Tarea 1 (Resuelta) Matemáticas Avanzadas Problemas de Variable Compleja Los problemas fueron extraídos del libro " Análisis básico de variable compleja "de J. Marsden y M. Ho¤man, 1996, Editorial Trillas, al …nal de cada enunciado se muestra la página en donde se obtuvo el problema. 1. Pruebe el teorema del binomio para números complejos, esto es, si z, w son números complejos y n es un entero positivo, (z + w)n = z n + n n 1 n n 2 2 n n z w+ z w + ::::::: + w 1 2 n donde n r = n! r! (n r)! La solucion por inducción implica que si funeciona para n debe funcionar para n+1 entonces (z + w) (z + w)n = (z + w)n+1 (z + w) (z + w)n = (z + w) z n + n n 1 n n 2 2 n n z w+ z w + ::::::: + w 1 2 n por lo que aplicando sobre la suma completa (z + w)n+1 = z n+1 + n+1 n n+1 n 1 2 n + 1 n+1 z w+ z w + ::::::: + w 1 2 n+1 Use inducción sobre n. (página 21 problema 14) 2. ¿Es cierto que z 2 = jzj2 ? Si lo es, demuestre esta identidad. si no lo es, ¿para qué valores de z es cierto? (página 34 problema 15) z 2 = (a + ib)(a + ib) = a2 jzj2 = a2 + b2 Si igualamos las funciones 1 2iba b2 a2 b 2 = a2 + b 2 b2 = b2 2b = 0 b a = = ib i 2iba 2iba 2ia Solo es valido para el caso en que z sea real 3. De…na sinh y cosh sobre todo C como ez sinh = e 2 e +e cosh = 2 z z z Pruebe que (a) cosh2 z sinh2 z = 1 ez + e 2 z ez + e e2z + 2 + e 2z 2 ez e 2 z = 1 2 z 2 2z e ez e 2+e z 2 = = 4 = 1 = 2z 4 4 4 1 los demás son similares y de pura algebra (b) sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + sinh z2 cosh z1 (c) cosh(z1 + z2 = cosh z1 cosh z2 + sinh z2 sinh z1 (d) sinh(x + iy) = sinh x cosh y + i cosh x sinh y (e) cosh(x + iy) = cosh x cosh y + i sinh x sinh y (página 52 problema 16) 4. Determine los conjuntos en los cuales las siguientes funciones son analíticas y calcule sus derivadas (a) 3z 2 + 7z + 5 @ 3z 2 + 7z + 5 = 6z + 7 @z Separando en parte real y parte imaginaria 3z 2 + 7z + 5 3 (x + iy)2 + 7 (x + iy) + 5 u v 2 = = = = 3 (x + iy)2 + 7 (x + iy) + 5 3x2 3y 2 + 7x + 6ixy + 7iy + 5 3x2 3y 2 + 7x + 5 6xy + 7y Aplicamos la ecuaciones de Cauchy-Reimman @u = 6x + 7 @x @v = 6x + 7 @y @u = 6y @y @v = 6y @x La función es Analítica (b) (2z + 3)4 @ (2z + 3)4 = 8 (2z + 3)3 @z (2(x + iy) + 3)4 = (2x + i2y + 3)4 (2z + 3)4 = 216x + 216iy + 432ixy + 216x2 + 96x3 288xy 2 + 288ix2 y 64ixy 3 + 64ix3 y 216y 2 + 16x4 96x2 y 2 + 81 96iy 3 + 16y 4 Ahora separamos en parte real y parte compleja u = 216x + 216x2 + 96x3 216y 2 + 16x4 + 16y 4 288xy 2 v = 216y + 432xy 96y 3 + 288x2 y 64xy 3 + 64x3 y @u = 432x + 288x2 + 64x3 288y 2 @x @v = 432x 288y 2 + 288x2 + 64x3 @y 192xy 2 + 216 192y 2 x + +216 @u = 576yx 432y + 64y 3 192yx2 @y @v = 432y + 576xy 64y 3 + 192x2 y @x La función es Analítica 3 96x2 y 2 + 81 (c) (3z 1) = (3 z) @ @z 3z 3 1 z = 9 (3 3z 3z 1 2 + z) (3 z)2 3(x + iy) 1 3(x + iy) 1 ( x + 3 3z 1 = = 3 z 3 (x + iy) x + 3 + iy ( x + 3 2 2 ((3x + i3y 1) ( x + 3 iy) 10x 3x + 3y 3 + i (10y 6xy) = 2 2 ( x + 3) + y ( x + 3)2 + y 2 10x 3x2 + 3y 2 3 ( x + 3)2 + y 2 10y 6xy v = ( x + 3)2 + y 2 u = @u 6x + 10 = @x y 2 + (3 x)2 (2x @v 10 6x = 2 @y y + (3 x)2 (10y 3x2 + 3y 2 6) (10x 2 2 y 2 + (3 x) 6yx) (2y) y 2 + (3 x)2 2 La función no es Analítica (página 93 problema 2) 5. De…na el símbolo @f =@z como @f 1 = @z 2 @f 1 @f + @x i @y (a) Demuestre que si f es