FÍSICA 2º BACHILLERATO. T I. Gravitación Universal.

FÍSICA 2º BACHILLERATO.
T I. Gravitación Universal.
1. Los orígenes de la Teoría Gravitatoria. El modelo egocéntrico del
Universo.
2. Leyes de Kepler.
3. La Ley de Newton de la Gravitación Universal.
4. Justificación de las Leyes de Kepler a partir del concepto de
Momento angular o cinético.
5. Campo Gravitatorio.
5.1.
5.2.
Variación de la intensidad del Campo Gravitatorio
con la altitud.
Ídem con la altura.
6. Estudio energético de la interacción gravitatoria.
7. Potencial Gravitatorio.
8. Conservación de la energía.
9. Satélites artificiales y lanzamientos interplanetarios.
INTERNET
El descubrimiento de la Ley de la Gravitación Universal
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.html
http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/gravitacion.htm
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.1
T I. Gravitación Universal.
1. Los orígenes de la Teoría Gravitatoria. El modelo geocéntrico
del Universo.
Cosmología: ciencia que estudia la estructura del Universo, su origen, las leyes que lo rigen y su
evolución.
Trabajo: Cosmología: de Aristóteles a Kepler.
2. Leyes de Kepler. 1601.
Leyes experimentales basadas en las precisas mediciones de Tycho Brahe (1546-1601)
Actualmente estas leyes se deducen matemáticamente a partir de las teorías Físicas de la
Dinámica y Cinemática, esto lo haremos en el punto 4.
1ª. Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el sol uno de los focos.
El sol está en F1.
perihelio
Basilisa Sánchez .
afelio
T. Gravitación Universal.2
2ª. Ley de las áreas: el área barrida por el vector de posición del planeta respecto al Sol en
la unidad de tiempo (velocidad areolar), es la misma en todos los puntos de la órbita.
dS
= cte
dt
Si el tiempo que le cuesta ir
de P1 a P2
es el mismo que de ir de
P'1 a P'2
Las
áreas
coinciden
barridas
3ª Los cuadrados de los periodos de cada planeta son proporcionales a los cubos de los
radios medios o semiejes mayores de sus órbitas respectivas.
T2 = k R3
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.html Ir a Leyes de Kepler
3. La Ley de Newton de la Gravitación Universal.
A mediados del s. XVII René Descartes (1596-1650), para explicar el movimiento de los planetas,
propuso que la materia impregnaba todo el espacio, de modo que todos los planetas y satélites
eran arrastrados por remolinos de materia interestelar originados por los astros centrales, como el
Sol o un planeta. Esta teoría fue posteriormente rechazada.
Las soluciones fueron aportadas por miembros de la Royal Society británica.
Robert Hooke (1635-1703) intentó explicar el movimiento de los planetas bajo la acción de una
fuerza de atracción entre ellos, que disminuiría con el cuadrado de la distancia.
Pero la solución revolucionaria vino de la mano de sir Isaac Newton (1642-1727) con su libro:
“Principios Matemáticos de la Física Natural” conocido simplemente como los “Principia” de
Newton 1687.
En este texto se autor razonaba lo siguiente:
a) Existe una fuerza que actúa sobre los planetas primarios (giran alrededor del sol) o sobre
las lunas(giran alrededor de un planeta) que les obliga a giran alrededor de un punto.
Según el Principio de Inercia (enunciado por el propio Newton anteriormente) todo
cuerpo permanece en esto de reposo o MRU si no actúa sobre él ninguna fuerza.
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.3
Cómo estos cuerpos describen un movimiento circular uniforme
están sometidos a una fuerza
la FUERZA GRAVITATORIA.
b) La fuerza gravitatoria actúa sobre todos los cuerpos independientemente de su naturaleza.
Newton unifica la Física terrestre y la celeste. La fuerza que mantiene a los
planetas girando es de la misma naturaleza que la que hace que una manzana
caiga sobre la superficie de la tierra.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.html
Descripción
En la física anterior a Newton una manzana cae verticalmente hacia la Tierra en una trayectoria
rectilínea, mientras que la Luna describe una órbita casi circular, que es una trayectoria cerrada.
¿Cómo estas dos categorías de movimientos pueden estar relacionados?
Si la manzana que caía verticalmente es empujada por la fuerza del aire, su trayectoria ya no será
rectilínea sino el arco de una curva. Por ejemplo un proyectil disparado desde un cañón describe
