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CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
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Habrá pues un flujo neto de A en la dirección y. Para calcular este
flujo difusivo suponemos que las moléculas que llegan desde abajo
tienen su última colisión en
y las que llegan desde arriba la
1i
Yt\
\
Y ——
X
Y-X
x
FIGURA 2.1
tienen en y-M-. Se supone en este modelo simplificado que la tercera
parte de las moléculas totales se mueven a lo largo de cada uno de
los tres ejes coordenados, o sea que en la dirección positiva del eje
y se mueven 1/6. Si n es el número de moléculas por unidad de
volúmen, el número de moléculas de A y B que pasan hacia arriba por
unidad de tiempo a través de un plano de área S es (l/6)nvS, y de
estas XA(1/6)(HVS) son moléculas de A.
Entonces, si no hay flujo convectivo de A o B en la dirección y, el
flujo neto de las moléculas de A es la diferencia entre el flujo
debido a las moléculas de A que se mueven hacia arriba y hacia abajo:
(moles de A)/(unidad de tiempo) = [(S/6)(nVxA)|y-J- - (S/6)(nVxA)(y^
Para obtener el flujo difusivo de A debemos dividir por S y por el
número de Avogadro para convertir de moléculas a moles pues n = cN, N
es el número de Avogadro
JAY = - /MnVxA)/6N = - (1/6)VCAXA = - (l/6)Vc(2-L)(dxA/dy)
J A y = - (1/3)V-L(dcA/dy) por lo que
DAB = (1/3)J-V
Utilizando la teoria cinética simplificada de los gases, que asume la
no existencia de gradientes de concentración, las moléculas A y B
como esferas rígidas sin fuerzas atractivas, de aproximadamente la
misma masa y tamaño, y gas ideal:
H
V = (8kBT/rtm)
-H
J- = (2nd2n)
donde
kB = Constante de Boltzman = 1.38062*10-23 J/K = R/N
m = Masa de la molécula = M/N
M = Peso molecular
n = Moléculas por unidad de volumen = n = P A B T = CN
R - Constante de los gases.
N = Número de Avogadro
d = Diámetro molecular.
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Asi el coeficiente de autodifusión,DAA*:
H
DAA* = (2/3d2)(kB 3 TA3m)
Si tienen A y B diferente masa y tamaño,
d = (1/2)(cU + DB)
1/M = 1/MA + 1/MB
M = Masa reducida
Dab = ( 2 / 3 ) (KB/TT) 1 • 6 ( L / 2 M A + L / 2 M B ) M T 3 / 2 / P ) ( 2 / ( D A + D B ) ) 2
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
Supongamos ahora que el fluido está en movimiento y que hay un
gradiente de velocidad dvx/dy mientras que vy=v«=0. Entonces las
moléculas que atraviesan el plano ubicado en y originándose deede
abajo tendrán una velocidad mayor que aquellas que se originan por
encima. También como el impulso es masa por velocidad, tendrán un
mayor impulso x. Por lo tanto cuando colisionan las moléculas de
abajo con mayor impulso tenderán a acelerar las moléculas más lentas
de arriba y similarmente las moléculas más lentas de arriba tenderán
a frenar las moléculas más rápidas del lado inferior. Habrá entonces
un transporte neto de impulso x desde un y menor hasta un y mayor (o
en la dirección y positiva). La aceleración del fluido superior por
el fluido
inferior tiene
el efecto
de una fuerza actuando
tangencialmente a el área Sy (perpendicular al eje y); esta es la
fuerza cortante TyxSy. Similarmente, el frenado del fluido inferior
equivale al
efecto de
una fuerza cortante igual y opuesta,
frecuentemente llamada fuerza de arrastre o sea una fuerza de
fricción. La fuerza cortante se relaciona a través de la ley de
Newton del movimiento con la velocidad de la cantidad de movimiento.
Así el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas es
simultáneamente una fuerza cortante y un flujo de cantidad de
movimiento.
Si m es la masa de una molécula, su cantidad de movimiento será mv*.
Entonces la velocidad de flujo del impulso x hacia arriba de (y--1-)
será:
(moléculas/tiempo) (impulso/molécula) = (Sy/6)(nV)(mv*) |y—iy la velocidad neta de flujo será
(Sy/6) (nV) (mvx) | y--1- - (Sy/6)(nV)(mvx)|y-¿Para obtener la densidad de flujo
dividimos por Sy para obtener:
del impulso x en la dirección y,
- Tyx = (nVmvx/6)|y—i- - (nVmvx/6)|y*~L = (l/6)(nVm)Ayx
Asumiendo un gradiente de velocidad lineal sobre la distancia 2-L y
usando nm = f, obtenemos:
Tyx — — (1/3) fV-K dvx/dy)
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
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Al coaparar con la ley de Newton de la viscocidad
M = (l/3)fV¿
r = (1/3)VX
que ea la misma expresión para DAB cuando Se = 1. Substituyendo
de la teoría cinética de los gases obtenemos:
y V
U = (2/3)(mksTA3)
Nótese que u aumenta con la temperatura y es independiente de la
presión o, equivalentemente, es independiente de la densidad a
temperatura constante. La teoría cinética rigurosa da la siguiente
expresión para la viscosidad de un gas compuesto de esferas rígidas
de diámetro d:
Ȓ
(MT)
( 2.1 )
M - 2.6683 x 10-»
d2
donde u está en Pa.s, T
molecular del gas.
en K,
d en
nanómetros y
M
es
el
peso
TRANSPORTE DE ENERGIA.
Supongamos ahora que existe un gradiente negativo de temperatura en
el plano ubicado en y. Asumiendo que el gas es monoatómico y
despreciando las contribuciones vibracionales y rotacionales a la
energía, cada molécula tendrá una energía interna de
e = (1/2) m V2 = (3/2) ks T
Como antes, las moléculas se
las que se originan en y que las que se originan en y
dividimos el flujo neto de
densidad de flujo de calor o
encuentran en movimiento aleatorio, pero
J- tienen más energía (mayor temperatura)
+
Siguiendo el anterior procedimiento
energía por el área para obtener la
flujo neto de energía
<br = (Vne/6)|y—l - (Vne/6)|ynJ- = - (l/6)nVAe = - (l/6)nV/M3ks T/2)
Ahora, suponiendo dT/dy lineal y n constante sobre el intervalo 21qy = - (l/6)V[d/dy](3nkB T/2)(2-L) = - (l/3)VJ-[d/dy]( fCvT)
dado que (3/2)nksT = (3/2)(fN/M)(R/N)T = fCvT pues Cv = 3R/2M para un
gas monoatómico. Aquí, Cv es el calor específico a volumen constante
(energía/masa.temperatura). Las unidades de [CvT son energía por
unidad de volumen y V-J- es longitud al cuadrado sobre tiempo, que
podría denominarse difusividad térmica.
Tomando a = k/fCp
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
d(fCpT)
qy= - a
1
=
dy
1
o sea:
3
VJ-
a =
d(fCpT )
Cp
dy
CP
donde
3
Cv
V-L
y =
Cv
T
para un gas monoatómico
T
(1/3)V -L
a
(l/3)Wf
5
T
3
En la realidad Prandtl tiende más a 2/3.
De la ley de Fourier y del desarrollo anterior obtenemos la siguiente
expresión para la conductividad térmica de un gas monoatómico.
>á
k = (l/d^XkBST/TtSm)
En consecuencia, el modelo simplificado nos predice que k varía
aproximadamente con T* y debería ser independiente de la presión.
Estas predicciones son nuevamente confirmadas cualitativamente por la
teoría cinética rigurosa la cual nos da:
Jé
k = 8.333 x 10-4(T/M) /(o^Ck)
donde k está en W/m.K y o en nanómetros.
2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAPMAN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS.
Las ecuaciones anteriores dan solo una vaga estimación de las
propiedades de transporte. La principal fuente de error surge en la
suposición de que las moléculas se comportan como esferas rígidas sin
interacción. Realmente las moléculas son compresibles, y existen
fuerzas entre ellas.
Esta fuerza de acción intermolecular varia con su separación r y se
relaciona a la energía potencial de interacción $ por F = - d$/dr.
La forma de la energía potencial $ es una función de la separación:
para pequeños valores de r, las moléculas se repelen y la energía es
grande y positiva; para valores mayores las moléculas se atraen, y a
valores aún mayores de r, las fuerzas intermoleculares tienden a
cero.
