1. INTRODUCCIÓN El estudio del flujo en rocas fracturadas se constituyó, a partir de la mitad del siglo XX, como un tópico fundamental para la investigación, debido a que grandes obras civiles se construyen sobre rocas o constituyen formaciones geológicas almacenadoras de crudo o de agua, o pueden ser consideradas aptas para la disposición de desechos radioactivos u otros desechos. Los requerimientos anteriores, más la complejidad del medio, han conducido a los países desarrollados a promover la investigación en esta área y a realizar importantes inversiones para la adquisición del conocimiento y el manejo más adecuado del fenómeno. El flujo, a través de los espacios vacíos de una roca, ocurre fundamentalmente en un medio heterogéneo. El estudio del flujo en rocas se ha enfocado hacia la búsqueda de una mejor representación morfológica del espacio vacío, hacia la estimación de las propiedades macroscópicas de transporte y hacia la aplicación de ecuaciones de flujo a dicho medio, para finalmente predecir comportamientos y evaluar problemas en ingeniería. Obviamente que esto implica la búsqueda de idealización del medio y la suposición de existencia de una escala característica. Es posible hacer una aproximación de un medio continuo y definir sus propiedades macroscópicas promedias en estudios que consideren escalas de longitud mayores a la escala característica. El concepto de la propiedad macroscópica o parámetro de flujo ha sido utilizado en diferentes teorías de flujo, ya sea en forma determinística o en forma estocástica, considerando la variación espacial de la propiedad. El grado de heterogeneidad y la física del fenómeno cambian con el tipo de roca y con el tipo de espacios vacíos dentro de ella. En este trabajo se estudia el flujo en rocas consolidadas que poseen discontinuidades o planos de falla interconectados entre sí, a través de los cuales fluye y se filtra un fluido. A este medio lo denominaremos medio fracturado. El carácter heterogéneo en el medio fracturado es más fuerte que en el medio poroso, lo que da lugar a que las escalas representativas, si ellas existen, sean mayores que las del medio poroso, para que la aproximación del continuo sea válida. La existencia de escalas representativas en el medio fracturado es una aproximación que ha sido extensamente debatida en la literatura. Durante las dos últimas décadas, se han presentado evidencias desde diversas pruebas de laboratorio y de campo, que permiten vislumbrar la existencia de rasgos heterogéneos que evolucionan con la escala de observación, lo cual da lugar a problemas en la observación de sus rasgos más importantes. Esto conduce a que algunos parámetros geométricos clásicos utilizados para la caracterización del medio fracturado como son la densidad de fracturas, abertura, tamaño y orientación, entre otros, pierdan importancia en escalas mayores donde ocurre el fenómeno de flujo a través de los sistemas de fracturas. En este trabajo, se utilizan las propiedades especiales que las discontinuidades adquieren en su génesis para hacer una aproximación de este medio como producto de una transición de fase o fenómeno crítico. Esta aproximación permite expresar las propiedades de flujo del medio fracturado con leyes de escalamiento que se expresan en función de exponentes críticos, de acuerdo al valor de una escala característica. La universalidad de estos exponentes constituye una a especial que permite hacer una interpretación más general, análoga a otros fenómenos críticos. Los yacimientos o acuíferos, formaciones almacenadoras de fluidos, han sido estudiados y evaluados a partir de pruebas hidráulicas de diversos tipos y alcances. Éstas pruebas constituyen un mecanismo confiable y ampliamente utilizado en la estimación de los parámetros hidráulicos; sin embargo, a pesar de que ellas permiten adquirir información sobre sus características físicas e hidráulicas en escalas de campo, las pruebas se encuentran limitadas por los altos costos que implican, tanto su implementación como la realización de los pozos de observación. Esto obliga a limitar, de algún modo, la duración y alcance de dichas pruebas. 2 La heterogeneidad es una característica de los materiales de la naturaleza y depende de la escala y del lente con que se observe. Existen dos formas de entender la heterogeneidad, la primera es preguntarse por la presencia de escalas naturales, esta se estudia con toma de medidas alrededor de un sitio de muestreo y un instrumento especifico, en este caso es valido hablar de un efecto de escala. La segunda es una heterogeneidad que no se puede observar a simple vista y debe medirse con instrumentos que permitan variar el lente de observación bajo una escala especifica. En la practica para observar este tipo de heterogeneidad se tiene limitación del equipo. Con el fin de tener un mecanismo que permita observar con diferente escala de observación y diferente resolución o lente, se diseñó un experimento numérico que permite modelar pruebas hidráulicas en medios fracturados. El medio fracturado, idealizado como un sistema de transición de percolación, permite ejecutar diversos tipos de pruebas numéricas y observar comportamientos transitorios en tantos puntos de observación como se desee. Las pruebas numéricas realizadas permiten adquirir suficiente información sobre un medio con diversos grados de heterogeneidad. Se obtienen, así, las leyes de escalamiento de los parámetros de flujo, difusividad y conductividad hidráulica de acuíferos, las cuales reflejan dos formas de observación e interpretación del medio de acuerdo con su escala característica. Este tema se presenta en el capítulo 4. En aplicaciones prácticas, como son los bombeos o explotación de pozos en acuíferos y yacimientos, se presenta un efecto hasta ahora no considerado importante, el efecto no elástico de las rocas. Este efecto da lugar a que la solución de la ecuación de flujo no sea la solución clásica de fuente puntual instantánea, solución de Theis o solución Ei, sino otro tipo de soluciones. Este tema será tratado en la parte final del capítulo 3 con el interés de presentar los rasgos físicos y matemáticos importantes para la solución de este problema. Se utilizan los conceptos de análisis dimensional y grupos de renormalización para asumir una nueva suposición de autosemejanza, siguiendo las ideas de Barenblat (1996), la cual llevará a la consideración de una nueva escala relevante en la solución, la escala del radio del pozo, y su exponente anómalo. Este es un caso de flujo no lineal en rocas porosas. 3 2. REVISIÓN DE LITERATURA La importancia que reviste el flujo en rocas fracturadas obliga a realizar una extensa revisión bibliográfica, que incluye la revisión de trabajos y resultados en las diferentes escalas espaciales y temporales en las que se presenta el fenómeno. A pesar del esfuerzo por plasmar en este trabajo el producto de cincuenta años de investigación de la comunidad internacional, resulta imposible hacerlo en forma más completa y detallada, sin embargo se espera en lo posible atender con esta revisión, las principales inquietudes de los lectores, las cuales pueden complementarse en cada una de las referencias dadas. 2.1. EL FLUJO EN FRACTURAS SIMPLES Inicialmente la investigación del flujo en este medio se enfocó sobre el plano de la fractura, considerando que el flujo es análogo al que ocurre a través de láminas paralelas, sobre las cuales se aplican las ecuaciones de Navier-Stokes. Esta ecuación da un gran peso a la variable geométrica, abertura de la fractura (el flujo es proporciona al cubo de la abertura), lo cual dio origen a la expresión "ley cúbica", utilizada extensamente en la literatura. A partir de pruebas de laboratorio en fracturas artificiales de diferentes materiales en algunos casos y en rocas en otros casos, Lomize (1951), Romm (1966), Louis (1967), Sharp (1970) investigan el papel que juega la rugosidad de las paredes de la fractura en la expresión de flujo anterior, expresando el factor de fricción en forma análoga a como se expresa en el flujo en conductos. En este caso la escala representativa es la abertura de la fractura y es considerada en los trabajos anteriores que su dimensión es del orden de micras o algunos milímetros. La aplicación de los anteriores factores de fricción, considerando flujo laminar o turbulento, permite hallar el campo de velocidades en la sección de la fractura y permite estimar la 4 permeabilidad de macizos fracturados que presentan una familia de fracturas horizontales o cuasihorizontales, agregando el efecto de cada una de ellas. La estimación se realiza a partir de pruebas de inyección, tipo Lugeon, para las cuales Heitfeld (1965), Maini (1971), Rissler (1977) y Ewert (1977), entre otros, proponen métodos de estimación de permeabilidad y evaluaciones de las pruebas considerando pérdidas de energía en los accesorios y entrada de las fracturas. Para mayor ilustración se sugiere ver Carrillo (1997) quien realiza una revisión de este tipo de pruebas. La pruebas Lugeon se han realizado frecuentemente para estudiar los requerimientos de impermeabilización de las rocas sobre las cuales se cimentan las presas. Posterior a estos estudios surgió la necesidad de estudiar la viabilidad de utilizar las rocas como depósitos de desechos radioactivos, lo cual llevó al incremento de la investigación en esta área a partir de la década de los años 80. Witherspoon y Wang, (1980), entre otros autores, proponen la evaluación de la ley cúbica para fracturas sometidas a esfuerzos, y concluyen que existen áreas de contacto entre las paredes de la fractura (abertura cero), y que la ley cúbica es válida para cierto rango de abertura y esfuerzos. Raven and Gale (1985) y Pyrak-Nolte (1987) miden la relación entre los esfuerzos normales sobre las fracturas y el cerramiento de ellas, y definen un porcentaje de áreas de contacto. Ellos encuentran que bajo un cierto rango de esfuerzos y aberturas muy pequeñas, el flujo disminuye más rápidamente que el cubo de la abertura, además que cuando se excede dicho rango el flujo tiende a un valor que es independiente de los esfuerzos. El desarrollo de nuevas tecnologías para la medición de aberturas de fracturas en campo (pruebas de trazadores, pruebas hidráulicas y medición directa de flujo) permitió reportar valores mucho más pequeños que los reportados por Louis (1967) y Romm (1966). En granitos fracturados en Stripa Mine, Suecia y Fanay-Augere, Francia, sitios donde se localizaron diaclasas con grupos de rutas de flujo, se estimaron los siguientes valores: Neretnieks (1982), reportó aberturas de diaclasas del orden de 2 - 10 micras y Raven (1988) aberturas del orden de 100-200 micras. Neretnieks (1982), reportó áreas transversales netas de flujo (canales de flujo) del orden de 52 cm2 y Tsang (1987) del 5 orden de 3 cm2. Los caudales de filtración medidos en esos sitios fueron del orden de 115 cm3/min. Existe suficiente evidencia para concluir que sobre la superficie de la fractura existe una variación importante de la resistencia al flujo, producto de la variabilidad de la abertura y de las áreas de contacto, lo cual genera tortuosidad de las líneas de flujo sobre el plano de la fractura. Tsang (1987) modeló este fenómeno teniendo en cuenta una función de distribución de aberturas y encontró que el flujo del modelo difiere del flujo calculado con la ecuación cúbica; Tsang empieza a hablar de canales de flujo en el plano de la fractura. Desde una técnica de inyección de una aleación especial dentro de fracturas, Pyrak-Nolte (1987), obtiene moldes de los espacios vacíos de una fractura en laboratorio y muestra que ellos se encuentran en forma irregular y forman canales tortuosos que constituyen rutas o canales de flujo. A partir de estudios de laboratorio en núcleos de rocas con fracturas (Gentier, 1989) se muestra una variación log normal de la abertura sobre el plano de la fractura. El modelamiento numérico de este fenómeno lleva a aplicar diferentes distribuciones que representan variabilidad de los planos de la fractura ya sean como superficies fractales (Brown, 1987) o superficies con variación espacial representada con geoestadística (Tsang, 1998). 