Dinámica del Sólido - Escuela Técnica Superior de Ingenieros
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Dinámica del Sólido Mecánica II Tema 9 Manuel Ruiz Delgado Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid Dinámica del Sólido– p. 1/17 Percusiones Sólido con eje fijo Regularización Equilibrado Ecuaciones del movimiento del sólido libre Estructura de las ecuaciones Ejes de trabajo Ecuaciones de Euler Ecuaciones en ejes de Résal Sistema de fuerzas de inercia sobre un sólido Dinámica del Sólido– p. 2/17 Dinámica del sólido: Bibliografía Manuel Prieto Alberca, Curso de Mecánica Racional: Dinámica, ADI, Madrid, 1990. H. Schaub y J. Junkins, Analytical Mechanics of Space Systems, AIAA, Reston, 2003. Willam Tyrrel Thomson, Introduction to Space Dynamics, Dover, Nueva York, 1961-1986. Antonio Rañada, Dinámica Clásica, Alianza Editorial, Madrid, 1990. J. A. Fernández Palacios, Mecánica teórica de los sistemas de sólidos rígidos, Madrid, 1989. L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1970. E.T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles & Rigid Bodies, Cambridge University Press, Nueva York, 1904-1986. Dinámica del Sólido– p. 3/17 Sólido con eje fijo Eje de giro como eje Oz1 ≡ Oz Oxz contiene a G, para simplificar z1 z xxxxxxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxx 1 GDL ≡ Traslación: θ̈ → θ̇ → θ Fijación isostática: 5 incógnitas R1 θ̇ OG = (ξ, 0, ζ) ω = (0, 0, θ̇) R = (X, Y, Z) OO′ = (0, 0, h) G O′ ξ G y R O 2 γ = (−ξ θ̇ , ξ θ̈, 0) R1 = (X1 , Y1 , 0) y1 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx x1 θ x Ecuaciones del movimiento del sólido con punto fijo (Mec. I): D F + R + R1 = M γ G MD O d + OO ∧ R1 = (IIO · ω) dt ′ Dinámica del Sólido– p. 4/17 Sólido con eje fijo Se trabaja en ejes sólido para que el tensor de inercia sea constante: Ix −Pxy −Pxz 0 −Pxz θ̇ HO = I O · ω = −Pxy Iy −Pyz · 0 = −Pyz θ̇ −Pxz −Pyz Iz θ̇ Iz θ̇ Término corrector al derivar, ḢO = IO · ω̇ + ω ∧ IO · ω : 2 j0 k0 −Pxz θ̈ Pyz θ̇ −Pxz θ̈ i0 ḢO = −Pyz θ̈ + 0 0 θ̇ = −Pyz θ̈ + −Pxz θ̇2 −Pxz θ̇ −Pyz θ̇ Iz θ̇ 0 Iz θ̈ Iz θ̈ Operando y sustituyendo, las ecuaciones quedan: Dinámica del Sólido– p. 5/17 Sólido con eje fijo θ̇2 Fx + X + X1 = −M ξ Fy + Y + Y1 = M ξ θ̈ Fz + Z = 0 θ̇2 Mx − hY1 = −Pxz θ̈ + Pyz My + hX1 = −Pyz θ̈ − Pxz θ̇2 Mz (θ, θ̇, t) = Iz θ̈ X(t) Y (t) Z(t) X1 (t) Y1 (t) θ(t) La última ecuación diferencial determina el movimiento θ(t). Una vez conocida θ(t) y sus derivadas, las otras cinco son algebraicas y determinan las fuerzas de ligadura como funciones del tiempo. Dinámica del Sólido– p. 6/17 Sólido con eje fijo: regularización y equilibrado Equilibrado Estático: ξ = 0 θ̇2 Fx + X + X1 = −M ξ Fy + Y + Y1 = M ξ θ̈ Fz + Z = 0 Equilibrado Dinámico: Pxz = Pyz = 0 M ξ θ̇2 Reacciones periódicas en los apoyos ↓ Vibraciones Fatiga Pxz θ̇2 Mx − hY1 = −Pxz θ̈ + Pyz θ̇2 My + hX1 = −Pyz θ̈ − Pxz θ̇2 ⇒ Eje de giro principal y central Regularización Mz (θ, θ̇, t) = Iz θ̈ → Mz (θ, θ̇, t) θ̈ = → Volante de inercia Iz Dinámica del Sólido– p. 7/17 Ecuaciones del movimiento del sólido libre Sólido libre en el espacio: 6 GDL 3 coordenadas de un punto; xG , yG , zG N parámetros de la actitud (orientación). Sólo 3 independientes: 9 parámetros: Matriz de giro ⌊i, j, k⌋ = ⌊i1 , j1 , k1 ⌋ Q 10 z ϕ̇ z1 ψ̇ θ y ϕ G ψ θ̇ ϕ x θ O1 y1 6 parámetros: 2 vectores del sólido x1 xG , yG , zG 4 parámetros: cuaternios, vector eje/ángulo 3 parámetros: ángulos de Euler (ψ, θ, ϕ) , vector de Gibbs, parámetros de Rodrigues. . . Todas las representaciones mínimas de la actitud (3 parámetros) tienen al menos una singularidad. Dinámica del Sólido– p. 8/17 Ecuaciones del movimiento del sólido libre Ecs. dinámicas Ecuaciones cinemáticas G dr vG (t) = dt → d D G F = Mv + dt ω(t) = ω(ψ̇, θ̇, ϕ̇, ψ, θ, ϕ) → d D (IIG · ω) + MG = Q Ω(t) = Q T · Q̇ dt ... Resultado → rG (t) ψ(t), θ(t), ϕ(t) → Q (t) ... 0 −ωz ωy Q ⇒ Q̇ Q =Q Ω ω = (ωx , ωy , ωz ); Ω = ωz 0 −ωx = Q T Q̇ −ωy ωx 0 θ̇ = ω cos ϕ − ω sin ϕ θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ ω x y x y cos ϕ ωy = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ → ψ̇ = ωx sin ϕ+ω sin θ y cos ϕ ϕ̇ = ωz − ωx sin ϕ+ω ωz ϕ̇ + ψ̇ cos θ cot θ Dinámica del Sólido– p. 9/17 Sólido libre: ejes de trabajo Cantidad de Movimiento: partícula, → ejes fijos. Momento Cinético: más compleja, MD G : a veces mejor ejes fijos (peso), intermedios (momento del peso), a veces sólido (empuje, sustención). QQ T ) Velocidad angular: igual de compleja en ejes sólido (Q̇ Q); más simple en ejes intermedios. que en ejes fijos (QT Q̇ Tensor de inercia I G : constante en ejes sólido, y si se escogen los principales, diagonal. En ejes fijos es mucho más complicado: Q · I G · Q T . Las nueve componentes serán funciones del tiempo. Es mucho más fácil cambiar de ejes un vector que un tensor, lo normal será trabajar en ejes sólido. → Ecuaciones de Euler. Si el sólido tiene simetría de revolución, hay unos ejes intermedios más simples: ejes de Résal. Dinámica del Sólido– p. 10/17 Ecuaciones de Euler Ecuaciones para un sólido con punto fijo o respecto al CDM Ejes principales ligados al sólido S0 Origen en el punto fijo O o en el CDM G A 0 0 p ṗ Mx IO = 0 B 0 ω= q ω̇ = q̇ MD My O = 0 0 C 0 r 0 ṙ 0 Mz 0 Ecuación del momento cinético en el punto fijo o en G MD O d = (IIO · ω) = I O · ω̇ + ω ∧ I O · ω dt Se sustituyen los valores de MD O , I O y ω en ejes sólido: Dinámica del Sólido– p. 11/17 Ecuaciones de Euler