes estequiométricos, que son unos números (a, b, c) que se
anotan delante de las formulas y que indican el número de átomos y moléculas de
cada sustancia que intervienen en dicha reacción química. El proceso para
conseguir los coeficientes estequiometricos es el siguiente:
1. Se escribe la ecuación química, representando los coeficientes con letras.
𝑎𝐶6 𝐻12 𝑂6
𝑏𝐶6 𝐻5 𝑂𝐻 + 𝑐𝐶𝑂2
2. Se comprueba el número de átomos de cada elemento que hay en los
reactivos y en los productos.
reactivos
productos
Átomo de carbono
6a
2b + c
Átomo de hidrogeno
12 a
6b
Átomo de oxigeno
6a
b + 2c
3. Se escribe una ecuación para cada elemento, con lo cual se forma un sistema
ecuaciones:
6𝑎 = 2𝑏 + 𝑐
� 12𝑎 = 6𝑏
6𝑎 = 𝑏 + 2𝑐
4. Se resuelve el sistema de ecuaciones asignando un valor arbitrario a uno de
los coeficientes. Por ejemplo, si a = 1 entonces b = 2 y c = 2.
5. Se escriben los coeficientes calculados en la ecuación química y esta queda
balanceada.
𝐶6 𝐻12 𝑂6
2𝐶2 𝐻5 𝑂𝐻 + 2𝐶𝑂2
Interpreta
1. Balancear las siguientes reacciones químicas.
a. Hidrogeno + oxigeno
agua
𝐻2 𝑂
𝐻2 + 𝑂2
b. Hidrogeno + nitrógeno
amoniaco
𝐻2 + 𝑁2
𝑁𝐻3
c. Hierro + oxigeno
oxido de férrico
Analiza
𝐹𝑒 + 𝑂2
𝐹𝑒2 𝑂2
¿Qué ley de la naturaleza obedece el balanceo de ecuaciones?
Infiere
¿Cuál es el objetivo de encontrar los valores a, b, y c?
2.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
•
Identifica los elementos que intervienen en una ecuación, su tipo, interpreta y
traduce al lenguaje verbal.
•
Construye modelos matemáticos de situaciones reales, hipotéticas o formales
que involucren sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos variables, le
da solución analizando y argumentando la viabilidad.
•
Identifica los métodos de solución de una ecuación y un sistema de ecuaciones
en cualquier situación problema.
•
Adquiere destrezas en las estrategia de solución de problema mediante la
aplicación de ecuaciones.
•
Capacidad para apropiarse con sentido crítico de las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación y utilizarlas en su propio beneficio
2.4 DIINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
Actividad previa: Trabajo independiente.
•
•
•
•
•
Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos y
solución de problemas
Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
Use el resumen de la unidad
Resuelva la actividad final de autoevaluación.
Actividad en grupo
• Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
• Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
• Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
• Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
2.5 CONCEPTO DE ECUACIÓN
Una característica de los números reales, es que se pueden expresar por medio
de símbolos, lo cual pace posible el planteamiento de problemas, que requieren
para su solución, encontrar valores específicos de esos símbolos que satisfagan
una relación de igualdad. Estas relaciones de igualdad se llaman ecuaciones y los
números reales que las satisfacen son las soluciones de las mismas.
Ecuacion: es una igualdad en la cual participan algunas cantidades desconocidas,
en general designadas por letras.
Las cantidades desconocidas se denominan incógnitas o variables
La palabra ecuación proviene de “aequare” que en latín significa igualar.
2.6 TIPOS DE ECUACIONES
Las ecuaciones reciben distinto nombre según las operaciones que afectan a las
incógnitas: algebraicas y trascendentes
Ecuaciones algebraicas: pueden ser de una o dos variable y de acuerdo con el
exponente de las variables pueden lineales si su exponente es uno, cuadrática,
si su exponente es dos, etc. De acuerdo con las operaciones puede ser racional o
irracional.
Una solución de una ecuación algebraica con una incógnita x es un número x 0 tal
que, al reemplazar x por x 0 en la ecuación, ésta se transforma en una identidad
numérica.
Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución y en tal caso hallar
todas las soluciones.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores de la variable o
incógnitas para que la igualdad sea verdadera.
Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta los siguientes
principios:
 Agrupar y reducir los términos semejantes que haya en los dos miembros de
la ecuación.
 Suprimir todos los denominadores. Para ello multiplicamos ambos
miembros de Ia ecuación dada por el m.c.m. de los denominadores dados.
 Efectuar las operaciones indicadas en los miembros de la ecuación,
como suprimir parenthesis.
 Transponer términos de tal manera que as variables estén en solo
miembros y los términos independientes (constantes) en el otro miembro.
 Solucionar la ecuación así obtenida
 Verificar el resultado en la ecuación original.
Ecuación lineal: Una ecuación lineal es una ecuación en donde la variable solo
esta elevada a Ia primera potencia. Por esta razón, a las ecuaciones lineales
también se les llama ecuaciones de primer grado. Cada ecuación lineal con una
variable x puede escribirse como una ecuación equivalente de la forma: ax + b = 0
donde a y b son números reales y a ≠ 0.
Ecuaciones lineales enteras: son todas aquellas donde la variable x hace
papel de numerador.
Ejemplo: halle la solución de la siguiente ecuación 2(x + 3 ) + x = 0
Solución: Se resuelve con todos sus pasos:
2 ⋅ ( x + 3) + x = 0
Ecuación
2x + 6 + x = 0
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma
Propiedad asociativa de la suma
(2 x + x ) + 6 = 0
3x + 6 = 0
Suma dentro del paréntesis (se llegó a la expresión general)
(3x + 6) + (− 6) = 0 + (− 6) Propiedad uniforme de la suma y existencia del inverso
aditivo
3 x + [6 + (− 6 )] = 0 + (− 6 ) Propiedad asociativa de la suma
3x + 0 = −6
3x = −6
1
1
⋅ 3 x = ⋅ (− 6)
3
3
Propiedad de suma de un número con su inverso aditivo en el
primer miembro, y suma en el segundo miembro
Propiedad del neutro aditivo
Propiedad uniforme de la multiplicación y existencia del
inverso multiplicativo.
1
1 
 ⋅ 3  ⋅ x = ⋅ (− 6) Propiedad asociativa de la multiplicación
3
3 
1.x = −2
Propiedad de la multiplicación de un número con su inverso
x = −2
multiplicativo en el primer miembro, y multiplicación en el
segundo miembro.
Propiedad del neutro multiplicative
Ud puede verificar la solución sustituyendo x = –2, en la ecuación original
Esta solución se puede simplicar realizando la transposición de términos y las
propiedades uniforme de toda igualdad.
Ejemplo: Encontrar la solución de una ecuación con denominadores numéricos
x − 2 x − 3 4 − 2x
−
=
como
3
2
5
Solución: se halla el denominador común de los denominadores M.C.D (3, 2, 5) =
30.
x − 2 x − 3 4 − 2x
⇒ ecuación
=
−
5
2
3
10(x − 2) 15(x − 3) 6(4 − 2x)
⇒ aplicando el denominador común
=
−
30
30
30
10x − 20 − (15x − 45) = 24 − 12x ⇒ simplificando y multiplicando
10x − 20 − 15x + 45 = 24 − 12x ⇒ eliminando el paréntesis
10x − 15x + 12x = 24 + 20 − 45 ⇒ transponienos términos
7x = −1
⇒ reduciendo términos semejante
1
x=−
⇒ soluciòn
7
Ecuación racional: son las que tienen en sus denominadores variables.
Ejemplo: resuelva la ecuación
1 3
1 13
+
=
+
x 2x 3x 12
Solución: el MCM de los denominadores es 12x y se aplica la porpiedad uniforme
de una igualdad, es decir, se multiplican todos los términos por dicho MCM, así:
1 3
1 13
+
=
+
⇒ ecuación fraccionarias
x 2x 3x 12
(12x ) 1 + (12x ) 3 = (12x ) 1 + (12x ) 13
⇒ propiedad uniforme de una igualdad
x
2x
3x
12
⇒ simplifica ndo
12 + 18 = 4 + 13x
⇒ transponiendo términos
12 + 18 - 4 = 13x
⇒ reducción de términos semejantes
13x = 26
26
13
x=2
x=
⇒ despejando
⇒ solución
Ecuaciones con radicales: Si en una ecuación la variable aparece en un
radical, recibe el nombre de ecuacion con radical. Es posible transformar
algunas ecuaciones de este tipo en ecuaciones lineales.