2.2. SISTEMAS DE FRACTURAS La necesidad de estudiar el flujo en escalas mayores llevó a considerar la existencia de familias de fracturas generadas por campos regionales de esfuerzos, que pueden presentarse con diversos direccionamientos. En este caso se dio importancia a variables geométricas como distancia entre fracturas, persistencia de la fractura y por supuesto la orientación de dichas familias. Estas variables dan lugar a la interpretación que se usa en geología con el diagrama de Schmidt (proyección estereográfica) para caracterizar los grupos de fracturas y su densidad espacial. Los primeros modelos geométricos que representan la morfología de los planos de fracturas, son modelos bastante idealizados. El primero es un modelo ortogonal, que 6 considera los sistemas de fracturas como grupos mutuamente ortogonales, los planteamientos de Snow (1965) se basan en este modelo. El modelo de Beacher (1978) considera que las fracturas tienen formas circulares o elípticas y están representadas por un grupo de discos de radio que puede ser constante o tener alguna variación representada con una distribución de probabilidad, la localización del centro de cada disco puede tener un patrón regular o distribuirse como un proceso Poisson. Este modelo fue ampliamente utilizado, entre otros autores, por Long (1982), y Cacas, Ledoux y Marsily (1990). Otros modelos menos utilizados son los de Veneziano (1978) y Dershowitz (1984), los cuales se basan en la similaridad entre la geometría de las fracturas observadas en campo y la geometría de los planos y líneas que siguen un proceso Poisson. Estos modelos son utilizados para plantear los modelos de flujo que hacen una consideración discreta de las fracturas. Desde el punto de vista del flujo, un macizo fracturado puede ser considerado homogéneo y anisotrópico cuando se puede construir un tensor con sus valores principales de conductividad hidráulica (Bear, 1972). Esto se puede lograr de dos maneras, considerando el medio fracturado equivalente a un medio poroso y aplicando los métodos convencionales para obtener sus parámetros a partir de pruebas hidráulicas (Hsieh, 1985) o considerando un medio con fracturas continuas (infinitas) perfectamente formadas y utilizando metodologías para el estudio de macizos discretamente fracturados planteando el tensor de conductividad propuesto por Snow (1969). El primer enfoque ha sido ampliamente utilizado, pero requiere la suposición de que el medio pueda ser representado con un volumen elemental de referencia. Las diaclasas de longitud infinita, fueron tratadas por Snow (1969), quien desarrolló una expresión matemática para obtener el tensor de conductividad hidráulica de una fractura simple con orientación arbitraria y abertura constante, bajo un sistema de coordenadas dado. El tensor para una red de fracturas, se forma agregando las respectivas componentes de los tensores de cada fractura individual, o sea que la conductividad 7 hidráulica equivalente puede encontrarse simplemente sumando la contribución de cada una de las fracturas discretas. Las diaclasas finitas, son tratadas por Long (1982, 1981), quien genera un modelo numérico de arreglos de fracturas a partir del modelo geométrico de Beacher. Sobre estos modelos se imponen ciertas condiciones de frontera para generar un gradiente lineal sobre una región en la cual se generan sistemas de diaclasas y resuelve la ecuación de Navier-Stokes para cada uno de los elementos, obteniendo tensores de permeabilidad en régimen permanente. El tratamiento del medio fracturado mediante el modelo de un medio continuo equivalente ha sido ampliamente utilizado. Sin embargo, la discusión sobre la existencia de un volumen elemental de referencia que permita dar validez al anterior enfoque ha generado controversia; vale la pena estudiar los planteamientos de Neuman (1987) y Marsily (1990). Las observaciones de campo y de laboratorio demostraron que los sistemas de fracturas en rocas están lejos de comportarse como un medio equivalente al medio poroso homogéneo o como un medio con fracturas continuas perfectamente formadas y conectadas entre sí. Las evidencias son claras en demostrar que las fracturas no conforman planos de flujo, Pyrak-Nolte (1987) y que ellas no se conectan completamente entre sí, Hsieh (1998). El flujo ocurre a través de rutas preferenciales, ya sea a través de canales tortuosos que se interceptan con otros canales, formando grupos de canales de flujo (clusters) o formando especies de canales que se interceptan en menor grado, en cuyo caso podría considerarse que el flujo ocurre esencialmente a través de pocos canales (Tsang y Neretnieks, 1998). Por esta razón, se piensa que el flujo en una red de fracturas puede aproximarse mejor a una red de líneas idealizadas como elementos conductores más o menos conectados en dos o tres dimensiones (Billaux, 1989; Cacas y Marsily, 1990; Odling, 1991). Los modelos de redes basados en las ideas anteriores son comunes. Long y Whiterspoon 8 (1987) desarrollan una relación entre la permeabilidad de un modelo de fracturas como conductores de longitud y densidad dada por una distribución Poisson. La difusividad y la conductividad hidráulica, principales parámetros que permiten desarrollar los modelos de flujo e interpretar las pruebas hidráulicas, han sido estudiadas a escalas de laboratorio, a escalas de ensayos puntuales y a escalas de campo, presentando alta variabilidad. Gelhar (1986), Dagan (1986) y Neuman (1998) modelan estos parámetros como variables estocásticas que poseen variación espacial representada mediante variogramas y geoestadística. Existen diversos modelos de este tipo aplicados a medios fracturados heterogéneos como los desarrollados por Folli (1990) y Niemi (1994). 2.3 CONECTIVIDAD DE FRACTURAS La alta heterogeneidad que presenta el medio fracturado y la falta de correlación entre los parámetros geométricos tradicionalmente medidos (abertura, distanciamiento, longitud, densidad de fracturas) y los parámetros de flujo, sugieren que se está tratando un medio básicamente desordenado, el cual, difícilmente puede ser representado en forma determinística por parámetros geométricos observados a simple vista. Se hizo por lo tanto indispensable acudir a otro parámetro que permitiera obtener información adicional sobre los sistemas de fracturas como es su grado de conexión o conectividad. Este ha sido un término poco aceptado por las escuelas tradicionales de investigación, pero imposible de ignorar dadas las evidencias encontradas. Billaux (1989) habla de la conectividad de las redes de fracturas, y propone algunas metodologías para tratar de evaluar este efecto. Utilizando modelos de sistemas de fracturas y generando un ensayo numérico de inyección, Billaux, 1990, determina el número de intersecciones alcanzadas, esto da lugar a una curva llamada de conectividad y define la conectividad como el numero de rutas a través de las cuales el agua puede fluir cuando es inyectada en un punto del sistema. 9 Para Billaux existen tres casos representativos de conectividad: a. El sistema es pobremente conectado: El número de fracturas que pueden ser alcanzado desde un punto de inyección es limitado, y la red se encuentra por debajo de la densidad crítica. b. La red está muy bien conectada: El número de fracturas que puede ser alcanzado es grande, y la inyección llega hasta las fronteras de la red. Se considera que la red está por encima de la densidad critica. c. Entre estos dos casos extremos, existe el caso en el cual se alcanza cierto número de fracturas y la respuesta de la inyección no llega hasta todas las fronteras. Se considera que la red está cercana a la densidad crítica. En este caso densidad es el número de fracturas por unidad de área y densidad crítica es el número mínimo necesario para que ocurra el flujo.. La complejidad del flujo en rocas fracturadas se debe a la geometría compleja que presentan los sistemas, ellas no tienen longitud infinita sino que pueden presentarse en muy diversas escalas, por lo tanto la permeabilidad de la roca depende del grado de interconexión del sistema de fracturas. La permeabilidad debe tener una dependencia de la escala, la cual ha sido observada desde escalas de laboratorio hasta la escalas de campo (Brace, 1980, 1984; Clauser, 1992). Otras aproximaciones de la conectividad se estudian con la aplicación de la teoría de percolación a los sistemas de fracturas. 2.4 TEORÍA DE PERCOLACIÓN EN FRACTURAS El estudio de los sistemas de fracturas con la teoría de percolación se inicio con los trabajos de Robinson (1983, 1984) y Englman (1983), quienes modelaron las fracturas como segmentos de líneas de posición aleatoria y distribución estadística de la longitud y la orientación. Ellos relacionan la densidad de líneas en una región con la densidad de sitios ocupados en una malla de percolación. 10 Berkowitz y Balberg (1993) presentan una revisión de la literatura de percolación aplicada al flujo en medio poroso y fracturado. Stauffer (1992) presenta los fundamentos básicos de la teoría de percolación. Sahimi (1994 y 1995) presenta una revisión extensiva de los conceptos de la teoría de percolación y la aplicación a medios porosos y fracturados, incluyendo también la aplicación de la teoría del medio equivalente desarrollada por Kirkpatrick (1983) la cual se origina igualmente en las ideas de percolación, pero considera sistemas alejados del umbral de percolación. Robinson (1984) desarrolla simulaciones numéricas para encontrar algunos exponentes críticos y la densidad crítica de las fracturas; en el límite de sistemas grandes la densidad crítica es aproximadamente 5.6 en sistemas de dos dimensiones, valor confirmado posteriormente por Berkowitz (1995) y Bour and Davy (1997). Hestir and Long (1990) utiliza la teoría de percolación a partir de un modelo de fracturas mapeado sobre mallas de percolación para obtener una expresión que relacione la permeabilidad con la conectividad del sistema la cual se expresa en función de la probabilidad de ocupación. Los resultados obtenidos se comparan bastante bien con los resultados obtenidos con el modelo de Robinson. A partir de estos modelos halla el exponente de escalamiento de la permeabilidad desde simulaciones de percolación. Los modelos anteriores utilizan elementos o fracturas de longitud constante. Bour and Davy (1997) utiliza la teoría de percolación en sistemas de fracturas de longitudes variables que siguen una ley de potencia, ellos plantean las propiedades de escalamiento de la red y definen longitudes criticas. Charlaix (1987) trabaja exponentes críticos en la escala de la fractura y comportamientos de permeabilidad en escalas de la longitud de correlación considerando una distribución espacial de resistencia hidráulica y de resistencia crítica, y expresa la longitud de correlación en función de esta distribución. La medida de la conectividad, en este contexto, ha sido propuesta como el número promedio de intersecciones por fracturas, en un proceso aleatorio de generación de líneas. Si se escoge una determinada línea se cuenta el número de líneas que la interceptan, y se define la conectividad como el valor promedio de líneas que interceptan dicha línea seleccionada. 11 2.5 PRUEBAS HIDRÁULICAS La distribución de la heterogeneidad en el espacio es reflejada por pruebas hidráulicas de campo. Hsieh (1998), Neretnieks (1987), entre otros, concluyeron que no todas las fracturas conducen fluido, y que ellas se agrupan en especies de clusters conductores que llevan la mayor cantidad de flujo, o se agrupan en clusters aislados, que no conducen. Estas pruebas son realizadas en ensayos que incluyen varios pozos de observación además del pozo de bombeo o inyección, en los cuales se aíslan las zonas de fracturas conductoras con empaques dentro del pozo. Vale la pena comentar que la tecnología para los ensayos hidráulicos en campo ha avanzado considerablemente y se ha aplicado a rocas fracturadas en varias regiones de Estados Unidos y Europa. Para simular el fenómeno de flujo que ocurre a través de rutas preferenciales formando caminos intrincados de flujo, se han realizado simulaciones numéricas. Polek (1990) y Acuña y Yortsos (1995), representaron este medio con sistemas fractales conocidos a los cuales les aplicaron pruebas de flujo y pudieron observar comportamientos y respuestas de esas simulaciones. Barenblat, Zheltov and Kochina (1960) introdujeron el concepto de doble porosidad para estudiar el flujo en rocas fracturadas en el caso en que la porosidad de la roca no fuera despreciable. Rofail (1967) y Barenblat (1990) presentan una metodología para interpretar pruebas de pozos basados en el concepto anterior de doble porosidad. Warren and Root (1963) presentaron otros parámetros para caracterizar las formaciones anteriores. Todos estos autores asumieron flujo cuasi permanente en la matriz de la roca. Gringarten (1982) introdujo nuevos grupos adimensionales y presentó curvas tipo para analizar datos de pruebas de pozos. Una revisión completa de análisis de pruebas de pozos en el área de petróleos se puede encontrar en Earlougher (1977) y Streltsova (1988). Karasaki (1987) aplica las ecuaciones de flujo radial en acuíferos fracturados considerando dos dominios diferentes, el primero es un dominio afectado por la influencia inmediata del pozo donde las suposiciones tradicionales del flujo radial hacia 12 el pozo no son válidas; en el segundo dominio, alejado del pozo, puede asumirse un medio homogéneo sobre el cual se aplican las ecuaciones tradicionales. Karasaki, Long y Whiterspoon (1988) realizan una revisión de los modelos analíticos para interpretar las pruebas Slugs, las cuales se basan en la medida de recuperación de niveles en el pozo. Barker (1988) considera la dimensión no entera en el dominio de flujo desde un pozo y la involucra en las ecuaciones de flujo resolviendo con transformadas de Laplace. Polek (1990) hace la comparación entre la dimensión no entera del flujo y la dimensión no entera del medio, sugiriendo que la primera es siempre menor a la segunda. La necesidad de incorporar escalas adicionales, que no están involucradas en las ecuaciones de flujo sino quizás en la condición inicial, ha sido propuesta por Barenblat (1987) en el área del flujo de fluidos y por Goldenfeld (1999) en el área de las transiciones de fase, a partir del planteamiento de grupos adimensionales que siguen una ley especial de autosemejanza y para su solución se debe acudir a consideraciones adicionales al análisis dimensional. Estas teorías consideran las propiedades de renormalización y homogeneidad dimensional de las ecuaciones de flujo. Como ejemplo, se tiene el problema de difusión de una masa de fluido dentro de un medio poroso considerando retención residual, en cuyo caso, la solución involucra el radio de la recarga como escala adicional (Barenblat, 1987) generando un componente no lineal que da lugar a un problema de coeficiente discontinuo y solución de un problema de autovalor (Gómez y Mesa, 1997). La incorporación de escalas adicionales se debe a la no linealidad del flujo en fenómenos transitorios, lo cual da lugar al planteamiento y solución de problemas con coeficientes discontinuos (Barenblat, 1987). La no linealidad se puede presentar en el flujo hacia el pozo debido a la presencia de turbulencia en el dominio cercano al mismo acuífero (Pérez, 1995). 