RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO

Departamento de Matemáticas
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO.
La ecuación general de 2º grado es ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Ecuaciones incompletas.Son aquellas que tienen uno o dos términos de la ecuación general.
Caso I. b = c = 0 ⇒ ax 2 = 0 ,
Se despeja x2 dividiendo los dos miembros por a.
Su solución es evidentemente única: x = 0
Ejemplos:
2
2
2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ x = ± 0 = 0
ax 2 0
= ⇔ x2 = 0 ⇒ x = ± 0 = 0
a
a
−5x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇒ x = ± 0 = 0
−x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇒ x = ± 0 = 0
Caso II. b = 0 y c ≠ 0 ⇒ ax 2 + c = 0
Se despeja x2 y luego se extrae la raíz cuadrada.
−c
−c
ax 2 −c
=
⇔ x2 =
⇒x=±
ax 2 + c = 0 ⇔ ax 2 = −c ⇔
a
a
a
a
Dependiendo del signo del denominador tendremos dos soluciones o ninguna.
Ejemplos:
8
2x 2 − 8 = 0 ⇔ x 2 = = 4 ⇒ x = ± 4 = ±2
2
16
16
3x 2 − 16 = 0 ⇔ x 2 = = 4 ⇒ x = ±
3
3
− x 2 + 12 = 0 ⇔ x 2 = 12 ⇒ x = ± 12
4x 2 + 9 = 0 ⇔ x 2 =
−9
−9
⇒x=±
⇒ no tiene
4
4
Caso III. c = 0 ⇒ ax 2 + bx = 0
Se transforma la suma en un producto de factores, extrayendo x como factor común de los dos
términos. Se reduce la ecuación de 2º grado a DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
⎧x = 0
⎪
2
ax + bx = 0 ⇔ x ⋅ ( ax + b ) = 0 ⇒ ⎨
−b
⎪⎩ax + b = 0 ⇒ x = a
Siempre hay DOS SOLUCIONES, siendo una de ellas x=0.
Ejemplos:
1
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⎧x = 0
x 2 − 6x = 0 ⇒ x ⋅ ( x − 6 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 6 = 0 ⇒ x = 6
⎧x = 0
⎪
2
3x + x = 0 ⇒ x ⋅ ( 3x + 1) = 0 ⇒ ⎨
−1
⎪⎩3x + 1 = 0 ⇒ x = 3
⎧x = 0
⎪
−2x + 13x = 0 ⇒ x ⋅ ( −2x + 13) = 0 ⇒ ⎨
13
⎪⎩−2x + 13 = 0 ⇒ x = 2
2
Caso IV. Caso general. ax 2 + bx + c = 0
Resolución constructiva:
Trataremos de resolver algunas ecuaciones de 2º grado completas sin emplear la fórmula que
seguro conoces. La idea es transformarla en una ecuación de primer grado.
Debes recordar algunas igualdades notables:
Si las lees en alto sería algo así: “el cuadrado de una suma es el primero al cuadrado mas el
doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”
( x + a )2 = x 2 + 2ax + a 2
( x − a )2 = x 2 − 2ax + a 2
Veamos unos casos concretos:
Se completa el “doble del primero por el segundo”
Se completa el “cuadrado del segundo”
x 2 + 8x + 12 = 0 ⇔
x 2 − 4x − 21 = 0 ⇔
x 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 12 = 0 ⇔
x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x − 21 = 0 ⇔
x 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 42 − 42 + 12 = 0 ⇔
x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + 22 − 22 − 21 = 0 ⇔
(*)
(*)
x 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 42 = 42 − 12
x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + 22 = 22 + 21
( x + 4 )2 = 4 ⇒ x + 4 = ±
( x − 2 )2 = 25 ⇒ x − 2 = ±
4
⎧ x1 = −4 + 2 = −2
⇒ x = −4 ± 2 ⇒ ⎨
⎩ x 2 = −4 − 2 = −6
25
⎧ x1 = 2 + 5 = 7
⇒ x = 2±5⇒ ⎨
⎩x 2 = 2 − 5 = 3
2
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4x 2 + 38x + 18 = 0 ⇔ ( 2x ) + 38x + 18 = 0 ⇔ ( 2x ) + 2 ⋅ 2x ⋅
2
( 2x ) + 2 ⋅ 2x ⋅
2
( 2x )
2
2
2
19 ⎛ 19 ⎞
⎛ 19 ⎞
+ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 18 = 0 ⇔
2 ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2
2
38
+ 18 = 0 ⇔
4
2
19 ⎛ 19 ⎞ ⎛ 19 ⎞
+ 2 ⋅ 2x ⋅ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − 18 ⇔
2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
−1
19 17
⎧
2x1 = − + = −1 ⇒ x1 =
⎪
19 ⎞
361
289
19
289
17
⎪
⎛
2 2
2
− 18 =
⇒ 2x + = ±
=± ⇒⎨
⎜ 2x + ⎟ =
2⎠
4
4
2
4
2
⎝
⎪2x = − 19 − 17 = −18 ⇒ x = −9
2
⎪⎩ 2
2 2
Deducción de la fórmula.
2
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ ( ⋅4a )
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 ⇔ ( 2ax ) + 4abx + 4ac = 0 ⇔ ( 2ax ) + 2 ⋅ 2ax ⋅ b + 4ac = 0 ⇔
2
( 2ax )
x=
2
2
(*)
+ 2 ⋅ 2ax ⋅ b + b − b + 4ac = 0⇔ ( 2ax + b ) = b 2 − 4ac ⇒ 2ax + b = ± b 2 − 4ac ⇒
2
2
2
− b ± b 2 − 4ac
2a
Se llama DISCRIMINANTE a Δ = b 2 − 4ac
Su signo indica el tipo de solución:
Δ > 0 ⇒ dos soluciones reales diferentes
Δ = 0 ⇒ 1 solución doble
Δ < 0 ⇒ ninguna solución real.
Propiedades de las soluciones:
SUMA:
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac −2b − b
−b
s=
+
=
=
⇒ s=
2a
2a
2a
a
a
PRODUCTO:
p=
=
−b + b − 4ac −b − b − 4ac
⋅
=
2a
2a
2
(
b 2 − b 2 − 4ac
4a 2
2
) = 4ac = c ⇒ p = c
4a 2
a
( −b )2 −
(
b 2 − 4ac
4a 2
a
3
)
2