simulaciones de mecanismos para trisecar ángulos

SIMULACIONES DE MECANISMOS
PARA TRISECAR ÁNGULOS1
Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez2
Universidad Pedagógica Nacional
yulyarr@gmail.co
RESUMEN
En este artículo se presentan las construcciones de 4 mecanismos físicos usados para
trisecar ángulos, además se describe en forma abreviada el funcionamiento de las
partes que componen cada mecanismo. Para cada uno de ellos se mostrarán dos
figuras: la primera muestra el mecanismo diseñado con materiales físicos y la segunda
muestra el mecanismo construido con Cabri II Plus. Los mecanismos que se presentan
en este documento se seleccionaron del museo virtual de mecanismos físicos
http://www.museo.unimo.it, en donde aparecen numerosos applets para diferentes
curvas y conceptos geométricos. La metodología empleada para llegar a los pasos que
aquí se presentan se basa en la exploración, análisis del funcionamiento de la
simulación y conjeturación.
INTRODUCCIÓN
Cuando hacemos una revisión bibliográfica de artículos, documentos electrónicos y libros de
texto con el fin de encontrar detalles sobre las construcciones geométricas de curvas
mecánicas y mecanismos físicos que generan curvas, no encontramos suficientes fuentes
sobre el tema, a excepción de algunos sitios en la red Internet que abordan estas temáticas de
manera incompleta. Lo anterior ha motivado la realización de un trabajo sobre mecanismos
que se presenta en parte en este artículo.
A continuación se presentan cuatro mecanismos famosos para trisecar ángulos; se presentan
los principales pasos para construirlo con Cabri II Plus y se indica qué representa cada
elemento construido. Se sugiere observar las figuras mientras se siguen los pasos de la
construcción, ya que algunos elementos se omiten para no hacer tan extensa la construcción.
Para facilitar la lectura de las construcciones se presenta el siguiente glosario de términos:
•
•
Manivela: Palanca doblada en ángulo recto que, unida a un eje, sirve para accionar un
mecanismo.
Empuñadura: Puño de algunas armas, como la espada, y de otros utensilios o
herramientas.
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Tomados de la página http://www.museo.unimo.it
2
Licenciada en Matemáticas – Universidad Pedagógica Nacional
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•
•
•
Pivote: Extremo cilíndrico o puntiagudo de una pieza, donde se apoya o inserta otra, bien
con carácter fijo o bien de manera que una de ellas pueda girar u oscilar con facilidad
respecto de la otra.
Pasador: Nombre dado a diferentes utensilios que se colocan pasando de un lado a otro
para sujetar alguna cosa.
Remache: Pieza de metal parecida a un clavo que, después de pasada por el agujero, se
remacha por el extremo opuesto formando otra cabeza y sirve para unir o fijar dos piezas
planas entre sí.
Buje: Pieza metálica que se coloca en ciertas piezas de maquinarias y ruedas de carruajes
para protegerlas del roce interior del eje.
MECANISMOS PARA TRISECAR ÁNGULOS
1. TRISECTOR DE PASCAL
Figura 1
Figura 2
Construcción del mecanismo:
1.
2.
3.
4.
5.
Trazar el segmento OA, el cual representa un riel horizontal vertical del mecanismo.
Trazar la circunferencia CO con centro O y radio OA.
Sea Q un punto sobre la circunferencia CO.
Trazar el segmento OQ, éste representa el otro riel y manivela del mecanismo.
Sea D un punto sobre le segmento OA tal que d ( O,D ) = d(O,A)/3 .
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6. Sean C y P puntos sobre el segmento OQ.
7. Sea B un punto sobre el segmento OA tal que d(O,D) = d(O,C) = d(C,B) = d(B,P). Los
puntos C, O, y Q representan remaches del mecanismo mientras que el punto B
representa un pasador que se desliza por el riel representado por el segmento OA. El
punto P representa el buje del mecanismo que con un lápiz en su interior traza la
Trisectriz de Pascal al mover la manivela.
8. Trazar los segmentos OC, CB y BP, los cuales representan barras que conectan los rieles
del mecanismo.
9. El lugar geométrico generado por P cuando se mueve Q sobre la circunferencia CO es la
trisectriz de Pascal.
En resumen:
-
Los segmentos AD, DC y EC representan tres barritas cuyas longitudes son iguales a la
tercera parte de la longitud de la barra AB.
Los puntos C, O, y Q representan remaches del mecanismo, mientras que el punto B
representa un pasador que se desliza por el riel representado por el segmento OA. El
punto P representa el buje del mecanismo, que con un lápiz en su interior traza la
Trisectriz de Pascal al mover la manivela.
2. LIMAZÓN DE PASCAL.
Figura 3
Figura 4
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Construcción del mecanismo:
1. Trazar el segmento AD. Los puntos A y D representan los dos pivotes del mecanismo.
2. Trazar la circunferencia CD con centro D y radio AD.
3. Sea P un punto sobre la circunferencia CD. el punto P representa la empuñadura de la
manivela.