13 3. FUNDAMENTOS BÁSICOS DEL FLUJO EN ROCAS Los tipos de rocas existentes en la naturaleza se describen de acuerdo a su origen geológico como rocas ígneas, sedimentarias y metamórficas. Este trabajo se enfoca principalmente sobre rocas ígneas y metamórficas que han sido sometidas a campos de esfuerzos, generando en ellas discontinuidades a las que hemos dado el nombre de fracturas. Se pueden resaltar los granitos, neises, areniscas, basaltos, esquistos y otras, las cuales conforman el llamado medio o rocas fracturadas. El flujo en rocas fracturadas constituye un componente importante en el estudio de las aguas subterráneas pues pueden llegar a formar acuíferos de alta capacidad y convertir al flujo en un recurso hídrico relevante. En otros casos, el flujo se presenta en cantidades limitadas, observándose solamente algunos hilos de agua en túneles y afloramientos de roca, que no tienen ningún atractivo como recurso hídrico, pero que ocasionan serios problemas de estabilidad de grandes masas rocosas e igualmente, pueden generar filtraciones indeseables a través de presas, túneles y depósitos de desechos radioactivos. Cuando el fluido es petróleo, se habla de yacimientos y se está interesado en su explotación, la cual debe ser optimizada, dado el valor que tiene este recurso. El estudio del flujo en medio fracturado, rocas consolidadas, presenta mayor complejidad que el estudio del flujo en medio poroso pues sus parámetros hidráulicos están sometidos a mayor incertidumbre, debido a la fuerte heterogeneidad que caracteriza este medio. Por lo tanto, se exige una mayor profundidad en el reconocimiento de los rasgos importantes del fenómeno y en la identificación de las escalas representativas, ya sea que se estudie el flujo a través de una fractura simple o a través de un sistema de fracturas. 14 Para describir los fenómenos de transporte, como son la conducción de calor, la conducción eléctrica o la transferencia de masa, se utilizan las leyes de Fourier, Ohm y Fick, respectivamente, leyes de flujo que tienen básicamente la misma forma (los flujos son proporcionales a los gradientes o potenciales). Éstas son válidas en el régimen considerado cerca al equilibrio, es decir, donde los flujos son funciones lineales de las fuerzas. Estas leyes dan origen a la formulación matemática de los problemas y al planteamiento de ecuaciones de flujo cuyas soluciones pueden ser obtenidas en forma analítica si se conocen las condiciones iniciales y de frontera. Dichas soluciones se pueden obtener desde la aplicación del análisis dimensional, cuyo concepto fundamental es la autosemejanza de los fenómenos físicos. 3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES En el medio fracturado, igual que en el medio poroso, el estudio del flujo requiere la determinación de la conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad K, el cual se define como la capacidad de un medio para permitir el paso del agua. Este coeficiente refleja ambas propiedades, las del medio y las del fluido y puede ser expresado como K = kρ g μ (3.1) Donde k es la permeabilidad del medio, llamada permeabilidad intrínseca, g es la aceleración de la gravedad, ρ es la densidad del fluido y μ es la viscosidad dinámica del fluido. El flujo en el subsuelo, en la zona saturada, ha sido tradicionalmente estudiado utilizando la Ley de Darcy (ley de flujo), la cual originalmente se postuló para flujo en una dirección y cuyo rango de validez se encuentra en el régimen de flujo laminar, V = KJ, 15 (3.2) donde V es la velocidad de descarga, K es la conductividad hidráulica y J es el gradiente hidráulico. Para describir el flujo en un dominio de medio poroso, se ha utilizado el concepto de Volumen Elemental de Referencia, VER (volumen para el cual el promedio de la conductividad hidráulica se estabiliza) el cual se observa en forma esquemática en la Figura 3.1. De existir, a este volumen de roca se le puede asignar un valor promedio de conductividad hidráulica (Marsily,1986). k Tamaño del Ver (Vol., L) L Figura 3.1. Esquema explicativo del VER. Bear (1972). El concepto del VER permite reemplazar el medio real, por un modelo teórico de MEDIO CONTINUO sobre el cual se pueden asignar variables promedias, como la porosidad, conductividad hidráulica, etc., y permite describir el flujo dentro de un dominio por medio de ecuaciones diferenciales. En medios que presentan alta heterogeneidad como es el medio fracturado, el VER podría no existir o ser mucho mayor que la escala de observación del problema. Se han planteado discusiones sobre su existencia en estos medios (Neuman, 1987). La ecuación diferencial en coordenadas cartesianas que representa el flujo estacionario en un medio continuo es ∂ [ K xx J x ]+ ∂ [ K yy J y ]+ ∂ [ K zz J z ]= 0 ∂x ∂y ∂z 16 (3.3) Jx, Jy y Jz: Gradiente hidráulico en las tres direcciones. Un medio homogéneo y anisotrópico se describe con el tensor de conductividad hidráulica. La medida direccional de la conductividad hidráulica en un dominio permite encontrar este tensor y el dibujo de las respectivas conductividades direccionales Kxx, Kyy, Kzz, en coordenadas polares conformarán un elipsoide si el medio es homogéneo y anisotrópico (Bear, 1972). El estudio del flujo en el plano de una fractura se basa en las ecuaciones de Navier Stokes, que representan el comportamiento del flujo entre dos láminas paralelas. En esta analogía el flujo es considerado laminar con una distribución de velocidades parabólica en la sección del flujo. En la figura 3.2, se observa esta aproximación. Figura 3.2. Esquema de flujo en planos de fracturas continuas. Aplicadas las condiciones de borde, al plano de la fractura, la velocidad y el caudal se expresan como V x= g b 2 ∂p , 12 ν ∂ x Q = gHb 12 ν 3 ∂p , ∂x (3.4) Donde b es la abertura de la fractura; H es el ancho de la fractura: g es la gravedad, ν es la viscosidad cinemática y ∂p es el gradiente de presión en la dirección del flujo. La ∂x 17 expresión 3.4 es una relación cúbica entre la descarga y la abertura de la fractura que ha sido ampliamente utilizada en el estudio del flujo en rocas fracturadas (Long, 1982; Marsily, 1986; Wittke, 1990). 3.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DEL FLUJO EN MEDIOS FRACTURADOS El medio fracturado tiene un carácter heterogéneo mucho más marcado que el medio poroso, por lo tanto, el hecho de promediar el valor de la conductividad hidráulica sobre un dominio o el considerar un área transversal homogénea de flujo, nos aleja, en este caso, mucho más de los comportamientos reales de flujo. A continuación se expresan algunos de los rasgos observados en escala de la fractura y en escala de sistemas de fracturas desde observaciones de campo, trazadores y pruebas hidráulicas. Sin embargo, en cada escala de observación se pueden encontrar nuevos rasgos. Esto sugiere que la observación de rasgos importantes en el fenómeno de flujo en rocas fracturadas varía de acuerdo con la escala que se utilice para hacer dicha observación. 3.2.1 Condiciones de flujo en la escala de la fractura La fractura está formada por dos superficies onduladas y rugosas que están en contacto en algunos puntos (abertura cero) y separadas en otros un valor del orden de unas pocas micras hasta el orden de unos pocos milímetros. Las características físicas observadas en pequeñas escalas como son la rugosidad de sus paredes, las áreas de contacto, el lleno en la fractura y otras, generan heterogeneidad en la escala de la fractura que afectan las condiciones del flujo. Las áreas de flujo a través de la fractura (secciones abiertas) son muy variables y son consideradas como canales potenciales de flujo. 18 Figura 3.3. Esquema de canales de flujo en el plano de la fractura El flujo en la fractura ocurre si la sección abierta se encuentra conectada con otras secciones abiertas de la misma fractura, que le permita formar un canal de flujo. Bajo un gradiente hidráulico impuesto, el agua buscará el camino más fácil y se crearán rutas tortuosas, evitando las secciones de mayor resistencia. Por lo tanto el flujo en un plano de fractura ocurrirá a lo largo de canales que pueden continuar aislados o pueden cruzarse con otros como se observa en la figura 3.3. Las anteriores características han sido observadas a escala de las fracturas y existen evidencias físicas de estos fenómenos basadas en pruebas de trazadores, en pruebas hidráulicas y en mediciones de caudales de filtración realizadas en granitos fracturados en Stripa Mine, Suecia y Fanay-Augere, Francia (Tsang, Neretnieks, 1998). Una revisión de este tema se puede encontrar en Gómez (1994). 3.2.2 Condiciones de flujo en la escala de sistemas de fracturas Las fracturas se presentan en familias que pueden interceptarse y formar especies de bloques, los cuales debido a la presencia de puentes de roca y áreas de contacto, están lejos de conformar bloques regulares (los cuales supuestamente constituirían sistemas con perfecta conexión). Cuando dos planos de fracturas se interceptan pueden presentar rasgos especiales en la escala de observación. Bajo cierta escala se podrían observar los siguientes casos mostrados en forma esquemática en la figura 3.4. 19 - Un canal de flujo en una fractura puede estar conectado a una parte cerrada o parcialmente cerrada en otra fractura. En este caso la intersección impide o controla el flujo desde un plano al otro. No existe conexión en la intersección, no existe flujo, o este ocurre en forma controlada. Si esta condición prevalece, existirán muy pocos canales que conecten las fracturas. Poca Conexión. - Un canal en una fractura puede estar conectado con una parte abierta en la otra fractura y en este caso el canal continuará sobre más de una fractura. Se presenta mezcla de canales en las intersecciones y buena conexión. Figura 3.4. Esquema de intersección de planos de fracturas. El flujo ocurre solamente a través de canales de flujo que se interconectan entre sí. En el primer caso existirán muy pocos canales que estén conectados de una fractura a otra y estos pueden tratarse como un grupo de conductos individuales (existirá poca conexión). En el segundo caso se tendrá una mezcla de canales en las intersecciones entre fracturas (existirá una conexión fuerte). Los macizos fracturados poseen una mayor o menor comunicación hidráulica, que depende de las condiciones de los esfuerzos tectónicos a que fueron sometidos durante el tiempo geológico y dependen también de las condiciones físicas de las rocas afectadas. El flujo ocurre a través de una intrincada red de canales, algunos de ellos no conducen a ninguna parte y forman clusters que no contribuyen al flujo, solamente una parte de la red de canales contribuirá 20 al flujo en un macizo. Estas características permitirán expresar el flujo en medio fracturado como un fenómeno crítico o transición de percolación como se presentará en el numeral 3.8. 3.2.3 Ecuaciones de flujo en rocas Para la interpretación de pruebas hidráulicas en formaciones geológicas que constituyen acuíferos o yacimientos (formaciones que almacenan fluidos) se deben estudiar las ecuaciones que rigen el flujo hacia o desde un pozo. Estas pruebas se realizan con el objetivo de conocer el comportamiento hidráulico de dichas formaciones y estimar los parámetros de flujo. La interpretación de los procesos de inyección o de bombeo en un pozo utilizando la ecuación de Theis o la ecuación EI (integral exponencial), se realiza bajo la suposición de flujo radial en medio homogéneo, isotrópico y dominio infinito. Bajo la hipótesis de homogeneidad, la ecuación que rige este flujo es la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas y su solución está basada en la suposición de que el pozo es una fuente lineal instantánea de radio cero. La solución se utiliza para la interpretación de la prueba, sea ésta de bombeo o de inyección, es decir, no se diferencian los procesos de entrada o de salida de fluido a la formación geológica, por lo tanto, el bombeo o inyección son procesos tomados como dos procesos idénticos y se representan con la misma solución. La formulación matemática del problema se realiza inicialmente en coordenadas cartesianas y en régimen transitorio, para lo cual se aplica el principio de conservación de masa sobre un volumen de control que se escribe como − ⎡∂ ⎢⎣ ∂x ( ρ Vx ) + ∂ ∂y ( ρ Vy ) + ∂ ∂z ⎤ ⎥⎦ ( ρ Vz ) = ∂ρ , (3.5) ∂t Se aplica el principio de conservación de momentum (ley de flujo o ley de Darcy) considerando las componentes cartesianas del potencial de velocidad ϕ, para obtener 21 Vx = − k ∂h ∂x Vy = − k , ∂h Vz = − k , ∂y ∂h ∂z . (3.6 ) Cuando el flujo ocurre bajo condiciones isotérmicas, no se requiere el principio de conservación de energía. Si se tiene en cuenta la compresibilidad del acuífero βr α, y la compresibilidad del fluido βf , el término de la parte derecha de la ecuación (3.5) expresa la parte de fluido almacenado en la formación y toma la forma ∂ρ ∂t ⎛ ⎜ ⎝ = mρ⎜β + f β r ⎞⎟ ∂p m ⎟ ∂t ⎠ , (3.7 ) donde m es la porosidad, ρ es la densidad del fluido y p es la presión. El coeficiente de almacenamiento S, se puede expresar en función de las propiedades físicas de la roca como ⎛ ⎝ S = γ m B⎜ β f + βr ⎞ m ⎟ ⎠ . (3.8) De esta manera el coeficiente de almacenamiento representa la variación del peso del fluido en el tiempo: ∂W/∂t = Ss B, siendo Ss el coeficiente de almacenamiento específico (unidades de longitud) y B el espesor del acuífero. Teniendo en cuenta la ley hidrostática ∂p = γ ∂h, y la densidad constante en el caso de fluido incompresible, las ecuaciones (3.5), (3.6) y (3.8) se combinan para obtener la ecuación general de flujo, ⎛ ∂Vx ⎝ ∂x −⎜ + ∂Vy ∂y + ∂Vz ⎞ ∂z ⎟= ⎠ S ∂h B ∂t . Para el flujo Darciano existe un potencial de velocidad (3.9 ) en función de la cabeza hidráulica, ϕ = K∇h y por lo tanto la ecuación diferencial para flujo transitorio en un 22 acuífero confinado de espesor uniforme, isotrópico y homogéneo en coordenadas cartesianas será 2 2 2 ∂ h ∂ h ∂ h S ∂h + + = . 