UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEM

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
MA 0350 Cálculo en una variable II
Tarea 1
NOTA: Debe mostrar todos sus cálculos y razonamientos para recibir el crédito completo de
cada ejercicio. Todos los ejercicios tienen el mismo puntaje.
1-)
bn
Determine todos los valores de b en R para los cuales la sucesión xn = 2 , con n ∈ N∗ ,
n
converge. Justifique su respuesta.
2-)
Usando la definición de lı́mite de una sucesión, demuestre que:
lim
n→+∞
3-)
√
n+1−
√
n = 0.
Sea (an )n∈N una sucesión de términos estrictamente positivos. Demuestre que:
converge a cero.
a-) Si (an )n∈N diverge a +∞ entonces a1n
n∈N
b-)
Si (an )n∈N converge a cero entonces
1
an
diverge a +∞.
n∈N
√
4-)
Sea z1 = 1 y, para cada n ∈ N, n > 1, sea zn+1 =
converge y calcule su lı́mite.
5-)
Sea In = [an , bn ], con an ≤ bn para cada n ∈ N, una familia de intervalos anidados,
cerrados y acotados. Demuestre que:
2zn . Muestre que (zn )n∈N
a-)
La sucesión (an )n∈N es creciente.
b-)
La sucesión (bn )n∈N es decreciente.
c-)
La sucesión (ln )n∈N definida por ln = bn − an es decreciente.
d-)
Si ξ = sup{an : n ∈ N} y η = inf{bn : n ∈ N} demuestre que lim ln = η − ξ.
e-)
Justifique la existencia del supremo y el ı́nfimo en cuestión, ası́ como la existencia
del lı́mite.
T
Si ξ = sup{an : n ∈ N} y η = inf{bn : n ∈ N} demuestre que n∈N In = [ξ, η].
T
Deduzca que si lim ln = 0 entonces n∈N In posee un único punto.
f-)
n→+∞
n→+∞