A ṗ + (C − B) q r = Mx B q̇ + (A − C) p r = My C ṙ + (B − A) p q = Mz ( MD O (p, q, r, ψ, θ, ϕ, t) MD O (p, q, r, Q , t) Ecuaciones de primer orden en las componentes de ω Hay que añadir las ecuaciones cinemáticas adecuadas: 0 −r q p θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ r Q 0 −p = QT Q̇ q = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ −q p 0 r ϕ̇ + ψ̇ cos θ Si MD O depende sólo de ω , están desacopladas y se integran por separado. Dinámica del Sólido– p. 12/17 Ejes de Résal Velocidad angular: da lo mismo fijos S1 que sólido S2 θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ θ̇ cos ψ + ϕ̇ sin θ sin ψ ω 21 = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ = θ̇ sin ψ − ϕ̇ sin θ cos ψ ϕ̇ + ψ̇ cos θ ϕ̇ cos θ + ψ̇ 2 1 Fijo ψ,θ Résal ϕ Sólido S1 −−→ S0 − → S2 z1 z0 y0 . ψ θ . ϕ θ O mg x1 . θ ψ x0 ψ y1 I O de revolución: invariante a ϕ̇ k0 : igual en ejes S0 que en ejes S2 ω 21 más simple en S0 Momento del peso más simple en S0 que en S1 Momentos de otras fuerzas exteriores pueden ser más simples en S1 Dinámica del Sólido– p. 13/17 Ejes de Résal z1 z0 y0 . ψ θ . ϕ θ O mg x1 . θ ψ x0 ψ y1 A 0 0 Mx IO = 0 A 0 MD My O = 0 0 C 0 Mz 0 θ̇ θ̇ ω 21 = ω 01 = ψ̇ sin θ ψ̇ sin θ ϕ̇ + ψ̇ cos θ 0 ψ̇ cos θ 0 La ecuación del momento cinético es más simple en ejes de Résal S0 que en ejes sólido S2 : MD O d = (IIO · ω 21 ) = I O · ω̇ 21 + ω 01 ∧ I O · ω 21 dt Dinámica del Sólido– p. 14/17 Ejes de Résal Ejes de Résal: Sólido pesado de revolución h i ψ̇ sin θ C ϕ̇ + (C − A) ψ̇ cos θ A θ̇ mgζ sin θ h i d A ψ̇ sin θ + = 0 θ̇ (A − C)ψ̇ cos θ − C ϕ̇ dt 0 C ϕ̇ + ψ̇ cos θ 0 Ejes Sólido: A cos ϕ + sin θ sin ϕ θ̇ ψ̇ mgζ sin θ cos ϕ d + A −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ −mgζ sin θ sin ϕ = dt 0 C ϕ̇ + ψ̇ cos θ (C − A) −θ̇ sin ϕ + ψ̇ sin θ cos ϕ ϕ̇ + ψ̇ cos θ + (A − C) θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin θ sin ϕ ϕ̇ + ψ̇ cos θ 0 Dinámica del Sólido– p. 15/17 Sistema de fuerzas de inercia sobre un sólido Movimiento del sólido S2 respecto al sistema móvil 2 M S0 : Sistema de fuerzas de inercia sobre las partículas G elementales Mi , de masa δm z1 z h i δFIA = −δm γ O 01 + ω̇ 01 ∧ OM + ω 01 ∧ (ω 01 ∧ OM) O IC M δF = −2δm ω 01 ∧ v 20 Resultante y momento resultante sobre todo el sólido: RIA = −M γ G 01 δF y O1 x y1 RIC = −2M ω 01 ∧ vG 20 MG IA = −IIG · ω̇ 01 + ω 01 ∧ P G · ω 01 = −IIG · ω̇ 01 − ω 01 ∧ I G · ω 01 MG IC = 2ω 20 ∧ P G · ω 01 Dinámica del Sólido– p. 16/17 Sistema de fuerzas de inercia sobre un sólido k1 Avión o helicóptero en maniobra: z2 RIC = −2M ω 01 ∧ vG 20 ω01 φ y0 MG IC = 2ω 20 ∧ P G · ω 01 Ω k1 φ + Ωt ω01 y2 2(C − B)Ωω k1 ur 2AΩω z2 ur Ωt y2 z0 Ω ur φ + Ωt ω01 y2 3AΩω z2 Dinámica del Sólido– p. 17/17