2 2 2 kB ∂t ∂x ∂y ∂z (3.10) En coordenadas cilíndricas la ecuación anterior se expresa 2 ∂ h ∂r 2 + 1 ∂h r ∂r = S ∂h . kB ∂t (3.11) En el caso de acuífero libre usualmente se ignoran los efectos de la elasticidad del acuífero considerados pequeños y el coeficiente de almacenamiento se toma como equivalente a la porosidad efectiva (volumen que puede ser extraído por gravedad desde un volumen unitario de acuífero saturado). En un acuífero confinado la cantidad total de agua que se puede extraer, es liberada debido a los efectos elásticos del acuífero y del fluido como se observa en la expresión (3.8) que representa el coeficiente de almacenamiento. Theis (1935) propone una solución a la ecuación de flujo en acuíferos haciendo una analogía con la ecuación de calor en un plano infinito a partir de una fuente puntual instantánea estudiada por Carslaw and Jaeger (1959). Debido a que esta es una solución a una ecuación de difusión clásica se hace la suposición de fuente infinitesimal (fuente concentrada instantánea) y por lo tanto no se involucra la escala del radio del pozo. La solución tiene la forma Q ho − h = 4π T ∞ r2 S e −u ∫u u ∂ u , u = 4Tt (3.12) Esta solución ha sido la base para la hidráulica de pozos y el tratamiento matemático de acuíferos durante todo el siglo XX. Teóricamente la solución se aplica a formaciones geológicas homogéneas de extensión infinita, en las cuales el pozo atraviesa todo el 23 espesor del acuífero, la transmisividad es constante en el tiempo y en el espacio, y el pozo tiene un diámetro infinitesimal. 3.2.3.1 Analogía entre el flujo de calor en materiales y el flujo en acuíferos Las ecuaciones anteriores se basan en una analogía total con el flujo de calor en cuerpos sólidos. El principio de conservación de calor y la Ley de Fourier dan origen a la ecuación diferencial para conducción de calor, que en una dirección es ∂θ ∂t =κ 2 ∂ θ , 2 ∂x κ = λ ρC , (3.13) Donde κ es la difusividad térmica, λ la conductividad térmica, ρ la densidad y C el calor especifico, considerado constante e idéntico ya sea para calentamiento o enfriamiento de cuerpos sólidos. El análogo en acuíferos es κ = T/S la difusividad hidráulica o coeficiente de difusividad, siendo T la transmisividad del acuífero (análoga a la conductividad térmica, λ) la cual describe la habilidad del acuífero para transmitir agua como un todo y es igual a la conductividad hidráulica por el espesor saturado, kB. Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento S resulta ser análogo al calor específico, C. Cuando existe una variación de la temperatura el flujo de calor es relajado en forma instantánea, lo cual resulta ser análogo con el caso de acuíferos confinados puesto que el agua se descarga instantáneamente desde el almacenamiento debido a la caída de presión. En acuíferos libres el drenaje ocurre en forma lenta y el tratamiento dado por Theis (1935) no tiene en cuenta ni el tiempo de demora en la descarga desde el almacenamiento, ni el volumen de agua retenido en los poros. En ambos tipos de acuíferos los coeficientes utilizados son considerados constantes e idénticos en los casos de extracción o inyección; igual consideración se hace para la interpretación de pruebas hidráulicas en yacimientos que almacenan petróleo. 24 En estos yacimientos, la ecuación que rige la distribución de presión p(r, t) en flujo radial es la siguiente ∂ 2 p 1∂p 1 ∂p + = ∂r 2 r ∂r n ∂t n= k , mc t μ (3.14) en donde n es el coeficiente de difusividad, ct es la compresibilidad total (incluye la roca y el fluido), μ viscosidad dinámica y m porosidad (Streltsova, 1988). Esta ecuación tiene la misma forma de la ecuación utilizada en acuíferos. 3.2.3.2 Solución analítica a la ecuación de calor Ecuaciones del tipo 3.11, 3.13 o 3.14, requieren condiciones iniciales y de borde. La condición inicial consiste en el valor de la función θ(x, t) en el tiempo inicial. Las condiciones de borde pueden diferir dependiendo de las condiciones térmicas en las fronteras, ya se trate de un valor dado en los extremos, valores de derivadas de la función o alguna relación lineal entre las derivadas y la función (Tijonov y Samarski, 1972). Una vez se tiene definido el problema de valor de frontera se busca la solución utilizando diversos métodos como son las transformadas de Laplace y el análisis dimensional (ver literal 3.5). El método de separación de variables busca la solución de la ecuación homogénea y aparece una serie que converge. Como la Ley de Fourier en la ecuación de momentum es lineal se puede usar el principio de superposición resolviendo se llega a la siguiente expresión θ ( x, t ) = l ∫ G ( x, ξ , t ) ϕ (ξ ) ∂ ξ (3.14.1) o Siendo G (x, ξ , t) la llamada función de Green o “función fuente puntual instantánea” la cual representa la distribución de la temperatura en una barra de longitud, L, en el tiempo t, siempre y cuando la temperatura en el tiempo inicial sea igual a cero y una cierta cantidad de calor sea liberada instantáneamente en el punto x = ξ. 25 La búsqueda de soluciones de semejanza permite analizar condiciones importantes de los problemas y obtener la solución a ecuaciones diferenciales parciales. El tema de autosemejanza y análisis dimensional se desarrolla en el numeral 3.5 y 3.6. 3.3 PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO PARA FLUJO EN MEDIO POROSO FRACTURADO En esta investigación se plantean las consideraciones de flujo de medios puramente fracturados y de medios llamados de doble porosidad. Sin embargo, los aportes finales de este trabajo no consideran el medio de doble porosidad. Cuando se considera que el fluido se almacena en el espacio de los poros entre los granos (medio poroso) o matriz del medio, se tiene el flujo en medio poroso. Pero si además esa matriz posee discontinuidades que forman una red intrincada de conductores comunicados entre sí que poseen algún valor de conductividad hidráulica y permiten el flujo a través de ellos, se habla entonces del flujo en un medio poroso fracturado o flujo en un medio de doble porosidad. En el segundo caso las discontinuidades poseen generalmente dos dimensiones de varios órdenes de magnitud mayor que la tercera. Mientras en el primero los poros presentan tres dimensiones del mismo orden de magnitud. Se debe distinguir entonces entre un medio poroso fracturado en el cual los dos medios poseen porosidad y permeabilidad. Un ejemplo es la arenisca, en cuyo caso el volumen almacenado en las fisuras puede ser despreciable con respecto al volumen total de la matriz. Un medio puramente fracturado se presenta cuando la porosidad de la matriz es nula y el sistema de fracturas conforma bloques impermeables que no intercambian flujo, por lo tanto, el flujo ocurre solamente a través del sistema de fracturas; un ejemplo lo constituyen las rocas ígneas fracturadas como el granito. Estas simplificaciones se pueden hacer sólo bajo ciertas condiciones. Debido a que en la mayoría de los casos la conductividad hidráulica del sistema de fracturas es muchas veces mayor que la conductividad de la matriz porosa, se dice que el fluido es almacenado en los bloques porosos y luego transportado a través de las 26 fracturas. Este hecho es importante de considerar cuando se estudian procesos transitorios debido al efecto del intercambio de flujo entre los dos medios. Por otro lado, resulta fundamental la consideración de las diversas escalas a considerar en esta aproximación. Existen tres escalas fundamentales: La escala del dominio o región de flujo, L, la escala de los bloques porosos, l, y la escala del poro, d. En este caso el volumen elemental de referencia debe ser suficientemente grande comparado con el tamaño del bloque, para poder obtener promedios representativos. Sin embargo, a partir de una caída de presión en la escala del yacimiento, se generan también flujos locales entre los bloques porosos y las fracturas como producto de la diferencia de presiones entre ellos. Bajo la suposición de permeabilidad muy pequeña de la matriz, ocurre un proceso transitorio mientras las presiones de las fracturas y de los bloques se igualan, ocurriendo un flujo q, desde ellos hacia la fractura. A partir de la ecuación de continuidad en cada uno de los medios (se incluye el flujo q y las respectivas porosidades las cuales aumentan con la presión correspondiente) y la ecuación de momentum se puede obtener la ecuación de flujo general en el medio poroso fracturado durante el proceso transitorio, aplicando la ecuación de continuidad en el medio poroso y en la fractura, y la respectiva ley de flujo ∂ p1 k ∂ ( r ∂ p1 = ∂t r ∂r ∂r )+ η ∂ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ p1 ⎞ ⎤ ⎜r ⎟ . ∂t ⎢⎣ r ∂r ⎝ ∂ r ⎠ ⎥⎦ (3 .15 ) Donde η= k k1l 2 , A α k2 siendo, A= k1 α k2 , y k= 2 μ l m2 ( β 2 + β1 ) μ l m2 ( β 2 + β 1 ) 2 Siendo l, la longitud del bloque, k1 y k2 las permeabilidades de la fractura y del medio poroso respectivamente, m2 es la porosidad de la matriz, β2 el coeficiente de 27 compresibilidad del medio, β1 el coeficiente de compresibilidad del fluido, α es una constante adimensional que expresa la geometría de la matriz. Esta ecuación representa la variación de la presión en la fractura p1, mientras ocurre un proceso transitorio que se detiene cuando las presiones en la matriz y en la fractura se igualan. En el límite, cuando l→0, η→0 sólo existe medio poroso y la ecuación de flujo en acuíferos y yacimientos toma la forma 3.11 o 3.14, respectivamente, las cuales corresponden al flujo de un fluido ligeramente compresible en un medio poroso. En este caso se considera densidad y viscosidad del fluido como constantes y solamente el fluido de los poros de la matriz es el que contribuye al soporte de la roca, es decir, la porosidad de las fracturas no afecta a la ecuación (Barenblat, 1990). En el desarrollo de este trabajo solamente se tendrá en cuenta el flujo a través de sistemas de fracturas. 3.4 GRUPOS DE RENORMALIZACIÓN, FUNCIONES HOMOGÉNEAS Y EXPONENTES ANÓMALOS Una propiedad de la naturaleza es la existencia de escalas características dentro de un fenómeno. Por ejemplo, las fracturas en una roca se pueden presentar en escalas del orden de milímetros hasta fracturas del orden de metros y kilómetros, o las ondas en el océano pueden observarse en diversas escalas de longitud. Por otro lado, los fenómenos productos de transiciones de fase en el punto crítico, pueden llegar a presentar eventos en todas las escalas de longitud, como son las transiciones de fase líquido-gas, de ferrogmanetos o transición de percolación que se presentan en el numeral 3.8. Estudiar las propiedades de invarianza a la escala de esos fenómenos, permitirá reducir sus variables y obtener soluciones autosemejantes que cumplen condiciones de homogeneidad. 28 3.4.1 Autosemejanza, escalamiento y homogeneidad La autosemejanza de un fenómeno es una propiedad muy importante. Un fenómeno es auto semejante si la distribución espacial de sus propiedades, en instantes de tiempo diferentes, se puede obtener mediante una transformación de semejanza de otra distribución. Por lo tanto, la distribución espacial de una propiedad permanece geométricamente similar a sí misma en cada paso de tiempo. En este caso se dice que la propiedad es invariante bajo una transformación auto semejante. Propiedades como la presión del fluido en un yacimiento, el frente de una masa de fluido en el suelo o la velocidad de propagación de una onda, permanecen invariantes en el tiempo siempre y cuando esas propiedades sean adecuadamente escaladas. La autosemejanza también es conocida como invarianza bajo escalamiento y es un tipo de simetría que presenta el fenómeno ante cambios de escala. La propiedad de autosemejanza simplifica el estudio del fenómeno pues reduce el número de argumentos en el problema, por lo tanto, la solución de una ecuación diferencial parcial representativa del fenómeno se reduce a la solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un fenómeno auto semejante puede ser representado con una ley de escalamiento. Se puede demostrar que la ley de escalamiento es una relación en forma de ley de potencia de ciertas variables así: φ ( μ ) = Aμ β Donde A y β son constantes y β es el exponente de escalamiento. (3.17) Las leyes de escalamiento expresan la propiedad de autosemejanza del fenómeno y hacen parte de las ecuaciones o formas funcionales homogéneas que representan un fenómeno físico (propiedad de homogeneidad). Por tanto, las funciones homogéneas se pueden expresar en función de leyes de escalamiento. Una función ƒ (r) es homogénea si para todos los valores del parámetro de escala λ, se cumple 29 ƒ(λr) = g(λ) ƒ(r). (3.18) Donde g(λ) es una función que toma la forma general (3.17) de escalamiento, g(λ)=λβ La ecuación 3.18 significa que si se conoce el valor de la función f, en algún punto r0, entonces es posible conocer la función en todos los puntos r, ya que cualquier número r se puede escribir como λ r0. Por lo tanto el valor de la función en r se obtiene escalando el valor de la función en r0 por g(λ). Como se puede observar, las leyes de potencia están relacionadas con la autosemejanza bajo escalamiento de las funciones homogéneas. Los exponentes de estas leyes son llamados también exponentes críticos en el estudio de transiciones de fase (numeral 3.8) donde ellos definen singularidades de los parámetros de orden y exponentes anómalos en fenómenos donde aparecen nuevas escalas a considerar. Es allí donde se puede observar la equivalencia entre la propiedad de homogeneidad y la llamada invarianza asintótica con respecto a un grupo de renormalización. 