Guía de cálculo 2 logaritno, exponencial e

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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 2 Para Ingeniería
Cristián Burgos G.
Funciones Logaritmo, Exponencial y Hiperbólicas.
Propiedades de los logaritmos:
1.
2.
3.
4.
Problema 1.
5.
6.
7.
8.
logc a + logc b = logc (ab)
logc a − logc b = logc ab
logc ab = b logc a
ba
logc a = log
log c
b
x = exp (ln x) = ln (exp(x))
∀x ∈ R , exp(x) ≥ 1 + x
1
∀x < 1 , exp(x) ≤ 1−x
∀x ∈]0, ∞[ , ln x ≤ x − 1 y 1 −
1
x
≤ ln x
Use las propiedades de los logaritmos para reducir las siguientes expresiones:
1. ln(sin x) − ln
sin x
5
2. ln(sec θ) + ln(cos θ)
3. ln(1 + cos x) + ln(1 − cos x) − 2 ln(sin x)
Problema 2.
1. Demuestre que si u ∈ [0, 1] , entonces
1
1
≤
1+u
1 + u2
2. Escribir las funciones arctan x y ln(1 + x) como integrales sobre [0, x]
3. Deduzca que si x ∈ [0, 1], entonces ln(1 + x) ≤ arctan x
Problema 3.
Calcule los siguientes límites
1. lim x x
1
x→∞
2. lim
x→0
ax + bx
2
x1
1
3. lim+ x ln(sinh x)
x→0
2
Problema 4.
Dada la función g(t) = e−t , se dene
F (x) =
´x
−100
g(t)dt , x ≥ −100
1. Calcule F 0 (x) , F 00 (x) , F 000 (x). Observe que todas ellas pueden escribirse como el producto de un polinomio y de
una función g
2. Use inducción para demostrar que la derivada de orden n de F puede ser escrita como:
F (n) (x) = pn−1 (x)g(x)
Problema 5.
Use derivación logarítmica para calcular
1. y = xx
2
2. y = ln(1−sinh x) (1 + tan x)
3. y =
r
1 + cosh x
1 − exp(x2 )
dy
en los siguientes casos:
dx
2
Dada la función y = (ln x)x
Problema 6.
1. Determine su dominio y analice la posibilidad de incluir el valor 1 en el dominio de la función tal que ésta sea
contínua en x = 1.
2. Calcule
dy
dx
Problema 7.
y pruebe que si x > e , entonces la función es estríctamente creciente.
Analice completamente la función f (x) = exp
concavidad, gráco y recorrido.
Problema 8. Use sustitución hiperbólica para calcular:
1.
2.
3.
4.
´1
0
√
´ 2√3
0
´2
5
4
´π
0
1
ln x
indicando dominio, paridad, asíntotas , crecimiento,
2dx
3 + 4x2
√
dx
4 + x2
dx
1 − x2
cos xdx
p
1 + sin2 x
A continuación, se presentan las siguientes identidades hiperbólicas:
1.
2.
3.
4.
5.
cosh2 x − sinh2 x = 1
cosh2 x + sinh2 x = cosh(2x)
2 sinh x cosh x = sinh(2x)
sinh2 x = −1+cosh(2x)
2
cosh2 x = 1+cosh(2x)
2
Problema 9.
6. tanh2 x = −sech2 x + 1
7. coth2 x = 1 + csch2 x
8. cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
9. sinh(x ± y) = cosh x sinh y ∓ sinh x cosh y
tanh x±tanh y
10. tanh(x ± y) = 1+tanh
x tanh y
tanh
√
2
Compruebe que √ arctan
5
x
2
5
!
+ 4π es una primitiva de
11. tanh
1
2 + 3 cosh x
Problema 10.
1. Determine una expresión para f (x) = ex , en términos de funciones hiperbólicas
2. Determine una expresión para g(x) = e−x , en términos de funciones hiperbólicas.
Problema 11.
Demuestre que
1
coth
2
x
2
−1 =
e−x
1 − e−x
x
2
=±
q
cosh x−1
cosh x+1