Para tener en cuenta tanto las fuerzas repulsivas como las atractivas
entre moléculas no polares, se acostumbra a asumir que la energía
potencial total es la suma de dos potenciales separados:
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
A
ítot«l = $r*pul«ivo +
J»tP»otivo
=
31
B
-
( 2.1 a)
Donde A, B,
n y m son constantes positivas y n > m. Esta ecuación fué
propuesta inicialmente por Mié e investigada extensivamente por
FIGURA 2.2 Energía potencial de interacción intermolecular
Lennard-Jones, y
ha sido
usada especialmente
para
calcular
propiedades termodinámicas y de transporte en gases diluidos no
polares.
A analizar la ecuación (2.1.a) se hace evidente
distancia r mínima, $ es un mínimo. Reorganizando:
que
para
alguna
€(n n /m°) 1/1n_m>
$ =
[o/r]» - [o/r]®
(n - m)
Donde e = - íminimo y o es la distancia intermolecular cuando $ = 0.
London demostró a aprtir de la teoría de las fuerzas de dispersión
que m= 6, pero no se dispone de un valor teórico para n. Un resultado
acorde con los experimentos se obtiene dejando n como un parámetro
ajustable:
«/Cn-e>
&(r) = (n/6)
.(n/n-6).€([o/r]12- [o/r]®)
Se halla conveniente para los cálculos hacer n = 12 obteniendo
$(r) = 4€ [ (o/r)12 - (o/r)6 ]
Esta expresión se denomina potencial 6-12 de Lennard-Jones. Ella
relaciona la energía potencial de dos molécuals a su distancia de
separación en términos de dos parámetros característicos de la
molécula estudiada: un parámetro energético e, el cual es el negativo
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
de la energía mínima correspondiente a la separación de equilibrio; y
un parámetro de distancia a, el que es igual a la separación
intermolecular cuando la energía potencial es cero (ver figura 2.2.).
En una mezcla de moléculas A y B habrá interacción entre ellas
$AB(T) = 4€AB.C(oAB/r)12- (oAs/r)®]
Los parámetros €AB y OAB característicos de la mezcla pueden
estimarse a partir de los parámetros para los componentes puros por
las ecuaciones aproximadas:
H
OAB = (l/2)(OAB + OAB)
y
€AB =
(€A.€B)
Chapman y Enskog desarrollaron ecuaciones para gases a baja presión
no polares:
(MT)
Viscosidad
(2.2)
u = 2.669x10-8
o2Q,u
Esta ecuación es válida para gases no polares. Aquí M es peso
molecular; |¿ está en Pa.s; T en K; o en nanómetros y Qu es la
integral de colisión.
La integral de colisión puede aproximarse por
H
Q» » 1.604/(T*)
con
0.4 < T* < 1.4
donde T* = ksT/e es una temperatura adimensional.
Una forma más exacta de calcular la integral de colisión es:
fiu
=
+
1.16145
0.52487
2.16178
"T'Sth +
(T*)»./*»«*
exp(0.7732T*)
exp(2.43787T)
(2.3)
Para moléculas polares un potencial diferente deberé usarse. Brokaw
recomienda modificar (2.3) usando
Qm p o i « r = Qp no p o n * . + (0.2 62/ T*)
¡
ó = U2/2€o3
(2.4)(2.5)
U es el momento dipolar en Debyes; ó momento dipolar adimensional
1 debye = 3.162 x 10-26
- i®-i8 e s u .cm = 3.333 x 10-se C.m.
Coulomb = 3.0 x 10e esu.
6 está en N.m y o en m.
Para mezclas gaseosas se usan ecuaciones semiempiricas
= (2ixim)(£¡jx1j®id)
siendo
Donde
FIIJ
= [ I + W W W M Í / M J ) * ] 2 / [8( 1+Mi/Mj )]*
(2.6)
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
33
n = Numero de especies en la mezcla,
xi, x¿ = Fracciones molares de i, j.
Mi, mj = Vieccocidades de i,j puros a la tempertura y presión de la
mezcla.
Mi, Mj = Pesos moleculares.
B1 cálculo de la viscosidad de una mezcla gaseosa de composición
conocida se puede hacer también con la expresión siguiente, que es
simple y suficientemente exacta, en especial para gases naturales:
2
yi Mi J
Uowiol* -
( 2.6 a )
\[
yiM;
Los momentos dipolares de algunas substancias gaseosas son:
SUBSTANCIA.
HF
HBr
CO
NH3
CH2C12
HCN
CH3N02
CH30H
CsF
KC1
C3H6
PH3
C6H5C1
S02
CH3C00CH3
C2H5F
C2H5C0CH3
C0(NH2)2
U (debye)
1.91
0.80
0.10
1.47
1.60
3.00
3.50
1.70
7.90
10.40
0.35
0.55
1.55
1.63
1.67
1.92
3.00
4.60
SUBSTANCIA.
U (debye)
HC1
HI
H20 .
CH3C1
CHC13
CH3CN
(C2H5)20
CsCl
KF
KBr
C6H5CH3
C6H5NH2
C2H5SH
CH3I
C2H50H
(CH3)2C0
C2H5N02
HT
1.00
0.401.84
1.90
1.05
3.94
1.16
10.50
7.30
9.07
0.37
1.48
1.56
1.64
1.70
2.88
3.70
&ñt
Una extensa compilación de momentos dipolres es dada por Nelson 1967.
Los valores de o y € se encuentran tabulados (Reid y Sherwood:
Propiedades de gases y Líquidos; Handbook de Perry; Bird; Skelland;
etc.). Si no se conocen los valores de o y e , pueden calcularse a
partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c), de la
temperatura normal de ebullición del liquido (b) o del punto de
fusión del sólido (m), mediante la siguientes ecuaciones empíricas:
€/k = 0.77 Te = 1.15 Tb = 1.92 Tm
( 2.7 )
o = 0.841 Vci/3 = 2.44 (Tc/Pc)i/3 = 1.166 V b =
llq.
1.222Vm
atol
34
-
FENOMENOS DE TRANSPORTE
;
• "
1
"•
1
••
"'
—
Donde €/k y T están en Kelvin, o en unidades Amstrong (1A°=10-I,a m),
V en
cm3/molg y Pe en atm. Utilizando estos parámetros, el
coeficiente de viscosidad de un gas monoatómico de peso molecular M a
la temperatura T viene dado por
<MT)
( 2.8 )
M = 2.6693 x 10-b
Esta ecuación se diferencia de la (2.2 ) solo en las unidades a
saber: u [g/cm.s], T [K], o [A°] y Qu se puede leer de tablas o
calcularse de la ecuación (2.3).
Conductividad Térmica.
8.322xl0~4(T/M)
Para gases monoatómicos: k =
( 2.9 )
o2Qk
donde k es la conductividad térmica en W/m.K y Ck. = fiu (ver 2.3)
También
x
r
(T/M)
k = 1.9891 x 10-4
( 2.10 )
o2Qk
k en (cal/cm.s.K), y o en unidades Amstrong.
15
k =
R
.
4
5
u -
3
Cv u -
M
2
Cp u
( 2.11 )
2
donde Cv, la capacidad calorífica a volumen constante es (3/2)(R/M)
para gases monoatómicos.
El factor de Eucken se define como el grupo
k
k
Cp
y
(iCv
(iCp
Cv
Pr
Eu es 2.5 segn ( 2.11 ). Entonces
T
5/2
Cp
5
3/2
Cv
3
f
Eu
5/3
2
5/2
3
Este valor coincide con los hallados experimentalmente para gases
monoatómicos. La ecuaciones ( 2.9 ) y (2.10) no se aplican a gases
poliatómicos, los cuales pueden transferir energía en las colisiones
como anergia vibracional. Este hecho puede tenerse en cuenta por
medio de la correlación de Eucken :
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 35
Bu = (k/nCv) = [(9/4)T - 5/4] = [1+ 4.47/uCv]
(2.12)
entonces
(2.13)
Pr = ( f /Eu) = [4^ / (%= - 5)]
Esta ecuación se reduce a la (2.11) para un gas monoatómico (Q= 5/3).
La ecuación modificada de Bucken
k
Eu =
3.52
( 2.14 )
Cv M
= 1.32 +
uCv
da valores de k muy altos mientras que ( 2.12 ) predice valores muy
pequeños excepto para gases polares, para los cuales ambas son altas.
La ecuación
por k.
para estimar
k en mezclas es la misma (2.6) cambiando u
Difusividad Básica.