3.4.2 Grupos de renormalización Los grupos de renormalización han sido utilizados en la mecánica estadística y fenómenos críticos desde la mitad del siglo pasado. Sin embargo, fue Kenneth Wilson, en 1979, quien los relacionó directamente con los problemas donde existen múltiples escalas, característica muy especial de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Se conoce que los exponentes en los fenómenos críticos presentan valores diferentes a los obtenidos desde las teorías de campo medio o de Landau. La razón de esto es la existencia de otra escala de longitud diferente a la longitud de correlación; esa escala de longitud es la llamada escala microscópica que debe también incluirse en el análisis dimensional que se hace sobre la función de energía libre. En tal caso se obtiene una longitud de correlación ξ que toma la forma ξ= t (-1/2 + α) l 2α , en función de la escala microscópica l y de un exponente anómalo α. Debido a que la renormalización permite 30 introducir nuevas escalas de longitud dentro del problema, resulta ser una herramienta muy poderosa en la solución de problemas en los cuales se han dejado de considerar escalas importantes. La obtención tanto de los exponentes críticos como de los exponentes anómalos, así como la forma de sus funciones de escalamiento, se hace escogiendo apropiadamente el grupo de renormalización ante el cual la solución del problema es invariante. Los problemas de flujo y transporte en rocas en estado transitorio se representan con ecuaciones diferenciales que pueden ser solucionadas con la aplicación de grupos de transformación o renormalización, especialmente cuando se trata de problemas que deben incluir escalas adicionales. Lo anterior se basa en la teoría matemática del álgebra de grupos y su aplicación a la solución de ecuaciones diferenciales como se describe a continuación. 3.4.2.1 Grupos de renormalización de Lie Los fenómenos de la naturaleza presentan comportamientos en diversas escalas, por lo tanto, ella exhibe ciertas simetrías, y las ecuaciones matemáticas (ecuaciones diferenciales) que intentan modelarla deben tomar ventaja de esas simetrías. La propiedad fundamental de la invarianza descrita en el numeral 3.4.1 permite realizar transformaciones que dejan invariante la solución, es decir, permite obtener una solución autosemejante. Se deben entonces determinar cuáles son las transformaciones bajo las cuales el problema es invariante y, luego, usar dichas transformaciones para derivar las condiciones especiales desde las cuales se puede encontrar la solución o se puede simplificar el problema. La conceptualización sobre los grupos de Lie se encuentra muy bien fundamentada y la literatura es extensa; en este trabajo se trata de exponer los criterios más relevantes para la aplicación de éstos a la solución de la ecuación de difusión y lograr un mejor entendimiento de la aparición de los exponentes anómalos en dichas soluciones. 31 3.4.2.2 Conceptos básicos. El estudio de las ecuaciones diferenciales se puede hacer mediante la utilización de los Grupos de Lie, los cuales fueron creados por Sophus Lie (Campos, 1995) a partir de la teoría de grupos algebraicos pero aplicando en este caso transformaciones sistemáticas infinitesimales. Se le llama un grupo de transformación de Lie, o grupo de Lie uniparamétrico, a una familia de transformaciones Tε, de un parámetro ε, que satisface la propiedad de cercanía local, contiene la identidad y existe inversa para el parámetro, Logan (1987). Un grupo de transformación corresponde a un cambio de variable. Los tipos de transformaciones simétricas bajo las cuales se estudian aquí las propiedades de invarianza, son transformaciones del plano, Ξ2, y ellas dependen del parámetro ε. La representación general es la siguiente, Tε: t* = ϕ(t, x, ε) x* = ψ(t, x, ε). Donde ϕ y ψ son funciones analíticas. Una transformación particular de la familia se obtiene asignando un valor al parámetro ε. Para observar la transformación infinitesimal y los respectivos generadores se realiza una expansión en series de Taylor al grupo de Lie, si ésta converge es llamada serie de Lie. Para el tiempo: t* = t + ε τ (t,x) + o(ε), Para el espacio: x*= x + ε ξ(t,x) + o(ε). Donde τ y ξ son los generadores infinitesimales de la transformación Tε. Los dos primeros términos de la expansión conforman la transformación infinitesimal del grupo de Lie. El término generador indica que una transformación finita se obtiene mediante una aplicación repetitiva de la transformación infinitesimal. El anterior es un método para obtener las ecuaciones del grupo, si se conocen los generadores infinitesimales, o al 32 contrario, si se conocen las ecuaciones del grupo es posible obtener expresiones para los generadores infinitesimales. A continuación, en la Figura 3.5, se observa el esquema de aplicación de una transformación general Tε sobre una función x=f(t) definida en el intervalo [a,b] x = f(t) a x* = f*(t) b t a b t Figura 3. 5 Esquema de transformación de una función. La transformación actúa sobre f. Para determinar f* se aplica el mapeo Tε al conjunto de puntos (t, f(t)) cuando t varía entre a hasta b. Las transformaciones o grupos de Lie más conocidos son los siguientes: Grupo de traslación: t*= t + ε, x* = x. Grupo de rotación: t* = t cosε - x senε, x* = tsenε+xcosε. Grupo de estiramiento: t* = eaε t, x* = ebε x. Para cada una de las transformaciones anteriores se definen las expresiones para designar a cada uno de los generadores de acuerdo a las operaciones algebraicas requeridas, Campos (1995). La importancia de los generadores infinitesimales radica en que son utilizados para la solución de las ecuaciones diferenciales. Sin la consideración de los generadores no es posible identificar la simetría completa de una ecuación diferencial parcial. 33 3.4.2.3 Aplicación de los Grupos de Lie a la ecuación de difusión. Generalmente, cuando en un problema se reduce el número de variables de una ecuación diferencial parcial (EDP) a partir de las condiciones de simetría, los invariantes del grupo se convierten en las nuevas variables. La variable dependiente ahora será la variable de semejanza obtenida y al ser reemplazada la nueva forma funcional en la ecuación diferencial parcial, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria (EDO) fácilmente solucionable. La solución de semejanza obtenida así satisface una ecuación diferencial parcial auxiliar cuyos coeficientes dependen de los generadores infinitesimales del grupo. La forma funcional de la solución autosemejante se obtiene solucionando la ecuación característica anterior. Bluman y Cole (1974) construyeron la solución de semejanza general de la ecuación de calor, la cual considerando coeficiente de difusividad unitario se escribe ∂u ∂ 2u = ∂t ∂x 2 (3.19) Se trata de encontrar el grupo de transformación que deja invariante la anterior EDP y los respectivos generadores del grupo, en este caso: η, ξ, τ. Inicialmente se considera un grupo de Lie uniparamétrico así, u * = U * ( x, t , u ; ε ) x * = X * ( x, t , u ; ε ) t * = T * ( x, t , u, ε ). (3.20) Este grupo deja invariante a S , sistema que incluye la EDP y sus condiciones. Si v= U* (x, t, θ (x, t ); ε ) satisface a S* cuando u = θ(x,t) es una solución de S. El sistema S* se obtiene reemplazando u por v en el sistema S. Expandiendo la ecuación 3.20 se obtiene la siguiente forma infinitesimal, 34 x* = x + ε ξ(t,x) + o(ε2) t* = t + ε τ (t,x) + o(ε2) (3.21) u*=u + εη(t,x) + o(ε2), a partir de la cual se obtiene la ecuación funcional para θ, θ(x+ ε ξ+ o(ε2), t + ε τ + o(ε2))= θ(x,t)+ εη(t,x, θ)+ o(ε2). (3.22) A partir de los términos o(ε) de la forma anterior se obtiene la siguiente EDP que satisface θ(x,t) dado los generadores η, ξ, τ. ξ(x,t, θ) θx+ τ(x,t, θ) θt = η(x,t, θ) (3.23) Esta ecuación es llamada condición de superficie invariante y su solución se obtiene utilizando la ecuación característica. La solución de la ecuación 3.23 toma la forma θ = f(ζ) ƒ(x,t), donde f es una función arbitraria de ζ , siendo ζ y ƒ, funciones conocidas de x , t. Si u=θ (x,t) es alguna solución de S, entonces u*=U*(x,t,u; ε) es la solución correspondiente a S*. A partir de esta solución se obtienen los generadores ηx y ηt para la primera derivada de u* y para la segunda derivada se obtiene ηxx y ηtt. Así la solución invariante u = θ (x,t) satisface: u ∗xx − ut∗ =θ xx − θ t + ε (η xx − ηt ) + o(ε ) (3.24) Solucionando e igualando los coeficientes de θ a cero se obtiene el siguiente grupo 35 ξ = κ + δ t + β x + γ xt τ = α + 2β t + γ t 2 (3.25) ⎛ x2 t ⎞ δ x + ⎟⎟ − + λ. ⎝ 4 2⎠ 2 η = −γ ⎜⎜ Donde α, β, γ, δ, κ, λ son parámetros arbitrarios. Todos los parámetros, excepto δ, representan transformaciones triviales del espacio (x,t), así κ representa translación en x; α representa translación en t; δ significa invarianza galileana; β denota invarianza de estiramiento y γ representa la invarianza bajo el grupo de un parámetro de transformaciones proyectivas (homotecia). El grupo (3.25) de seis parámetros es un grupo de Lie de Transformación que deja invariante la ecuación 3.19. Estos parámetros son considerados seis elementos que generan un álgebra de Lie de dimensión finita. El excelente texto de Campos, 1995, los define como v1=κ, v2=α, v3=γ, v4=β, v5=δ, v6=λ, y llama a la transformación de estiramiento, "escalonamiento". 3.4.2.4 Solución de la ecuación de flujo en medio poroso a partir de Grupos de Lie. La ecuación de flujo en medio poroso tiene la forma de una ecuación de difusión, por lo tanto, se utiliza el mismo procedimiento para obtener su solución. Las soluciones de autosemejanza se obtienen desde las propiedades de invarianza de las EDP bajo transformaciones de Grupos de Lie. La ecuación de difusión se soluciona considerando invarianza bajo la transformación particular de estiramiento, lo que significa que las nuevas variables dependientes e independientes son múltiplos de las anteriores, por lo tanto la nueva EDP se obtiene en un nuevo sistema de coordenadas que es igual por algún múltiplo al anterior sistema de coordenadas. A partir del grupo general (3.25) se toman los siguientes parámetros: α=γ=δ=κ=0. Este grupo debe dejar invariantes los ejes x=0 y t=0. Por lo tanto, el nuevo sistema se obtiene tomando estos valores y reemplazando (3.25) en (3.21), x*= x + ε (β,x) t* = t + ε (2βt) u*=u + ε (λu) 36 (3.26) Ahora se trata de buscar la solución de similaridad, la cual se obtiene desde la invarianza del grupo, a partir de las siguientes ecuaciones características del grupo dx dt du = = . βx 2 β t λ u (3.27) La solución a esta ecuación diferencial de primer orden nos da la solución de semejanza ζ = x , 2 t1 / 2 (3.28) la cual lleva a la forma general de la solución de la ecuación lineal de difusión u ( x, t ) = t 2 / 3 f (ζ ) . (3.29) A partir de esta forma general obtenida desde los Grupos de Lie de la ecuación de difusión, se estudian todas las ecuaciones relacionadas con problemas de difusión. Los problemas de difusión no lineal (tipo ecuación de filtración) que se originan en la dinámica de los fluidos en medios porosos, son considerados como fenómenos lejos del equilibrio, es decir, son procesos dinámicos cuyas soluciones se buscan en el régimen asintótico intermedio, donde presentan propiedades especiales. En le caso de difusión no lineal, el coeficiente o parámetro de flujo no es constante sino que depende del valor de ∂u / ∂t, el cual presenta un cambio de signo dando lugar al planteamiento de un problema de coeficiente discontinuo. La explicación de este comportamiento se mostrará en detalle en el numeral 3.7.5. La forma general de la ecuación es entonces ∂u ∂ 2u = k ( w) 2 2 . ∂t ∂ x 37 (3.30) La forma de similaridad de esta ecuación igualmente se puede encontrar desde la teoría de grupos. En este caso ∂u/∂t = 0 sobre ζ=ζc. Haciendo λ / 2β=α(ω), la forma de la solución a la ecuación no lineal de difusión se puede escribir u ( x, t ) = t α ( w ) f (ζ , w), (3.31) donde α(w) es considerado un exponente anómalo. Por lo tanto el nuevo grupo se puede reescribir como x*= x + ε x t* = t + ε (2t) (3.32) u*= u + ε (2α)u. La idea de encontrar la aproximación para el llamado exponente anómalo α, es que el comportamiento asintótico de la expansión de perturbación de la solución original, aunque no es uniforme, incluye una aproximación por perturbación de las propiedades del grupo. A partir de estas propiedades se puede obtener una expresión para el exponente α, Goldenfeld (1992). 3.5 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SOLUCIONES ASINTÓTICAS INTERMEDIAS Se conoce que las funciones que expresan leyes físicas deben cumplir la propiedad fundamental de homogeneidad generalizada, la cual permite reducir el número de argumentos del problema. Esto significa que el sistema tiene algún tipo de simetría, por lo tanto, el problema debe presentar invarianza ante un grupo de Lie como se estudió en el numeral anterior. El Teorema Π de Buckingham, Logan (1987), sobre el cual se basa el análisis dimensional permite expresar una función de n=k+m variables en una relación entre cantidades dimensionales que caractericen el fenómeno: a = f (a1,...., ak, b1,.....bm ,ε ). donde k es el número de parámetros independientes del problema con dimensiones independientes y m el número de parámetros con dimensiones dependientes. 38 El fenómeno también depende de un parámetro adimensional ε.. Los productos adimensionales se forman con los parámetros que tienen dimensiones dependientes y la forma funcional tendrá un número menor de argumentos Π = φ (Π1 ,....