Para resolver una ecuacion con radicales se deben tener en cuenta los siguientes
pasos:
 Se despeja un radical en un lado de la ecuación.
 En ambos lados de la ecuación se eleva a una potencia igual al índice de ese
radical.
 Se resuelve is ecuación. Si queda un radical, se repiten los pasos
anteriores.
Ejemplo: resuelva la ecuación
x 2 + 5 = −x + 5 = 0
Solución
x 2 + 5 = −x + 5 = 0
⇒ ecuación con radical
x2 + 5 = x − 5 = 0
⇒ se despeja el radical
( x + 5 ) = (x − 5)
2
2
2
x 2 + 5 = x 2 − 510x + 25
5 = −10x + 25
10x = 25 − 5
10x = 20
x=2
⇒ se eleva al cuadrado ambos miembros
⇒ desarrollando los cuadrados de los binomios
⇒ propiedad cancelativ a de una igualdad.
⇒ transposición de términos
⇒ reducción de términos semejante
⇒ simplificando por 10
Verifique ud la solución.
Las ecuaciones en la solución de problemas: Como se diio al inicio de Ia unidad,
tienen aplicaciones en las matemáticas y otras ciencias, especialmente, en la resolución
de problemas. En muchos de ellos, su enunciado conduce a una ecuación que se debe
resolver para encontrar la respuesta a la pregunta que se pide.
Para resolver un problema aplicando ecuaciones con una incógnita, se procede de la
siguiente manera:
1. Leer e interpretar el enunciado, para poder identificar datos e incógnita determinando
las relaciones que existen entre ellos.
2. Cuando se trate de un problema geométrico, es conveniente realizar un dibujo
(esquema gráfico) donde se anoten los datos e incógnita.
3. Escribir la ecuación que corresponda a la relación encontrada entre los datos y la
incógnita.
4. Resolver la ecuación.
5. Verificar la solución
Ejemplo: Dos estaciones A y B están separadas 430km. De A sale un tren hacia B con
velocidad de 40 km/h y dos horas más tarde sale un tren de B hacia A con velocidad de
30 km/h. Calcule a que distancia de A se Cruzan.
Solución
El problema corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme, donde:
d1 es la distancia recorrida por el tren que sale de la ciudad A hasta el punto de
encuentro.
d2 es la distancia recorrida por el tren que sale de la ciudad A hasta el punto de
encuentro.
V1 = 40 Km/h, velocidad del tren que parte de A
V2 = 30 Km/h, velocidad del tren que parte de B
t1 = t, el tiempo que gasta el tren que parte de A hasta el punto de encuentro.
t2 = t – 2h, el tiempo que gasta el tren que parte de B hasta el punto de encuentro.
XAE = ?
•
Se plantea un esquema de la situación
E es el punto donde se cruzan los dos trenes.
Teniendo en cuenta el esquema, se tiene que:
d 1 = x;
•
•
•
•
d 2 = 480km – x
Se aplica la fórmula del movimiento uniforme para hallar la distancia: d = Vt
el tiempo de cada tren en su recorrido, hasta el momento en que se cruzan: t =
X / V.
Para el tren A, d 1 = V 1 t 1 , es decir:
x = 40km/h. t
(1)
Para el tren B, d 2 = V 2 .t 2 , es decir:
430km – x = 30km/h. t 2
430km – x = 30km/h. (t – 2h)
(2)
Sustituyendo (1) en (2), se tiene:
430km – 40km/h. t = 30km/h. (t – 2h) → desarrollando los pasos se tiene:
430km – 40km/h. t = 30km/h.t – 60km
430km + 60km= 40km/h. t + 30km/h.t
490km = 70 km/h.t
490km.
= 7h
70km/h
7h gasta el tren que parte de A hasta el punto de encuentro E.
t=
La distancia recorrida se obtiene de la ecuación (1)
x = 40km/h. t = 40km/h (7h) = 280km
Verificación:
La distancia recorrida por el tren que sale de B es 430km – 280km = 150km
El tiempo que gasta hasta dicho punto de encuentro se halla con la fórmula de
cálculo para el tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme:
d
150km
t2 = 2 =
= 5h
V2 30km/h)
Se verifica que tren como sale dos horas después que sale el tren que parte de
A, es decir: 7h – 2h = 5h
Ejemplo: La edad del padre es el doble que la edad de su hijo. Sí ambas edades
suma 60 años, halle la edad del hijo.
Solución
Sea x la edad del hijo
2x la edad del padre
Condición del problema
2x + x = 60
3x = 60
60
x=
= 20
3
Entonces la edad del hijo es 20 años
2.7 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma
general ax2 +bx +c = 0, donde a, b, c ε R, a ≠ 0. Se le denomina la forma general
o canónica de la ecuación cudrática.
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o
valores de la variable que al ser sustituidos convierten la ecuación en una
identidad
Existen tres métodos para resolver una ecuación de este tipo: factorizando,
usando la fórmula cuadratica y completando cuadrado. Cualquiera que sea el
método que se utilice, la prirnera etapa en la resolución es escribir la ecuación en
Ia forma general o canónica. El procedimiento para llegar a esta forma, en caso de
no estarlo es, en primer lugar eliminar todas las fracciones que aparezcan
multiplicando toda la ecuación por su denominador común, luego se eliminan los
paréntesis, se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuacion y se
simplifican los términos semejantes.
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se
anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Ejemplo
a) x 2 − 2x = 0, donde a = 1 y b = −2
⇒ ecuación incompleta
b) 3x 2 − 75 = 0, donde a = 3 y c = −75
⇒ ecuación incompleta
c) 3x 2 − 5x + 12 = 0, donde a = 3, b = − 5 y c = 12
⇒ ecuación incompleta
d) x 2 + 5x + 6 = 0, donde a = 1, b = 5 y c = −75
⇒ ecuación incompleta
Ejemplo: En la ecuación x2 –5x + 6 = 0
• el valor x = 4 no es solución porque 42 – 5(4) + 6 = 16 – 20 + 6= 2
• el valor x = 2 si es solución porque 22 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6= 0
Ecuaciones de segundo grado incompletas: si en la ecuación ax2 + bx + c = 0
alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuación incompleta y
se pueden resolver directamente:
a) sí c = 0, entonces la ecuación queda ax2 + bx = 0 y la solución es:
ax2 + bx = 0
x(ax – b) = 0, factor común
x = 0 y ax – b = 0, propiedad del producto de dos números igual a cero.
x = 0 y x = – b/a
b) si b = 0, entonces la ecuación queda ax2 + c = 0 y la solución es:
ax2 + c = 0
ax2 = –c
x2 = –c/a
c
x=± −
a
Identifique Ud. los pasos aplicados en la solución de la ecuación.
Ejemplo: Halle la solución de la ecuación, 3x2 – 12= 0
Solución
3x 2 − 12 = 0
E. Cuadrática
3x 2 = 12
despejando
12
3
2
x =4
x2 =
desjenado
dividiendo
x=± 4
x=±2
raíz cuadrada
solución
x1 = 2
x 2 = −2
Ejemplo: Halle la solución de la ecuación, 3x 2 − 12x = 0
Solución
3x 2 − 12x = 0
→ E. cuadrática
3x(x − 4) = 0
→ factor común
3x1 = 0 ⇒ x1 = 0
→ igualando cada factor a cero
x2 − 4 = 0 ⇒ x2 = 4
⟨ x1 = 0 y x 2 = 4 ⟩
→ solución
Solución por factorización
Ejemplo: Resuelva la ecuación 3n2 +14n – 5 = 0, mediante factorización.
Solución:
3n 2 + 14n − 5 = 0
ecuación cuadrática
(3n)2 + 14(3n) − 15 = 0
(3n + 15 )(3n − 1) = 0
multiplica ndo por 3
3n + 15 = 0 ⇒ n = −
3n − 1 = 0 ⇒ n =
1
⟨n1 = −5 n2 = ⟩
3
15
= −5
3
factorizando
igualando cada factor a cer
1
3
solución
Solución de una ecuación cuadrática por completación de cuadrados:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2 + bx + c = 0 ; y
siempre la constante “a “ tiene que ser igual a 1.