CDAB
H
[T(1/Ma + 1/Mb)]
= 2.2646x10-®
( 2.15 )
OAB2•DAB
Para la difusión del gas A en el gas B a bajas densidades, suponiendo
que se cumple la ley de los gases perfectos, c=p/RT, la difusividad
gg •
— ~~ •
•
[T® (1/MA + 1/Mb)]
DAB = 0.0018583
2.16 )
P.OAB2-QD
En lais ecuaciones anteriores DAB está en cm2/s, P en atm, T en K, o
en A°, y QD es una función de kBT/cab = T* dada por (2.18) para
moléculas no polares. Para moléculas polares Brokaw recomienda (2.19)
y (2.20) donde, dado que QD es función decreciente de la temperatura,
DAB varia aproximadamente con T a la 1.823
También
H
[T®(1/MA+ 1/Mb)/2]
DAB = 2.663x10-4 .
(2.17)
P.OAB2-QD
donde DAB está en m2/s, P en N/m2 y o en nm.
1.03587
1.76474
Qv= 1.06036 + 0.19300
+
+
T*e.ieei e(e.47e36T*) e(i.e2eeeT*) e(3.se4iiT»)
•VI
*
(2.18)
N C
c
si la molécula es no polar. Para moléculas polares :
Qd
pol»
= QD
no
1.94xl0®U2
6 =
Vfc.Tb
polair
+ 0.196AB 2 /T
= (l/2)(U2/€o3)
-1
(2.19)
(2.20)
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
ü en debyes (10-*-® esu); Vb en cm®/molg ;Tb en kelvin.Vt es el
volumen molar del líquido en su punto de ebullición normal, y TB es
el punto de ebullición normal. Los parámetros son :
€Ae=
(2.21)
1 . 1 8 ( 1 + 1 . 3 Ô 2 )TB
1/3
1.585
VT,
(2.22)
o =
1+1.3 Ó 2
0AB =
\
€AB/kg= C(€A/XB)(6B/IB)3
(2.23)
(OA.OB)
h
(2.25)
ÓAB = [6A.ÓB]
( 2.24 )
Para vapor de agua en aire se tiene :
0.000146
T2-6
PDAB =
^
(2.26)
T + 441
T en grados Rankine, P en atmósferas y DAB en pie2/h.
EJEMPLO 2.1.
Calcule la viscosidad del amoniáco a 0°C. El punto de ebullición
normal del amoniáco es -33.4 °C (240 K).La densidad en su punto de
ebullición es 0.682 g/cm3, es decir Vt> = 17.03/0.682 = 25 cm®/molg.
El momento dipolar es 1.47 debyes.
Solución: por ecuación (2.20)
(1.94x10-®)(1.47)2
6 s (l/2)(U /€o®) « 1.94x10-®*(U /VbTb)=
-— = 0-7
(240)(25)
2
2
de la ecuación (2.22)
2/3
1.585 x 25
o2 =
= 8.36 A° 2
2
1 + 1.3 x 0.70
de la ecuación (2.21)
€
= 1.18(1 + 1.3ó2)Tb = 1.18(1 + 1.3x0.702)240 = 464 K
es decir que a 0°C (273 K), T*= 273/464 = 0.589 = IBT/€.
de lu ecuación (2.3) Qu = 2.10 y de la ecuación (2.4)
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
37
(0.2M0.72)
Qu.p
- 2.10 +
= 2.27
(0.589)
finalmente, de la ecuación (2.8)
H
(17.03 x 273)
U = 2.8693x10-6
= 9.59 x 10-6 [poise]
(8.36)(2.27)
El valor experimental dado
(error de +4.2 % ).
en la
literatura es
9.20 xl0-6
poises
El error promedio hallado al aplicar estas expresiones es de 5.8% y
el máximo es del orden del 14% . Esto nos da una buena indicación
sobre el tipo de predicción que podemos hacer sin información
experimental.
Ahora, se puede lograr una mucho mejor predicción si se dispone de un
solo dato experimental. Tomemos por ejemplo el metano1 gaseoso.
Experimentalmente se ha determinado una viscosidad de 10.13x10-®
poises a 308 K. Las ecuaciones (2.20), (2.22) y (2.21) nos predicen
ó = 0.39 ; o = 3.84 A° y 6/IB = 477 K
Teniendo disponible un dato experimental, la ecuación (2.8) podría
utilizarse en lugar de una de las ecuaciones (2.21) o (2.22).
Normalmente la ecuación (2.22) deberá descartarse dado que la
viscosidad depende más fuertemente del parámetro de tamaño o, que del
parámetro de energía e. Sin embargo, el vapor de metanol está
parcialmete asociado
en el
punto de
ebullición (existe una
concentración apreciable de tetrámeros). Por esta razón en este caso
se puede suponer que el punto de ebullición no da un valor correcto
de €/IB y descartamos la ecuación ( 2 . 2 1 ) . E n su lugar suponemos un
valor de 6, calculamos o 3 y €/IB de la siguiente expresión obtenida
de (2.20)
€/Ib = (1/2)(U 2 /IBÓO 3 )
Estos valores se usan en la ecuación (2.8) para calcular una
viscosidad. El procedimiento se repite escogiendo otros valores de
IB, hasta que las viscosidades calculada y experimental coincidan. De
esta manera se obtuvieron las siguientes constantes de fuerza
revisadas
ó = 0.51 ; o = 3.7A°; e/lB = 406 K
Con estos nuevos valores se predice la viscosidad a 585 K como
19.4x10-6 poises. Si no se hubiera tenido en cuenta el valor
experimental, a 308 K, se habría obtenido 16.9x10-6 poises. El valor
experimentral para T = 585 K es 19.2x10-6 poises, muy buena
aproximación al obtenido basándonos en el dato experimental.
Una forma más sencilla de predecir el cambio de la viscosidad con la
temperatura es observar que, a partir de la ecuación (2.2) o (2.8), u
es directamente proporcional a (T**/Qu) o sea:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
M2/U1 = [Tz/Tl 3*[Qnl/2jo2 ]
Por ser molécula polar €/IB se calcula de (2.21)
Tb = 64.7
= 337.85 K y €/1B = 477 K
T2* = 585/477 = 1.226 .
Qu2 = 1.439
Ti* = 308/477 = 0.6457
Q m i = 2.006
H2 = (10.13x10-*)(585/308)**(2.006/1.439) = 19.46x10-* poise
EJEMPLO 2.2.
Calcular el coeficiente de difusión entre
dióxido de azufre a 50 °C y 1 atm.
el cloruro
de metilo
y
Solución.
Llamemos el cloruro de metilo A y el dióxido de azufre B. A partir de
las propiedades en el punto de ebullición y los momentos dipolares
calculemos las constantes de fuerza para cada sustancia (ecuaciones
(2.20), (2.22), (2.21).Estos son:
T H A = - 2 4 *C;
TBB=-10
°C;
V A = 4 7 . 5 cm^/molg; V B = 4 4 . 8 cm^/molg;
UA=1.90
debye; UB=1.61 debye;
oa = 3.833 A°; €A/Ib = 404 K ; Óa = 0.54
OB = 3.818 A°; €B/Ib = 387 K ; Ób = 0.435
de (2.23)
OAB = (OAOB) = (3.833x3.818)* = 3.85 A°
€AB/IB = C(€A/LB)(€B/K8)]H = (404x387)* = 395 K
ÓAB = (ÓAÓB)* = (0.54 x 0.435 ) = 0.485
a 50 °C= 323 K , T*= 232/395 = 0.818
A partir de la ecuación (2.18) QD = 1.595 ; y de (2.19)
(0.19)(0.485)2
Qd.p = 1.595 +
= 1.650
0.818
Los pesos
moleculares del
CH3C1 y
S02 son
50.2
respectivamente, o sea, a partir de la ecuación (2.16)
y
64.1
%
[3233-(1/50.5 + 1/64.1)]
DAB = 0.0018583
= 0.083 cm^/s
(1)(3.85)2(1.650)
El valor experimental reportado es 0 . 0 7 6 9 cm2/s (error + 7 . 9 %). En
general los errores son ligeramente mayores que para los cálculos de
viscosidad y algo menores que para las estimaciones de conductividad
térmica.
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
39
as
EJEMPLO 2.3.
Calcular la difusividad Argón-Oxígeno a 293 K y 1 atm. los que tienen
temperaturas criticas 151.2 K y 154.4 K respectivamente y presiones
criticas 48 y 49.7 atm. Experimentalmente se ha encontrado un valor
de 0.2 cnP/e.
Solución: usando la ecuación
apéndice del Bird:
(2.16) y
las tablas
B-l
y
B-2
del
Ma = 39.944 ; oa = 3.418 A°; €a/Ib = 124 K
Mb = 32 ;
ob = 3.433 A°; €b/ib = 113 K
OAB= 3.426 A°; €ab/ib = 118.5 K ; £bT/€ab = 2.47 ; Qd = 1.003
H
[(293.2)3(1/39.944 + 1/32)]
= 0.188 cm2/s
DAB = 0.0018583
(1.0)(3.426)2(1.003)
Usando la ecución (2.18)
QD = 1.0015
EJEMPLO 2.4.