una trayectoria parabólica tal como se observaba en el siglo XVII en el que vivió Newton . El salto
conceptual que llevó a cabo Newton fue el de imaginar que los proyectiles podrían ser disparados
desde lo alto de una montaña describiendo trayectorias elípticas (siendo la parábola una
aproximación de la elipse).
Por tanto, la manzana y la Luna están cayendo, la diferencia es que la Luna tiene un movimiento
de caída permanente, mientras que la manzana choca con la superficie de la Tierra.
Una misma causa produce, por tanto, los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. Un
dibujo que aparece en muchos libros de texto, tomado del libro de Newton "El sistema del mundo",
ilustra esta unificación.
"Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los
planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetas; pues una piedra
proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a
describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar
dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la
cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.4
velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes
de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla...
En la figura, se representa las curvas que un cuerpo describiría si fuese proyectado en dirección
horizontal desde la cima de una alta montaña a más y más velocidad. Puesto que los movimientos
celestes no son prácticamente retardados por la pequeña o nula resistencia de los espacios donde
tienen lugar, supongamos, para conservar la analogía de los casos, que en la Tierra no hubiera
aire, o al menos que éste está dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeño.
Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco
menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por
llegar bastante más allá de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaña desde la que fue
proyectada.
Y puesto que las áreas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra
son proporcionales a su tiempo de descripción, su velocidad al retornar a la montaña no será
menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describirá la misma curva una y
otra vez, obedeciendo a la misma ley".
Vamos ahora a cambiar, la imagen estática por un programa interactivo o applet, que nos ilustre la
unificación de las causas de los movimientos que ocurren en el espacio exterior y en la superficie
de la Tierra.
c) La fuerza de interacción entre los cuerpos es central.
La dirección de la fuerza es la línea que une los cuerpos, y por ello es paralela al
vector de posición respecto de uno de ellos.
En el caso de un sistema planetario, Sol-planeta o planeta-Luna, las líneas de
fuerza entre el astro central y los que giran alrededor convergen en un punto.
d) El valor de la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales es proporcional al producto de
las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros
m1m 2
2
rentre
1, 2
F1, 2 ∝
F1, 2 = − G .
m 1m 2
.u r
r12, 2
z
F12
ur
m2
u r F21
m1
y
x
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.5
Propiedades de la FUERZA GRAVITATORIA:
-
Dirección: línea de unión entre los cuerpos.
-
Sentido: por ser una fuerza atractiva, es el sentido que tiende a acercarlas.
-
Módulo:
-
Constante de proporcionalidad, G, constante de gravitación universal:
G = 6.67390. 10-11 n.m2Kg-2.
proporcional al producto de las masas.
Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
- Si una masa interacciona con varias
gravitatorias, de manera que:
FT =
estará sometida a varias fuerzas
n
∑
i= 1
Fi
4. El momento angular y las fuerzas centrales. Principio de
conservación del momento angular
Las leyes de Kepler son experimentales, fueron deducidas a partir de los datos obtenidos por la
observación directa de Tycho Brahe. Actualmente estas leyes se deducen matemáticamente a
partir de las Teorías de la Dinámica.
Recordemos las leyes de la dinámica de traslación y rotación
Dinámica de traslación
p=mv
Dinámica de rotación
momento angular
Basilisa Sánchez .
L= r∧ p
dp
F=
dt
M =
dL
dt
Ecuación Fundamental de la
dinámica de traslación
(≡
F = m.a )
M = r∧ F =
d L
dt
Ecuación Fundamental de la
Dinámica de Rotación
T. Gravitación Universal.6
M : Momento de una fuerza
agente dinámico de la rotación
equivalente a la fuerza en la traslación
 =r ∧ F