Ejemplo: para factorizar la ecuación del ejemplo anterior 3n2 +14n – 5 = 0, hay
que despejar de la siguiente forma:
ecuación cuadrática
3n 2 + 14n − 5 = 0
3n 2 + 14n − 5 = 0
3
5
14
n− =0
n2 +
3
3
5
14
n=
n2 +
3
3
2
5 7
14
7
n +
n+  = + 
3 3
3
3
dividiendo toda la ecuación por 3
pasando 5/3 al otro miembro
2
2
completand o cuadrado
2
7
5 49

n +  = +
3
3 9

factorizando y elevando el cuadrado
7  15 + 49 64

=
n +  =
9
9
3

adición de fraccionario
2
2
7
64

n +  = ±
3
9

7
8
n+ = ±
3
3
8 7
n=± − =
3 3
8 7 1
n1 = − =
3 3 3
8 7
15
n2 = − − = −
= −5
3 3
3
extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros
transposición de términos
solución
Solución por la fórmula cuadrática
Ejemplo: resuelva la ecuación x2 +2x – 8= 0 utilizando la fórmula cuadrática.
Solución:
La ecuación está en la forma general más simple, donde a = 1, b = 2 y c = –8
La fórmula general para hallar la solución de una ecuación cuadrática es:
− b ± b 2 − 4ac − 2 ± 2 2 − 4(1)( −8)
=
x=
2a
2(1)
− 2 ± 4 + 32
2
− 2 ± 36
=
2
−2±6
=
2
=
−2+6 4
= =2
2
2
−2−6 −8
=
= −4
x2 =
2
2
{x1 = 2, x 2 = −4}
→
→
→
→
x1 =
→ solución
Revise la solución e identifique los pasos aplicados y además verifique la solución.
Ejemplo: resuelva la ecuación x2 – 2x +1/2 = 0
Solución: para eliminar el fraccionario se multiplica toda la ecuación por 2 y se
transforma en 2x2 – 4x +12 = 0, donde a = 2, b = –4 y c = 1.
Reemplazando estos valores en la fórmula general, se tiene:
2.8 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Dado un
sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es
decir, hallar todos los valores de x, y, z,.., que verifican todas las ecuaciones.
Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales
podemos clasificarlos en tres tipos:
Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,
podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
EJEMPLO 1:
2x + 3y = 7
5x – 2y = 8 (2)
(1)
Como tiene dos incógnitas con dos ecuaciones lineales se dice que es un sistema
lineal 2x2. Para resolver sistemas existen muchas formas entre ellas hay tres
métodos sencillos, reducción, sustitución e igualación.
Método de reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos:
1. Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos
ecuaciones el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba
por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la
ecuación de abajo por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de
arriba.
2. Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida.
3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.
4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las
ecuaciones del sistema.
Resuelver el sistema del ejemplo 1 por el método de eliminación o reducción:
2x + 3y = 7
(1)
5x – 2y = 8
(2)
10x + 15y = 35
–10x + 4y = –16
19y = 19
19
=1
y=
19
Vamos a eliminar la variable x, para ello multiplicamos
la ecuación (1) por –5 y la ecuación (2) por 2
Como las x tienen el mismo coeficiente y signo
contrarios para eliminarlas basta con reducer los
terminos semjantes. Se despeja la incognita.
Se sustituye el valor obtenido en una de las dos
ecuaciones del sistema, en este caso en la (1), y así
2x + 3(1) = 7 (1)
2x + 3 = 7
2x = 7 – 3
2x = 4
4
x= =2
2
conseguiremos el valor de la otra incógnita.
La solución del sistema es
x=2
y=1
Método Sustitución: se tienen encuenta los siguinetes pasos:
1. Se despeja una incógnita en una ecuación cualquiera.
2. Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación.
3. Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso.
EJEMPLO 2: resuelva el sistema por el método de sustitución:
3x – 2y = 12
x + 5y = 38
(1)
(2)
Primero: Despejamos la x en (1)
3 x − 2 y = 12 ⇒ 3x = 12 + 2y
12 + 2 y
⇒ x=
(3)
3
Segundo: Sustituimos este valor en la segunda ecuación
 12 + 2y 

 + 5y = 38
 3 
12 + 2y + 15y = 114
17y = 114 - 12
117y = 102
y=
multiplica ndo por 3
102
=6
17
Tercero: Sustituimos la y en la ecuación (3) de la x.
12 + 2(6) 12 + 12 24
=
=
=8
x=
3
3
3
x=8
y=6
Método de Igualación: consiste en los siguientes pasos
1. Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones.
2. Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se
resuelve la ecuación que resulta.
3. Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero.
EJEMPLO 3: resuelva el sistema por el método de igualación
4x + 2y = 2
3x + 5y = – 9
(1)
(2)
1. Despejamos la x de (1) y de (2), asi:
4 x + 2 y = 2 ⇒ 4x = 2 − 2y
2 − 2y
(3)
⇒x=
4
3 x + 5 y = −9 ⇒ 3x = − 9 − 5y
− 9 − 5y
(4)
⇒x=
3
2. Igualamos la ecuaciones (3) y (4) y resolvemos la ecuación:
2 − 2y − 9 − 5y
=
3
4
3(2 − 2 y ) = 4(−9 − 5 y )
6 − 6 y = −36 − 20 y
− 6 y + 20 y = −36 − 6
14 y = −42
− 42
= −3
y=
14
3. Cogemos una de las expresiones del primer paso. (3)
2 − 2(−3) 2 + 6 8
x=
=
= =2 ;
4
4
4
x=2
y=–3
EJEMPLO 4: encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales:
x+y+z =6
2x – y + 3z = 4
4x +5y – 10z = 13
(1)
(2)
(3)
Como el sistema de ecuaciones tiene tres ecuaciones lineales con
incognitas, se dice que es un sistema lineal 3x3.
tres
El procedimiento de eliminación para los sistemas (3 x 3) se parece al que se
aplica a los sistemas (2x2). La finalidad es comenzar con el sistema 3x 3 y luego
reducirlo a un sistema equivaiente de dos variables y dos ecuaciones. Una vez
suprimida una de las tres variables, el mismo procedimiento usado en los sistemas
2x2 sirve para suprimir una segunda variable, lo cual da por resultedo una
ecuación con una variable. Después de resolver este ültima ecuación se sustituye
en el sistema 2 x 2 y finalmente en el sistema 3x3.
Solución
Se elimina la variable z de las tres ecuaciones del sistema, así:
 Se toman las ecuaciones (1) y (2), porque los coeficiente de la variable son
opuestos:
x+y+ z=6
2x – y + 3z = 4
3x
+ 4z = 10
(4)
 Se elimina la misma variable en las ecuaciones (2) y (3), multiplicando por 5 la
ecuación (2)
10x – 5y + 15z = 20
4x + 5y – 10z = 13
14x
+ 5z = 33
(5)
 Se resuelve el sistema de ecuaciones 2x2 formado por las ecuaciones (4) y (5)
3x + 4z = 10
(4)
14x + 5z = 33
(5)
Para ello se multiplica la ecuación (4) por 5 y la ecuación (5) por – 4, para
eliminar la variable z.
15x + 20z = 50
–56x –20z = –132
–41x
= –82
− 82
x=
=2
− 41
 Se remplaza el valor de x = 2 en la ecuación (4):
3(2) + 4z = 10
6 + 4z = 10
4z = 10 – 6
4z = 4
z=1
 Se sustituyen los valores de x = 2 y z = 1 en la ecuación (1)
2+y+1=6
y+3=6
y=6–3
y=3
 La solución del sistema es S = {2 , 1, 3}
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace
5 años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Solución
Se identifican las variables o incógnitas
Sea x la edad actual del padre
y la edad actual del hijo
x – 5 la edad del padre hace 5 años
y – 5 la edad del hijo hace 5 años
Condiciones del problema
x + 2y = 120
(1)
x – 5 = 3(y – 5) que se transforma en x – 5 = 3y – 15, es decir:
x – 3y = – 10
(2)
Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales 2x2, para ello se multiplica la
ecuación (1) por –1
–x – 2y = –120
x – 3y = – 10
– 5y = –130
− 130
x=
= 26
−5
Se sustituye e4l valor de x en la ecuación (1):
26 + 2y = 120
2y = 120 – 26
2y = 94
y = 47
Luego, el padre tiene 47 año y el hijo 26.