Si conocemos la difusividad a TI,
sistema a T2 puede estimarse:
la
difusividad
para
el
mismo
DAB2 = ÜABl [T2/TI]3/2 [o^/otc]
Para el sistema aire - vapor de agua entre 14.62 °C (hueva) y 25.9 °C
(conocida = 0.258 cm2/s)
kTi
299.1
=
€AB
= 1.068
QDI = 1.395
Í.027
Qd2 = 1.421
[(809.1)(97) y*
kT2
287.8
=
€AB
=
[(809.1)(97)]*í
Estos valores se obtuvieron por interpolación lineal. La difusividad
buscada será entonces :
DAB = (0.258)(287.8/299.1)3/2(1.395/1.421) = 0.239 cm2/s
ECUACIONES RECOMENDADAS
LIQUIDOS.
PARA PREDECIR
PROPIEDADES DE
VISCOSIDAD.
La ecuación de Eyring es
U = (NA/V) ecs.s Tb/T)
TRANPORTE
EN
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
donde N = Número de Avogadro. V = Volumen molar, h - Constante de
Planck, Tb = Temperatura de ebullición normal.
Esta ecuación se limita a líquidos Newtonianos y no se comporta bien
para moléculas largas o cerca al punto critico. Generalmente predice
valores dentro de un margen del 40 % .
El cálulo de la viscosidad de una mezcla de composición conocida, en
la cual las moléculas no están asociadas se hace:
n
r
Ul/3 r l
U1l/3xi
xi : Fracción molar de los componentes en la mezcla.
CONDUCTIVIDAD TERMICA.
Para predecir la conductividad
Kingrea recomiendan la ecuación
térmica de
k = (88.0 - 4.94H)xl0"3 [0.55/Tr]N
los líquidos
CPC^/S
AS*
Robbins
y
( 2.27 )
ABvb
¿v^g* =
+ R ln(237/Tb)
Tt
donde k = Conductividad térmica W/m.K.;
Tr = Temperatura reducida T/Tc
Cp = Capacidad calorífica molar, J/molg.K.
c = Concentración molar total, molg/cm3
A H v b = Calor molar de vaporización a Tb, J/molg.
Los parámetros H y N están tabulados en el libro de Reid y Sherwood.
Sato recomienda :
11.05xl0-3Cp Tb
[c/cb]*/®
(2.28)
k =
Vh CpbT
donde b se refiere a condiciones en el punto normal de ebullición y
las unidades son como en (2.27).
DIFUSIVIDAD.
Para la difusión de moléculas grandes y esféricas o partículas en
líquidos, como decir moléculas de polímeros o partículas coloidales,
la ecuación de Stokes-Einstein da buenos resultados
Dabmb/IBT = 1/6tcRA
CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE.
41
donde Ra es el radio de la molécula difundente A. Para la difusión de
moléculas de
tamaño normal
no existe teoría que provea una
concordancia razonable con la experimetación.
Hay relaciones empíricas que dan buenas predicciones. La más conocida
es la de Wilke Chang
(«BMB)*T
<(V2.29 )
DAB = 7.40x10-8
H6Va®-S
DAB = Difusividad, cm^/s.
|j = Viscosidad de la solución cp.
unidades de m3/gmol. Vale 75.6 para agua como soluto.
$B = parámetro de asociación para el solvente.
MB = peso molecular del solvente.
T = Temperatura en erados kelvin.
El parámetro" $b toma el valor de 1 para solventes no asociados como
benceno, eter etilíco, heptano, octano, etc.; 1.5 para etanol; 1.9
para metanol, y 2.6 para agua como solvente.
La ecuación de Wilke Chang provee estimaciones que generalmente están
dentro del 10 al 20 % de los valores experimentales.
La ecuación (2.29) da valores de DAB cuando A está presente en bajas
concentraciones. Para la mayoría de las soluciones DAB varía con la
concentración y no existen ecuaciones que predigan esta variación
satisfactoriamente. Sin embargo, nos permite predecir la variación
con la temperatura el notar que para los mismos componentes
[DABU /
T]I
=
[Dabu /
T]Z
DIFUSIVIDAD EN SOLIDOS.
Un componente en una mezcla sólida puede difundirse a través de otro
a una velocidad medible, si hay un gradiente de concentración
conveniente y la temperatura es suficientemente alta. Los efectos de
difusión en sólidos son muy importantes en metalurgia asi:
La profundidad a la cual el carbón puede penetrar en un tiempo dado
desde la superficie de un acero sometido a endurecimiento es
gobernado por las leyes de difusión. La velocidad de reacción en
algunos procesos químicos está determinada por la difusión en
sólidos, pero el número de aplicaciones de importancia en Ingeniería
Química es menor que las relacionadas a la difusión en líquidos y
gases.
El orden
sistema.
de magnitud
está entre
10~e cm2/s
y 10 -1
cm2/s según el
Los coeficientes de difusión para una pareja de sólidos no puede ser
predicha exactamente por la teoría, se puede hacer una estimación
cualitativa usando la teoría de Eyring, en la cual se postula que la
difusión es un proceso activado. Un intercambio de átomos ocurre en
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
la estructura de un sólido cuando los átomos de un plano dado vibran
al rededor de sus posiciones de equilibrio. Una fracción estadística
de éstos vibra con energías mayores que la de activación y saltan a
nuevas posiciones de equilibrio, a "agujervs" adyacentes en la red
estructural; la velocidad de transferencia de masa es directamente
proporcional a
R
DAB
= De exp I
L
AU
RT
-I
que es una forma típica de describir un proceso activado y que nos
indica que la difusividad aumenta rápidamente con la temperatura.
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION. 57
Kl tema de fenómenos de transporte está intimamente ligado con la
predicción de variaciones de temperatura, concentración y/o velocidad
dentro de un medio. Para obtener estos perfiles se utilizan dos
conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o conservación y
(2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo.
Recordemos que el balance general para \in sistema es:
Velocidad
de salida
-
Velocidad +
de entrada
Velocidad de
acumulación
=
Velocidad de
generación
o abreviadamente:
Salida - Entrada + Acumulación = Generación.
(3.1)
El sistema se define como la porción de universo bajo estudio. El
resto del universo son los alrededores. El sistema puede ser una
cantidad especifica de materia o de volumen (frecuentemente llamado
volumen de control). La velocidad de entrada se refiere a todo el
flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los
limites del sistema, y la velocidad de salida se refiere a todo flujo
que deje el sistema a través de sus limites. La diferencia de la
segunda menos la primera es la velocidad neta de salida. La velocidad
de generación se refiere a toda producción dentro del sistema, y la
velocidad de acumulación se refiere a la velocidad de cambio con el
tiempo de la cantidad total de masa, energía o cantidad de movimiento
en el sistema y puede ser positivo o negativo.
Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo
(balances globales
o macroscópicos), a un incremento (balance
incremental), o a un elemento diferencial (balance diferencial). Las
ecuaciones como
la (3.1)
son también
denominadas leyes
de
conservación.
Podemos apreciar mejor el significado de los términos de la ecuación
(3.1) analizando el siguiente caso:
EJEMPLO 3.1.
Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con un caudal
máBico mi', kg/s. Al mismo tiempo el liquido sale a razón de ¡m',
kg/s. El área transversal del tanque es S y la altura del nivel del
liquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver figura 3.1). Al
aplicar la
ecuación de balance al liquido dentro del tanque
observamos que la velocidad de generación es cero puesto que no se
produce masa dentro del tanque; pero la velocidad de acumulación no
será cero a menos que mi' = mz' o sea que la magnitud de los caudales
hacia y desde el tanque sean iguales. Si tal fuera el caso tendríamos
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
una situación de estado estable puesto que no
cantidad de liquido en el tanque con el tiempo.
hay
cambio
en
la
FIGURA 3.1
Sin embargo, si suponemos que la cantidad entrando mi' es mayor que
la cantidad que sale mz', el nivel del liquido en el tanque cambiará
con el tiempo a medida que el tanque se llena y la velocidad de
acumulación será mayor que cero. Si la masa total del sistema es M y
la densidad de liquido es [, la velocidad de acumulación es:
dM
d(fSz)
dt
dt
dz
^
dt
y el balance global es entonces:
dM
m2' - mi' +
= 0
dt
EJEMPLO 3.2.
Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del
tanque el cual permanece bien agitado, de tal manera que puede
considerarse velocidad de reacción uniforme dentro del mismo.