M
Se denomina momento de una fuerza respecto
de un punto, al producto vectorial del vector
posición de la fuerza por el vector fuerza.
- El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la
recta de dirección de la fuerza). M = d F = F r sen α (α = ángulo que lleva F a r por el
camino más corto)
- La dirección es perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca la
regla del tornillo o de la mano derecha.
- El sentido viene determinado por la regla del tornillo o de la mano derecha. Se pone el
origen del 2º vector sobre el final del 1º y se lleva con la palma de la mano el 2º hacia el 1º,
mientras el dedo pulgar indica hacia arriba o hacia abajo el sentido del momento de la
fuerza.
α

F
r
Momento de una fuerza aplicado a una fuera central (ejemplo de un sistema solar).
En este caso 
r y
ángulo que forman

F
r
son vectores paralelos, el
 es 180, sen 180 = 0.
y F
M = F . r . sen α
M=0
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.7

L : Momento angular
-
caracteriza el estado cinético de un cuerpo en rotación
El momento angular de una partícula es el vector producto vectorial del vector cantidad
de movimiento por el vector de posición.
L= r∧ p
-

L=r ∧mv
Se obtiene mediante la regla de la mano derecha. Es por tanto un vector perpendicular
al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v.
4.1. Principio de conservación del momento angular
Si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean
cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece
constante.
M =
Si
dL
dt
M = r∧ F = 0
si
Como
M = 0
entonces
M = r. F. sen α = 0
L = cte
sen α = 0
r y F son paralelos tienen la misma dirección.
Este tipo de fuerzas se llama Fuerzas Centrales
Consecuencias del Principio de conservación del Momento angular
Si la Fuerza aplicada y el vector de posición son paralelos
Si el momento angular es constante
Basilisa Sánchez .
el momento angular permanece
constante.
la fuerza y el vector de posición deben ser paralelos,
es decir estar situados en el mismo
plano
T. Gravitación Universal.8
4.2. Aplicación al Campo Gravitatorio.
Demostración 1ª Ley Kepler
- O: Sol
- m: planeta
- r : vector posición del planeta
 : fuerza gravitatoria ejercida
- F
por el Sol sobre el planeta
- v : velocidad del planeta
- 
L : momento angular de la
fuerza gravitatoria.
Si el momento angular es constante
la fuerza y el vector de posición deben ser
paralelos, es decir estar situados en el mismo plano
LA ÓRBITA DE LOS PLANETA ES PLANA
1º LEY DE Kepler
http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/mangular/AngMomA.
html
dS
= cte
dt
Demostración 2ª Ley Kepler:
2
1

dl
r
El área barrida por el planeta al girar alrededor del sol es la sombreada. ds
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.9
El producto vectorial de dos vectores = área del paralelogramo que forman. 2ds, dos veces el área
barrida.
Ésto sólo se puede suponer para un tiempo muy pequeño, por eso trabajamos con diferenciales y
derivadas
El producto vectorial de dos vectores = área del paralelogramo que forman
∣r ∧
dl∣=2dS
El área barrida por el planeta para ir de 1
2
por definición la velocidad del planeta es la derivada del espacio recorrido sobre la trayectoria en
v =
función del tiempo
∣r ∧
dl∣=2dS

dl
dt

∣r ∧ vdt∣=2dS

dl=v dt
dt [ r ∧ 
v ]=2dS
dS r ∧ 
v
=
dt
2

L =cte
De antes
v =cte
r ∧m 

L =r ∧m v
L= r∧ p
como
p =m v
Como m = cte
v =cte
r ∧ 
2º LEY DE KEPLER
Basilisa Sánchez .
ds
= cte
dt
T. Gravitación Universal.10
Demostración 3ª Ley Kepler
Un planeta que gira alrededor del Sol está
sometido a la fuerza gravitatoria.
Pero, como cualquier cuerpo que describe
un Movimiento Circular presentará un
aceleración en dirección perpendicular a
la trayectoria y sentido hacia el centro de
la misma, la aceleración normal, a n .
Planeta
an
Fg
SOL
T2 = k R3
Fuerza gravitatoria