analítica, entonces f 0 =@f =@z: @f @z @f @z @u @v @f +i = @x @x @x @v @u 1 @f = +i = @y @y i @y = si sumamos la de…niciones 2 @f @z @f @z @f 1 @f + @x i @y 1 @f 1 @f = + 2 @x i @y = 4 3) iy) iy) (b) Si f (z) = z; demuestre que @f =@z = 1 y @f =@ z = 0: @f @z @f @z 1 2 1 = 2 @(x + iy) 1 @(x + iy) + @x i @y @(x + iy) 1 @(x + iy) @x i @y = 1 = (1 + 2 1 = (1 2 i 1) = 1 i i 1) = 0 i 1 = (1 2 1 = (1 + 2 i 1) = 0 i i 1) = 1 i (c) Si f (z) = z; demuestre que @f =@z = 0 y @f =@ z = 1 @f @z @f @z 1 2 1 = 2 @(x iy) 1 @(x iy) + @x i @y @(x iy) 1 @(x iy) @x i @y = (d) Demuestre que el símbolo @f =@z y @f =@ z cumple las reglas de suma, producto y multiplicación escalar para las derivadas. (página 95 problema 14) esta demostración es obvia 6. Determine si existen los siguientes límites complejos y encuentre sus valores, si existen: 1 log z = z =1 z!1 z 1 1 lm Solution: 1 z z z z lm z!1 z lm z!1 1 x 1 = lm =1 x!1 1 x 1 iy 1 1 = lm = y!1 iy 1 1 [y ! 0] 1 [x ! 0] el Límite no existe (página 105 problema 4) 7. Sea f analítica en una región A y sea que no está sobre ; muestre que Z una curva cerrada en A. Para cualquier z0 2 A f 0( ) d = z0 Z f( ) d ( z0 )2 Aplicando el teorema integral de cauchy a la primera parte obtenemos Z f 0( ) d = 2 if 0 (z0 ) z0 5 Aplicando el teorema integral de cauchy de mayor orden a la segunda parte obtenemos Z f( ) d = 2 if 0 (z0 ) ( z0 )2 por lo tanto son iguales ¿Puede usted pensar en una forma de generalizar este resultado?(página 183 problema 6) si se aplica para cualquier otro orden de n tambien se cumple suempre y ciando la constantes devidaves de la integración se conserven P 8. Sea f (z) = an z n una serie de potencias con radio de convergencia R > 0: Para R culquier curva cerrada en A=fz tal que jzj < Rg muestre que f = 0: (a) Usando el teorema de Cauchy. Z f= Z X an z n dz La integral se distribuye en la suma. Dado que la serie de potencias es analítica dentro del radio de convergencia la integral de la función es 0 Z Z X f= an z n dz = 0 (b) Justi…cando la integración término a término.(página 241 problema 16) La deducción es la misma solo que hay que considerar que X an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + ::::::::an z n se integra termino a termino Z X n an z dz = Z a0 dz + Z a1 zdz + Z 2 a2 z dz + Z 3 a3 z dz + :::::::: Z an z n dz Si es un contorno cerrado cada una de las integrales tendra que ser 0. 9. Si f es analítica en una región que contiene a un círculo y a su interior, y tienen un 0 de orden 1 únicamente en z0 en el interior o sobre ; muestre que Z 1 zf 0 (z) z0 = dz 2 i f (z) utilizando la sugrerencia del libro f (z) = (z)(z 2 iz0 = Z zo) zf 0 (z) dz (z)(z zo) 6 y se tiene un polo de orden 1 por lo tanto f 0 (z) = (z) 2 iz0 = Z z (z zo) dz por lo que queda desmostrado (página 256 problema 10) 10. Si f1 y f2 tienen residuos r1 y r2 en z0 ; muestre que el residuo de f1 + f2 en z0 es r1 + r2 :(página 274 problema 10) Primero de…nimos Re s(f1;Z0 ) = r1 = l m (z z0 )f1 (z) Re s(f2;Z0 ) = r2 = l m (z z0 )f2 (z) z!z0 z!z0 La desmostración es sencilla por que F = f1 + f2 Re s(F;Z0 ) = l m (z z!z0 z0 )F (z) = Re s(F;Z0 ) = Re s(F;Z0 ) = l m (z z0 )F (z) l m (z z0 ) (f1 + f2 ) l m [(z z0 )f1 + (z z!z0 z!z0 z!z0 l m (z z!z0 Re s(F;Z0 ) = r1 + r2 7 z0 )f2 ] z0 )f1 + l m (z z!z0 z0 )f2