8 MECANICA DE LAGRANGE 8.1 INTRODUCCION 8.1.1 Coordenadas cartesianas Un sistema dinámico de n partículas tiene 3n grados de libertad Î requiere 3n coordenadas cartesianas para especificar su configuración. El vector que contiene las 3n coordenadas cartesianas es: x = {x 1 , x 2 , x 3 ,........, x n } (8.1) 8.1.2 Restricciones y Grados de Libertad Las restricciones limitan la configuración geométrica y el movimiento del sistema. Una restricción genera reacciones y disminuye el número de grados de libertad del sistema. Supóngase un sistema de: • n partículas • m restricciones Î Î 3n grados de libertad r = (3n-m) grados de libertad Î requiere r coordenadas para especificar configuración 8.1.3 Fuerzas Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza f. En coordenadas cartesianas es: f = {f1 , f 2 , f 3 ,........, f n } 8.2 (8.2) COORDENADAS GENERALIZADAS 8.2.1 Definición Conjunto de r coordenadas qk que, junto con las ecuaciones de restricción, permiten especificar unívocamente la configuración de un sistema de r grados de libertad. q = {q 1 , q 2 , q 3 ,..., q k ,....., q r } q = {q& 1 , q& 2 , q& 3 ,..., q& k ,....., q& r } Coordenadas generalizadas Velocidades generalizadas (8.3) Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una esfera de radio a: x2+y2+z2-a2=0 • La ecuación de la restricción es • La partícula tiene 2 grados de libertad Î Se pueden usar como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas (θ,φ) o las cilíndricas (φ,z). Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 1 Nótese que el par (x,y) no sirve como coordenadas generalizadas en este ejemplo, ya que dado sus valores, existen dos valores de z que satisfacen la ecuación de restricción. 8.2.2 Transformación de coordenadas Conocidas las ecuaciones de restricción, es posible expresar cualquiera de las componentes del vector de coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas generalizadas: x j = x j (q, t ) j = 1,2,3,.....,3n (8.4) Las restricciones están incluidas en forma implícita en estas relaciones. 8.3 COMPONENTES GENERALIZADAS DE LAS FUERZAS 8.3.1 Desplazamiento Virtual Cambio ficticio, infinitamente pequeño, en la configuración del sistema en un instante cualquiera t. Este cambio debe ser compatible con las restricciones del sistema y se supone que ocurre en t = cte. El vector que contiene los desplazamientos virtuales correspondientes a cada una de las coordenadas es: δ x = {δx 1 , δx 2 , δx 3 ,........, δx n } (8.5) 8.3.2 Trabajo Virtual Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza F. Supóngase que en ese instante se impone un desplazamiento virtual δx sobre el sistema. El trabajo virtual δW efectuado por las fuerzas es: δW = F • δ x = ∑ F j δx j j = 1,2,3,.....,3n (8.6) El vector de fuerzas externas F en componentes cartesianas se separa en un vector f que contiene las fuerzas activas y un vector f’ que contiene las reacciones. El vector de fuerzas es entonces: F = f + f' (8.7) 8.3.3 Sistema holonómico Aquel que en que todas sus restricciones cumplen con: Toda configuración posible del sistema satisface una ecuación del tipo φ(x,t) = 0 Para cualquier desplazamiento virtual compatible, el trabajo efectuado por las reacciones es nulo. Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 2 En general, si existen m restricciones, cada una asociada a una ecuación del tipo φk(x,t) = 0 , aparecen m reacciones. Un sistema holonómico es aquel cuyas restricciones son todas holonómicas. considerará sólo sistemas de este tipo. En adelante se El trabajo virtual de las fuerzas en un sistema holonómico es: δW = F • δ x = ∑ Fj δx j = ∑ (f j + f j ') δx j = ∑ f j δx j + ∑ f j ' δx j j = 1,2,3,.....,3n (8.8) Los dos términos del lado derecho de la ecuación representan el trabajo virtual de las fuerzas activas y el de las reacciones respectivamente. Dada las condiciones del sistema holonómico, el segundo término es nulo y el trabajo virtual es entonces: δW = ∑ f j δx j j = 1,2,3,.....,3n (8.9) 8.3.4 Componentes generalizadas de las fuerzas Sea Q el vector de fuerzas generalizadas asociadas a las componentes de las coordenadas generalizadas q. Q = {Q 1 , Q 2 , Q 3 ,........, Q r } (8.10) El vector Q se determina igualando las expresiones del trabajo virtual evaluadas en ambos sistemas de coordenadas. 3n r f j δx j = Q • δq = Q k δq k δW = f • δ x = j=1 k =1 ∑ ∑ (8.11 Usando las ecuaciones (8.4) de transformación de coordenadas, y recordando que el desplazamiento virtual ocurre en un tiempo cte, δxj se puede escribir como: δx j = ∑ k ∂ x j (q, t ) ∂qk δq k k = 1,2,3,....., r (8.12) El término del lado izquierdo de la Ec. 8.11) queda entonces: δW = ∑ j f j δx j = ∂ x j (q, t ) fj δq k ∂qk j k ∑ ∑ = ∂ x j (q, t ) f δq j k ∂qk k j ∑∑ Comparando con el lado derecho de la Ec. (8.11), se tiene que: Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 3 j = 1,2,3,.....,3n k = 1,2,3,....., r Qk = ∑ fj ∂ x j (q, t ) j (8.13) ∂qk Donde Qk es la componente k de la fuerza generalizada Q Nótese que: • Qk no es necesariamente una fuerza. Si qk es una rotación, entonces Qk es un torque. • La componente k de Q no es, en general, la componente de Q en la dirección de qk • Qk no depende solamente de qk sino de todos los q, es decir: Qk = Qk (q) • De las condiciones establecidas para sistemas con reacciones holonómicas, y de la definición de fuerza generalizada, se concluye que las componentes generalizadas de una reacción holonómica son nulas. 8.3.5 Caso fuerzas conservativas Supóngase el caso que la fuerzas f provienen de un potencial V(x) tal que: f = −∇ x ⇒ fj = − ∂ V (x ) ∂ xj (8.14) Reemplazando en la Ec. (8.13), la fuerza generalizada se puede escribir en términos de la Energía Potencial V: Qk = ∑fj ∂ x j (q, t ) j 8.4 ECUACIONES DE HOLONOMICOS ∂qk = − ∑ j LAGRANGE ∂ V (x, t ) ∂ x j (q, t ) ∂ xj ∂qk DEL = − ∂ V (q, t ) ∂ qk MOVIMIENTO PARA (8.15) SISTEMAS Se formularán las ecuaciones del movimiento en términos de las coordenadas generalizadas. Se tiene que: • Se reduce el número de ecuaciones a resolver • No aparecen las reacciones en las ecuaciones La ecuación del movimiento para una partícula i está dada por la ley de Newton: Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 4 F i = m i &x& i i = 1,2,3,..., n (8.16) Las componentes de F i y &x& i son las componentes de F y &x& asociadas a la partícula i. Separando el vector de fuerzas externas en el vector