Mm 
Fg = − G 2 u r
r
Según el 2º Principio de la Dinámica
∑ F =m an
v2
an =
r
 ∣=−G
∣F
 ∣=m r
∣F
2
Mm
2
r
v= ωr
igualando
G
Mm
= mω 2r
r2
GM =
4π 2 3
r
T2
GM = ω 2 r 3
T2=
4π 2 3
r
GM
Todos estos valores son
ω =
2π
T
1 vuelta
T 2 = kR 3
3ª LEY DE KEPLER
constantes
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.11
5. Campo Gravitatorio.
En el siglo XIX Faraday, Thomson y Maxwell, para explicar las fuerzas eléctricas y magnéticas
crean un nuevo concepto físico: CAMPO DE FUERZAS.
El campo es un concepto primario (como lo es la materia o el espacio) que actúa de soporte de la
interacción entre cuerpos.
Según la teoría del campo, la materia no está localizada únicamente en los límites del cuerpo, sino
que se extiende por todo el “campo”.
El estudio del “campo” admite dos descripciones.
- Escalar: a partir del concepto de potencial.
- Vectorial. A partir del concepto de vector intensidad del campo
Aplicaremos este concepto a las fuerzas gravitatorias:
Estas son las fuerzas que se ejercen
mutuamente dos masas “M” y “m”
separadas una distancia “r”.
Nosotros vamos a estudiar únicamente
el efecto producido por la masa “M”
sobre “m
Recordemos:
M

F

ur

r
m

Mm 
Fg = − G
ur
r2
Fuerza gravitatoria
ur es el vector unitario en la
dirección de la fuerza, la dirección que une
las dos masas interactuantes.
- la fuerza es negativa por que se dirige al
origen.
Nosotros vamos a estudiar el efecto que produce la masa “M” sobre la masa ”m”, es decir la
“perturbación que produce la masa”M” a su alrededor, el “campo gravitatoria que genera M”, por lo
tanto, vamos a considerar:
-
M: crea el campo, supondremos fija.
m: soporta el campo.
Intensidad del campo gravitatorio.
Es una magnitud que cuantifica la perturbación originada por la masa M
Es la fuerza que actúa por unidad de masa
Unidades N/ Kg
Basilisa Sánchez .

 F
g=
m


F = mg
T. Gravitación Universal.12
Igualando las expresiones

Mm 
Fg = − G 2 u r
r


F = mg

GM 
g = − 2 ur
r
M: crea el campo.
m: soporta el campo.
módulo
Campo creado por la masa “M” a una distancia “r”.
Campo soportado, percibido, por la masa “m”.

GM 
g = − 2 ur
r
g =
GM
r2

F
m
∣
g∣=

F
m
g=

Líneas de fuerza.
Se llama líneas de fuerza del campo gravitatorio a unas líneas imaginarias que dibujan la
trayectoria que seguiría una masa sometida al campo gravitatorio creado por M., es decir muestran
la dirección y el sentido de la intensidad del campo gravitatorio a que se vería sometido la masa
“m”
Las flechas muestran la dirección del campo
gravitatorio y cualquier masa en las cercanías de
la Tierra se verá acelerada en la dirección del
campo que pasa por esa posición.
En el campo gravitatorio sólo hay sumideros de
líneas de fuerza, no hay fuentes
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.13
Principio de superposición.
El campo gravitatorio creado por varias masas puntuales es la suma vectorial de los campos
individuales creados por cada uno de ellos.
Masas no puntuales.
Hasta ahora hemos supuesto que trabajamos con “masa puntuales”.
Que son cuerpos que no tienen volumen y cuya materia está concentrada en un punto. Como es
lógico esta es sólo una suposición ideal. En el caso en que los cuerpos estén situados a distancias
muy grandes entre sí, caso de los planetas, esta suposición funciona correctamente.
Si trabajamos en la superficie del planeta seguiremos aceptando la aproximación. Pero si
tuviéramos que trabajar dentro del planeta, en una sima o una cueva, la aproximación ya no sería
adecuada, y comprobaríamos que los resultados teóricos se alejan de los experimentales. En esos
casos hay que recurrir a mejorar la teoría.
Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta.
m
Estudiemos el caso de un cuerpo m que cae sobre un planeta de
masa MT desde una altura h.
La intensidad del campo gravitatorio es:
g = −
h
GM
ur
r2
g =
la distancia desde m al centro de MT es
g=
GM T
( RT
+ h)
MT
g= G
RT
2
GM
r2
r = h + RT
pero como h <<< RT
M
RT 2
la intensidad del campo gravitatorio de un
planeta depende de su masa y de su tamaño
Como
F = mg
La fuerza con que un planeta atrae a un cuerpo depende de la
intensidad del campo gravitatorio que genera, y por lo tanto
dependerá de sus características físicas, su masa y su tamaño.
Un cuerpo será atraído por cada planeta con diferente fuerza, en
función de las características de ese planeta
Si aplicamos el Principio Fundamental de la Dinámica (2º Principio de la Dinámica)
mg = ma
g=a
∑ F =m a
La única fuerza que está
actuando es la fuerza gravitatoria
F = mg
aceleración de caída de los cuerpos =
intensidad del campo gravitatorio
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.14
Ambos son dos vectores dirigidos hacia el interior del planeta, pero:
a → es una aceleración, se mide en m/s2