Denominemos A la especie producida en la reacción, y su velocidad de
producción por unidad de volumen es TA (masa de A por unidad de
volumen y unidad de tiempo). Entonces la velocidad de generación será
rA-V, donde V es el volumen de fluido en el tanque. Supongamos que la
corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal manera
que la velocidad másica de entrada de A es MAI'. Si MA2' representa
la velocidad de salida de la especie A, la ley de conservación para
la especie A será:
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO- LEYES DE CONSERVACION.
45
dhU
IBAS* - MAL' +
= TA.V
dt
salida - entrada + acumulación = generación.
En el ejemplo 3.1 no podía haber generación puesto que la masa total
debe conservarse; pero si una reacción química está ocurriendo dentro
del liquido y produciendo la especie A la generación no es cero y la
masa de A no se conserva. En este último caso debemos distinguir
entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la
cantidad que atraviesa los limites del sistema y el otro la
generación de A ocurriendo en cada punto dentro del sistema.
EJEMPLO 3.3.
Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 156 lb/hr, se agrega
cloruro de sodio a 30 lb/hr. La solución resultante deja el tanque a
120 lb/hr; debido a la agitación la concentración de la solución de
salida es igual a la del tanque. Hay 100 Ib de agua pura en el tanque
al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se
mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de
salida (fracción másica de sal) después de una hora.
Solución :
NaCl = A;
1= entrada;
2= salida. Un balance para el componente A:
CÍMA
mA2' - mAi* +
= 0
(i)
dt
Donde MA = MWA siendo M la masa total dentro del tanque en cualquier
momento t.
dMwA
IDA' = nü^WA ;
M2'WA2 -
MI'WAI +
= 0
dt
dwA
dM
+ wa
120WA - 30 + M
dt
= 0
dt
usando un balance total:
dM
mz' - mi* +
dM
= 0
120 - (150+30) +
dt
dM
= 60 lb/hr
= 0
dt
(tasa de acumulación)
dt
de donde
M = 60t + Me
;
Me = 100 Ib
remplazando en (i) y separando variables se obtiene:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
*
0
dt
W
60t + 100
A2
0
dWA2
180WA2 - 30
1
60t + 100
1
60
100
180
30
30 - 180.WAS
despejando y simplificando :
WA2
=— [ i - [---—]* 1
6
L
L 6t + 10 j -I
para t = 1 hr, WAZ = 0.126 = 12.6 % en peso de NaCl.
para t ^ b e
EJEMPLO
WA2
1/6
3.4.
TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL.
Una corrriente fluida de velocidad volumétrica de flujo constante Q
se vierte en un rio. La corriente contiene un material residual A de
concentración CA©,
que es inestable y se descompone con una
velocicidad proporcional a la concentración, de acuerdo con la
expresión - RA = k v C A
Con el fin de reducir la contaminación, se ha decidido hacer pasar el
fluido a través de un tanque de retención, de volumen V, antes de
verterlo al río. En el instante cero, el fluido entra en el tanque
vacio, que puede considerarse que esté perfectamente agitado, y no
sale de él hasta que el tanque está totalmente lleno. Deduzca una
expresión para la concentración de A en el tanque, y en la corriente
que sale de él en función del tiempo.
Solución: En el periódo 0 < t < V/Q durante en el cual el tanque se
está llenando, un balance molar macroscópico de la especie A da:
dÜA
mA2
-
mAi
+
=
RA
dt
MA = QtCA: cantidad total de A en el tanque en cualquier instante.
CIMA
dt
= OCAS
- kvCAQt
= QCA©
-
kvMA
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
r
"A
<3MA
F*
QCA0 -
KVMFT.
OCA® - kvÜA
dt = t = - ( l A v ) ln
-
LO
57
JE
Qca©
MA = (QcAe / kv) [1 - exp (-kvt)]
de donde
y
(CA/CAO) = [1 - exp (-kvt)]/(kvt)
para
t < V/Q
Cuando t = V/Q, CA = CAÍ que es la concentración para el instante en
que el tanque se llena.
( C A Í / C A © ) = [1 - exp (-kvV/Q)]/(kvV/Q)
Luego de que el tanque se llena tendremos:
d(cAV)
- Q C A 0 - QCA - k v C A V
;
V(dcA/dt) = OCA© - (QfkvV)cA
dt
o sea :
°A
rt
VdCA
dt
°AT
OCA0 - (Q + kvV)CA
V/Q
QcAe - (Q + kvV)cA
Ct - (V/Q)] = - [V / (Q + kvV)]ln
Oca© -
Cuando
t - œ
CA
En el limite
CA -
= CA»
y
[QCAÔ -
CA- = [OCA© /
(Q
( Q + KVV)CAF
(Q + KVV)CA]
-
0
+ kVV)]
CA»
= exp { - [ ( Q + k v V ) / V]*[t - V/Q]}
CAF - CA=>
3 . 1 APLICACION
DE LOS
CALOR POR OGNDUCCION.
BALANCES DIFERENCIALES
A LA TRANSFERENCIA DE
Consideremos el sistema unidimensional mostrado en la figura 3.2. En
el caso general la temperatura puede estar cambiando con el tiempo y
puede haber fuentes de calor dentro del cuerpo. Es posible hacer el
siguiente balance de energía en el elemento con espesor dz:
[Energía calorífica conducida en la dirección positiva de z por la
cara derecha] - [Energía calorífica conducida por la cara izquierda]
+ [Cambio de energía interna (acumulación de energía calorífica)] =
[Calor generado dentro del elemento].
(3.2)
Estas cantidades de energía están dadas como sigue
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Calor saliendo por la cara ubicada en z + dz :
ÓT
=
Q
-kS
z+dz
6z
8T
r
= -S k
z+dz
L
6
+
5Z
ö2
r
6T
k—
L sz
dz '
FIGURA 3.2
Calor entrando por la cara ubicada en z :
ÓT
Q
=
- kS
Óz
La energía generada dentro del elemento es
$HSDZ
donde $H es la
generación de energía por unidad de volumen y unidad de tiempo por
fuentes de calor distribuidas.
Cambio de energía interna :
6T
fCpS
dz
ót
(en el caso de sólidos y líquidos los calores específicos a presión y
volumen constantes son iguales y la velocidad de incremento de la
energía interna se refleja en la velocidad de almacenamiento de
energía en el elemento de volumen).
Combinando las relaciones anteriores:
6T
V>J.
ó
V
óT
OI
6T
6z +
óz Lk 6z -1dzJ + kS 6z
+ fCpS Ót
[
rr
ÓT
O i n-i i-i
dz =
$HSdz
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
Eliminando términos
elemento Sdz :
semejantes y
ó
dividiendo
6T
UX ,
-I
el
volumen del
ÓT
U1
[
r
por
57
k
+ fCp
=
óz
J
ót
Esta es la ecuación de calor unidimensional. Para tratar el flujo de
calor en más de una dimensión basta con tener en cuenta el flujo de
calor en un volumen diferencial de aristas dx dy dz:
ÓQx
ÓQy
+
ÓQas
+
óx
ÓT
+
= $HS
fCpS
Óz
óy
(3.3)
Ót
El resultado, para conductividad térmica constante es, recordando que
a = k/fCp
62T
62T
Ó2T
óx 2
óy 2
Óz2
ÓT
( 3.3a )
k
Ót
Entre mayor sea el valor de a más rápidamente se propagará el calor a
través del material. Un valor grande de a se originará ya en un valor
grande de k lo que indica una rápida razón de transferencia de
energia o debido a un valor pequeño de la capacidad calorífica
térmica fCp lo que implica que poca cantidad de la energia que se
mueve a través del material se absorberá calentando el material.
La ecuación (3.3a) puede abreviarse usando la nomenclatura vectorial:
ÓT
*
a Ót
$H
1
div2 T +
=
k
(3.3b)
Esta expresión
puede modificarse
a coordenadas cilindricas o
esféricas solo conociendo la expresión para el operador laplaciano en
tales sistemas coordenados:
coordenadas cilindricas
1
Ó
r
r
Ór L
div2 T =
r
ÓT -,
1
Ó2T
62T
r2
Ó©2
óz2
+
ór -1
(3.4)
coordenadas esféricas
1
Ó
ÓT
1
Ó
r2
div^T =
r 2 Ór
Ó2T
ÓT
sen6
Ór
r2sen9 68
(3.5)
06
r2sen29
Ó02
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Estas ecuaciones
pueden simplificarse
adecuadamente para
los
diferentes problemas corrientes de la Ingeniería, como tendremos
oportunidad de observar más adelante.