Verifique estos resultados.
IMPLEMENTATION PROBLEMS Food Processing
A food manufacturer produces regular and lite smoked sausages. A regular
sausage is 72% pork and 28% turkey, and a lite sausage is 22% pork and 78%
turkey. The company has just received a shipment of 2,000 pounds of pork and
2,000 pounds of turkey. How many pounds of each type of sausage should be
produced to use all the meat in this shipment?
Solution
First we define the relevant variables:
x = Number of pounds of regular sausage
y = Number of pounds of lite sausage
Next we summarize the given information in Table 1. It is convenient to organize
the table so that the quantities represented by variables correspond to columns in
the table rather than to rows.
Regular
Sausage
72%
28%
Pork
Turkey
TABLA 1
Lite
Sausage
22%
78%
Total
2000
2000
Now we use the information in the table to form equations involving x and y:
Pork in x pounds
of regular sausage
Pork in y pounds
of lite sausage
0.72x
+
Turkey in x pounds
of regular sausage
0.28x
Total
pork
0.22y
=
2,000
Turkey in y pounds
of lite sausage
+
0.78y
Total
turkey
=
2,000
To solve using elimination by addition, we multiply the first equation by 0.78, the
second by - 0.22, and add:
0.5616x + 0.1716y = 1,560
0.72 (2,240) + 0.22y = 2,000
- 0.0616x - 0.1716y = - 440
0.22y = 387.2
_________________________
0.5x
= 1,120
x = 2,240
y = 1,760
PROBLEMA DE APLICACION
Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
• El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
• El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
• El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para
formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
Solución
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para
formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
x = Peso del 1er lingote.
y = Peso del 2º lingote.
z = Peso del 3er lingote.
En el 1er lingote, la ley del oro es: 20/90 = 2/9
En el 2º lingote, la ley del oro es: 30/120 = 1/4
En el 3 er lingote, la ley del oro es: 40/180 = 2/9
La ecuación para el oro es:
En el 1er lingote, la ley de la
plata es:30/90 = 1/3
En el 2º lingote, la ley de la plata es: 40/120 = 1/3
En el 3 er lingote, la ley de la plata es: 50/180 = 5/18
La ecuación para la plata es:
En el 1er lingote, la ley del cobre es: 40/90 = 4/9
En el 2ºlingote, la ley del cobre es: 50/120 = 5/12
En el 3 er lingote, la ley del cobre es: 90/180 = 1/2
La ecuación para el cobre es:
El sistema lineal 3x3 que se obtiene es:
Sus soluciones son:
x = 45
y = 48
z = 54, a que verifiques las
soluciones aplicando los métodos de solución vistos.
2.9 RESUMEN
ECUACION: es una igualdad en la cual participan algunas cantidades
desconocidas, en general designadas por letras.
Ecuaciones algebraicas: pueden ser de una o dos variable y de acuerdo con el
exponente de las variables pueden lineales si su exponente es uno, cuadrática, si
su exponente es dos, etc.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o valores que la conviertan
en una igualdad y para ello existen métodos, según sea el tipo de ecuación.
Las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales permiten plantear la
solución de cualquier situación problema en los diferentes contextos.
2.10 EVALUACIÓN
I. En cada uno de los ejercicios aplique los conceptos, propiedades revisados en la
unidad.
1. Un bote pequeño que viaja a 20 nudos (un nudo es igual a una milla naútica
por hora) está a 15 millas náuticas de una isla cuando una lancha
guardacostas inicia su persecución en el mismo curso, viajando a 30 nudos.
¿Cuánto tiempo le tomará al guardacostas dar alcance al bote?
2. Dos embarques por tren Ilegaron a la misma fábrica procedente de ciudades
distintas. La distancia de cada ciudad a la fábrica es de 900 millas. Uno de los
trenes recorrió 600 millas en el tiempo que el otro recorrió solo 400 millas.
¿Qué distancia llevaba recorrida el tren más lento cuando el otro salió de su
ciudad?
3. Dos automóviles salen de una ciudad viajando en direcciones contrarias. Uno
viaja a 80 km/h y el otro a 96 km/h, ¿En cuánto tiempo se encentrarán a
528km de distancia entre sí?
4. El número atómico del mercurio (Hg) es 2 unidades mayor que el triple del
número atómico del Hierro (Fe) . ¿Qué número atómico tiene cada elemento
si al sumarlos se obtiene 106?
II. En cada de los ejercicios propuesto, sustente su respuesta con adecuado
procedimiento y elegante presentación.
5 
3
x 
1. Para resolver la ecuación ( x + 3)( x − 3) − x 2 =  x −  −  3 x −  sólo es
4 
5 
4
necesario:
a) Cancelar términos semejante y cancelar
b) Despejar, factorizar y reducir términos semejantes
c) Factorizar, reducir términos semejantes y despejar
d) Saber que (x + 3)(x – 3) = x2 – 9, reducir términos semejantes y despejar
2. Sí se divide un número por 6 y luego se restan 3 al resultado obtenido se
tiene como resultado 4, la ecuación que representa el problema es:
a) 6x – 3 = 4
c) 6/x – 3 = 4
b) x/6 – 3 = 4
d) 6x + 4 = 3
3. una hoja de cartulina cuadrada de 12cmde lado, se le desea cortar cuadrados
de lados “x” por las esquinas para formar una caja sin tapa. La ecuación del
volumen de la caja es:
a) exactamente V(x) = x(12 – x)
b) exactamente V(x) = x2(x - 12)
c) exactamente V(x) = x3(x – 12)
d) exactamente V(x) = x(12 – x)2
4. en un circo, los tigres representan la tercera parte de todos los animales y los
elefantes la cuarta parte. Sí hay 30 caballos más, ¿cuál de las siguientes
ecuaciones representa el total de los animales?
1
1
1
1
a)
x + x + 30 = x
b) x + x + 30 = 2x
2
2
2
3
1
1
1
1
c)
x + x + 30x = x
d)
x + x + 30 = x
3
4
3
2
5. de la pregunta anterior, sí el total de animales que hay en el circo es 72,
entonces se deduce que hay:
a) 28 tigres, 20 elefantes y 24 caballo
b) 18 tigres, 30 elefantes y 30 caballo
c) 24 tigres, 18 elefantes y 30 caballo
d) 30 tigres, 18 elefantes y 24 caballo
6. El largo del puente A es 3 veces el largo del puente B. Si las longitudes de
ambos puentes suma 120 metros, la longitud del puente más largo es de
a) 30 m
c) 80 m
b) 40 m
d) 90 m
7. Los balones de fútbol y de baloncesto de una escuela deportiva suman 40 en
total. Se sabe que hay 2 balones de baloncesto por cada 3 balones de fútbol.
¿Cuántos hay de cada uno?
a) 5 de baloncesto y 35 de fútbol.
b) 16 de baloncesto y 24 de fútbol
c) 24 de baloncesto y 16 de fútbol
d) 20 de baloncesto y 20 de fútbol
8. La edad del padre es el triple de la de su hijo; si ambas edades suman 52
años, la edad del hijo, en años, es de:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
9. El triplo de la suma de dos números es 63, y el número mayor es 6 veces el
menor, entonces, el número mayor es:
a) 9
b) 18
c) 27
d) 42
10. Observa el siguiente triángulo
Si el valor de x varía entre 2cm y 5 cm, el área del triángulo debe variar de
a) 12 cm2 a 21 cm2
b) 6 cm2 a 10,5 cm2
c) 4 cm2 a 7 cm2
d) 7 cm2 a 10 cm2
2.11 MAPA CONCEPTUAL DE ECUACIONES
2.12 LECTURA COMPLEMENTARIA
EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
Las matemáticas son una forma de conocimiento que ha demostrado poseer una
inmensa potencia instrumental. A su papel tradicional como modelo de ciencia y a
su función de saber teórico aliado también desde antiguo con la práctica artística,
las matemáticas añaden hoy la condición de ser una herramienta absolutamente
indispensable para el estudio de todo tipo de fenómenos, tanto de la naturaleza
como del ámbito cultural y social. Los desarrollos de las matemáticas se hacen
necesarios para abordar los problemas planteados por la exploración cuantitativa
de la realidad que llevan a cabo ciencias básicas como la física, la química o la
biología y las tecnologías asociadas a ellas; pero a la vez, su utilización en
disciplinas sociales y humanas como la economía o la psicología resulta hoy
imprescindible.