g → es la intensidad del campo gravitatorio, se mide en N/Kg

∣
a∣=∣
g∣
a =
g =
La aceleración con un cuerpo cae sobre la
superficie de un planeta depende únicamente
de las características de éste, y no del
cuerpo.
GM
r2
GM
r2
Todos los cuerpos caen con la misma
aceleración en un planeta dado.
En el caso de la Tierra
∣
a∣=a=9,8 m/ s 2
∣
g∣=g=9,8 N /Kg
5.1. Variación de la Intensidad del Campo Gravitatorio con la altitud.
r
grot
λ
λ
R
R
λ
g0
an
g
efect
En muchos casos el valor teórico de
g no coincide con el experimental.
Una de las razones es la rotación
de la Tierra sobre su eje.
Cualquier cuerpo apoyado sobre al
Tierra gira unida a ella, y por lo
tanto
está
sometido
a
su
aceleración
normal,
an,
esta
aceleración debe estar originada
por una componente de g en la
dirección de an y sentido hacia
dentro.



g rot = an =ϖ 2 ru r
Como
cos λ =
r
R
r = R cos λ
La intensidad de la gravedad efectiva será
Basilisa Sánchez .

g rot = Rϖ
2

cos λ ur



g efect = g teórica − g rot
T. Gravitación Universal.15
Puntos singulares:
- Polos: λ = 90º
cos 90 =0

g rot = 0


g efect = g teórica Máximo
- Ecuador: λ = 0º
cos 0 = 1
∣grot∣=RT 2
Valor máximo de
g rot
∣g efect∣ valor mínimo
El cuerpo es más atraído si se encuentra más cerca de los Polos que del Ecuador.
NOTA: hemos tenido en cuenta dos suposiciones:
- geometría, suponemos que los planetas son esferas perfecta, lo cual no es cierto.
- Densidad de los planeta, éstos no tienen naturaleza uniforme.
5.2. Variación de la Intensidad del Campo Gravitatorio con la altura.
h
g0 = G
R
R
M
R
g= G
Intensidad del campo en la superficie del planeta
M
( R + h) 2
Intensidad del campo a una altura h
Haciendo operaciones:
g
=
g0
Si
G
M
( R + h)2
G
g
R2
=
g 0 ( R + h) 2
M
R2
h↓
Basilisa Sánchez .
g↑
R2
g = g0
( R + h) 2
La intensidad aumenta, el cuerpo es más atraído cuanto
más cerca estoy del nivel del mar.
T. Gravitación Universal.16
6. Estudio energético de la intensidad gravitatoria.
Hemos hecho un estudio vectorial del campo gravitatorio, ahora vamos a hacer el estudio escalar.
Recordemos una serie de definiciones.
Trabajo: producto escalar de la fuerza ejercida por el desplazamiento que produce.
 
dW = Fdr
W=
∫
 
Fdr
Propiedades del Campo Gravitatorio:
-
Es un campo central por estar creado por fuerza centrales.
En este tipo de campos el trabajo W para ir del punto 1 al 2 es independiente del
camino a seguir.
El trabajo en una trayectoria cerrada, para ir de una punto 1 y volver al mismo, es cero.
A este tipo de campo se les llama “conservativos”.
Por eso se dice que el campo gravitatorio es central y conservativo.
En los campos conservativos se puede definir una nueva magnitud denominada: ENERGÍA
POTENCIAL en un punto, de la siguiente manera:
W = − ∆ Ep
M
el trabajo realizado por un campo conservativo = disminución de la energía
potencial.
ur
d r
r2
2
m

F
1
r1
La masa M crea un campo gravitatorio. Movemos al masa “m” desde 1 a 2, esto sucede
espontáneamente debido a la fuerza gravitatoria atractiva entre M y m. Esta fuerza produce un
desplazamiento dr , y por lo tanto un W
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.17
W=
∫
2
1
 