FIGURA 3.3
FIGURA 3.4
TRANSPORTE DS ENERGIA CON GENERACION INTERNA GEOMETRIA CILINDRICA
Consideremos un elemento cilindrico de combustible nuclear dentro de
un reactor. Éste elemento genera calor debido a la reacción nuclear a
velocidad $H [energía/volumen*tiempo]. Aunque en la práctica, $H
varia con la posición, suponemos que tiene el mismo valor en todos
los puntos de la barra. Este calor debe removerse rodeando el
elemento de combustible con un medio refrigerante que mantiene la
temperatura de la superficie a alguna temperatura constante To. Se
desea conocer la velocidad de flujo de calor hacia el refrigerante
por unidad de longitud del cilindro y la máxima temperatura en el
mismo.
En estado estable, la ecuación de balance de energía (3.1) se reduce
a:
[ Velocidad de salida de calor ] - [ velocidad de entrada de calor ]
= [velocidad de generación de calor ].
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
65
Apliquemos esta expresión a un elemento de volumen de forma anular
dentro del cilindro de combustible, tal como se ilustra en la figura
3.5. La longitud del elemento es L y su espesor A r - El volumen de
este elemento
FIGURA 3.5. Envoltura cilindrica sobre la que se aplica el balance de
energía para obtener la distribución de temperatura con generación
interna.
de volumen ubicado entre r y r + A r podría calcularse como la
diferencia entre el volumen del cilindro exterior de radio r+Ar y el
volumen del cilindro interior ubicado en r, o sea:
AV
=
Tt(r+AR)2L - nr 2 L
=
2nrAcL
+
ti(AZL> 2 L
Seleccionando A r suficientemente pequeo, (Ar) 2 lo será an más y
AV
=
2nrArL
El calor entra a través del área cilindrica 2itrL y sale a través del
área concéntrica 2rc(r+Ar)L, de manera que el balance de energía se
puede escribir como:
- 2TtrLqr
2ltrLqr
r+Ar
=
2rcrArL$H
r
Dividiendo por 2rtrLAr y tomando el limite cuando A r tiende a cero,
y simplificando obtenemos
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
d(q*>r)
$H
r dr
Aquí podemos resolver directamente por integración entre r=0 y r=r
para obtener la distribución de la densidad de flujo de calor. Como
esperamos que la temperatura alcance un máximo en r=0, el gradiente
dT/dr, y por tanto la densidad de flujo serán cero en r=0. Sin
embargo, y como la ecuación (3.5) contiene d(q^r) como la diferencial
en lugar de qr>, es preferible visar como condición límite el que
qrr I
= 0
I r~ O
q*> diferente de ® en r = 0.
Entonces:
d(q^r) =
RQR = («HT 2 )/2 ; de donde
$H.rdr
q*. = ($H.r)/2
Introduciendo la ley de Fourier
dT
- k
= (*H.r)/2
dr
Integrando sabiendo que T = To para r = R
FR
r
dT
r dr
($H/2k)
=
La expresión para la distribución de
combustible es entonces:
temperaturas en
la barra
de
r2
(T - To) =
(fc/4k) R
2
1
(3.6)
R2
Este perfil
de temperaturas es parabólico, con el máximo de
temperaturas ocurriendo
en el centro del cilindro. La máxima
diferencia de temperaturas es
$h.R2/4k
y aumenta con el cuadrado
del radio del cilindro.
FLUJO TOTAL DE CALOR EN LA PARED.
Es útil calcular la pérdida total de calor a través de la superficie
del cilindro. Esta se puede calcular como el producto de la densidad
de flujo por el área de transferencia:
Qto«*I
=
(qr/R)(2ITRL)
=
(&H.R/2)(2*RL)
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
53
3omo es de esperarse es igual al calor total generado en el volumen:
Qtot»x
=
$H (ít R 2 L)
3.2 MANANTIALES CALORIFICOS.
MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN ELECTRICO
Consideremos un
alambre de
sección circular
con radio R y
;onductividad eléctrica K» (ohm.cm)-1=l/[«,donde [« es resistividad
íléctrica. Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya
iensidad de corriente es I amp/cm2. La transmisión de la coriente
íléctrica es un proceso irreversible, y parte de la energía eléctrica
3e transforma en calor .
la velocidad de producción de calor debido a la disipación eléctrica
?or unidad de volumen viene dada por la expresión:
I2
=
=
I2.f.
[W/cm3]
K.
3i se supone que el aumento de temperatura en el alambre no es
grande, no
es preciso
tener en cuenta la variación de las
conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura.
MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN VISCOSO.
Consideremos el flujo de un fluido Newtoniano incompresible a través
iel espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales.
M girar el cilindro exterior, las capas cilindricas del fluido rozan
con las capas de fluido adyacentes dando lugar a una producción de
calor, es decir que la energía mecánica se degrada a energía
calorífica. La magnitud de la intensidad de manatial calorífico
depende del gradiente local de velocidad; cuanto más rápidamente se
nueva una capa de fluido respecto de otra adyacente, mayor será el
calentamiento producido por disipación viscosa. T será función solo
de r.
Si el espesor b de la rendija es pequeño comparado con el radio R del
cilindro exterior, el problema puede resolverse aproximadamente
utilizando un sistema simplificado, es decir, despreciando los
efectos de la curvatura y resolver el problema en coordenadas
cartesianas. En este caso el manatial calorífico de origen viscoso
viene dado por:
=
En el caso más general:
" Txa¡ (ÓVss / Ó X )
=
li(ÓV»/ÓX)2
- [T : div v ] =
$u
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
ÔVx
r ÔVy
ÔV* . 2
-2
p
$u/U = 2
ôx
ôy
ÔVy
ÔVx
i
L ÔZ
ôx
J
ôy
ÔV*
ÔVy
ÔVx
ÔVB
2
ÔVx
ÔVy
ÔV*
ôy
Ôz
ÔZ
ÔX
3
Ôx
ôy
ôz
Ecuación (3.7).
El perfil de velocidad para el flujo laminar estacionario
fluido de viscosidad constante en una rendija, es lineal:
de
un
espontáneamente
la
u ( V/b ) 2
Al calcular
expresión:
el perfil
de
temperatura
aparece
u V2
Br
=
k(T¿> - To)
o número de Brinkman, que es una medida de la importancia del
calentamiento viscoso con relación al flujo de calor que resulta de
la diferencia de temperatura comunicada (Tb - To). Para Br>2, existe
una temperatura máxima en un punto comprendido entre las dos paredes.
MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN QUIMICO.
En una reacción química se produce o consume energía calorífica
debido a la reordenación de los átomos de las moléculas reaccionantes
para dar lugar a los productos de reacción. La velocidad de
producción de energía , calorífica por unidad de volumen en las
reacciones químicas es generalmente una función compleja de la
presión, temperatura, composición y actividad del catalizador.
Si consideramos
como una función exclusiva de la temperatura, y
suponemos variación lineal con esta variable
T
$o
=
- To
$ol
Ti - To
donde T es la temperatura local del lecho catalítico, supuesta igual
para el catalizador y el fluido (aunque la diferencia de temperatura
entre el catalizador y el fluido no siempre es despreciable), y $oi y
To son constantes empíricas para unas determinadas condiciones de
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
entrada al reactor. Usando métodos de cálculo
obtenerse expresiones más realistas para $o.
adecuadas
55
pueden
MANATIAL CALORIFICO DE ORIGEN NUCLEAR.
Consideremos un elemento combustible nuclear de forma esférica de
radio Rf, revestido con una vaina esférica de aluminio, cuyo radio
externo ee Ro- La principal fuente de energía calorífica en el
reactor se debe a las colisiones entre loe fragmentos de fisión
producidos, que poseen energías cinéticas elevadas, y los átomos del
material fisionable. Este manantial volumétrico de energía calorífica
no será uniforme en el interior de la esfera del material fisionable,
sino máximo en el centro de la misma. Podríamos representar este
manantial mediante una función parabólica:
ín
=
$ne [ 1 - m(r/Rf)2 ]
fcne es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro
de la esfera, y m es una constante adimensional comprendida entre
cero y uno.
