UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cálculo III Guı́a #11: Integrales de Lı́nea y Superficie 22109 Rodrigo Vargas 1. Calcule la integral de lı́nea Z x2 dx + xydy entre el origen y (2, 1) a lo Γ largo de las siguientes curvas: a) (2t, t2 ), 0 ≤ t ≤ 1 b) 2 sen π2 t, t , 0 ≤ t ≤ 1 c) (2t2 , t), 0 ≤ t ≤ 1 2. Evalúe cada una de las siguientes integrales de lı́nea: Z a) x3 dx + y 9 dy en donde Γ es la curva que va desde (0, 0) hasta (π, 0) Γ a lo largo de la curva y = x3 sen2 x. Z b) ex dx + ey dy en donde Γ es la curva que va desde (0, 0) hasta (π, 0) Γ a lo largo de la curva y = x3 sen2 x. ZZ 3. Calcule F~ · ~ndS directamente y usando el Teorema de la divergencia, S en donde F~ = xyi + yzj + xyk , y ~n es el vector unitario normal a la superficie S la que consiste de la superficie total que encierra la semi-esfera unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1, con z ≥ 0. 4. Resuelva el problema anterior, pero ahora S es la superficie total que encierra el cono de helado dado por o n p C = (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∨ z ≥ x2 + y 2 . 1 5. Use el Teorema de la divergencia para calcular ZZ F~ · ~ndS en donde S F~ = 2xi + y 2j + z 2 k , y ~n es el vector unitario normal a la superficie de la esfera unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1. ZZ F~ · ~ndS en donde 6. Use el teorema de la divergencia para calcular S F~ = xy 2 i + x2 yj + xyk , y ~n es el vector normal unitario a la superficie del cilindro x2 + y 2 = 1, superficie que incluye los correspondientes discos x2 + y 1 ≤ 1 para z = 1 y z = −1. ZZ 7. Calcule (∇×F~ )·~ndS sobre la superficie de la semiesfera x2 +y 2 +z 2 = 1 S con z ≥ 0 incluyendo la superficie x2 + y 2 ≤ 1 para z = 0 y la función vectorial: F~ = y 2i + (2xyez + 3)j + (xy 3 cos z + z 4 )k . ZZ 8. Use el Teorema de la divergencia para calcular F~ · ~ndS para las siguS ientes funciones: a) F~ = xi + yj + zk b) F~ = x2 i + y 2j + z 2 k y ~n es el vector unitario normal a la superficie del cubo de lado unitario centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes coordenados. Z 9. Determine para cuales funciones la integral de lı́nea F~ · d~r es independiγ ente del camino. Para aquellas que son independientes del camino, calcule la integral a lo largo de la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1). a) F~ = y 2 i + (2xyez + 3)j + (xy 3 cos z + z 4 )k b) F~ = (2xyz 3 + z)i + x2 z 3 j + (3x2 yz 2 + x)k c) F~ = xi + yj + zk 2 10. Encuentre la integral ZZ F~ · ~ndS, para las siguientes funciones en las S superficies que rodea al cubo de arista 2 y que se encuentra en posición normal y centrado en el origen del sistema de coordenadas: a) F~ = yzi + xzj + xyk b) F~ = x2 i + y 2j + z 2 k c) F~ = (x − y)i + (y − z)j + (x − y)k d) F~ = (x + y)i + (y + z)j + (x + z)k 11. Resuelva el problema anterior, pero ahora integrando sobre la superficie que envuelve al cuerpo limitado por el plano z = 0 y el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 . 12. Hallar el área de una superficie en forma de helicoide dada por medio de la función: φ(u, v) = (u cos v, u sen v, v) para (u, v) en el rectángulo [0, 1] × [0, 2π]. ZZ 13. Use el Teorema de Stokes para evaluar (∇ × F~ ) · ~ndS en donde ~n es el S vector unitario normal a la superficie S que consiste de la porción ubicada en el hemisferio superior del elipsoide x2 + (y/2)2 + (z/3)2 = 1 y la función F~ está dada por F~ = (x2 − y)i + xj + xyz 2 k . Z 14. Use el Teorema de Stokes para evaluar y 3dx−x3 dy +z 3 dz en donde γ es γ la curva cerrada simple que resulta de la intersectar el cilindro x2 + y 2 = 1 y el plano x + y + z = 1 recorrida en sentido tal que la correspondiente proyección de la curva en el plano x − y sea recorrida en sentido contrario a los punteros del reloj. Compruebe su resultado integrando directamente. 3