F dr
W =
W = − GMm ∫ −
1
∫−G
1

Mm 
F = − G 2 ur
r
2
2
Mm
u r dr
r2
1
dr
r2
 1
W = − GMm  − 
 r
W = −
Por definición
E p1 = −
 
u r dr = ur dr cosθ = − dr
GMm
r1
2
1
-1
180º
 1 1
= − GMm  −
+ 
r
 2 r1 
GMm GMm
+
r1
r2
W1→ 2 = − ∆ E p = E p1 − E p 2
E p2 = −
GMm
r2
Ep = −
GMm
r
CONSECUENCIAS:
1º- Si r =∞
Ep = 0. A esto se le denomina: Origen de potenciales.
2º- L energía potencial es cosa de dos o más cuerpos con masa.
3º- El trabajo realizado espontáneamente por un campo gravitatorio, W>0, da lugar a una
disminución de Energía potencial.
4º- Las masas abandonadas se aproximan entre sí y evolucionan espontáneamente hacia
posiciones de mínima energía potencial.
5º- Diagrama de energía potencial.
Ep
r
Ep< 0
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.18
7. Potencial gravitatorio.
Es la energía potencial por unidad de masa en un punto.
V =
Ep
V = −
m
GM
r
- magnitud escalar
- unidades: J/Kg
Ep = −
GMm
r
- M: masa que crea el campo
8. Conservación de la energía.
Fuerza conservativas:
Si un sistema se mueve sometida únicamente a fuerzas gravitatorias, su energía mecánica
(suma de su energía cinética y potencial), se mantiene constante, independientemente de que
haya interconversiones entre ambas.
E mecánica = 0
∆ E mec = 0
∆Ec + ∆E p = 0
Ec1 + E p1 = Ec 2 + E p 2
Fuerzas no conservativas:
Si existe un rozamiento, un intercambio d energía con el exterior:
E mecánica ≠ 0
∆ E mec = Wext
E c1 + E p1 + Wext = E c 2 + E p 2
Wext = ∆ E
Basilisa Sánchez .
trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, es siempre
negativo, se invierte en variar la energía total o energía
mecánica.
T. Gravitación Universal.19
9. Satélites artificiales y lanzamientos interplanetarios.
Un satélite artificial girando alrededor de la Tierra lejos de la acción de la atmósfera está sometido
a la fuerza gravitatoria, que es una fuerza central
aplicando el principio de
conservación de la energía:
Emec = Ec + E p = cte
E=
1 2  GMm 
mv +  −
 = cte
2
r 

El satélite está ligado a la Tierra por lo tanto E c debe ser menor que la Ep para que no escape:
Ec + E p < 0
1 2  GMm 
mv +  −
< 0
2
r 

v 2 escape
GM
<
2
r planeta
haciendo operaciones.
de la raíz cuadrada se obtienen dos valores. La distancia varía por lo tanto entre esos dos valores:
- Uno mínimo r1.
- Uno máximo r2
Tenemos una elipse como nos decía Kepler
En el caso especial de que la elipse fuera una circunferencia:
Recordemos que aplicando la Ecuación Fundamental de la Dinámica, como la única fuerza que
actúa es al gravitatoria:
∑