3.3 BALANCES DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO GENERALIZADOS.
LA ECUACION DE CONTINUIDAD:
Esta ecuación se deduce aplicando un balance incrementa1 sobre un
volumen estacionario de aristas A k » A y , A f c . Luego tomando el límite
cuando z tiende a cero se obtiene una ecuación diferencial para el
flujo de materia. Recordando la expresión (3.1), según la figura
(3.2), tomando el par de caras perpendiculares al eje x:
Velocidad de salida de materia a través de la cara en (x+Ax):
(fVx)
Velocidad de entrada de materia a través de la cara en x es:
Ay
(fv*)
Az
X
Velocidad de acumulación de ma eria en el elemento de volumen:
(ó(Vót)Ax A y
A i
Escribiendo expresiones para salida y entrada de materia en las
direcciones y e z, encuadrándolas en la expresión (3.1), dividiendo
por el volumen A x A y A z . y haciendo tender a cero las dimensiones
de las aristas obtenemos:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Ôf
ô
r ÓÔ
_
=
Ôt
6
6
Ô
fVx +
[Vy
L Ôx
ÔX
+
Óy
l
(3.9)
fv»
Ôz
6z
J
o usando notación vectorial:
6
r
=
- ( div. fv )
(3.10)
Ót
El vector fv es la densidad de flujo de materia.
Podemos escribir (3.9) como:
Ôf
Ôf
+
ôt
V
Ôf
+ Vy
X
ôx
—
Ôf
+
ôy
va
=
-
ÔVx
ÔVy
ÔV»
ôx
ôy
Ôz
(3.11)
f
ôz
o abreviadamente:
OL
- f ( div.v )
( 3.12 )
Dt
donde (Df/Dt) es la derivada substancial de la densidad, que es la
derivada total con respecto al tiempo para un recorrido que sigue el
movimiento del fluido, es decir cuando
dx
dy
dz
dt
' dt
dt
son simultáneamente
v* ; v y ; v* , las componentes de la velocidad
del observador y, respectivamente, del fluido.
Recordemos que estas expresiones ( 3.9 ) a ( 3.12) son sencillamente
una formulación de la ley de conservación de la materia.
Si el fluido es de densidad constante ( incompresible )
div.v
= 0
( 3.13 )
ECUACION DS MOVIMIENTO.
Para un elemento de volumen como el de la figura 3.6, se puede
escribir una expresión modificada de la ecuación ( 3.1) como balance
de cantidad de movimiento:
Ecuación (3.14)
Velocidad de
salida de
cantidad de
movimiento
Velocidad de
entrada de
cantidad de
movimiento
Velocidad de
acumulación
cantidad de
movimiento
Suma de fuerzas
que actúan
sobre el
sistema
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
57
Z
X
FIGURA 3.6
Consideremos inicialmente las velocidades de flujo de cantidad de
movimiento en la dirección z ( figura 3.6 ). La cantidad de
movimiento entra y sale del elemento de volumen en virtud de dos
mecanismos : por convección (es decir, debido al flujo global del
fluido) y por transporte molecular (o sea a causa de los gradientes
de velocidad).
La velocidad con la que entra por convección el componente z de la
cantidad de movimiento por la cara ubicada en z es
f va¡
v«
Ay
Ax
y la velocidad con la que sale por z + A z es
Ay
[ Va V«
Ax
La velocidad a la que entra por y es
f Vy
V»
y
Ax
Az
Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares.
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
De igual forma, la velocidad con la que el componente z de la
cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara
ubicada en z es
Ax
T««
Ay
y la que sale por z + A z es
Ta«
z->-/\a¡
Ax
Ay
La velocidad con la que entra por y es
TY*
para las otras tres
(figura 3.7).
Ax
caras se
Az
pueden obtener
expresiones similares
Tengase presente que Tym es la densidad de flujo de cantidad
movimiento z a través de una cara perpendicular al eje y.
de
FIGURA 3.7. Dirección de transporte del componente z de la cantidad
de movimiento a través de las caras de un elemento de volumen
AxAyAz.Obsérvese que, como antes, estas densidades de flujo de cantidad de
movimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por tanto T*X
es el
esfuerzo normal que actúa sobre la cara z, T m es el esfuerzo
tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara x en la dirección z,
y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas.
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
59
Ahora, hablando de las fuerzas que actúan sobre el elemento, las más
usuales e Importantes son las originadas en la presión P del fluido y
la fuerza gravitacional por unidad de masa. La resultante de estas
fuerzas en la dirección z será
(P.
-
Ax. + fg»AzL
P«+¿X*)AS
AX_AZL_
Finalmente la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento z en
el elemento es
Ófv»
A x A y Az.
ót
Substituyendo todas estas expresiones en la ecuación (3.10) dividimos
por el volumen y hacemos tender a cero. La componente z de la
ecuación de movimiento aparecerá:
6
6
Ót
f v«
6
[VxV«+
=
6x
Ó
óy
Ó
óp
T-yx +
óx
óz
ó
Txz +
[ VgsVm
fVyVa +
+ fgae
Taas
Óy
(3.15)
Óz
óz
Las componentes x e y que pueden obtenerse de una manera análoga son:
Ó ( fVxVx )
Ó( fVx)
ót
+
Óx
Ó
+
ÓX
Ó
Tyx +
Óy
Ó
óx
Ó
Txy +
Óx
Ó
V«Vy
óz
óp
Ó
+ fgy
Txry
óz
(3.16)
fgx
fVyVy +
óy
Tyy +
Óy
+
óx
|~VxVy+
ót
ó
Óp
ÓZ
=
óz
T*x
Ó
f Vy
ó ( ("ViVx )
+
óy
Ó
Txx
ó ( (VyVx )
óy
(3.17)
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Las magnitudes [vx, fvy, fvB son las componentes del vector (V; de
igual forma gx,
g y , g» son las componentes de la aceleración
gravitacional g. Por otra parte
ÓP
—
—
ÓP
ÓP
_ _ _ _
f
óx
óy
son las componentes del vector divp
Los términos
[vxvx, fv*vy, fv*v«, f vyv», etc. son las nueve
componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad de
movimiento
f w que es el producto diádico de fv y v (diadas son los
tensores que
resultan de multiplicar entre si dos vectores).
Análogamente, Txx, Txy, Tx», rym , etc., son las nueve componentes de
T que es el " tensor esfuerzo".
Combinando las ecuaciones (3.15) a
(3.17) en forma de ecuación vectorial:
6
|V
=
_ [ div. f w ] - div p - [div.T ] + fg
(3.18)
6t
-1-
- 2 -
-3-
-4-
- 5 -
Cada términode la expresión anteriorsignifica:
- 1 Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de
volumen.
Velocidad de ganancia
- 2 convección, por unidad de volumen.
- 3 Fuerza de
volumen.
de
cantidad
de
movimiento
por
presión que actúa sobre el elemento por unidad de
- 4Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte
viscoso por unidad de volumen.
- 5- Fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de
volumen.
Lasexpresiones
[ div.fv v 3
y
[ div.T 3 no son divergencias
simples debido a la naturaleza tensorial de f w y T pero indican
velocidad de pérdida de cantidad de movimiento por unidad de volumen
debido al flujo del fluido.
Las ecuaciones (3.15) a (3.17) pueden reescribirse en
derivadas substanciales y, sumadas vectorialmente, dan:
términos de
Dv
r
Dt
-1-
=
- div p
-2-
-
[ div.T 3 +
-3-
fg
-4-
(3.19)
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
dasa por unidad de volumen multiplicada por aceleración.
- 2 -Fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen.
- 3 - Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen.
- 4 -Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen.
Vemos por lo tanto que el balance de cantidad de movimiento
totalmente equivalente a la segunda ley del movimiento de Newton.
es
Con el
fin de utilizar estas ecuaciones para determinar las
distribuciones de velocidad hay que expresar los distintos esfuerzos
en función de los gradientes de velocidad y las propiedades del
fluido:
ÓVx
Tx* =
-
r
2m
+
(2/3)M - k
(div.v)
(3.20)
+
(2/3)m - k
(div.v)
(3.20 a)
ÔX
ÔVy
Tyy
= -
2(J
ôy
ÔVa
= - 2m
(2/3) - k
(div.v)
(3.20 b)
6z
k es en estas ecuaciones la viscosidad de conjunto que es cero para
los gases monoatómicos a baja densidad y tiende a cero para gases
densos y líquidos (Hirschfeider)
Txy
Tym
=
=
TJSX =
Tyx
T xy
=
~
- ~
Txas =
ÔVx
ÔVy
ôy
ÔX
ÔVy
ÔVa
ÔZ
ôy
ÔVss
ÔVx
ÔX
ÔZ
(3.21)
M
(3.21 a)
M
(3.21 b)
- M
Estas seis ecuaciones constituyen un planteamiento más general de la
ley de Newton de la viscosidad y se aplican a casos complejos de
flujo, en los cuales el fluido circula en todas direcciones. Cuando
el fluido circula en la dirección x entre dos láminas perpendiculares
a la dirección z (como se presenta en la figura 1.4a) de forma que vx
es función exclusiva de z, de esta serie de ecuaciones se obtiene
61
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
que es idéntica a la ecuación (1.8). Por tanto la definición de
viscosidad que se dió en el capitulo 1 está de acuerdo con esta
definición más general.
