T3: TRIGONOMETRÍA 1º BCT ÁREA DE UN ROMBO Dado un rombo cuyo lado mide 36 cm y uno de sus ángulos mide 38º 20´, calcula: a) La medida de sus diagonales. b) Su área. Solución B B 36 cm Extrayendo el triángulo AOB 38º 20´ A 36 cm C 19º 10´ O A D a) Calculamos las dos diagonales: Diagonal BD: sen A = OB → OB = AB·sen A → OB = 36 · sen 19º 10´ = 11,82 cm AB BD = 2 · OB = 2 · 11,82 = 23,64 cm Diagonal AC: cos A = OA → OA = AB·cos A → OA = 36 · cos 19º 10´ = 34 cm AB BD = 2 · OA = 2 · 34 = 68 cm b) Área del rombo = BD· AC 23,64·68 2 = = 803,76 cm 2 2 También se puede calcular: Área del rombo = 4 · área triángulo AOB = 4· 11,82·34 2 = 803,76 cm 2 TORRE DE TELEVISIÓN. Ana y Pedro ven desde la puerta de sus casas una torre de televisión, bajo ángulos de 45º y 60º, respectivamente. La distancia entre la casa de Pedro y la torre es de 75 m. Si la entena está situada entre sus casas, halla la altura de la torre y la distancia de la misma a la casa de Ana. Solución En el triángulo DBC: tg60º = B h → h = 75· tg 60º = 75·1,73 = 129,75 75 h La altura es 129,75 m En el triángulo DBC: h tg 45º = → h = y = 129,75 → y 45º A 60º x D C 75 La distancia a casa de Ana es 129,75 m Luisa Muñoz 2 T3: TRIGONOMETRÍA 1º BCT EL CAMPO DE FÚTBOL. Un campo de fútbol mide 40 m de ancho y la portería tiene 8 m de ancho. Si un jugador está situado en la banda lateral, a 12 m de la línea de fondo, ¿bajo qué ángulo ve la portería? 8m 12 m 40 m Solución El problema nos pide calcular el ángulo α. C α Empleando el triángulo ACD, tenemos: 12 m CD 12 1 tg A = = = → A = 26º 33´ 54´´ AD 24 2 Empleando el triángulo BCD, tenemos: tg B = B A 8m 16 m D CD 12 3 = = → B = 36º 52´ 12´´ BD 16 4 El ángulo ABC = 180º − B = 180º – 36º 52´ 12´´ = 143º 7´ 48´´ El ángulo α mide: 180º – (143º 7´ 48´´ + 26º 33´ 54´´) = 180º – 169º 41´42´´ = 10º 18´18´´ ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Hallar la altura correspondiente a la hipotenusa. Solución Calculamos la hipotenusa, aplicando el teorema de Pitágoras: A CB = 5 ({3, 4, 5} terna pitagórica) 4 C 3 h Empleando el triángulo ABC: α D B sen α = 4 5 Empleando el triángulo ADB: sen α = h 4 12 → h = 3·sen α = 3· = 3 5 5 La altura es 2,4 cm Luisa Muñoz 3 T3: TRIGONOMETRÍA 1º BCT ÁREA DE UN HEXÁGONO Calcular el área de un hexágono regular de 5cm de lado. Solución: Cálculo de la apotema: sen 60º = h → h = 5 · sen 60º = 4,33 → a = 4,33 cm 5 Cálculo del área: 5 h 60º A= p · a 6 · 5 · 4,33 129,9 2 = = = 64,95 → Área = 64,95 cm 2 2 2 LA ANTENA Tenemos una antena sujeta por dos cables anclados en los puntos C y D. Si el anclaje C se encuentra a 50 m del pie de la antena, calcular: a) Altura de la antena (AB) A b) Distancia entre los dos anclajes (CD) 30º Nota: CBD = 90º 45º 100 m B D C Solución: a) tg 30º = CB CB 100 → AB = = = 173,3 → AB = 173,3 m AB tg 30º tg 30º b) BD = AB por ser isósceles (dos ángulos iguales) CD = CB + BD → CD = 100 + 173,3 → CD = 200,08 m 2 2 Luisa Muñoz 2 2 2 2 4