Π m , ε ) (3.33) La función φ posee la propiedad de homogeneidad que puede expresarse con la forma general 3.17, así la transformación de los parámetros con dimensiones independientes, se puede hallar haciendo simplemente un cambio de sistema de unidades. Los demás parámetros con dimensiones dependientes variarán de acuerdo a sus dimensiones en la siguiente forma b11 = b1 b21 = b2 , ......, bm = Bbm a11 = a1 a12 = a2 , ......, ak = ak (3.34) La anterior transformación forma un grupo simple de estiramiento o grupo de Lie de la forma (3.25). B es un número positivo arbitrario llamado el parámetro del grupo. Los productos adimensionales Π, Π1,.....Πm, , no cambian para esa transformación, es decir, son invariantes respecto a este grupo. El Teorema Π es consecuencia del principio de covarianza y las relaciones existentes con significado físico en un problema son invariantes con respecto a un grupo de transformación simple. Los problema en que estamos interesados se estudian en el régimen de asíntotas intermedias, donde se obtienen soluciones válidas para tiempos y distancias en los cuales los detalles de las condiciones iniciales y de borde no tienen influencia, sin embargo, el sistema se mantiene aún lejos del equilibrio final. Las soluciones a estos problemas son llamadas asintóticas. En todo modelo de un fenómeno físico se desprecian aquellos factores que son considerados no esenciales (ejemplo, una escala del problema) y hacen parte de un producto adimensional de valor pequeño que en el problema es despreciable, de esta manera la función φ posee un número menor de argumentos. Si en este caso la función φ 39 tiene un límite finito diferente de cero, existe solución al modelo propuesto y se dice que el problema posee autosemejanza de primer orden; la solución es invariante respecto a un grupo simple de estiramiento. Así, para la forma funcional 3.33 se obtiene solución autosimilar de primer orden respecto al parámetro Πm, La función φ puede ser reemplazada por su límite finito cuando Πm, va a cero, esto para ε=o, en cuyo caso bm desaparece de la relación y también, Πm. Sin embargo, existen problemas en los cuales el parámetro bm, no desaparece en el régimen de asíntotas intermedias, por lo tanto, el límite de una función de la forma (3.33) cuando Πm va a cero no existe, es decir no se encuentra solución de esta forma. La función φ puede tener solución aún para valores pequeños de Πm si en lugar de considerar la forma anterior (3.33) se considera una nueva forma funcional. Π =φ ( Π1 Π ,....., αmm−−11 , ε ) α1 Πm Πm (3.35) Si en este caso la función φ tiene un límite finito diferente de cero existe solución al nuevo modelo propuesto y se dice que el problema posee autosemejanza de segundo orden, en ese caso la solución es invariante respecto a un grupo de Lie más complejo (β= α ≠1 en (3.17)) que puede tomar la siguiente forma a ' = Bα m a b1' = Bα1 b1 b2' = Bα 2 b2 , a1' = a1 a2' = a2 , bm' = Bbm ak' = ak . (3.36) La función φ, que tiene solución asintótica y permanece invariante bajo la siguiente transformación Π = Bα m Π , Π11 = Bα1 Π1 40 Π12 = Bα 2 Π 2 Π1m = B Π m , (3.37) los exponentes del nuevo grupo α1, α2,.... αm dependen del parámetro ε y se les conoce con el nombre de exponentes anómalos. Aunque las formas funcionales (3.33) y (3.35) poseen la propiedad de homogeneidad para la función φ, existe una diferencia esencial entre las dos formas. En el primer caso la solución del problema se obtienen mediante un procedimiento simple del análisis dimensional (asociado a una transformación de estiramiento simple). En el segundo caso la homogeneidad de la función debe expresar una propiedad especial del problema. El exponente anómalo α y la solución completa del problema no se puede obtener desde el análisis dimensional sino que debe acudirse a otras herramientas para obtener la solución completa. En la literatura se han planteado diversas herramientas para la obtención de los exponentes anómalos, basadas en los conceptos fundamentales de los grupos de renormalización. Estos exponentes se han obtenido para complementar la solución al problema no lineal de difusión de una masa de fluido en un suelo no saturado. Cole y Wagner (1996) realizaron una expansión de perturbación al grupo simple de Lie. Goldenfeld (1992) realizó una expansión de perturbación a la solución del problema simple de difusión y renormalización de la masa de fluido. Baremblatt (1987) obtuvo el exponente anómalo planteando el problema de autovalor o utilizando leyes de conservación no integrables (Barenblat, 1996). Gómez y Mesa (2000) desarrollan un algoritmo numérico para resolver el problema de autovalor y estiman tiempos de propagación y alcance de masa de fluidos. La aproximación de grupos de renormalización se basa en las ideas de Grupos de Lie y han sido utilizados en diferentes áreas de la física por algunos autores como Kadanoff (1966) y Wilson (1979), entre otros, quienes utilizaron los grupos de renormalización para el estudio de los exponentes críticos en transiciones de fase. Kolmogorov (1941) aplicó estos conceptos al problema de turbulencia. 41 3.6 LEYES DE CONSERVACIÓN DE MASA En física es muy importante el estudio de las operaciones ante las cuales los fenómenos físicos permanecen invariantes (traslación en el espacio, traslación en el tiempo, rotaciones y estiramientos), las cuales son consideradas por los grupos de renormalización presentados en el numeral 3.4.2.1. Existe una relación entre leyes de conservación y simetrías de las leyes físicas: Si las leyes son simétricas para traslación en el espacio, el momentum se conserva; si las leyes son simétricas frente a una traslación en el tiempo, la energía se conserva. Si existe invarianza a una rotación de un ángulo en el espacio, se habla de conservación de momentum angular. Como se observa la invarianza o simetría conducen a leyes de conservación. Barenblat (1996) estudió la ley de conservación de masa para el problema de difusión de una masa de fluido en un medio poroso. Para ello realiza una perturbación en el parámetro pequeño ε=(k1/k2)-1. La perturbación se hace a partir del problema idealizado, es decir para ε=0. Hasta un término de orden uno, como se observa a continuación, φ (ς , ε ) = 1 (1 − ς 2 ) + o(ε ) 16 ς0 = 1 + o(ε ) . 2 (3.38) En este punto, Barenblat acude a la información cuantitativa que puede ofrecer el problema, como es una ley de conservación de la masa de agua. Cuando no existe retención residual en el medio poroso (k1=k2), la masa de agua se mantiene constante durante toda la evolución del problema, por lo tanto es aplicable una ley de conservación que es valida en todas las etapas del movimiento. Ésta se obtiene integrando la ecuación diferencial de flujo. ∂ r1 rh(r , t ) = cte ∂t ∫0 42 (3.39) La aplicación del análisis dimensional permite involucrar otras variables o parámetros que afectan a la variable dependiente del problema (la cabeza hidráulica). En el caso de flujo en acuíferos puede involucrarse otro valor de conductividad y dar origen al problema de coeficiente discontinuo. Aparece entonces, un nuevo parámetro del problema, λ=k1 / k2 que debe incluirse en el análisis dimensional de la ecuación. La consideración de este nuevo parámetro, producto de una física especial del problema, da lugar a que una variable que siempre ha sido ignorada en la solución tradicional no pueda omitirse: el radio del pozo, rp. En este caso, el radio del pozo es una escala adicional que aparece en el problema, tiene dimensión de longitud y entra a conformar otro grupo adimensional. Este nuevo grupo hace perder la semejanza de la solución, puesto que la solución ya no se podrá expresar en términos de una sola variable, sino de dos variables, la distancia radial y el radio del pozo. Ahora se trata de definir si ϕ, la función de la forma adimensional con los nuevos argumentos tiene un límite finito diferente a cero cuando se analiza su comportamiento en una etapa intermedia de tiempo, es decir, cuando el comportamiento no es ni afectado por las condiciones iniciales, ni por lo que ocurre en el infinito. Si los nuevos argumentos pueden simplemente ser ignorados en el problema, entonces el análisis dimensional es suficiente para obtener la solución y se dice que existe autosimilaridad completa (de primer orden) respecto a los nuevos parámetros. Por lo tanto, la solución en este caso ignora el radio del pozo y se tiene la solución equivalente a una fuente puntual instantánea, como es la que corresponde a la solución presentada por Theis para flujo en acuíferos o la ecuación integral exponencial en yacimientos. Si el problema es de coeficiente discontinuo y se ignora la nueva escala (radio del pozo) se llega a una contradicción en el desarrollo matemático, por lo tanto resultará incorrecta la suposición de autosemejanza completa respecto a ese nuevo parámetro. Así, rp aparecerá en la solución elevado a un exponente anómalo y debe acudirse entonces a otras técnicas como son la solución de un problema de autovalor o el análisis de un grupo de renormalización más complejo para obtener el exponente. 43 3.7. NO LINEALIDAD DEL FLUJO EN YACIMIENTOS Y ACUÍFEROS La realización e interpretación de pruebas hidráulicas en yacimientos y acuíferos deben considerar las condiciones elásticas y no elásticas de las formaciones geológicas almacenadoras de fluidos, puesto que tales condiciones dan lugar a la linealidad o no linealidad de las ecuaciones de flujo, lo que requiere un manejo diferente del problema desde el punto de vista físico y matemático en cada uno de los casos. En el primer caso, condición elástica, la solución a la ecuación de flujo se obtiene aplicando el análisis dimensional y hay autosemejanza de primer orden. En el segundo caso, condición no elástica, la solución no se puede obtener con el análisis dimensional solamente, sino que debe acudirse a otra herramienta que permita obtener los exponentes anómalos a los que da lugar el fenómeno físico. En este último caso se debe aplicar una suposición de autosemejanza de segundo orden, la cual se encuentra asociada a un grupo especial de renormalización para obtener la solución de acuerdo a los criterios expuestos en el numeral 3.5. 3.7.1 Flujo en medios elásticos Cuando se habla de medios elásticos, se trata de aquellas formaciones geológicas donde es posible considerar que la porosidad varía linealmente con la presión. Además el material de la formación se deforma elásticamente, por lo tanto, un proceso de carga es idéntico a un proceso de descarga: los procesos son reversibles. En este caso, las ecuaciones de flujo se obtienen considerando un fluido ligeramente compresible y una formación geológica de gran espesor que presenta un comportamiento elástico. El coeficiente de difusividad depende de las propiedades físicas del fluido y de la roca. Para obtener la expresión del coeficiente de difusividad se considera la variación lineal de la densidad del fluido con la presión p, y la variación lineal de la porosidad con el esfuerzo σ (primer invariante del tensor de esfuerzos) que se expresan, 44 ρ = 1 + β f ( p − p0 ) ρ0 (3.40) m = 1 + β r (σ − σ 0 ) m0 Donde, ρo y mo. son valores de la densidad y porosidad de referencia; po y σo son valores de la presión y esfuerzo de referencia; βf es el coeficiente de compresibilidad del fluido y βr es el coeficiente de compresibilidad de la roca. Estas expresiones se reemplazan en la ecuación de continuidad y en la ecuación de momentum, y se obtiene la expresión para el coeficiente de difusividad K= k μ (m0 β f + β r ) , (3.41) La ecuación de flujo en un medio elástico es la ecuación lineal clásica análoga a la ecuación de conducción de calor. ∂p ∂2 p =K 2 , ∂x ∂t (3.42) que presenta un coeficiente constante de difusividad el cual expresa las condiciones del fluido y del medio. 3.7.2 Flujo en medios elastoplásticos Los estados de esfuerzos actuando sobre los materiales presentes en la naturaleza pueden llevar a un proceso de deformación irreversible. En este caso, un proceso de carga de la roca difiere de un proceso de descarga. El material responde en forma diferente, por lo tanto, la variación de la porosidad dependerá de si la formación geológica se encuentra en proceso de carga o en proceso de descarga. 45 En procesos donde el esfuerzo efectivo σ aumenta (la presión del fluido disminuye debido a que el estado de esfuerzos totales del sistema permanece constante) la porosidad varía según un coeficiente de compresibilidad de la roca βr1 . En procesos donde el esfuerzo efectivo σ disminuye (la presión del fluido aumenta), la porosidad varía con un coeficiente de compresibilidad βr2 . Los coeficientes βr1 y βr2 toman valores diferentes en los dos procesos y por lo tanto, el coeficiente de difusividad varía para los dos tipos de procesos (Barenblat, 1990). 3.7.2.1 Variaciones de presión a partir de perturbaciones en los yacimientos Los descensos de presión (caída de presión) en un yacimiento se presentan durante los procesos de explotación (bombeo o drenaje), fenómenos en los cuales el fluido sale de la matriz de la roca. Los ascensos de presión se presentan cuando existe una recarga hacia el yacimiento, ya sea natural o debida a un proceso de inyección, o simplemente cuando después de un proceso de explotación, se permite la recuperación de los niveles del fluido. Ambos procesos deben ser considerados como procesos diferentes desde el punto de vista de las condiciones elásticas de la roca que almacena el fluido. En ambos casos, la roca y el fluido, comparten el estado de esfuerzos actuando en el yacimiento, el ascenso o caída de presión ocasiona que el fluido asuma parte de ese estado de esfuerzos o, por el contrario, que ceda parte de ellos como se describe a continuación. 