F = ma n

Mm 
Fg = − G 2 ur
r
G
Mm
= ma n
r2
v2
an =
r
G
Mm
v2
=
m
r
r2
Despejando
v órbita =
GM
r
M: masa del planeta
El periodo de giro viene dado por la 3ª ley de Kepler:
Como R =r: altura a la que se encuentra el satélite.
Basilisa Sánchez .
T 2 = kR 3
T2=
4π 2 3
r
GM
T. Gravitación Universal.20
Velocidad de escape.
Hacemos un balance de energía entre los puntos 1 y 2:
1: superficie del planeta.
2: un punto situado en el infinito, donde el satélite o el cohete ya se ha escapado. En este
punto su velocidad es cero, por lo tanto Ec es cero. La Ep también es cero, ya que por definición
en el infinito esta aceleración es cero.
Queda:
Ec1 + E p1 = Ec 2 + E p 2
1
Mm 1
Mm
mv1 2 − G
= mv2 2 − G
2
r1
2
r2
0
0
r1 = R planeta
r2 = R planeta + h (altura)
Queda:
Mp
1 2
mv esc − G
= 0
2
Rp
v esc =
GM p
Rp
Depende únicamente del planeta, no del cuerpo que se lanza.
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.21
Gravitación Universal.
1. Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R 3 /T2
es constante y su valor es 3,35.1018 m3 /s2, siendo R el radio de sus órbitas y T el
periodo de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del
Sol. Dato: G = 6.67.10-10 S.I.
2. Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a
la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su periodo de revolución?. Dato: tomad
el periodo actual igual a 28 días.
3. Se determina, experimentalmente, la aceleración con que cae un cuerpo en el campo
gravitatorio terrestre en dos laboratorios diferentes, uno situado a nivel del mar y
otro en un globo que se encuentra a una altura h = 19570 m sobre el nivel del mar.
Los resultados obtenidos son g = 9,81 m/s 2 en el primer laboratorio y g´= 9,75 m/s 2
en el segundo laboratorio. Se pide.
a) Determinad el valor del radio terrestre.
b) Sabiendo que la densidad media de la Tierra es ρT = 5523 Kg/m3,
determinad el valor de la constante de gravitación G.
4. Un satélite de 500 Kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una
órbita circulas a 6.106 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la
gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio es 3400 Km, se pide.
a) Fuerza gravitatoria sobre el satélite.
b) Velocidad y periodo del satélite.
c) ¿A qué altura debería de encontrarse el satélite para que su periodo fuera el
doble?
5. Se desea situaren órbita un satélite de comunicaciones, de tal manera que se
encuentre siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita
geoestacionaria). Si la masa del satélite es de 1500 Kg, se pide:
a) Altura por encima de la superficie terrestre a la cual ha de situarse el satélite.
b) Energía total del satélite cuando se encuentre en órbita.
Datos: G = 6.67.10-10 S.I.; MTierra = 5.98 . 1024 Kg; T Tierra = 6370 Km
6. ¿Cuál debería ser la velocidad inicial de la Tierra para que escapara del Sol y se
dirigiera hacia el infinito?. Suponed que la Tierra se encuentra describiendo una
órbita circular alrededor del Sol.
Datos: Distancia Tierra-Sol = 1.5 . 10 11 m ; MSol = 2 . 1030 Kg ; G = 6.67.10-10
Nm2 /Kg2 .
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.22
Septiembre 04. 1.
La órbita de una de las lunas de Júpiter, Io, es aproximadamente circular con un radio de 4,2 . 10 8
m. El periodo de la órbita vale 1,53 . 105 s. Se pide:
a). El radio de la órbita circular de la luna de Júpiter Calipso que tiene un periodo
de 1,44 . 106 s.
b). La masa de Júpiter.
c). El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter.
Datos: Radio de Júpiter RJ = 71400 Km; G = 6,67 . 10-10 Nm2/Kg2.
Septiembre 04. 2Un satélite geoestacionario es aquel que se encuentra siempre en la misma posición respecto a un
punto de la superficie de la Tierra. Se pide:
a). La distancia sobre la superficie terrestre a la que ha de situarse un satélite
geoestacionario.
b). La velocidad que llevará dicho satélite en su órbita geoestacionaria.
Datos: Masa de la tierra 6 . 1024 Kg. Radio de la Tierra 6370 Km. G = 6,67 . 10-11 Nm2/Kg2.
Septiembre 04. A.
Una sonda espacial de masa 1200 kg se sitúa en una órbita circular de radio 6000 km,
alrededor de un planeta. Si la energía cinética de la sonda es de 5,4 . 109 J. Calcula.
1. el periodo de la sonda.
2. La masa del planeta.
Datos. G = 6,7 . 10-11 Nm/kg2.
Septiembre 04. B.
Febos es un satélite que gira en una órbita circular de radio 14460 km alrededor del planeta
Marte con un periodo de 14 horas, 39 minutos y 25 segundos. Si sabemos que el radio de
Marte es de 3394 km, calcula:
a) La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte
b) La velocidad de fuga de Marte de una nave espacial situada en Febos.