Como actividad humana, las matemáticas están implicadas en las operaciones
más elevadas de recuento y contabilidad, así como en la utilización de cualquier
sistema de pesos y medidas, o incluso en la sencilla decoración de una vasija de
cerámica. Es muy posible que la necesidad de crear las matemáticas y de servirse
de ellas sea tan antigua como la propia cultura; ningún grupo social ha podido
prescindir, para organizar la convivencia, de los recursos que proporciona un
sistema de cuenta y algún procedimiento, siquiera rudimentario, de medida. Por
ello la historia de las matemáticas es un ingrediente importante en la comprensión
del desarrollo de la humanidad.
Imágenes:
Peso con caracteres cuneiformes
Fuente bibliográfica: Gran Enciclopedia Interactiva
© 2014 EDITORIAL OCEANO
Código documento: 262105
3. FUNCIONES
3.1 PRESENTACIÓN
Entender con precisión los fenómenos que ocurren en Ia naturaleza ha sido
preocupación del hombre desde Ia antiguedad y lo ha conducido a crear símbolos
y formulas para representarlos.
La creación de Ia geemetría Analítica permitió representar figuras geométricas en
el plano mediante ecuaciones, es decir, hizo posible estudiar las características de
ia geometría a través del algebra. La línea recta en el plano, representada por una
ecuación, permite acomodar fenómenos físicos, químicos, económicos,
psicológicos, etc., a modelos matemáticos. Así como se puede representar el
desplazamiento de un móvil en términos de la velocidad y del tiempo.
3.2 SITUACIÓN PROBLEMA
Cuando un cuerpo se deja caer en el
vacío, se desplaza verticalmente con una
aceleración constante, lo que hace que su
velocidad aumente uniformemente en la
medida en que transcurre el tiempo de
caída. Cuando se suelta una piedra, por
ejemplo,
su
velocidad
aumenta
continuamente mientras desciende.
Esto se debe a que los cuerpos que se encuentran cerca de la superficie terrestre,
experimentan una atracción que les imprime aceleración, llamada aceleración de
la gravedad; esta se representa con la letra g y su valor promedio es 9,8 𝑚/𝑠 2 .
Por lo tanto, un cuerpo que se mueve en el vacío, en dirección vertical, cambia su
velocidad en 9,8 𝑚/𝑠 cada vez que transcurre un segundo.
Las ecuaciones que rigen el movimiento de caída libre de los cuerpos son:
𝒈𝒕𝟐
𝑽 = 𝒈𝒕
y
𝒀= 𝟐
La letra Y indica el desplazamiento con respecto al punto desde el cual se
considera el movimiento.
𝑽 Es la velocidad que lleva el cuerpo en determinado instante, t es el tiempo
medido en segundos y g es la aceleración de la gravedad.
Interpreta
1. La ecuación de la posición de un cuerpo que se deja caer libremente = 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 .
¿A qué altura estaba un cuerpo que demora en caer al suelo
en 10
segundos.
2. La ecuación de la velocidad de un cuerpo que se deja caer libremente es
𝑽 = 𝟗. 𝟖𝒕 ¿Con qué velocidad final llega cuerpo al suelo que demora en caer
10 segundos?
Analiza
3. La ecuación de la posición de un cuerpo que se deja caer libremente
𝒀 = 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 Construye la gráfica de este movimiento. ¿Qué tipo de gráfica
describe este movimiento?
Infiere
4. La aceleración de la gravedad en la luna es
𝟏
𝟔
𝒈 . Compara su velocidad final
de un objeto al llegar a la superficie lunar en caída libre con la adquirida en la
tierra. ¿Dónde el cuerpo es más rápido y a que se debe?
3.3 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
•
Identifica los elementos que intervienen en una función, sus tipo e interpreta y
traduce al lenguaje verbal.
•
Construye modelos matemáticos de situaciones reales, hipotéticas o formales
que involucren funciones, le da solución analizando y argumentando la
viabilidad.
•
Gráfica cualquier tipo de función mediante la identificación de sus
características y propiedades de las mismas.
•
Capacidad para apropiarse con sentido crítico de las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación y utilizarlas en su propio beneficio
3.4 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
Actividad previa: Trabajo independiente.
•
•
•
•
•
Lea la presentación de la unidad y las competencias específicas a alcanzar al
término de la unidad y de solución al problema inicial de la unidad.
Lectura comprensiva de la unidad mediante el análisis de los ejemplos y
solución de problemas
Realice las consultas pertinentes en la bibliografía y cibergrafía o las que usted
consideres necesarias.
Use el resumen de la unidad
Resuelva la actividad final de autoevaluación.
Actividad en grupo
• Socialice las respuestas del problema inicial de la unidad con los compañeros y
el tutor.
• Consulte con los compañeros de CIPA sobre las dificultades detectadas y su
solución por parte de otros compañeros o el tutor en forma colaborativa.
• Desarrolle la actividad final de autoevaluación propuesta de la unidad.
• Realice un informe de la parte II de la autoevaluación, sustentando cada una
de las situaciones propuestas.
3.5 CONCEPTO DE FUNCIÓN
Muchas cantidades dependen de otras por ejemplo:
• La presión depende de la temperatura
• El nivel de contaminación en una ciudad puede depender del número de
vehículos quecirculan.
• Los costos totales de producción dependen del número artículos a producir.
• La distancia depende del tiempo para un cuerpo que se mueve con
velocidad constante.
• El punto de ebullición del agua depende de la altura a la cual se encuentre.
• La temperatura del aire seco depende de la altura.
Para describir como una función depende de otra se utiliza el concepto de
función, para defini función es necesario tener encuenta los siguientes
conceptos:
Producto Cartesiano: Sean los conjuntos,
A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4} se define el producto cartesiano de A por B como:
x B = {(a. b)/ a ε A, b ε B }, es decir:
A x B = {(l, 2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}.
A
Los elementos de A x B son "parejas ordenadas" de la forma (a, b), donde la
primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b
pertenece al conjunto B.
 Ahora tomar aquellas parejas ordenadas de A x B que cumplan la condición,
que el primer elemento sea menor que el segundo.
R = {(1,2), (1,3) ,(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
 Representar mediante un diagrama sagital el conjunto de parejas de este
conjunto
Definición de relación: Dados dos conjuntos A y B se define la relación R: A →
B, como el conjunto de parejas ordenadas, tales que los elementos de A tengan
alguna relación o correspondencia con los de B.
R: A→ B = {x→ y , x ε A, y ε B}
Dominio: El dominio de una relación son los elementos que forman el conjunto de
partida. En un par ordenado son las primeras componentes.
Codominio. Son los elementos que forman el conjunto de Ilegada.
Rango: Los elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.
Los elementos del rango dan origen a las segundas componentes.
Definición de función: Una relación de A en B define una función cuando cada
elemento del dominio tiene una imagen y esa imagen es única
EJEMPLO: de acuerdo con el gráfico sagital se tiene:
La función f: A → B, muestra que cada elemento del conjunto de partida o dominio (A),
está relacionado con uno y sólo uno de los elemento del codominio o rango (B)
Dominio de una función o campo de existencia: Dados dos conjuntos A y B, y
una función f definida de A en B, se define dominio al conjunto de valores x ∈ A,
que tienen imagen en el conjunto B.
Simbólicamente: Si f : R → R ⇒ D f = { x / (x,y) ∈ R2 ∧ y = f(x) }
Rango o codominio de la función: Dados dos conjuntos A y B, y una función f
definida de A en B, se define rango al conjunto de valores y ∈ B que son
imágenes de los x ∈ A, es decir el conjunto formado por las imágenes del
conjunto B.
