Problema 636. Dado un triángulo ABC, hallar dos triángulos DEF y
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Problema 636. Dado un triángulo ABC, hallar dos triángulos DEF y GHI tales que el simétrico de D respecto a E sea A, el simétrico de E respecto de F sea B y el simétrico de F respecto de D sea C y que el simétrico de G respecto a H sea A, el simétrico de H respecto de I sea C y el simétrico de I respecto de G sea B. Hallar los lados de los dos triángulos DEF y GHI en función de a, b y c, lados de ABC. Barroso, R. (2012): Comunicación personal. Soluzione di Ercole Suppa. Per risolvere il problema usiamo il calcolo vettoriale. Fissata un punto qualsiasi −−→ → − O come origine, preso un qualsiasi punto X indichiamo il vettore OX con X . Dalle condizioni del problema abbiamo che → − → − − → A + D = 2·E → − → − − → B + E = 2·F − → − − → → C + F = 2·D da cui, con un facile calcolo, si ricava che: → − → − → − → − A + 2B + 4C D= 7 → − → − → − → − 4A + B + 2C E = 7 → − → − → − → − 2 A + 4B + 4C F = 7 Pertanto −−→ → − → − ED = D − E − → − → − → − → − → − 1 → A + 2B + 4C − 4 A − B − 2C = 7 − → − → − 1 → = −3 A + B + 2 C 7 − → − 2 → − → − 1 → = B−A + C −A 7 7 1 −−→ 2 −→ = AB + AC 7 7 −→ 1 −−→ = AB + 2AC 7 e quindi −−→ −−→ ED2 = ED · ED −→2 1 −−→ AB + 2AC = 49 −−→ −→ 1 2 = c + 4b2 + 4 · AB · AC 49 1 2 = c + 4b2 + 4bc · cos A 49 1 b2 + c2 − a2 2 2 = c + 4b + 4bc · 49 2bc 1 6b2 + 3c2 − 2a2 = 49 da cui segue che 1p 2 6b + 3c2 − 2a2 7 e, permutando circolarmente le lettere a, b, c, si ottengono le misure di EF , DF ED = EF = 1p 2 6c + 3a2 − 2b2 , 7 DF = 1p 2 6a + 3b2 − 2c2 7 Ragionando analogamente si trova che → − → − → − → − A + 4B + 2C G= 7 , → − → − → − → − 4 A + 2B + C H = 7 , → − → − → − → − 2A + B + 4C I = 7 ⇒ 1p 2 6c + 3b2 − 2a2 7 1p 2 GI = 6a + 3c2 − 2b2 7 1p 2 HI = 6b + 3a2 − 2c2 7 GH =
