Primera Prueba Integral Lapso 2013-2 734-1/5 Universidad Nacional Abierta Matemática III (Cód. 734) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 610-612-613 Área de Matemática Fecha: 09-11-2013 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 4 OBJ 1 PTA 1 Una persona ha colocado en un negocio cierta suma de dinero a una cierta tasa de interés simple. Sí se retira del negocio al cabo de 10 meses tendría Bs 10000. Si se retira al cabo de 2 años y 2 meses, se tendría una suma de Bs 15000. Calcular la suma colocada y determinar la tasa de interés. SOLUCIÓN: Del enunciado tenemos que: 10000 = C(1 + 10r) 15000 = C(1 + 26r) Lo anterior es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas “C y r”, despejando C en ambas y luego simplificando nos queda: 10 15 = 1+ 10r 1+ 26 r de donde por un simple despeje, obtenemos: r= 5 mensual 110 ¿Por qué esta tasa de interés es mensual y No anual? Al sustituir r en la primera ecuación (se pudo haber usado cualquiera de las dos ecuaciones). Luego, desarrollando y simplificando resulta que el capital colocado en el negocio asciende a: C = 6875 bolívares OBJ 2 PTA 2 Una fábrica de artículos metálicos adquiere materia prima y acuerda pagarla en tres pagos iguales de Bs 7000000 cada uno, a 1, 2 y 3 meses de plazo. Transcurrido un mes, la fábrica se ve obligada a renegociar su deuda de la siguiente forma: pagar mediante dos pagos iguales a 2 y 4 meses, a partir de ese momento. ¿Cuál será el monto de estos pagos iguales, si la tasa de interés acordada es del 31,08 convertible mensualmente? Sugerencia: Elabore un diagrama de tiempo. SOLUCIÓN: Sea X el valor de cada uno de los dos pagos que se deberán realizar para cancelar totalmente la materia prima. Especialista: Frankie Gutiérrez Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática Primera Prueba Integral Lapso 2013-2 734-2/5 Tomemos como fecha de comparación (fecha focal) la correspondiente al mes tres (3) y consideremos la ecuación de valores (recuerde que en interés compuesto se puede tomar cualquier fecha como fecha focal): 7000000(1 + 0,0259)2 + 7000000(1 + 0,0259) + 7000000 = X + X(1 + 0,0259)– 2 7000000(1,0259)2 + 7000000(1,0259) + 7000000 = X + X(1,0259)– 2 7000000(1,05247) + 7000000(1,0259) + 7000000 = X + X(0,95015) 7367290 + 7181300 + 7000000 = 1,95015X X= 21 548 590 = 11049708,9967 1,95015 OBJ 2 PTA 3 Si por una inversión nos pagan el 1% de interés mensual, ¿cuál será la tasa de interés efectiva trimestral que deberían pagarnos si se cambia de este modo el régimen de capitalización de interés? Nota: Para el logro de este objetivo debe responder correctamente las dos preguntas. SOLUCIÓN: Recordemos que: Dos (2) tasas de interés son equivalentes, si operando bajo modos de capitalización diferentes pero bajo periodos iguales producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto. Lo anterior expresa el hecho de que: El monto M producido por un capital de Bs C a una tasa de interés del 1% mensual durante un lapso de tres meses, es igual al monto producido por ese mismo capital C durante un lapso de un trimestre a una tasa de interés i, esto es: C (1+ 0,01) = M = C (1+ i ) . 3 Al simplificar resulta que: (1,01) 3 = (1+ i) ⇒ 1,0303 - 1 = i de donde, operando nos queda: i = 0,0303 = 3,03%. Por lo tanto, la tasa trimestral equivalente al 1% mensual es: e = 3,03% Observación: Para hallar tasas equivalentes, no hace falta aprenderse las fórmulas, lo que realmente es importante aprender y entender, es la definición de equivalencia entre tasas. Especialista: Frankie Gutiérrez Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática Primera Prueba Integral Lapso 2013-2 734-3/5 OBJ 3 PTA 4 Se otorga un crédito por Bs 58000 a pagar en 15 mensualidades iguales a una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente de 35%. Calcular el importe de cada pago. Nota: Use en sus cálculos 4 cifras decimales. SOLUCIÓN: Para dar respuesta a esta pregunta debemos calcular el valor T de las cuotas mensuales que se deben pagar. Observemos que esta es una renta inmediata de la cual conocemos el valor actual A = 58000, el número de pagos mensuales n = 15 y la tasa de interés aplicada en la operación i = 2,9167% mensual. Por lo tanto, sustituyendo en la fórmula para rentas con las características dadas obtenemos que: 1- (1+ 0,0292)- 15 1- (1,0292)- 15 1- (0,6494) 58000 = T = T = T 0,0292 0,0292 0,0292 0,3506 = T = 12,0073T, 0,0292 de lo anterior resulta que el valor de las mensualidades es: T = 4830,3948 OBJ 4 PTA 5 Se considera una deuda de Bs. 10000 pagadera en cuotas anuales al 10% de interés compuesto anual, la cual va a ser cancelada mediante 8 pagos anuales consecutivos en progresión aritmética de razón 200. Construir el cuadro de amortización. SOLUCIÓN: Ver Sección 42 referente a Respuestas a los Ejercicios Propuestos, página 252 Ejercicio Nº 7. FIN DEL MODELO Especialista: Frankie Gutiérrez Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática