1 Interacción gravitatoria

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Movimientos planetarios
Teorías geocéntricas: La Tierra es el centro del Universo
Aristóteles (384 ­ 322 a.C.). Esferas concéntricas.
Ptolomeo (100 ­ 170 d.C.). Dos movimientos: epiciclo y deferente
Teorías heliocéntricas: El Sol es el centro del Universo
Aristarco de Samos (s. III a.C.).
Copérnico (1473 ­ 1543 d.C.). Confirmación de la teoría heliocéntrica.
Galileo Galilei (1564 – 1642). Publica observaciones recogidas de la observación con un telescopio construido por él.
Johannes Kepler (1571 ­ 1630). Enuncia las leyes de los movimientos planetarios basándose en las observaciones de Tycho Brahe (1546 ­ 1601)
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Leyes de Kepler
1ª Ley. Todos los planetas describen órbitas planas y elípticas teniendo al Sol en uno de sus focos.
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Leyes de Kepler
2ª Ley. Los segmentos que unen al Sol con los planetas (radiovectores) barren áreas iguales en tiempos iguales.
La velocidad areolar es constante
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Leyes de Kepler
3ª Ley. Los cuadrados de los tiempos empleados por los planetas en describir sus órbitas (periodos) son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores.
2
T =k⋅a
3
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Nuestro sistema solar
● Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de rotación y otro de traslación.
● Todos los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.
● Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
● Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.
● El eje de rotación de la mayor parte de los planetas, salvo Urano y Plutón es prácticamente perpendicular al plano orbital.
● La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial de los planetas.
● Todos los planetas rotan en sentido antihorario, excepto Venus, Urano y Plutón.
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Consecuencias de la conservación del momento angular
● Las órbitas de los planetas son planas.
● La fuerza que gobierna el movimiento de los planetas es central.
● Las órbitas planetarias son estables.
● Lo mismo podemos decir para los movimientos de los satélites (naturales y artificiales) en torno a los planetas.
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Demostración de la 2ª ley de Kepler
r
r
dA
t'
t
r sen drd
d
1
1 2
dA= r d ⋅r = r d 
2
2
La velocidad areolar es, por tanto:
dA 1
1 2d
1 L
= r d ⋅r = r
=
dt 2
2 dt
2m
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Ley de gravitación universal
Debida a Isaac Newton, establece que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
M⋅m
F =G 2
r
G es la denominada constante de gravitación universal y su valor en unidades S.I. es:
G=6,67⋅10−11 N m2 kg­2
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Ley de gravitación universal
Vectorialmente:
M⋅m

F =−G 2 ur
r
r
ur =
∣r∣
FM,m
m
ur
M
r
M⋅m

F =−G 3 r
r
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Ley de gravitación universal
Para un conjunto de masas, la resultante de las fuerzas que actúan sobre una de ellas debido al resto, es la suma vectorial de todas ellas consideradas individualmente:
1
F2,1
2
F5,1
F3,1
F4,1
4
5
5
3
 result = F
 2,1  F
 3,1 F
 4,1  F
 5,1 =∑ F
 i ,1
F
i=2
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La constante de gravitación universal, G
R2T
G= g
MT
Medida por Henry Cavendish con una balanza de torsión. Su valor aceptado hoy es 6,67∙10­11 N∙m2/kg2.
Con él se pudo calcular la masa de la Tierra.
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Concepto de campo
¿Cómo explicar la acción a distancia? M. Faraday utiliza la idea de líneas de fuerza que se extienden por el espacio para explicar las acciones entre imanes o corrientes. J.C. Maxwell introduce el concepto de campo basado en la idea de líneas de fuerza, y calcula la velocidad a la que se propagan las interacciones (electromagnéticas): la velocidad de la luz. Esto es extensible al campo gravitatorio.
A. Einstein establece el concepto de campo en la gravitación como una deformación de la geometría espacio­tiempo por el efecto masivo de los cuerpos. La interacción gravitatoria es una consecuencia de esta deformación.
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Concepto de campo
Acción a distancia
Se requiere la existencia de, al menos dos cuerpos. Un solo cuerpo no genera acción alguna.
El espacio es el marco absoluto e invariable en el que sucede la interacción.
La interacción es instantánea, de modo que las leyes newtonianas no se modifican
Concepto de campo
Se requiere la existencia de un solo cuerpo para originar un campo.
Son las distorsiones de las propiedades asociadas al espacio­
tiempo las responsables de la interacción.
Las interacciones se propagan a la velocidad de la luz, lo que modifica aspectos esenciales de las leyes de Newton.
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Concepto de campo creado por una partícula
Campo es aquella región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula.
Un campo es definido mediante magnitudes que adquieren distintos valores en cada punto del espacio y en el tiempo.
Campos vectoriales, cuando las magnitudes son vectores (campo gravitatorio, electromagnético, ...)
Campos escalares, cuando las magnitudes son escalares (temperaturas, presiones, alturas, ...)
La existencia de un campo se pone de manifiesto cuando se coloca en su interior una partícula dotada de la propiedad necesaria para interactuar con dicho campo (o con un aparato de medida que detecte dicho campo).
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Intensidad del campo gravitatorio
Intensidad del campo gravitatorio, o simplemente campo gravitatorio en un punto, , es la magnitud que define el campo g
gravitatorio desde un punto de vista dinámico y puede considerarse como la fuerza que actúa sobre la unidad de masa activa (testigo) colocada en dicho punto.

F
g=

m
M
g =−G 2 ur

r
Unidades: N/kg que es equivalente a m/s2
A cada punto del espacio alrededor de M lo caracterizamos por un valor de g.
Conocido el valor de g en cada punto, podemos prescindir de la masa que lo crea, puesto que sus efectos se sustituyen por los que produce el campo.
 =m⋅
F
g
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Principio de superposición de campos
Si son varias masas las que se encuentran en cierta región del espacio, el campo total creado por ellas en un determinado punto será la composición vectorial de los campos individuales creados por cada una de ellas en ese punto:
1
2
P
g1
g2
g3
3
4
n
g4

g =∑ −G

i=1
mi
r
2
i
ur

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Campo gravitatorio creado por cuerpos esféricos
El campo gravitatorio originado por un cuerpo esférico, de masa m en un punto exterior es el mismo que el que originaría dicha masa si estuviese concentrada en el centro del cuerpo; por lo que puede usarse la misma expresión que para una masa puntual:
m
g =−G 2 ur

r
Ahora bien, en el interior de una corteza esférica es nulo; y en el interior de una esfera sólida homogénea aumenta linealmente con la distancia al centro.
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El campo gravitatorio terrestre
Aplicando lo anterior a la Tierra, se obtiene:
g =−G

mT
2
rT
ur
ur = −9,8 ur N/kg Donde es un vector unitario de dirección radial y sentido hacia el centro.
Este es un valor medio, ya que su valor concreto en cada punto depende de la altitud (la Tierra no es una esfera lisa) y de la latitud (la rotación alrededor de su eje implica una aceleración centrípeta, con lo que el valor de efectivo de g es ligeramente menor que el que tendría si la Tierra estuviera en resposo).
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El campo gravitatorio desde un enfoque energético
La fuerza gravitatoria es conservativa:
El trabajo que realiza sobre un cuerpo cuando éste se traslada de un punto a otro solo depende de la posición de dichos puntos y no de la trayectoria seguida.
El trabajo que realiza a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo.
Si solo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica del cuerpo se conserva.
Por tanto podemos definir una energía potencial (asociada a la posición) tal que:
WF
= − E p = E p − E p
conservativa
0
f
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Energía potencial gravitatoria
Calculemos el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando se traslada un cuerpo de masa m desde un punto A hasta otro punto B en presencia de otra masa M:
 
1
1

W = ∫A F⋅d r = −G M m∫A 2 dr = −G M m −
r
r
B
B
 
W = −G M m −

1
r
B

= −G M m −
A
1 1
= −G M m
−
rA rB

 
1
1
−−
rB
rA
B
A
=
GMm GM m
=
−
rB
rA
Como vemos el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es solo función de las posiciones inicial (A) y final (B); y no depende del camino.
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Energía potencial gravitatoria
Como comparando con la anterior:
W = − E p = − E p − E p 
B
A
GMm GM m
−
= − E p − E p 
rB
rA
B
A
Consideremos ahora que el punto A es el infinito y el punto B es un punto arbitrario cuya posición es r. Es decir, estamos trasladando la masa desde un punto donde la interacción gravitatoria es nula (y por tanto también la energía potencial) hasta otro cuya posición es r:
GMm GM m
− ∞
= − E p − 0
r
B
Con lo que la expresión de energía potencial es: E p = −G
Mm
r
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Energía potencial para un sistema de varias masas
La energía potencial total del sistema es la suma llevada a cabo sobre todos los pares de partículas.
m1
r1,3
r1,2
m3
r2,3
m2
E p =E p  E p
1,2
1,3

m1 m2 m1 m 3 m 2 m 3
 E p = −G


r 1,2
r 1,3
r 2,3
2,3

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Potencial gravitatorio
Potencial gravitatorio, V, en un punto es la energía potencial que adquiriría la unidad de masa colocada en dicho punto:
Ep
M
V =
= −G
m
r
r1
1
r3
r2
2
P
3
4
r4
VP
Unidades: J/kg
El conjunto de valores del potencial en función de la distancia constituye un campo escalar, de esta forma el principio de superposición de campos se reduce a la suma algebraica de los valores del potencial.

m1 m 2 m 3 m 4
= −G



r1
r2
r3
r4

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Representación gráfica del campo gravitatorio
Según la magnitud que utilicemos para definir el campo:
Líneas de fuerza:
tangentes en todos los puntos al vector intensidad de campo (g), dirección radial y sentido hacia la masa que crea el campo.
Como en cada punto sólo hay un valor para el campo gravitatorio, las líneas de fuerza nunca se cruzan.
El número de líneas que atraviesan la unidad de superficie es proporcional al valor del campo.
Superficies equipotenciales. Si unimos todos los puntos en torno a una masa que tienen el mismo valor de potencial tendremos una superficie equipotencial.
Son superficies esféricas (para cuerpos esféricos).
Son perpendiculares a las líneas de fuerza.
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Representación gráfica del campo gravitatorio
Cerca de la superficie
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Relación entre intensidad de campo y potencial
g d r =−dV ;
dV
g⋅dr⋅cos =−dV  g⋅cos =−
dr
El vector campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes.
Si el potencial permanece constante en una dirección, la componente del vector campo gravitatorio en esa misma dirección es igual a cero.
Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales, ya que la diferencia de potencial entre dos puntos de una superficie equipotencial es igual a cero y si g ≠ 0 entonces, cos  =  y por ello  = 90º.
Las superficies equipotenciales no se pueden cortar nunca; si lo hicieran, en el punto de corte habría dos vectores del campo gravitatorio, cada uno perpendicular a cada una de las superficies.
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Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio
Ft
F
Fn
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Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio
¿Cuánta energía necesitaríamos transferir a un cuerpo para que
abandonase completamente el campo gravitatorio terrestre?
Esa energía sería igual al trabajo que tendríamos que realizar contra la fuerza gravitatoria para llevar el cuerpo desde la superficie terrestre hasta el infinito (donde no habría interacción entre las masas):
W =
∞
∫R
T
 r = G
F⋅d
MT m
RT
Cualquier valor de energía por debajo de éste hará que el cuerpo no escape del campo gravitatorio de la Tierra, de ahí el nombre de energía de amarre o ligadura, pues por debajo de ese valor el cuerpo queda “ligado” o “amarrado” al campo gravitatorio terrestre.
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Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio
La energía cinética que debemos comunicar al cuerpo de masa m para que abandone el campo gravitatorio terrestre tiene que ser, como mínimo, igual a la energía de amarre:
MT m
Ec = G
RT
MTm
1
2
mv = G
2
RT

v =

2G M T
RT
=
 2 g 0 RT
Esta velocidad se denomina velocidad de escape, y es la mínima necesaria para que un cuerpo salga del campo gravitatorio.
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Energía y órbitas
A un cuerpo sobre la superficie de la Tierra se le transfiere una energía cinética para que llegue hasta el infinito con velocidad nula (se quede allí). Así, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:
EM = EM
Ec  E p = Ec  E p
∞
0
0
0

∞

∞
MT m
1
2
m v esc  −G
= 0
2
RT
Si un cuerpo alcanza la denomina velocidad de escape su energía será cero, y por tanto abandonará el campo gravitatorio.
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Energía y órbitas
Velocidad
Energía
Ligadura al campo gravitatorio
v = vesc
E = 0
Límite de ligadura.
E > 0
Desligado.
Distancia infinita con velocidad.
E < 0
Ligado al campo.
Describe órbita cerrada.
v > vesc
v < vesc
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Energía total de un cuerpo en órbita circular
Un satélite orbita por una trayectoria circular alrededor de la Tierra a una distancia r de su centro. Su energía potencial vale:
Ep
M T ms
= −G
r
Como la órbita es circular la fuerza gravitatoria proporciona la centrípeta necesaria para que el satélite gire en torno a la Tierra:
F g =F c
 G
M T ms
r
2
ms v 2
=
r

MT
v =G
r
2
Con lo que la energía cinética del satélite será:
MT
M T ms
1
1
2
E c = ms v = m s G
= G
2
2
r
2r
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Energía total de un cuerpo en órbita circular
Y la energía total, Ec + Ep:


M T ms
M T ms
M T ms
G
 −G
= −G
2r
r
2r
Energía negativa, lo que demuestra que el satélite está ligado a la Tierra. Igualmente válido es para una órbita elíptica.
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Formas de las órbitas
EM
Ec
MT m
E p =−G
r
Las órbitas correspondientes a una energía negativa son cerradas (circulares o elípticas). Este es el caso de todos los cuerpos del sistema solar, ligados al campo gravitatorio del Sol o de sus planetas.
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Formas de las órbitas
EM
Ec
MT m
E p =−G
r
Las trayectorias correspondientes a una enrgía total cero son de forma parabólica.
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EM
Formas de las órbitas
Ec
MT m
E p =−G
r
Las trayectorias correspondientes a una energía total positiva no despreciable son de forma hiperbólica.