Sectores en el modelo de Romer

Macroeconomı́a III, curso 2008-09
Profesor: Matthias Kredler
Práctica 9
Sectores en el modelo de Romer
Fecha de entrega: 3 de diciembre
Se puede trabajar en grupo, pero se requiere que cada alumno entregue su versión de las
soluciones (no fotocopiadas). También se pueden entregar las soluciones por email (escaneadas o
en formatos Word y pdf ) a la dirección katyaborn@gmail.com.
Sectores en el modelo de Romer
Problema 1. Integrales en la función de producción del bien final: Escaleras. [Note: Este ejercicio
se puede completar sin utilizar la calculadora. Mire bien los números. . . ] Vamos a ver un ejemplo
R At α
de la producción del bien final en el modelo de Romer, que viene dada por Yt = L1−α
y,t
0 Xj,t dj
con α = 1/2, en los instantes t = 0 y t = 1 . En los dos instantes, el input de trabajo Ly,t y los
inputs de los bienes intermedios en el intervalo [0, 1] son iguales. La única diferencia es que en el
instante t = 1 hay una cantidad de bienes más grande (A1 = 2 > 1 = A0 ). Véa la tabla abajo para
las cantidades de los inputs en cada instante para distintos valores de j.
t
Ly,t
At
0
1
1
1
1
2
Xj,t
j ∈ [0, 0.5]
1/4
1/4
Xj,t
j ∈ (0.5, 1]
1
1
Xj,t
j ∈ (1, 1.5]
Xj,t
j ∈ (1.5, 2]
9/4
4
1. Calcule la producción Yt para t = 0 y t = 1. Dé un gráfico para t =
R A11 conα j en el eje horizontal
α
y Xj,1 en el eje vertical. Indique el área que representa la integral 0 Xj,1 dj. Indique tambien
RA α
el área que representa 0 0 Xj,0
dj.
2. Calcule los rendimientos marginales ∂Y1 /∂Ly,1 y ∂Y1 /∂Xj,1 (para cada j ∈ [0, A1 ]) con las
fórmulas que vimos en clase.
3. Suponga que el salario w1 y los precios de los bienes intermedios pj,1 son iguales a los
rendimientos marginales de los respectivos factores de producción encontrados en el apartado 2.
Calcule el flujo de los gastos en términos de salarios (fórmula: Ly,1 wt ) y el flujo de gastos en
RA
inputs intermedios (fórmula: 0 1 Xj,1 pj,1 ). ¿Cuál es el flujo de beneficios πt en t = 1?
Problema 2. Integrales en la función de producción del bien final: Funciones. Supongamos que
Ly,t = 1 para todo t, At = t − 1 y Xj,t = j 2 para todo j ∈ [0, At ] (pero Xj,t = 0 para j > At , desde
luego).
1. Derive una fórmula para la producción Yt para cada t. Dé un gráfico de Xj,t en función de j
RA α
dj para t = 0
(como en el apartodo 1 del problema 1) y indique el área que representa 0 t Xj,t
y t = 1, respectivamente.
2. Encuentre una expresión para los rendimientos marginales ∂Yt /∂Ly,t y ∂Yt /∂Xj,t para cada t ≥
0 y cada j.
1
3. Suponga que los salarios wt y los precios de los bienes intermedios pj,t son iguales a los
rendimientos marginales de los respectivos factores de producción encontrados en el apartado 2
en cada instante t ≥ 0. Calcule el flujo de los pagos salariales (fórmula: Ly,t wt ) y el flujo de
RA
gastos por los inputs intermedios (fórmula: 0 t Xj,t pj,t ) en función de t ≥ 0. ¿Cuál es el flujo
de beneficio πt de la productora de bienes finales?
Problema 3. Sector I+D. Suponga que una empresa en el sector de I+D (que es la única en este
N
At , donde Nt es el número total de trabajadores en
sector) crea nuevas ideas a la tasa Ȧt = δ Nt,A
t
la economı́a en t y Nt,Y es el número de trabajadores empleados en el sector I+D en t.
1. Dé una interpretación del parámetro δ (Pista: Ponga Nt,A = Nt ).
2. Utilizando la aproximación At+∆t ≃ At + Ȧt ∆t, calcule A0.1 dado A0 = 10, δ = 0.5, Nt = 1
para los valores NA,0 = 0.25 y N̄A,0 = 0.5 (note que ∆t = 0.1). Dé el número de patentes
nuevas que se han encontrado entre t = 0 y t = 0.1 para los dos valores de Nt,A , que viene dado
por A0.1 − A0 . Dé un gráfico de At en función de t y indique como se puede interpretar Ȧ0 .
3. Dado el salario constante wt = 9 y precio de patentes constante Qt = 2, calcule el total de
ingresos que la empresa de I+D tiene entre t = 0 y t = 0.1 (use la fórmula (A0.1 − A0 )Q)
y el total de gastos en salarios (use NA,0 w(0.1 − 0)). Calcule también el flujo de ingresos
(Ȧ0 Q) y el flujo de los gastos en salarios (NA,0 w) en t = 0. ¿Cómo están relacionados los dos
conceptos?
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