FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES C Á Mı́ Eı́ Ḿ S C 2007 Ṕ 4 1. Probar que si la serie además a) P∞ n=1 b) lı́m an = P∞ Pm n=1 n=m+1 m→∞ P∞ n=1 an + an es convergente, entonces la serie P∞ n=m+1 P∞ n=m+1 an también lo es y an an = 0 2. a) Probar que si (an ) es una sucesión convergente, entonces también lo es la serie ∞ X (an − an+1 ) n=1 Calcular su suma. ¿Qué pasa con esta serie cuando la sucesión (an ) diverge u oscila? b) Demostrar la fórmula ∞ X n=1 1 =1 n(n + 1) 3. Sea (an ) creciente y tal que an > 0 para todo n ∈ N. Probar a) P∞ b) P∞ n=1 an diverge n n=1 (−1) an no converge 4. Comprobar que las siguientes series no son convergentes ∞ X ∞ X , n (−1) n=1 k ∞ X m √ m m! m=1 , k=1 , ∞ X k+1 k=1 k 5. Calcular la suma de las siguientes series ∞ X 3n − 2n n=0 5n , ∞ X (−1)n n=1 3n+1 , ∞ X 2n+2 n=4 3n−2 , ∞ X (−1)n 3n−2 5 78n+4 n=1 2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 6. Usando el criterio de Cauchy o el de D’Alembert, estudiar la convergencia de las series cuyo término general es 3n n2n 5n = n! 3n − 2 = 4n −n =e (2n + 3)n = (3n − 2)n n! = n n (3n2 + 1)4n = n! n (5 + n2 )n! = 2n nn a) an = b) an c) an d) an e) an f) an g) an h) an 7. Usar el segundo criterio de comparación para analizar la convergencia de las series cuyo término general es √ 2n + 4 2n2 − n 3n2 + 2n − 1 nπ − 2n ln n an = 2 , an = , a = , a = , an = 2 n n 4 2 4 3n − 1 3n + 7 4n − 3n + 2 n +4 n 8. Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie bn = (−1)n 3n2 − 1 , 9. Verificar que la serie bn = (−1)n ∞ X (−1)n+1 n=1 6n n+1 n , bn = (−1)n P∞ n=1 bn , siendo n2 − 2n − 1 n! , bn = (−1)n ln n es convergente y calcular su suma con error menor que 10−3 . 10. Estudiar la convergencia de las series de término general n n 2 + (−1)n 1 a) p b) c) 2 2n − 1 n2 n(n √3 + 1) n n3 n! e) f) g) √ n n e 2 +1 (n + 1) n en n! (−e)n n! 7n i) j) k) nn nn (n + 2)! + n! d) h) l) 2n n5n 2n n! nn (−1)n ln n n+2 3 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 Á: D R Suma parcial Sea (an ) una sucesión de números reales. A partir de (an ) construimos una nueva sucesión cuyo término general –que llamaremos suma parcial– está dado por An = n X an k=1 Serie Sea (an ) una sucesión de números reales. Llamamos serie a la sucesión cuyo término general es la suma parcial de (an ); es decir, con la notación de la definición anterior, (An ) es la serie cuyo término general es an . Convergencia — Suma de la serie Cuando la serie (es decir, la sucesión de sumas parciales) converge, se llama suma de la serie a su lı́mite. En sı́mbolos, ∞ X an = lı́m Am = lı́m m→∞ n=1 m→∞ m X an n=1 Divergencia Se dice que la serie de término general an diverge cuando no converge. Propiedades Si P∞ n=1 an y P∞ n=1 ∞ X n=1 bn son convergentes y α ∈ R, entonces (an + bn ) = ∞ X n=1 an + ∞ X bn n=1 Proposición Sea P∞ n=1 an convergente, entonces an −→ 0. y ∞ X n=1 can = c ∞ X n=1 an 4 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 Proposición (Serie armónica – Serie armónica generalizada) Para cada p ∈ R, se considera ∞ X 1 np n=1 Esta serie â converge si p > 1 â diverge si p 6 1. Criterios para series de términos positivos P ́ P P∞ Si ∞ n=1 bn converge y 0 6 an 6 bn para todo n > n0 , entonces n=1 an converge. S ́ Si (an ) y (bn ) son dos sucesiones de números reales tales que an > 0, bn > 0 para todo n > n0 an = `, entonces y lı́m bn o si ` > 0 ∞ X converge an ∞ X ⇐⇒ n=1 o si ` = 0 ∞ X bn converge ⇒ n=1 o si ` = +∞ ∞ X bn diverge n=1 ∞ X an converge ∞ X y n=1 ⇒ bn converge n=1 ∞ X an diverge y n=1 ∞ X n=1 C C Sea (an ) una sucesión de número positivos tales que P (i) si ` < 1, entonces ∞ n=1 an converge P (ii) si ` > 1 o ` = +∞, entonces ∞ n=1 an diverge C D’A Sea (an ) una sucesión de número positivos tales que (i) si ` < 1, entonces entonces an diverge ⇒ n=1 P∞ (ii) si ` > 1 o ` = +∞, entonces n=1 an converge P∞ n=1 an diverge an converge ∞ X bn diverge n=1 ⇒ ∞ X n=1 √n an −→ `. Entonces, an+1 −→ `. Entonces, an bn converge FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 5 Serie geométrica Se denomina serie geométrica a aquella cuyo término general es an = rn , para un cierto r ∈ R. Proposición La serie P∞ n=0 rn converge si y sólo si |r| < 1 y el valor de su suma es ∞ X 1 rn = 1−r n=0 Convergencia absoluta P Se dice que una serie ∞ n=1 an es absolutamente convergente o bien que converge absolutamente si converge la serie de términos positivos ∞ X |an | n=1 Proposición Toda serie absolutamente convergente es convergente. Serie alternada Dada una sucesión (an ), se llama serie alternada a la que tiene por término general (−1)n an Criterio de Leibniz Sea (an ) una sucesión tal que ã an > 0 ã (an ) es decreciente ã an −→ 0 Entonces, la serie alternada ∞ X (−1)n+1 an converge. n=1 Proposición Con las hipótesis del criterio anterior se tiene ∞ m X X (−1)n+1 an − (−1)n+1 an < am n=1 n=1 cualquiera sea m ∈ N.