3.7.2.2 Proceso de caída de presión. Al disminuir la presión del fluido en un proceso de extracción, la armazón de la roca soportará mayor peso de las capas superiores y se comprimirá disminuyendo la porosidad, por lo tanto, por cada descenso unitario de la presión la columna de acuífero se comprimirá un volumen S2 y cederá ese mismo volumen. En este caso se dice que el estrato se encuentra bajo carga y el coeficiente de difusividad se expresa como K2 = k/μ , mβ f + β r 2 (3.43) donde βr2 es el coeficiente de compresibilidad del medio poros en descarga cuando existe disminución de presión. 46 3.7.2.3 Proceso de aumento de presión. En un proceso de inyección, el fluido entra a presión al yacimiento desde el pozo. Al aumentar la presión del fluido la armazón de la roca soporta menos peso debido a que parte de los esfuerzos son asumidos por el fluido, la estructura de la roca se expande un volumen S1 , y ella asume ese mismo volumen de fluido. En este caso se dice que el estrato se descarga y el coeficiente de difusividad se expresa como K1 = k/μ , mβ f + β r1 (3.44) donde βr1 es el coeficiente de compresibilidad del medio poroso cuando existe aumento de presión; k/μ es la conductividad hidráulica y expresa las condiciones del medio y del fluido, y tiene un valor igual para ambos casos. La conductividad hidráulica es análoga a la conductividad térmica. Los denominadores de las ecuaciones (3.43) y (3.44) expresan las condiciones de compresibilidad y por tanto de almacenamiento de la roca. Esta expresión es el análogo al calor específico en la ecuación de conducción de calor. 3.7.3 Coeficiente de difusividad en acuíferos Los acuíferos son formaciones geológicas que pueden presentar condiciones elastoplásticas. Las diversas pruebas hidráulicas o perturbaciones sobre los acuíferos buscan la obtención de sus parámetros hidráulicos. Los coeficientes de difusividad en acuíferos dependen de si el proceso o la perturbación corresponde a un aumento de la presión o si corresponde a una caída de presión y se expresan como K1 = T KB = S1 S1 T KB = K2 = S2 S2 si ∂h <0 ∂t ∂h >0 si ∂t (3.45) donde los parámetros para cada proceso son T, transmisividad (L2 T-1), K, conductividad hidráulica (L1 T-1), B, espesor del estrato (L), S, coeficiente de almacenamiento (adimensional). Así, las unidades de la difusividad son (L2 T-1). 47 La conductividad hidráulica es un parámetro tradicionalmente utilizado en acuíferos y se expresa como: K=k ρ g /μ., donde k es la permeabilidad intrínseca del medio (L2 ), ρ, la densidad (m/L3), g, gravedad (m2/s) y μ la viscosidad dinámica del fluido (m/LT). En el caso de acuíferos la variable dependiente es la llamada cabeza hidráulica (energía por unidad de peso). El coeficiente de almacenamiento entonces expresa las condiciones de compresibilidad y variación de la porosidad así: S = mβ +βr, por lo tanto es el parámetro que cambia cuando el acuífero es considerado elastoplástico y la perturbación realizada genera ascensos y descensos de presión. 3.7.4 Leyes de autosemejanza en el flujo en pozos Las ecuaciones que rigen el flujo en yacimientos y acuíferos se solucionan a partir de la suposición de autosemejanza de acuerdo a criterios de Grupo de Lie presentados en el numeral 3.4.2.4. Las condiciones físicas del problema presentadas en el numeral 3.7.2 dan lugar a la utilización de uno u otro grupo de renormalización. Aquí se presentan los dos tipos de autosemejanza vistos: el primero relacionado con un grupo de Lie simple, de la forma (3.26), y el segundo relacionado con un grupo de Lie más complejo, de la forma (3.32). 3.7.4.1 Ley de autosemejanza de primer orden Tradicionalmente se ha considerado que las rocas que almacenan fluidos poseen un comportamiento elástico, cuyo coeficiente de compresibilidad del medio poroso, βr es idéntico para cualquier proceso. Por tanto, la porosidad y el coeficiente de almacenamiento también se mantienen constantes, según lo expresado en el numeral 3.7.3. Para medios porosos en general, se considera que la solución del flujo se obtiene basados en la autosemejanza de primer orden que se presenta a continuación. Para obtener la solución autosimilar de la ecuación de flujo (3.11) se requieren las siguientes condiciones de borde: 48 C.I : h(r ,0) = h0 lim (r C.B : h(∞, t ) = h0 , ∂h ∂r )= Q . 2π T (3.46) r →0 En este caso, la solución es la cabeza hidráulica o energía por unidad de peso (L) que depende de la distancia desde el pozo, r (L); el tiempo (T); Q, el caudal de explotación (L3/T) y T, la transmisividad (L2/T). La forma funcional es: h= f (r, t, Q, T). El análisis dimensional permite obtener dos productos adimensionales y expresar la forma funcional así: r2 π 2 = = u, Tt h π1 = , QT −1 h= Q f (u ), T (3.47) la función f(u) tiende a un límite finito y satisface la siguiente ecuación diferencial ordinaria f " (u ) + (1 / u + 1 / 4) f ' (u ) = 0 (3.48) 1 ∂f = ∂u 4π . u→∞ (3.49) con condiciones, lim u y solución ho − h = Q 4π T ∞ r2 S e −u . u , u ∂ = ∫u u 4Tt (3.50) En el proceso de bombeo o producción existe un frente de descarga en el cual ocurre descenso de presión en el acuífero y la solución a la ecuación diferencial ordinaria utilizando argumentos dimensionales es la misma llamada solución de Theis en acuíferos o solución Ei en yacimientos. Si el problema se estudia en medios porosos elastoplásticos las ecuaciones de flujo consideran coeficientes de difusividad diferentes K1 y K2 con las mismas dimensiones y no se incluyen constantes adicionales con dimensiones independientes. El nuevo argumento dimensional se conforma con los coeficientes de difusividad, λ= K1 / K2. 49 Si se soluciona el problema de Cauchy (condición inicial) en los dos casos anteriores se puede observar la influencia de las condiciones iniciales durante el proceso, especialmente para tiempos grandes. Para el segundo caso la solución al problema de Cauchy utilizando análisis dimensional tendría la siguiente forma Q h= f (u, ε , λ ), K1 r2 u= , K1 t ε= l , K1 t λ= K1 . K2 (3.51) En este caso existe un argumento dimensional más, el argumento ε, que incluye la escala de la condición inicial. Generalmente, se asume que la escala l es muy pequeña y por lo tanto despreciable, lo cual llevaría a la solución de la forma (3.26). En ambos casos la solución a un problema de Cauchy olvida los detalles de los datos iniciales y tiende a la autosemejanza de primer orden. Esto da origen a la validez de la solución tipo fuente puntual instantánea para la ecuación de difusión clásica presentada en el numeral 3.2.3.2. En los dos casos anteriores existe una ley integral para el volumen de fluido involucrado en el problema, ∫ ∞ −∞ (h − h0 )dr = Q, h(r ,0) = h0 . (3.52) En este caso se considera que el fluido involucrado en el proceso de bombeo o disminución de presión es igual al volumen de fluido involucrado en el proceso de aumento de presión, ya sea por recuperación de presión después de terminar el bombeo o por un proceso de inyección. 3.7.4.2 Ley de semejanza de segundo orden Un nuevo enfoque al problema de abatimiento y recuperación de niveles o presión en yacimientos elastoplásticos plantea los dos procesos de descenso y ascenso de presión como procesos diferentes. Ellos presentan dos frentes diferentes de descenso y ascenso de presión que son llamados frente de carga y frente de descarga, en los cuales se 50 involucran parámetros de la roca que cambian según sea el proceso. Para que su solución tenga en cuenta la diferencia de los procesos debe plantearse una ley de semejanza de segundo orden, lo que implica un grupo de renormalización especial. Como se estudió en el numeral 3.6, la ley de semejanza de segundo orden, se origina cuando no existe una ley de conservación de masa constante, es decir, cuando la masa de fluido es variable y puede ser normalizada. Se plantea entonces una ley de semejanza de segundo orden para este problema con una condición inicial que incluye una nueva escala, la cual ahora será considerada dentro de los argumentos adimensionales; la nueva escala no desaparece en el régimen de asíntotas intermedias debido a que la forma funcional es del tipo de ecuación (3.35). En este caso, el grupo de renormalización asociado a la solución es un grupo más complejo que involucra un exponente anómalo. La presencia de la nueva escala en la solución hace que la función φ no vaya a un límite finito cuando la escala l, va a cero, entonces el límite de la función crece asintóticamente hacia el infinito dependiendo del valor que tome λ. 3.7.5 El problema con coeficiente discontinuo en pruebas de pozos Existen diversos procesos o perturbaciones que realizados sobre yacimientos elastoplásticos dan lugar a una componente no lineal y por tanto se consideran como problemas de coeficiente discontinuo. El efecto de las condiciones elastoplásticas de las rocas que almacenan fluidos es fundamental para la solución de las ecuaciones de flujo y posterior interpretación de las pruebas hidráulicas. Existen dos ejemplos claros de esta situación en el caso de pruebas hidráulicas: el primero es debido a una perturbación periódica en un pozo, y el segundo es debido a la explotación y posterior recuperación de niveles en el yacimiento. El ejemplo del bombeo periódico tiene como propósito ilustrar un problema de coeficiente discontinuo con condiciones matemáticas manejables. 51 Desde el punto de vista práctico, en explotaciones petroleras la inyección de agua en los pozos tiene utilidad demostrada. A continuación se expone un problema común en la explotación de yacimientos o acuíferos, como es el bombeo periódico desde un pozo. 3.7.5.1 Bombeo periódico en pozos En la práctica un pozo se trabaja a una tasa variable de bombeo, debido a que las condiciones técnicas de funcionamiento difícilmente pueden ser mantenidas constantes durante el tiempo que demore el proceso. Cuando se introduce una perturbación en un yacimiento como es el bombeo a una tasa de producción usualmente periódica, q(t)=qo senwt o q(t)=qo coswt, se obtiene un frente también periódico que ha sido observado en sitios cercanos al pozo donde la respuesta puede ser sincrónica con la perturbación. Lejos del pozo también se observa una respuesta semejante a la anterior, pero algo más amortiguada y rezagada. Se requiere, por lo tanto, estudiar el frente de carga y descarga del yacimiento, el cual presenta un régimen continuo y periódico de ascensos y descensos de la presión debido al efecto de bombeo periódico. Es importante definir y localizar el frente de descarga, es decir, la coordenada x=μ(t) que es periódica y depende del tiempo. Este frente define los dos tipos de procesos, el ascenso y descenso de presión. Las ecuaciones de flujo en acuíferos en coordenadas cilíndricas considerando coeficiente discontinuo son las siguientes, ⎛ 1 ∂h ∂ 2 h ⎞ ∂h = K 1 ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ ∂t ∂ r r ∂r ⎠ ⎝ ⎛ 1 ∂h ∂ 2 h ⎞ ∂h = K 2 ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ ∂t ⎝ r ∂r ∂r ⎠ si ∂h ≤ 0, ∂t (t < π ) si ∂h ≥ 0, ∂t (π < t < 2π ) Con condiciones iniciales h(r, 0)=ho, y condiciones de borde h(∝,t)=ho y lim (r Q cos wt ∂h ) r = rp = ∂r 2π K 1 52 (3.53) Por lo tanto la variable dependiente se expresa como h = f (r, t , Q , K1 , K2 , rp ). La forma funcional y los productos adimensionales se expresan como, rp K r2 u= ,, ε = , λ= 1 K 1t K 1t K2 Q cos wt h= f (u, ε , λ ), K1 (3.54) Donde w es la frecuencia angular y Q la amplitud del caudal de bombeo. Las demás variables de los argumentos adimensionales han sido identificadas en el numeral 3.7.4. En la figura 3.5 se puede observar la forma de las oscilaciones del caudal de bombeo, donde el período T=2π /w, la frecuencia w es igual a 1 y por facilidad se toma un caudal unitario. Si se acepta que las oscilaciones de presión son sincrónicas con las oscilaciones del caudal de bombeo en el pozo, el cambio de fase (cambio entre el descenso y el ascenso de presión) dependerá del tiempo y estará definido por ro(t) que se expresa a partir del parámetro adimensional u, r0 (t ) = u 0 K t 1 / 2 (3.55) ro(t) define el cambio de signo para ∂h/∂t como se expresa en la ecuación (3.31). Los cambios de ascensos y descensos de presión se definen así: Descenso de presión para t<π Ascenso de presión para π<t<2π donde t, el tiempo se define en segundos. 1.5 Qcoswt 1 0.5 ro 0 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1.5 Tiempo, s Figura 3.5. Oscilaciones de presión de bombeo periódico, forma cosenoidal. 