Simbólicamente: Si f : R → R ⇒ R f = { y / (x,y) ∈ R2 ∧ y = f(x) }
EJEMPLO: Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} el conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5} y la
función f : A → B cuya regla está definida por:
El conjunto de partida es A = { a, b, c, d};
Dominio de la función es D f = { a, b, c, d}.
El conjunto de llegada es B ={1, 2, 3, 4, 5}
Rango o imagen de la función es R f = {3, 4, 5}
La regla de la función es f(a) = 3; f (b) = 3 ; f (c) = 5; f (d) = 4
APPLYING FUNCTIONS
This tree grows 20 cm every year, so the height of the tree is related to its age
using the function h: h (age) = age × 20
So, if the age is 10 years, the height is:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Here are some example values:
age h(age)=agex20
0
0
1
20
3.2
64
15
300
…
…
En general se puede dar el valor de un elemento del rango así: y = f(x), lo cual
significa que y es la imagen de x mediante la función f; x se llama variable
independiente, y la variable dependiente.
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de Ia
variable independiente
El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de Ia variable
dependiente.
Método para hallar el dominio de una función:
Para hallar los valores de x que pueden ser relacionados con los de y en una
función se procede así:
Se despeja la variable y, y se analiza los posibles valores de x que cumplan con la
condición dada. Se pueden presentar tres casos:
Primer caso: La variable puede estar en el denominador de una fracción.
Ejemplo: Determine el dominio de Ia función: {(x, y) xy + 3y =–2, (x, y) ∈ R}
Solución:
xy + 3y = −2
ecuación dada
y(x + 3) = − 2
−2
y=
x+3
factorizando
despejando
Observe que Ia variable x está en el denominador de la expresión. La división por
cero no está definida.
En este caso x + 3 ≠ 0, es decir: x ≠ –3
Luego: D f = { x ∈ R/ x ≠ –3} o D f = R–{3}
Segundo caso: Cuando la variable x pertenece a un radical de indice par
Ejemplo: Halle el dominio de Ia funcion g = {(x, y) ∈ R / y2 + 5x – 6 = 0}
Solucion: Se despeja la variable y
y 2 + 5x − 6 = 0
ecuación dada
y 2 = 6 − 5x
despejando
y = 6 − 5x
xtayendo raíz cuadrada a mabos miembros
Se hace y = 6 − 5x ≥ 0 y se resuelve, porque una cantidad subradical de índice
par, solo tiene raíces reales si su radicando es positivo o cero. Entonces se deben
buscar aquellos valores de la variable x, donde la cantidad subradical resulte
mayor o igual que cero y descartar los valores donde resulte negativa.
6 – 5x ≥ 0, resolviendo la desigualdad.
6 ≥ 5x,
5x ≤ 6
x ≤ 6/5
Luego, únicamente a los reales menores o iguales que 6/5 se les puede asignar
una imagen, entonces:
D g ={x ∈ R / x ≤ 6/5}, también se puede escribir como D g = {–α, 6/5}
Tercer caso: Cuando la variable x no está en ninguno de los casos anteriores.
Ejemplo: Halle el domino de la función: h= {(x, y) / –3x+2y +1= 0;x,y ∈ R}
Solucion:
− 3x + 2y + 1 = 0
2y = 3x + 1
3x + 1
y=
2
ecuación dada
transposición de términos
despejando
Como la variable x no está en el denominador ni en un radical, se puede afirmar
que el dominio es el conjunto de los R, o sea, no hay restricción. Luego:
D h = {x/x ∈ R} ó
D h = (–α , α)
Método para hallar el Rango de una Función: Recuerda que el rango de una
función, está constituido per todas las segundas componentes de las parejas
ordenadas, o todos aquellos elementos del conjunto de llegada que están
relacionados con algún elemento del conjunto de partida.
Para hallar el rango de una función, se deben tener en cuenta los tres casos
anteriores, pero teniendo en cuenta que se despeja es el valor de x.
Halle Ud, el rango de los tres ejemplos anteriores.
Gráfica de funciones: Para construir la gráfica de una función se utiliza un
sistema de coordenadas cartesianas, formado por dos rectas perpendiculares
llamadas "ejes de coordenadas", una vertical y una horizontal, interceptándose en
un punto 0, llamado origen.
La recta horizontal se denomina eje x do eje de as abscisas) y Ia vertical eje y (o
eje de las ordenadas) y el punto 0 es el origen.
Los ejes de coordenadas dividen al piano cartesiano en 4 regiones llamadas
cuadrantes, nombrados I, II, III y IV cuadrante. Para localizar un punto P (a, b) de
coordenadas a, b, la primera componente a se ubica en el eje de las x y la
segunda componente b en el eje de las y
La gráfica de una función de la forma y = f(x) es el conjunto de todos los valores
(x, y) que satisfacen las ecuación. Para ello se dan valores arbitrarios a x para
encontrar los valores de y.
Vertical Line Test
On a graph, the idea of single valued means
that no vertical line would ever cross more
than one value.
If it crosses more than once it is still a
valid curve, but it would not be a
function.
3.6 CLASES DE FUNCIONES
Las funciones según su estructura pueden ser:
Polinómicas: como la función constante, idéntica, lineal cuadrática, cúbica;
trascendentales: como la función exponencial, logarítmica y trigonométrica, y
especiales como la función racional y valor absoluto.
Función lineal: Función polinómicas de grado 1, es decir, f(x) = a 1 x + a o , con
a 1 ≠0. También en su forma general se expresa como f(x) = m x + b. Su gráfica es
una línea recta que corta al eje y en la coordenada a 0 ó en b.
Son funciones lineales: f(x) 2x – 3;
g(x) =– 3x + 2
Cuando una función lineal se expresa en la forma en su forma general
Ax + By + C = 0 o en su forma explícita f(x) = mx + b, e esta última, m recibe el
nombre de pendiente de la recta y b es la ordenada al origen ó y–intersecto.
Se denomina pendiente m de una recta al grado de inclinación “α” que tiene
respecto del eje de las abscisas (eje x)
m =
y 2 − y1
cambio vertical o ascenso
=
x 2 − x1
cambio horizontal o recorrido
Además si se conoce la pendiente y un punto por donde pasa la recta, se puede
encontrar la ecuación de la recta, despejando en la fórmula de la pendiente para
obtener: y 2 – y 1 = m(x 2 – x 1 ), se conoce con la forma pendiente–punto
Ejemplo: Encuentra Ia ecuación de la recta que pasa par el punto A( 5, 4) y el
punto B(7 , 8).
Solución: la ecuación de Ia recta tiene la forma y = f(x) = mx + b, se necesita
encontrar la pendiente m:
y − y1
4−8
−4
Calculemos su pendiente: m = 2
=
=
= −2
x 2 − x1
5−7
−2
Con el valor de la pendiente y uno de los puntos dados se halla la ecuación de la
función:
y − y1 = m(x − x1 )
y − 4 = 2(x − 5)
y − 4 = 2x − 10
y = 2x − 10 + 4
y = 2x − 6
ecuación pendiente punto
sustituyendo el punto A y m
operando
despejando
ecuación de la recta en forma explícita
Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,–1) y tiene
pendiente –3
Solución: se usa la forma pendiente punto como en el ejemplo anterior:
y − y1 = m(x − x1 )
y − (− 1) = −3(x − 1)
y + 1 = −3x + 3
y = −3x + 3 − 1
y = −3x + 3 − 1
ecuación pendiente punto
sustituyendo el punto A y m
operando
operando y despejando
ecuación de la recta en forma explícita
Se puede elaborar una tabla de datos con valores arbitrarios de x o usar la forma
explícita de la ecuación de la recta para graficarla.
x
y
–3
11
–2
8
–1
5
0
2
1
–1
2
–4
3
–7
Ud puede verificar los valores de dicha tabla:
Función Cuadrática: Es la función polinomica de grado 2, de la forma:
f(x)= a 2 x2 + a 1 x + a o , con a 2 ≠ 0, ó f(x) = ax2 + bx + c. donde a, b, c ∈R y a ≠ 0.
Son funciones cuadráticas: y = 2x2 +3x – 2;
p(x) =x2 – 4 ó f(x) =–x2 – 2.
La gráfica de una función cuadrática es una curva denominada parabola, Ia cual
abre hacia arriba si a o > 0 y hacia abajo si a 0 < 0.
