Curso: Métodos en Diferencias Finitas para Regiones Irregulares

Curso: Métodos en Diferencias Finitas
para Regiones Irregulares
Práctica 2: Diferencias finitas (1D básico)
Considere el problema de conducción de calor a lo largo de una barra unidimensional
∂T
∂
∂T
ρcp
=
k
(1)
∂t
∂x
∂x
donde ρ es la densidad, cp es la capacidad de calor, y k la conductividad
termal del material, T la temperatura.
Si tanto la densidad, la conductividad termal y la capacidad de calor son
constante, el modelo anterior se puede simplificar aún más quedando escrito
como
∂T
∂ 2T
=κ 2
∂t
∂x
donde κ = k/(ρcp ) se conoce como el término de difusividad.
Nuestro interés es identificar la evolución de la temperatura de la barilla
lo largo de ella y con el tiempo T = T (x, t). En primer paso en el método de
diferencias finitas es construir una malla de puntos sobre los cuales estamos
interesados en resolver la ecuación. Para el propósito ilustrativo vamos a
considerar nx puntos sobre la varilla igualmente espaciados.
El siguiente paso es reemplazar las derivadas continuas por aproximaciones en diferencias finitas. La derivada de la temperatura contra el tiempo
puede ser aproximado por diferencias hacia adelante en la forma
∂T
T n+1 − Tin
Tin+1 − Tin
≈ in+1
=
∂t
t
− tn
∆t
n+1
en la notación Ti
representa la temperatura en la posición i nueva o estimar, y Tin a la temperatura en la posición i conocida en el siguiente paso del
tiempo. Pensemos que la diferencia de tiempo será constante para nuestras
estimaciones. Tenemos dos ı́ndices, uno para la posición espacial i y otro
para el tiempo n.
La derivada espacial la vamos a reemplazar por diferencias finitas centrales
1
∂
∂ 2T
=
2
∂x
∂t
∂T
∂t
≈
n −T n
Ti+1
i
∆x
−
∆x
n
Ti2 −Ti−1
∆x
n
n
Ti+1
− 2Tin + Ti−1
=
.
∆x2
sustituyendo obtenemos
Tin+1 − Tin
=κ
∆t
n
n
Ti+1
− 2Tin + Ti−1
∆x2
como se observa el tiempo estimado para el nodo i se puede obtener a partir
de las aproximaciones previas en un paso del tiempo y sobre nodos cercanos:
n
n
Ti+1 − 2Tin + Ti−1
n+1
n
Ti
= Ti + κ∆t
∆x2
Problema Se tiene una varilla de 100 metros de longitud, la cual está a una
temperatura de 300◦ C y a la mitad de ella en un grosor de 2 metros se le
aplica un pulso de temperatura 1200◦ C, identifique el comportamiento del
calor a lo largo de la varilla. La varilla es modelo idealizado de lo que podrı́a
ocurrir en una porción de roca de la cual brota magma. Considere el término
de difusividad como κ = 10−6 m2 s−1 .
Práctica
1) Usando el script heat1d.m experimente con un tamaño de paso en el
tiempo más grande, digamos 10 dı́as o y cambie el tamaño de la malla.
2) Use de modelo ese script para implementar el esquema implı́cito en el
tiempo.
3) De igual manera, usando ese escript, implemente el método de CrackNicholson y compare los tres métodos, con diferentes pasos del tiempo
en tres diferentes ventanas de despliegue gráfico.
4) Encuentre una aproximacióm a la solución del problema de conducción
del calor
uxx = 4ut ,
0 < x < 2,
u(0, t) = 0,
u(2, t) = 0,
2
t>0
t>0
u(x, 0) = 2sen(πx/2) − sen πx + 4sen 2πx,
0≤x≤2
Si realiza el procedimiento de separación de variables, logra reescribir
el problema como un problema de Sturm-Liouville, la solución es
π2
π2
π
2
u(x, t) = 2sen ( x) · e− 16 t − sen (πx) · e− 4 t + 4sen (2πx) · e−π t
2
En la Figura 1 se muestran algunas soluciones
Surface plot of solution.
7
6
8
5
6
4
4
3
2
2
0
1
−2
0
−4
0.06
−1
0.04
2
1.5
0.02
Time t
−2
1
0
0.5
0
−3
Distance x
(a)
0
0.5
1
1.5
(b)
Figura 1: Algunas soluciones para un tiempo corto. En a) se aprecia en
forma de superficie la colección de soluciones, y en b) se han superpuesto
cada una de ellas.
3
2