Septiembre 04. C.
Si consideramos que las órbitas de la tierra y de Marte alrededor del sol son circulares
¿Cuántos años terrestres dura un año marciano? El radio de la órbita de Marte es 1,486
veces mayor que el terrestre.
Septiembre 04. D.
Dibuja las líneas de fuerza de campo eléctrico gravitatoria producido por dos masas
puntuales iguales separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto en el que la intensidad
del campo gravitatoria sea nula? En caso afirmativo indica en que punto. ¿Existe algún
punto en el que el potencial gravitatorio sea nulo? En caso afirmativo indica en que punto?.
Septiembre 09. A.
Determina la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte sabiendo que su densidad media
es 0,72 veces la densidad media de la Tierra y que el radio de dicho planeta es 0,53 veces el radio
terrestre. Dato: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m/s 2.
Septiembre 09. B.
Dos masas puntuales M y m se encuentran separadas una distancia d. Indica si el campo o el
potencial gravitatorios creados por estas masas pueden ser nulos en algún punto del segmento
que las une. Justifica la respuesta.
Junio 09. B.
Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie de la Tierra: la
aceleración de la gravedad en dicha superficie (9,8 m/s 2), el radio terrestre (6.37. 106 m) y el
periodo de la órbita lunar (27 días, 7 h, 44 s).
1) Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la masa de la
Tierra, calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.
2) Calcula la densidad de la Tierra sabiendo que G = 6.67. 10-11 Nm2/kg2.
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.23
Septiembre 08. A.
¿A qué altitud sobre la superficie terrestre la intensidad del campo terrestre gravitatorio es el 20 %
de su valor sobre la superficie terrestre? Dato: radio de la Tierra R = 6300 Km.
Junio 08. A.
Una sonda espacial de 200 kg de masa se encuentra en órbita circular alrededor de la Luna, a 160
km de su superficie. Calcula.
1) La energía mecánica y la velocidad de la sonda.
2) La velocidad de escape de la atracción lunar desde esa posición.
Datos: G = 6.67. 10-11 Nm2/kg2, masa de la Luna 7.4.1022 kg, radio de la Luna 1740 km.
Junio 08. B.
Disponemos de dos masas esféricas cuyos diámetros don 8 y 2 cm respectivamente.
Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre estos dos cuerpos, calcula:
1) La relación entre sus masas m1/m2 sabiendo que si ponemos ambos cuerpos en
contacto el campo gravitatorio en el punto donde se tocan es nulo.
2) El valor de cada masa sabiendo que el trabajo necesario para separar los cuerpos,
desde la posición de contacto hasta otra donde sus centros distan 20 cm. es: W =
1.6.10-12 J
Junio 10. A.
Un planeta gira alrededor del sol con una trayectoria elíptica. Razona en qué punto de dicha
trayectoria la velocidad del planeta es máxima.
Junio 10. B.
Un objeto de masa m1 se encuentra en el origen de coordenadas, mientras que un segundo objeto
de masa m2 se encuentra en un punto de coordenadas (8,0) m. Considerando únicamente la
interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula:
a) La relación entre las masas m1/ m2 si el campo gravitatorio en el punto (2,0) m es nulo.
b) el módulo, dirección y sentido del momento angular de la masa m 2 con respecto al
origen de coordenadas si m2 = 200 kg y su velocidad es (0,100) m/s.
Junio 10. B2.
Define el momento angular de una partícula. Calcula el momento angular de una partícula de masa
2 kg que se encuentra en el punto (0,-2) m y cuya velocidad es (3,0) m/s.
Junio 10. A2.
Se sabe que la Luna realiza una vuelta completa alrededor de la Tierra en 27 días, 7 horas y 44
minutos, y que el radio de su órbita es de 384400km. Calcula la masa de la Tierra utilizando estos
valores.
Dato: constante de gravitación universal G = 6,67 . 10-11 Nm2 /kg.
Septiembre 10. A.
Explica brevemente el significado de la velocidad de escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad de
escape en la superficie terrestre? Calcúlala utilizando exclusivamente los siguientes datos: el radio
terrestre R = 6,4 . 106 m y la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2 .
Septiembre 10 B.
Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de 7,6 . 10 3
m/s, calcula:
a) el radio de la órbita y el periodo orbital del satélite.
b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto.
Utiliza exclusivamente estos datos: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre g = 9,8
m/s2 ; radio de la Tierra R = 6,4 . 106 m
Basilisa Sánchez .
T. Gravitación Universal.24