Ejemplo : Grafique Ia función y = x2 – 4
Se elabora la tabla de valores, para lo cual se dan valores arbitrarios a x y se
obtiene los de y.
x
y
–3
5
–2
0
–1
–3
0
4
1
–3
2
0
3
6
El vértice de la parábola que es el punto más bajo si a > 0 o el punto más alto si
a < 0, se puede encontrar con las coordenadas:
4ac - b 2
b
y=
x=- ,
4a
a
En las funciones cuadráticas, la parábola tiene un valor mínimo si a > 0, y un valor
máximo si a < 0. Además la función es decreciente para valores menores que el
valor Mínimo y creciente para valores mayores.
La función es creciente para valores menores que el valor máximo y decreciente
para valores mayores que el valor máximo.
Función cúbica
Es la función polinómicas de grado 3, tiene la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d,
donde a, b, c, d∈R a ≠ 0.
Son funciones cúbica: y = 3x3; f(x) = x3 – 2x2 – x + 1 ó g(x) = 2x3 – 2x
Ejemplo: Grafique la función f(x) = x3 – 2x
Se elabora la tabla de datos
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y –21 –4 1 0 –2 4 21
La función exponencial
Es aquella función que transforma cualquier número real en una potencia que tiene por
exponente el número real dado y por base un número positivo diferente de uno. Tiene
Ia forma: f( x) = ax , donde a ∈ R+ y a ≠ 1.
x
2
 1
Son funciones exponenciales: y = 3 ; f(x) =   ; g(x) =  
3
2
-x
x
Ejemplo: trace la gráfica de la función f(x) = 2x
Solución: se elabora la tabla de valores:
x
y
–3
–1/8
–2
–1/4
–1
–2
0
1
1
2
2
4
3
8
 La grafica de cualquier función exponencial siempre corta al eje de las
ordenadas en el punto (0,1)
 La grafica nunca corta al eje de las abscisas, por esto se dice que es asintótica
al eje de las abscisas.
 Si a >1, se llama función exponencial creciente, es decir: sí x 2 > x 2 →
f(x 2 ) >f(x 2 )
 Si a < 1, se llama función exponencial decreciente, es decir: sí x 2 <
x 2 → f(x 2 ) <f(x 2 )
Como la función exponencial presenta doble comportamiento, es decir, algunas
veces es creciente y otras veces decreciente, es tenida en cuenta para hacer
estudios sobre crecimiento de poblaciones, valores futuros y presentes saldos, e
inversión.
Función logarítmica
Observe
23 = 8
<=>
log
2
8 = 3
5 2 = 25
24 = 16
<=>
<=>
log 2 25 = 5
1og 4 16 = 2
En general: y= ax <=> log a y = x
Es decir el logaritmo es la operación inversa a la potencia. Entonces se puede
definir la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. Tiene la
forma: f(x) = log a x, con a > 0 y b ≠ 1.
Son funciones logarítmicas: f (x) = log 2 x ; g(x) = log 1/2 x
También se puede formar logaritmos con el numero e. Estos se denominan
logaritmos naturales (ó neperianos) y se denota con el símbolo In de tal manera
que lnx es la función inversa de ex y satisface las siguientes relaciones:
elnx = x, si x > 0
y
ln(ex) = x, para todo x
Ejemplo: Trazar la grafica de la funcion: f(x) = log2 x
Se elabora la tabla de valores:
x 1/4 1/2 1 2 4 8 16
y –2 –1 0 1 2 3 4
3.7 RESUMEN
Producto Cartesiano: Los elementos de A x B son "parejas ordenadas" de la
forma (a, b), donde la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda
componente b pertenece al conjunto B.
Relación: Dados dos conjuntos A y B se define la relación R: A → B, como el
conjunto de parejas ordenadas, tales que los elementos de A tengan alguna
relación o correspondencia con los de B.
R: A→ B = {x→ y , x ε A, y ε B}
Dominio: El dominio de una relación son los elementos que forman el conjunto de
partida. En un par ordenado son las primeras componentes.
Codominio. Son los elementos que forman el conjunto de Ilegada.
Rango: Los elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.
Los elementos del rango dan origen a las segundas componentes.
Función: Una relación de A en B define una función cuando cada elemento del
dominio tiene una imagen y esa imagen es única.
Método para hallar el dominio de una función (relación): Se despeja la variable
y, y se analiza los posibles valores de x que cumplan con la condición dada.
Para hallar el rango de una función (relación), se despeja la variable x y se
procede como para el dominio de una función.
La gráfica de una función de la forma y = f(x) es el conjunto de todos los valores
(x, y) que satisfacen las ecuación. Para ello se dan valores arbitrarios a x para
encontrar los valores de y.
Las funciones según su estructura pueden ser:
Polinómicas, como la función constante, idéntica, lineal cuadrática, cúbica;
trascendentales como la función exponencial, logarítmica y trigonométrica, y
especiales como la función racional y valor absoluto.
3.8 EVALUACIÓN
I.
En cada uno de los ejercicios aplique los conceptos, propiedades revisadas en
la unidad.
1. Halle el dominio y el rango de la función y = 3x + 5
2. Halle el dominio y el rango de la expresión y + 2xy – 4 = 0, grafique.
3. Halle el dominio y el rango de la función f(x) = –2x2 + x – 2. Trace su gráfica.
II.
En cada una de las situaciones, sustente su solución con adecuado
procedimiento y elegante presentación.
Información: dada la función f(x) = x − 2 , responde 1 y 2
1. El dominio de la función es
a) [0, α)
b) [2, α)
c) (–α, 0]
d) (–α, 2]
2. El rango de la función es:
a) [0, α)
b) [2, α)
c) (–α, 0]
d) (–α, 1]
Información: la gráfica de la función f(x) = 2x2 3x – 2 es una parábola.
Responda 3 y 4.
3. Una expresión equivalente a f(x) = 2x2 3x – 2 es:
a) f(x) = (x – 2)(3x +1)
c) f(x) = (x + 2)(3x +1)
b) f(x) = (x + 2)(2x – 1)
d) f(x) = (x – 2)(2x +1)
4. Los valores –2 y ½ representan en la función:
a) Las coordenadas del vértice de la gráfica
b) Los valores de y para los cuales Ia grafica corta el eje x
c) los valores de x para los cuales la gráfica corta al eje y
d) las coordenadas de intersección con eje y
Información: La pendiente de una recta es 2 y para por el punto P(2,3),
responda 5, 6 y 7:
5. La ecuación de la recta es:
a) 2x – 3y + 2 = 0
c) y = 5x –13
b) y = 2x – 3
d) 5x + y + 3 = 0
6. La recta intersecta al eje y en el punto:
a) (0, – 3)
b) (0, –13)
c) (0, 2)
7. La gráfica de la línea recta es:
d) (0, –2)
3.9 MAPA CONCEPTUAL DE FUNCIONES
3.10 LECTURA COMPLEMENTARIA
LA ASTRONOMÍA Y LAS MATEMÁTICAS EN LA CIENCIA EN EL MÉXICO DE
LOS SIGLOS XVI Y XVII
El testimonio más temprano que hay acerca del estudio de la astronomía en la
Nueva España es la sección que fray Alonso de la Veracruz le dedicó en la última
parte de su libro Physica speculatio, publicado en México en 1557. En ella, desde
un punto de vista ptolemaico y, por tanto, geocentrista, expone el sistema del
mundo apoyado en el texto astronómico De Sphaera, del científico medieval
Giovanni Campano de Novara. Un año después apareció De sphaera. Liber unus,
del célebre matemático y astrónomo italiano Francisco Maurolyco. En ella
explicaba los ciclos solar y lunar, estudiaba el número áureo y el modo de calcular
las diversas posiciones lunares.
Puede decirse que el primer libro científico novohispano fue el Sumario
compendioso de las quentas de plata y oro,escrito por Juan Diez, vecino de
México, e impreso por Juan Pablos en 1556. Aparte de las tablas y reducciones, la
obra contiene una breve sección de problemas aritméticos y un apéndice llamado
"de arte mayor". En éste se hace uso de algunos métodos algebraicos, acordes
con los avances logrados hasta entonces en esa rama de las matemáticas, y se
aborda la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas a manera de problemas
prácticos. Este manual fue de gran utilidad para las transacciones comerciales de
la Colonia, ya que facilitaba la conversión de valores, permitía un cálculo más
preciso del impuesto del quinto real y aclaraba muchas otras operaciones
aritméticas difíciles de resolver.