f que contiene las fuerzas activas y el vector f’ que contiene las reacciones, la componente j de la ecuación de movimiento del sistema es: m j &x& j = f j + f j ' Multiplicando a ambos lados por ∂ x j (q, t ) ∂qk j y sumando sobre j se tiene: ∂qk ∂ x j (q, t ) ∑ m j &x& j = (8.17) ∑fj j ∂ x j (q, t ) ∂qk + ∑ f j' j ∂ x j (q, t ) (8.18) ∂qk El primero de los términos del lado derecho de la ecuación (8.18) es la componente Qk de la fuerza generalizada asociada a las fuerzas activas f: ∑fj ∂ x j (q, t ) j ∂qk = Qk El segundo término corresponde a la componente del vector fuerza generalizada asociado a las reacciones f’. Dado que el trabajo efectuado por las reacciones es nulo, la fuerza generalizada también es nula. ∑ f j' j ∂ x j (q, t ) ∂qk = 0 El lado izquierdo de la ecuación (8.17) se puede escribir como: m j &x& j = d ∂ 1 d d ∂ 1 m j x& j = m k x& k 2 m j x& j 2 = dt ∂ x& j 2 dt dt ∂ x& j 2 k ( 1 2 pero ⇒ m j &x& j ) ∑ m k x& k 2 k = ∑ = T(x& , x, t ) = Energía cinética del sistema d ∂T(x& , x, t ) dt ∂ x& j Remplazando en el lado izquierdo de la Ec. (8.18) se tiene: ∂ xj ∑ m j &x& j ∂ q k j = d ∂ T(x& , x, t ) ∂ x j ∂ x& j ∂ q k j ∑ dt Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange = ∂ T(x& , x, t ) d ∂ x j d ∂ T(x& , x, t ) ∂ x j − ∂ q k dt ∂ q k ∂ x& j ∂ x& j j j ∑ dt 5 ∑ Las derivadas se pueden evaluar utilizando las siguientes igualdades: [ ] d x j (q, t ) = x& j = dt ∂ x& j (q, q& , t ) ∂ qs ∂ x j (q, t ) ∂qk k q& k + ∂ x j (q, t ) ∂t x& j = x& j (q, q& , t ) ⇒ ∂ 2 x j (q, t ) ∂ 2 x j (q, t ) d ∂ x j (q, t ) = = q& k + ∂ qs ∂ q k ∂ qs ∂ t dt ∂ q s k ∂ x& j (q, q& , t ) ∂ q& s ∑ ∑ = ∂ ∂ x j (q, t ) q& k ∂ q& s ∂qk k ∑ ∂ ∂ x j (q, t ) + ∂ q& s ∂ t (8.19) (8.20) = ∂ x j (q, t ) ∂ qs (8.21) Reemplazando Ecs. (8.20) y (8.21) en la expresión anterior se tiene: d ∂ T(x& , x, t ) ∂ x& j d ∂ T(q& , q, t ) = dt dt ∂ q& k ∂ x& j ∂ q& k j ∂ T(q& , q, t ) ∂ T(x& , x, t ) ∂ x& j ∂ T(x& , x, t ) d ∂ x j = = dt ∂ q k ∂ qk ∂ x& j ∂ qk ∂ x& j j j d ∂ T(x& , x, t ) ∂ x j dt ∂ x& j ∂ q k j ∑ ∑ = ∑ ∑ Se tiene entonces ∂ xj ∑ m j &x& j ∂ q k = j d ∂ T(q& , q, t ) ∂ T(q& , q, t ) − ∂ qk dt ∂ q& k Reemplazando en la ecuación (8.18) se llega a: d ∂ T(q& , q, t ) ∂ T(q& , q, t ) = Qk − dt ∂ q& k ∂ qk k = 1,2,3,......., r (8.22) Las r ecuaciones (8.22) son las Ecuaciones de Lagrange para el sistema, que corresponden a las ecuaciones de movimiento de dicho sistema, bajo la acción de fuerzas arbitrarias. Caso Fuerzas Conservativas Supóngase el caso que la fuerzas f proviene de un potencial V(x). Según Ec.(8.15): Qk = − ∂ V (q , t ) ∂ qk Nótese que la energía potencial del sistema depende sólo de q y t. Reemplazando en la Ec. (8.22): Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 6 ∂ V (q, t ) d ∂ T(q& , q, t ) ∂ T(q& , q, t ) = − − ∂ qk dt ∂ q& k ∂ qk k = 1,2,3,......., r (8.23) Se define el Lagrangiano o Función de Lagrange L como: L(q& , q, t ) = T(q& , q, t ) − V (q, t ) (8.24) Reemplazando en la Ec. de Lagrange (8.23) se tiene: d ∂ L(q& , q, t ) ∂ L(q& , q, t ) = 0 − dt ∂ q& k ∂ qk (8.25) son las Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos. Mecanica Racional - UTFSM - Mecámica de Lagrange 7 k = 1,2,3,......., r (8.25)