1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: .2x y/dx C .3x C 5y/ dy

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Ecuaciones diferenciales homogéneas .
E: .2x
y/ dx C . 3x C 5y/ dy D 0
D: H Reescribimos la ecuación en la forma:
y
y
x
2
2
dy
2x y
x D
x :
.2x y/ dx D .3x 5y/ dy )
D
D y
y
dx
3x 5y
x 3 5
3 5
x
x
y
Si hacemos el cambio de variable u D , obtenemos:
x
dy
du
y D ux )
D uCx ;
dx
dx
luego, al sustituir en la ED:
2 u
du
2 u
du
D
) x
D
dx
3 5u
dx
3 5u
Al separar variables obtenemos:
uCx
3
5u2
uD
5u
dx
du D
)
4u C 2
x
Z
2
u
u.3 5u/
du
5u2 4u C 2
) x
D
:
3 5u
dx
3 5u
3
5u2
5u
du D
4u C 2
Z
dx
:
x
Para integrar el miembro izquierdo de la última ecuación, completamos cuadrados:
"
#
2
4
2
6
4
4
2
5u2 4u C 2 D 5 u2
C
D5 u
C
D
uC
5 25
25
5
25
5
6
2
2
D5 w C
; donde w D u
.observe que dw D du/:
25
5
Integrando, tenemos:
2
Z 3 5 wC
Z
Z
dx
.1 5w/ dw
5
dw D
D ln x C C )
)
6
6
x
5 w2 C
5 w2 C
25
25


Z
Z
1
dw
5
2w dw 
) 
D ln x C C )
6
6 
5
2
2
2
w C
w C
25 25
5w
1 5
1
6
2
p arctan p
)
ln w C
D ln x C C )
5
2
6
6
25
"
#
2
2
1
1
6
5 u
2
) p arctan
ln u
C
D ln x C C )
5
p
2
25
5
6
6
"
#
2
5u 2
1
1
6
2
p
) p arctan
ln u
C
D ln x C C:
2
25
6
5
6
3. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
2
y
; la solución general es
x
"
#
2
5y 2x
1
1
6
5y 2x
p
p arctan
ln
C
D ln x C C:
2
25
6x
5x
6
Finalmente, como u D