Reemplazando estas ecuaciones en las de movimineto hacen, junto con
las de continuidad, la de estado para la presión, la de variación de
la viscosidad con la densidad, y las condiciones iniciales y limite,
el conjunto de expresiones que determinan completamente la presión,
densidad y las componentes de velocidad para el flujo isotérmico de
un fluido.
Rara vez se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el
planteamiento de problemas de flujo, sino que generalmente resulta
más conveniente emplear formas restringidas de las mismas.
i) Para u y f constantes:
Dv
r
=
_ ¿tivp + (i div2 v + fg
(3.22)
Dt
Conocida como ecuación de Navier
- S
totee.
En esta expresión se resumen 27 términos ( ver apendice A.5.2 )
C div . T ] =
ii) para
0
o sea efectos viscosos despreciables:
Dv
f
=
- div f +
fg
(3.23)
Dt
llamada ecuación de Euler.
BALANCE DB ENERGIA MECANICA.
Deducimos a continuación una ecuación de
por unidad
de masa ífiv2 para obtener
interconvereiones de energía mecánica que
en movimiento. Se comienza por formar el
velocidad v con la ecuación de movimiento (
variación para la energia
una descripción de las
tienen lugar en un fluido
producto escalar de la
3.19 )
D
(Jj v 2 ) = -(v.divp) - (v.[dlv.T]) + f(v.g)
f
(3.24)
Dt
Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la
enersía cinética por unidad de masa, Hv 2 , para un elemento de fluido
que se mueve con la corriente. Usando la ecuación de continuidad
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
<3.9) y separando en
presión:
dos términos
cada contribución
viscosa y
63
de
6
( H fv* ) = -( div H f"v2v ) - ( dlv.pv ) - p( -div.v ) 6t
-1-
-2-
-3-
- 4 -
- ( div.Cr.v] ) - ( - T : d i v v ) + f( v.g )
-5-6- 7 de energía
cinética por
(3.25)
- 1 - Velocidad
volumen.
de incremento
unidad
de
- 2 - Velocidad
global.
neta de entrada de energía cinética debida al flujo
-3 - Velocidad de trabajo producido por la presión de los alrededores
sobre el elemento de volumen.
- A - Velocidad de conversión reversible en energía interna.
- 5 - Velocidad de trabajo producido por
actúan sobre el elemento de volumen.
las fuerzas viscosas que
- 6 - Velocidad de conversión irreversible en energía interna.
- 7 - Velocidad de trabajo producido por la fuerza de gravedad que
actúa sobre el elemento de volumen.
ECUACIONES CB ENERGIA.
Partiendo como antes de un elemento estacionario de volumen a través
del cual fluye un liquido puro, escribimos la ley de la conservación
de la energía para el fluido contenido en el interior de este
elemento de volumen en un determinado instante.
[Velocidad de salida de energía cinética e interna por convección] [Velocidad de mitrada de energía cinética e interna por convección] +
[Velocidad de salida de calor por conducción] - [Velocidad de entrada
de calor por conducción] + [Velocidad de acumulación de energía
cinética e interna] = - [Velocidad neta de trabajo comunicado por el
sistema a los alrededores].
Ecuación (3.26)
Este es el primer principio de la termodinámica expresado para un
sistema abierto no estacionario ( no se incluyen otras formas de
energía y transporte de energía, tales como nuclear, radiactiva y
electromagnética ). Esta ecuación representa una generalización con
respecto a la ecuación (3.1 ) ya que se incluyen los efectos del
trabajo y la energía cinética
sirviendo también para el estado no
estacionario. Aquí, la energía cinética corresponde a la energía
relacionada con el movimiento observable del fluido (H)fv2 tomando
como base la unidad de volumen.
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
La energía interna corresponde a la energía relacionada con los
movimientos fortuitos de traslación e internos de las moléculas más,
la energía de interacción entre las moléculas; o sea que depende de
la temperatura local y de la densidad del fluido. La energía
potencial del fluido se incluye en el término de trabajo.
Aplicando la ecuación ( 3.26 ) a un elemento de volumen como el de la
figura 3.6 o 3.7, la velocidad de acumulación de energía cinética e
interna es:
Ó
AÍ A y A a
(fU + Hf V 2)
ót
donde U es la energía interna
velocidad local del mismo.
por unidad de masa del fluido y v es
La velocidad neta de entrada de
convección en la dirección x es :
A y A Z [vx( fU +
*L
La velocidad neta
dirección x es:
Jífv»)
energía
- v*( fU +
cinética
por
x-h/\x.
entrada
Ay Az
interna
Jjfv»)
x
de
e
de
<1*
energía
-
por
conducción
en
la
qx
x+/\x J
Las expresiones para las otras dos direcciones son análogas.
B1 trabajo
consta de
(gravedad)
viscosidad
realizado por el elemento de fluido contra los alrededores
dos partes: El trabajo contra las fuerzas de volumen
y el trabajo contra las fuerzas de superficie (fuerzas de
y de presión).
Recordando que Trabajo = Fuerza x Distancia en la dirección de la
fuerza y que Velocidad de producción de trabajo = Fuerza x Velocidad
en la dirección de la fuerza, la velocidad de producción de trabajo
contra los tres componentes de la fuerza de gravitación por unidad de
masa, g será:
- f A x A y A z í v*gx + v y gy + v.g» )
donde el signo menos indica que
gravedad, siendo • y g opuestos.
el trabajo
se realiza
contra
la
La velocidad de producción de trabajo contra la presión estática P en
las dos caras A y A z es :
A y A z I (pvx)
- (PVx)
x-*-/\x
X J
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION.
65
am
Análogamente la velocidad de producción de trabajo contra laa fuerzas
viscosas es:
(TxxVx + TxyVy + TXJBV* )|
AyAZl
1
-Z^yAZl
(TJKVX + TxjrVy +
Tx»Vz)
Completando las
expresiones faitantee
en la ecuación (3.26),
dividiendo por el elemento de volumen y haciéndolo tender a cero,
obtenemos la siguiente forma de la ecuación de la energía:
6
Ó
Vx( fU + H fv2) +
f (U + H v2) = óx
Ót
+
óz
Vy( fU + h fv2) +
Óy
v«(fU + H f v 2 )
6q*
6qy
6q«
Sx
óy
óz
ó
Ó
+ f( Vxgx + Vygy + v«g« ) -
pVx +
óx
6
Ó
pvy +
pv«
óy
óz
ó
( TxxVx + TxyVy + TXBVS ) +
óx
( TyxVx + TyyVy + TyeVü ) +
óy
+
( T«xVX + TjeyVy TzzVz )
(
3.27
ÓZ
En forma abreviada :
Ó
f(U + H v2) = -
div.fv(U + *ÍV2)
- (div.q) +
Ót
- 1 -
-
2
-
-
+ f(v.g) - (div.pv) - (div.CT.v])
-
4
-
- 5 -
- 6 -
3
-
)
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
- 1 - Velocidad de ganada de energía por unidad de volumen.
- 2 -Velocidad de
la convección.
entrada de energía por unidad de volumen debido a
- 3 - Velocidad de entrada de energía por unidad de volumen debido a
la conducción.
- 4 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen
debido a las fuerzas de gravitación.
- 5 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen
debido a las fuerzas de presión.
- 6 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen
debido a las fuerzas viscosas.
Realizando la
diferenciación indicada
recordando que la ecuación de continuidad
6
f
+
(div.fv)
=
en
el
primer
0
miembro
y
(3.10)
6t
D
r
(U + *v2) = -(div.q) + f(v.g) - (div.pv) - (div.CT.v])
(3.28)
Dt
Reescribiendo la ecuación (3.24), como:
D
- T
(* v2) = p(div.v) - (div.pv) +
Dt
+ f(v-g) - (div.Cr.v]) + (T:div v)
(3.29)
Restando (3.29) de (3.28) se obtiene una ecuación de variación para
U:
DU
r
Dt
-1-
_ ( div.q ) - p( div.v ) - ( T:div v )
-2-
-3-
(3.30)
- 4 -
Denominada también ecuación de energía calorífica.
términos tienen el siguiente significado:
Los
diferentes
- 1 - Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen.
- 2-Velocidad de entrada
debido a la conducción.
de energía
interna por
unidad de volumen
- 3- Velocidad reversible ds aumento de energía interna por unidad de
volumen debido a la compresión.