4. Trazar el segmento PD, el cual representa la manivela del mecanismo.
5. Trazar la recta AP.
6. Trazar la circunferencia CP con centro P y radio k, tal que k > d(A,D).
7. Sean B y F las intersecciones de la circunferencia CP con la recta AP.
8. Trazar el segmento BF, éste representa el riel del mecanismo.
9. Trazar la circunferencia CP1 con centro P y radio AD.
10. Sean C y E las intersecciones entre la circunferencia CP1 y el segmento BF. Los puntos C
y E representan los bujes del mecanismo con lápices en su interior, que trazan el Limazón
de Pascal al mover la manivela.
11. El lugar geométrico generado por los puntos E y C cuando se mueve P sobre la
circunferencia CP es el Limazón de Pascal.
En resumen:
-
Los puntos A y D representan son los dos pivotes o puntos fijos del mecanismo.
-
AF representa un riel del mecanismo.
-
El segmento PD es la manivela del mecanismo.
-
Los puntos C y E representan bujes con lápices en su interior, los cuales trazan el limazón
de Pascal al mover la manivela.
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3. CONCOIDE
Figura 5
Figura 6
Construcción del mecanismo:
1. Trazar el segmento AB, el cual representa un riel horizontal del mecanismo.
2. Trazar la recta m mediatriz del segmento AB.
3. Sea D un punto sobre la recta m. El punto D representa un pivote del mecanismo.
4. Sea P un punto sobre el segmento AB, éste punto representa un pasador que se desliza
por el riel horizontal representado por el segmento AB.
5. Trazar la recta PD.
6. Trazar la circunferencia CP con centro P y radio AB/2..
7. Sean G y E las intersecciones entre la circunferencia CP y la recta PD.
8. Trazar el segmento GE, el cual representa el otro riel del mecanismo.
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9. Sean F y C los puntos medios del segmento GP y PE respectivamente, los puntos F y C
representan los bujes del mecanismo con lápices en su interior, los cuales al mover el
pasador trazan la Concoide.
10. El lugar geométrico generado por los puntos C y F cunado se mueve P sobre le segmento
AB es la Concoide.
En resumen:
-
Los segmentos GE y AB representan los rieles del mecanismo, los cuales van unidos por
un pasador representado por el punto P.
-
A medida que se desplaza P por el riel representado por el segmento AB, los bujes
representados por los puntos F y C, con lápices en su interior, trazan la concoide.
4. CISOIDE
Figura 7
Figura 8
Construcción del mecanismo:
1. Trazar la recta l, la cual representa el riel del mecanismo.
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2. Sea P un punto sobre la recta l. El punto P representa un pasador que se desliza por el riel
representado por la recta l.
3. Trazar la circunferencia CP con centro P y radio k.
4. Sea O un punto sobre la recta l.
5. Trazar la recta v perpendicular a la recta l y que pase por el punto O.
6. Trazar la circunferencia CO con centro O y radio k.
7. Sea F una de las intersecciones de la circunferencia CO con la recta v. El punto F
representa un pivote del mecanismo.
8. Trazar el segmento PF.
9. Trazar la recta m mediatriz del segmento PF.
10. Sea E la intersección entre las rectas m y l.
11. Trazar la recta EF.
12. Trazar la recta s perpendicular a la recta EF y que pase por P.
13. Sea A la intersección entre las rectas s y EF; ésta intersección es un buje del mecanismo.
14. Trazar el segmento PA, el cual representa una barra que une a los dos rieles del
mecanismo.
15. Trazar la circunferencia CA con centro A y radio m, con m > 2k.
16. Sean D y C las intersecciones entre la circunferencia CA y la recta EF.
17. Trazar el segmento DC, el cual representa un riel del mecanismo.
18. Sea B el punto medio del segmento AP. El punto B representa el otro buje del
mecanismo.
19. El lugar geométrico generado por los puntos A y B cuando se mueve P sobre la recta l es
la Cisoide.
En resumen:
-
La recta vertical l representa una barra fija.
-
F representa un perno fijo que atraviesa a la barra DC.
-
Los puntos P y E representan rodamientos que se desplazan a lo largo de la barra l, el
desplazamiento de E depende del desplazamiento de P.
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DC representa una barra que forma un ángulo recto con la barra PA.
-
En los puntos A y B se colocan los lápices que trazarán la Cisoide a medida que se
desplaza el rodamiento P.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Álvarez, J. (2006), Curvas en la historia. España. Nivola Libros Ediciones.
Boyer, Carl. Historia de las matemáticas, Madrid editorial,1996
Fuller, G. y Tarwater, D. Geometria Analítica. Eddison Wesley. Iberoamericana.
Wilmington, 1995.
Kline, Morris. El pensamiento
matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid,
Editorial Alianza. Tomos I , II y III.
Lehmann, Charles. Geometría Analítica. Editorial Limusa. Máxico, 1994.
http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4
http://www.mathcurve.com/
http://www.museo.unimo.it
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