En las matemáticas puras sobresalió la figura de Juan Porres de Osorio, abogado
de finales del siglo XVI y aficionado las ciencias exactas. En ese entonces estaba
de moda entre los juristas, tanto de Europa como de América, la afición por las
matemáticas. Porres ideó nuevos métodos para dividir la circunferencia, así como
para la construcción aproximada del polígono de 36 lados con un error de 0.001.
Su obra Nuevas proposiciones geométricas fue seminal para el célebre
matemático Juan Pérez de Moya. Sus tablas de latitudes y longitudes resultaron
fundamentales para Bartolomé de la Hera, quien las retomó en su Repertorio del
mundo particular, de las spheras del cielo y orbes elementales (1584). En ella se
examinan los "auges de los planetas", según Ptolomeo y Copérnico.
La confrontación entre el hermetismo que apoyó a la astrología y el mecanicismo
sobre el que se fundamentó la astronomía tuvo un momento culminante en la
disputa entre el sabio novohispano Carlos de Sigüenza y Góngora y sus
detractores. Las interpretaciones del siglo XVI sobre el sistema del mundo están
resumidas en la obra del jesuita José de Acosta Historia natural y moral de las
Indias, publicada en Sevilla en 1590. Además de su declarado geocentrismo, los
estudios de Acosta abordaron ciertos problemas de geomagnetismo significativos
para los cálculos náuticos e influyeron en los estudios clásicos de William Gilbert.
La teoría copernicana, heliocentrista, y por ende opuesta a considerar a la Tierra
como centro del universo, fue penetrando con lentitud en las convicciones de los
astrónomos novohispanos. No obstante, a partir de la condena del Santo Oficio a
las ideas de Copérnico, en 1616, tuvieron que abstenerse de proclamar en público
sus nociones, que contradecían las tesis de Aristóteles, santo Tomás de Aquino y
la Biblia. La hipótesis de Tycho Brahe, a medio camino entre Ptolomeo y
Copérnico, alivió en parte el dilema. A principios del siglo XVII, la vieja tradición
aristotélico-ptolemaica, muchas veces salpicada de ideas herméticas, se vio
expresada en la obra de fray Andrés de San Miguel y en los manuscritos del
cronista agustino fray Diego de Basalenque.
En cambio, la corriente de apertura a la ciencia moderna -baconiana-, floreció en
la pluma del mercedario fray Diego Rodríguez, primer titular de la cátedra de
astrología y matemáticas inaugurada en 1637 en la Real y Pontificia Universidad
de México. Diego Rodríguez no sólo difundió a Copérnico y Brahe sino a Kepler,
Galileo y Gilbert (astronomía y física), y a Tartaglia, Cardano y Clavio
(matemáticas).
Un momento crucial en la disputa entre las ideas aristotélico-ptolemaicas y la
hipótesis copernicana se produjo en la segunda mitad del siglo XVII, entre el sabio
criollo Sigüenza y Góngora y el jesuita alemán Eusebio Francisco Kino, quien
acababa de llegar a la Nueva España. El motivo de la polémica fue la aparición de
un cometa que se vio en el cielo de México en noviembre de 1680. La virreina,
condesa de Paredes, asustada por el fenómeno, pidió a Sigüenza una explicación.
Éste escribió un breve tratado en el que arremetió contra quienes creían que los
cometas eran causa de infortunios y calamidades.
La respuesta del padre Kino tenía un fuerte contenido hermético, al igual que la de
sus otros dos detractores, Martín de la Torre y José de Escobar Salmerón.
Sigüenza replicó con un libro capital para la ciencia novohispana, la Libra
astronómica y philosophica, escrita en 1681 y publicada en 1690. En ella da
muestra de su amplio conocimiento de las teorías de Copérnico, Kepler, Descartes
y Galileo. Sigüenza realizó sus cálculos sobre el cometa en forma paralela a los de
Isaac Newton. Su impugnación de Aristóteles y de toda autoridad que se opusiese
a la razón y a la experiencia, así como su actitud crítica contra la astrología,
señalan el momento en que el mecanicismo se asimiló a la ciencia novohispana.
Fuente bibliográfica: Enciclopedia Océano de México
© 2014 EDITORIAL OCEANO
Código documento: 12188
3.11
BIBLIOGRAFÍA
4. ENCICLOPEDIA DIDACTICA DE MATEMATICAS. Grupo Editorial Océano.
5. ENCICLOPEDIA AUTODIDACTICA OCEANO COLOR. Grupo Editorial
Océano. Tomo III.
6. JACK. R. Brito, BELLO Ignacio. Matemáticas Contemporáneas. Segunda
Edición. Editorial Harla.1982.
7. STANLEY A. Smith y otros. Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica. Addison Wesley Longman. Series AWLI. 1.998.
8. CARDONA VALENCIA, Arturo. Geometría. Editorial Bedout S.A.
9. GAIL F. Burril y Otros. Geometría: Integraciones, Aplicaciones,
Conexiones. MC GAW HILL. 2.000
10. CARDENAS, Fidel A, GELVEZ., S. Carlos A. Química y Ambiente 1. segunda
Edición, Mc Graw Hill, 1.998.
11. POVEDA VARGAS, Julio Cesar. Química. Educar Editores. 1.998
12. VALERO, Michel. Física Fundamental. Nueva Edición, Editorial Norma,
2010
13. ALENDOERFER Y OAKLEY. Fundamentos de Matemáticas Universitarias.
Mc Graw Hill. Tercera Edición, 1.990.
14. L. MURPHY Johnson ARNOLD R. Steffensen. Algebra y Trigonometría con
Aplicaciones. Editorial Trillas. México 1.994.
15. M. L. Fiol — J.M. Fortuny. Proporcionalidad Directa. Editorial Síntesis.
1.990.
16. CARDENAS Jaleydi, GARCIA Manuel y Otros. Serie Matemáticas Para
Pensar: Grupo Editorial Norma 2011
17. HERRRERA Adolfo, SALGADO Diana y Otros. Algebra y Geometría I y
II. Editorial Santilla 2003.
18. NAVAL EDUCATION AND TRAINING. Mathematics, Basic and Algebra. 1980.
19. RAYMOND A. Serway , CHRIS Vuille. College Physics 7th Edition Vol. One. Ed
Thomson Brooks/Cole 2011.
19.1 CIBERGRAFÍA
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1reales-expresionesalgebraicas/T1-2-expresiones-algebraicas-julioetall/index.html
http://www.genmagic.net/mates5/expalgeb1c.swf
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena7/1qu
incena7.pdf
http://zunal.com/process.php?w=100887 http://aulamagica.wordpress.com/2008/
03/30/ecuaciones-de-segundo-grado-resolucion-en-excel/
www.edu.mec.gub.uy/biblioteca_digital/libros../Anonimos/Anonimo%20%20Historia%20de%20las%20Matematicas.pdf
http://www.mathopolis.com/index.php
http://www.math.com.mx/Balanceo_Ecuaciones_Quimicas/files/cur_1_001_balanc
eo_ecuaciones_quimicas.pdf
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html
http://repasodematematicas.wikispaces.com/file/view/U13.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=8FfgFKD3mg0
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
INFORMACIÓN DE LOS COMPILADORES
Los compiladores del Módulo Matemática I son:
•
TIRSO MERCADO DIAZ
Licenciado en Física y Matemática.
Especialista en Educación Matemática
Cursos de Pedagogía Virtual
Tutor desde el 2000
•
FRANCISCO JAVIER FLOREZ ARIAS
Licenciado en Matemática
Especialista en Informática y Telemática
Diplomado en Docencia Universitaria
Tutor desde el 2000
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
LICENCIATURA EN EDUCACION BASICA CON ÉNFASIS EN CIENCIAS NATURALES
MATEMATICAS II
Carretera Troncal de Occidente - Vía Corozal - Sincelejo (Sucre)
Teléfonos: 2804017 - 2804018 - 2804032, Ext. 126, 122 y 123
Mercadeo: 2806665 Celular: (314) 524 88 16
E- Mail: facultadeducacion@cecar.edu.co