Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Educación Nivelación de estudios para Adultos CREA Matemáticas Profesora: Karina Pedraza Guerra Razones y Proporciones 1. Concepto de razón: Es un par ordenado de número que se compara por cuociente. La razón entre la cantidad “a” y la cantidad “b” se puede indicar: a:b; a ; (a , b) b Al primer término de la razón le llamaremos antecedente y al segundo consecuente ( el consecuente de una razón no puede ser cero) a , en donde “a” es el antecedente y “b” consecuente. Y se lee “a es a b” b Ejemplo: Si el lado de un cuadrado es 2 cm y el perímetro del cuadrado es 5 la razon entre el lado y el perímetro de un cuadrado es : lado _ cuadrado perímetro _ cuadrado 2 5 “2 es a 5” 2. Concepto de Proporción: Es la igualdad de dos razones La razón 1 2 1 es equivalente a , entonces 2 4 2 2 es una proporción. 4 a c se lee como “a es a b como c es a d” b d Los términos de una proporción son: medios y extremos. La proporción En donde a y d son los extremos, b y c son los medios. Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medio. a c a d b c Con b y d distintos de cero. b d Ejemplo: 5 10 5 16 8 10 8 16 Proporcionalidad Directa: Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. 1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Educación Nivelación de estudios para Adultos CREA Matemáticas Profesora: Karina Pedraza Guerra Ejemplo: Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Número de sacos Peso en kg 1 20 2 40 3 60 ... ... 26 520 ... ... Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 Observa que: 20 1 40 2 60 3 80 4 20 k Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de problemas matemáticos. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua Gramos de sal 50 1.300 x 5.200 Podemos formar la siguiente proporción: 1300 50 5200 x Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta: 50 5200 1300 x 260000 1300 x 260000 x 1300 200 x 2 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Educación Nivelación de estudios para Adultos CREA Matemáticas Profesora: Karina Pedraza Guerra Respuesta: en 5.200 gramos de sal hay 200 litros de agua. Proporcionalidad Inversa: Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Ejemplo 1 Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales). Formamos la tabla: Hombres Días 3 24 6 12 9 8 Observa que: 3 24 6 12 9 8 72 ... ... 18 ? k Por lo tanto si son 18 hombres se demoraran 4 días. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Ejemplo 1 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas Nº de vacas Nº de días 220 45 450 x Por lo tanto: 220 45 450 x 9.900 450 x 9.900 x 450 22 x Luego 450 vacas podrán comer 22 días. 3