Soluciones Fecha: 16-11-01 Hora: 10:30 Tiempo: 50

EXAME 1ºBAC
Trigonometría – Soluciones
Fecha: 16-11-01 Hora: 10:30 Tiempo: 50'
Ejercicio nº 1.Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55° . Alejándose 7 metros en
línea recta, el ángulo es de 40°° . ¿Cuál es la altura de la antena?
Solución:



h 
tg 40o =
x + 7 
tg 55 o =
h
x



o
(x + 7) tg 40 = h
x tg 55 o = h
x tg 55 o = (x + 7 )tg 40 o
→
x tg 55 o − x tg 40 o = 7 tg 40 o
x=
7 tg 40 o
tg 55 o − tg 40o
h = x tg 55 o =
x tg 55 o = x tg 40 o + 7 tg 40 o
→
(
)
x tg 55 o − tg 40 o = 7 tg 40 o
= 9, 97 m
7 tg 40 o tg 55 o
tg 55 o − tg 40 o
= 14 , 24 m
La altura de la antena es de 14,24 metros.
Ejercicio nº 2.Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con
C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es
de 50°° , y el ángulo en A es de 75 ° . ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?
Solución:
Hallamos el ángulo Ĉ :
(
)
Ĉ = 180 o − Â + B̂ = 55 o
Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:
a
sen 75
o
=
o
=
b
sen 50
100
sen 55
o
→
a=
o
→
b=
100
sen 55
100 ⋅ sen 75 o
sen 55 o
100 ⋅ sen 50 o
sen 55 o
= 117 , 92 m
= 93 , 52 m
Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.
Ejercicio nº 3.a) Expresa 12123º como un ángulo del primer cuadrante y da sen (12123º). ¿Cuántos
radianes son 12123º?
b) Expresa –433º como un ángulo del primer cuadrante y calcula cos (-433º)
c) Con calculadora dado sen x=0’23, cuanto vale x en radianes
d) Con calculadora cuanto vale sen (1’35 rad)
e) Con calculadora valor en radianes y grados de x, sabiendo sen x=-0’75 y x<270º
Solución:
a) 12123= 360*33+243, por tanto 243º=180+63ºà 63º ;
sen (12123º)=-0.89 ;
12123º=211’59 rad.
b) –433º à-73º à360º-73ºà73º; cos (-433º)=cos (433º)=cos 73º=0’29
c) x=0’23
d) sen (1’35)=0’98
e) x en primer cuadrante: sen x=0’75àx=48’59º
pasado al 3º cuadrante 180+48’59º=228’59º=3’99 radianes
Ejercicio nº 4.a) Resuelve la ecuación trigonométrica:
cos 2x + cos2 x = 2
b) Enuncia y Demuestra el teorema del seno.
Solución:
cos 2x + cos 2 x = 2
2cos 2 x − sen 2 x = 2
→
→
2cos x − 1 + cos x = 2
2
2
cos 2 x − sen 2 x + cos 2 x = 2
(
)
2cos 2 x − 1 − cos 2 x = 2
→
3 cos x = 3
2
 cos x = 1 → x = 0 o + 360 o k

cos x = 1 → 
 cos x = − 1 → x = 180 o + 360 o k
2
siendo k ∈ Z
Ejercicio nº 5.Usando las propiedades trigonométricas (y la calculadora como complemento)
a) Dado sen x=0’35º y cos x<0, calcula cos x y tg x.
b) Sen (2x)
c) Cos (x/2)
d) tg(π + x )
Solución:
a) Estamos hablando del 2º cuadrante.
Por la propiedad fundamental cos x = ± 1 − sen x = ± 1 − 0'35 2 = ±0'94
Como estamos en el segundo cuadrante (cos negativo), por lo tanto, cos x=-0’94
tgx =
senx
0'35
=
= −0.37
cos x − 0'94
b) sen (2x)=2· sen x · cos x = 2· 0’35· (-0’94)=-0’66
c) cos (x/2)= cos( x / 2) = ±
1 + cos x
1 − 0'94
=±
= ±0'17
2
2
Como x está en el segundo cuadrante x/2 está en el primer cuadrante. Por tanto, cos (x/2)=0’17
d) tg(π + x ) =
tgπ + tgx 0 − 0'37
=
= −0'37
1 − tgπ·tgx
1− 0