1 Ecuaciones diferenciales exactas . xCy E: dx C .y C arctan x / dy D 0; 1 C x2 con y.0/ D 1. D: H Verifiquemos primero si la ED es exacta: @M @ x y 1 D C D @y @y 1 C x 2 1 C x2 1 C x2 @N @ 1 D .y C arctan x/ D @x @x 1 C x2 … ) la ED es exacta. Entonces la solución de la ED es f .x; y/ D C , donde f .x; y/ satisface: Z y @f @f DN ) D y C arctan x ) f D .y C arctan x/ dy ) @y @y y2 ) f D C y arctan x C k.x/: 2 (1) Derivando f con respecto a x e igualando a M : y x y x @f 0 0 D C k .x/ D C ) k .x/ D ) @x 1 C x 2Z 1 C x2 1 C x2 1 C x2 1 2x dx 1 ) k.x/ D D ln.1 C x 2 /: 2 2 1Cx 2 Sustituyendo k.x/ en (1) e igualando a C , obtenemos la solución general de la ED: y2 1 C y arctan x C ln.1 C x 2 / D C: 2 2 Considerando la condición inicial: y.0/ D 1 ) 1 1 C0C0DC ) C D I 2 2 la solución particular de la ED es y2 1 1 C y arctan x C ln.1 C x 2 / D : 2 2 2 Multiplicando por 2 se tiene: y 2 C 2y arctan x C ln.1 C x 2 / D 1: 201. canek.azc.uam.mx: 23/ 11/ 2010