53 Los productos adimensionales u y ε planteados en 3.32, definen las escalas espaciales del problema y el rango de tiempo en el cual se consideran asíntotas intermedias. Tradicionalmente la solución a los problemas con caudal de bombeo variable en yacimientos elásticos se ha obtenido utilizando el principio de superposición lo cual conlleva a la convolución y posterior aplicación de Transformadas de Laplace. La solución tipo fuente lineal considera yacimientos elásticos. En este caso, la distribución de presiones se encuentra independiente del radio del pozo. 3.7.5.2 Ley de autosemejanza de segundo orden Para que la solución tenga en cuenta la diferencia de los procesos, propuestos en el numeral anterior, debe plantearse una ley de semejanza de segundo orden. Esta ley se origina cuando no existe una ley de conservación de masa constante, es decir cuando la masa de fluido es variable durante el proceso y puede ser normalizada. Se plantea entonces esta ley con una condición inicial que incluye la escala del radio del pozo, la cual se considera en un nuevo argumento adimensional. La nueva escala no desaparece debido a que la forma funcional se puede expresar en función de un exponente anómalo. Esto hace que la solución se base en un grupo de renormalización más complejo que aquel utilizado por la ley de autosemejanza de primer orden. A partir de la forma adimensional expuesta en la ecuación 3.54, se desarrolla el procedimiento regular para solucionar la ecuación 3.53 vía la suposición de autosemejanza de segundo orden; para ello se propone un nuevo argumento adimensional que incluye el radio del pozo. El hecho de que esta escala no sea despreciable durante todo el proceso hace que la función f de la ecuación 3.54, tienda a un límite infinito. Debe existir un exponente α que haga finito el límite de la función cuando rp es muy pequeño, o el tiempo del proceso es grande. La solución límite podría tomar la siguiente forma 54 h0 − h = β (Q cos wt ) rpα K 11+α t α f (u , λ ) . (3.56) Al reemplazar esta forma de solución en la ecuación 3.53, se debe obtener un par de ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones que deben ser diferenciables y continuas para todas las coordenadas ro de avance del frente de carga y descarga. Para hallar el exponente anómalo α debe plantearse la ley de conservación no integral , cuyo valor debe ser una función de los dos parámetros de flujo, K1 y K2, y la derivada ∂h/∂r evaluada en r = ro. Como se dijo anteriormente una ley de conservación no constante es una señal de no linealidad del flujo y presencia de una escala pequeña en la solución en forma de ley de potencia con exponente anómalo, α. La forma de ley de potencia ha salido de la consideración de un grupo de renormalización más complejo en la forma de la solución que incluye al exponente y puede tomar la forma r1 (t ) = β t . α En este ejemplo se ha considerado un comportamiento sincrónico entre el bombeo y la presión dentro del yacimiento. Debe buscarse el comportamiento más general y proponer una coordenada de avance del frente para un comportamiento no sincrónico. Igualmente proponer un nuevo argumento con el término wt, para considerar diferentes frecuencia. Al aplicar el procedimiento usual aparece una nueva variable independiente ξ = wt, que es dependiente del tiempo, y en el primer reemplazo en la ecuación diferencial no es posible obtener la ecuación diferencial ordinaria que lleva a la solución directamente. 3.7.6 Recuperación de niveles. A partir del flujo en un pozo en el cual se realiza un bombeo a una tasa constante durante un tiempo τ, se observa un abatimiento o descenso de la presión en la zona cercana al pozo. Una vez se detiene el bombeo los niveles en el yacimiento inician un proceso de recuperación. La observación y datos de recuperación de niveles permiten la 55 aplicación de una metodología específica para la obtención de los parámetros hidráulicos del yacimiento. La solución clásica en este caso es considerar el yacimiento elástico y aplicar la solución de Theis o de autosemejanza de primer orden. La solución se presenta de la siguiente forma, h − h0 = Q [ f (ut +τ ) − f (ut )] , 4πT (3.57) lo cual equivale a decir que la perturbación continúa después de un tiempo τ, pero ahora considerando que se inyecta un caudal igual a –Q, es decir, se superpone el efecto de un pozo de caudal negativo para representar la recuperación de niveles. Durante el proceso de bombeo la presión en el yacimiento disminuye y durante el proceso de recuperación de niveles, la presión aumenta, observándose dos frentes definidos de ascensos y descensos de presión. En yacimientos elastoplásticos, la conductividad hidráulica depende de sí la presión aumenta o disminuye, lo cual dará lugar a la componente no lineal del problema y por tanto al planteamiento de un problema de coeficiente discontinuo. En este caso parece ser mas compleja la localización del frente y la zona de transición de las dos fases. 3.8. TEORÍA DE PERCOLACIÓN Y EL FLUJO EN ROCAS COMO UN FENOMENO CRÍTICO La teoría de percolación constituye una herramienta poderosa para estudiar sistemas que poseen un alto grado de heterogeneidad y que pueden ser representados como una red de conductores aleatorios. Stauffer (1992), entre otros ejemplos de fenómenos críticos, presenta una interpretación de un sistema de percolación como un modelo idealizado de poros en rocas que almacenan un fluido y plantea las leyes fundamentales de la teoría. En este trabajo se utilizan las leyes y conceptos básicos de la teoría, para estudiar el medio fracturado como un fenómeno de transición de percolación. 56 El concepto de universalidad se utiliza para estudiar el comportamiento de los exponentes críticos en transiciones de fase, ya sean las transiciones de fase basadas en las leyes de la mecánica estadística, o la transición de percolación basada en las leyes de los grandes números. Estos exponentes críticos se encuentran en las leyes de potencia que expresan la forma de escalamiento de las propiedades promedias de los sistemas en la teoría de percolación. 3.8.1 El flujo en rocas como una transición de percolación Las rocas en la corteza terrestre han sido sometidas durante el tiempo geológico a campos de esfuerzos los cuales han formado planos de discontinuidad o fracturas dentro de su matriz granular. Se considera el caso en el cual el flujo ocurre en forma preferencial a través de esas fracturas y por tanto el flujo a través de la matriz se puede considerar despreciable. El sistema de fracturas estará compuesto por familias de discontinuidades que se han originado a partir de más de un campo de esfuerzo, los cuales han afectado la roca en diferentes direcciones y tiempos geológicos. La experiencia de campo (observaciones y pruebas hidráulicas) ha demostrado extensivamente que esos sistemas están lejos de formar bloques o planos cuasihomogéneos sobre los cuales es aplicable el principio tradicional del continuo homogéneo o volumen elemental de referencia (Hsieh, 1998; Tsang y Neretnieks, 1998). Es por ello que las teorías clásicas que consideran medios porosos equivalentes son poco aceptadas para aplicar en estos medios altamente heterogéneos. La teoría de percolación aplicada inicialmente a los fenómenos críticos en materiales y ferromagnetos ha permitido interpretar el medio fracturado como el producto de un fenómeno crítico: por encima del umbral de percolación existe flujo a través del sistema de fracturas y bajo dicho umbral no hay flujo. El umbral de percolación existe cuando una ruta formada por fracturas cruza de un lado al otro el dominio de la roca. Se habla entonces de que se ha formado el racimo principal. Esto ha sido producto del proceso de fracturamiento originado por la acumulación de grandes esfuerzos que ayudan en la formación de la red de fracturas, la 57 cual, en el momento de extenderse y atravesar el dominio produce la liberación o relajamiento de los esfuerzos. En ese punto el proceso de fracturamiento se detiene, la fractura no se extiende sobre escalas mayores, y la red de fracturas en la roca se considera que está muy cerca al umbral de percolación. En este contexto los sistemas de fracturas se pueden interpretar en términos de percolación como aquellos formados por grupos de fracturas, siendo el racimo principal un grupo mayor de fracturas a través del cual se forma la ruta principal de flujo que atraviesa el dominio de un lado al otro. Existirán además otros grupos o racimos aislados que no llevan a ninguna parte. Todos estos grupos o racimos de fracturas se presentan en múltiples escalas de longitud. Cuando el sistema se encuentra bajo el umbral de percolación, el campo de esfuerzo ha sido insuficiente para formar un grupo de fracturas o ruta de flujo que cruce el dominio, por lo tanto el medio está desconectado para el flujo. La teoría de percolación estudia las propiedades físicas de un sistema en función de la probabilidad de ocupación de sitios (análogo a densidad de fracturas) y del tamaño del sistema y por tanto, esas propiedades son independientes de la geometría local. El alto grado de heterogeneidad del medio fracturado da origen a rasgos en su mayoría desconocidos o que presentan un alto grado de dificultad para su medición. Los canales de flujo presentes en el medio forman arreglos intrincados sobre los cuales finalmente la geometría puede llegar a ser irrelevante. En este trabajo se estudian las propiedades de un sistema que está muy cerca, pero por encima del umbral de percolación, lo cual expresa la condición anterior de que los sistemas de fracturas se encuentran muy cerca de dicho umbral e interesan aquellos sistemas en los cuales el campo de esfuerzos ha sido suficiente para formar un grupo principal a través del cual ocurre flujo. Se estudian sistemas conectados de fracturas muy cerca de la transición de percolación para desarrollar los experimentos numéricos que se presentan en el capítulo 4. 58 3.8.2 Transición de fase y umbrales de percolación Los fenómenos físicos, productos de transiciones de fase, son muy comunes en la naturaleza, y muestran comportamientos en diversas escalas de longitud justo en la transición de fase o estado crítico. La forma de estudiar el comportamiento de las magnitudes importantes en ese estado es expresar dicha magnitud, llamada parámetro de orden, en forma de ley de potencia o ley de escalamiento. El exponente es el llamado exponente crítico. Una transición de fase ocurre cuando se presenta una singularidad en la energía libre o en alguna de sus derivadas. Esto se manifiesta en un cambio brusco de las propiedades de una sustancia. Por ejemplo, la transición de líquido a gas, de conductores normales a superconductores o de un material semimagnético a ferromagneto. En las transiciones de fase de primer orden hay una clara frontera entre las regiones en las cuales cada estado es estable. Si se cruza la frontera hay un salto a la propiedad correspondiente y un calor latente asociado. En las transiciones de fase de segundo orden hay un punto critico, el parámetro de orden se anula, y es posible moverse continuamente de una fase a otra. En el punto crítico existe divergencia del calor específico. La expresión parámetro de orden se utiliza para denotar el valor promedio de la variable que fluctúa, la cual es una señal del orden de la transición o pérdida de simetría en el sistema. El parámetro de orden en la transición líquido-gas, es la diferencia de densidades, y en ferromagnetos el parámetro es la magnetización. Este parámetro de orden desaparece en el punto crítico. Las transiciones más conocidas y estudiadas son las llamadas transiciones de fase térmicas (el parámetro de orden se expresa en función de la temperatura, T, y la temperatura critica Tc) extensamente estudiadas por la física estadística (Chandler, 1987; Yeomans, 1992). Se conoce también que la transición de fase magnética de materiales se puede representar con el modelo Ising. El parámetro de orden, en este caso la magnetización M, cerca al estado crítico escala de la siguiente forma 59 M ∝ (Tc − T ) β (3.58) En el cambio de fase de un fluido desde el estado gaseoso al estado líquido, el parámetro de orden escala como, ρ L − ρ c ∝ (Tc − T ) β (3.59) Donde β es el llamado exponente crítico que rige el comportamiento en la cercanía al estado crítico. Existe evidencia sobre la universalidad de estos exponentes; ellos no dependen de los detalles en la escala microscópica, sino de parámetros más fundamentales, Así por ejemplo, en transiciones de fase de fluidos se observa un comportamiento similar, y el exponente que caracteriza el parámetro de orden toma el valor de β =1/3. Aunque dos sistemas físicos parezcan diferentes, son idénticos en un nivel más profundo, poseen un parámetro de orden que fluctúa en todas las escalas en el estado crítico y comparten el mismo exponente crítico. Esta universalidad permite estudiar las transiciones de fase con las mismas herramientas debido a que los exponentes críticos son independientes de la estructura de la malla y sólo dependen de la dimensión del sistema, lo que permite la utilización de modelos simples para describir el comportamiento en el estado crítico de cualquier sistema. K. G. Wilson (1979), explica la existencia de múltiples escalas en el estado crítico de una transición de fase y propone la importante herramienta de grupos de renormalización para la obtención de los exponentes críticos, la cual ha sido utilizada en las transiciones estudiadas por la física matemática y ahora en la transición de percolación, para estimación de exponentes críticos y estudio de leyes físicas y estadísticas fundamentales. La escala que domina el comportamiento crítico de un sistema es la longitud de correlación, ξ, por lo tanto cualquier ley de escalamiento debe considerar esta escala en la cercanía del punto crítico. Goldenfeld (1992) estudia la ley escalamiento de la 60 longitud de correlación y hace una comparación entre los resultados obtenidos con la Teoría de Landau y los resultados experimentales. Las observaciones evidencian la existencia de una escala adicional en la expresión de la longitud de correlación. En este trabajo se estudia la analogía entre la transición de percolación regida por leyes estadísticas y las transiciones térmicas regidas por las leyes de la física estadística, para aplicarla a la transición en rocas. 3.8.2.1 Transición de Percolación La transición de percolación es una transición de segundo orden que ocurre entre la fase conectada y la fase no conectada de un medio determinado. El parámetro de orden es la llamada resistencia P del sistema, con un estado crítico que se presenta en el llamado umbral de percolación. Cualquier medio que se encuentre sobre ese umbral se dice que percola, es decir, que existe por lo menos una ruta que comunica sus extremos. Un medio que se encuentra por debajo del umbral, no percola, es decir el medio está incomunicado. En el umbral de percolación el medio puede poseer una ruta que comunica sus extremos, y esa ruta se llamará el racimo principal o racimo infinito, que estará conformado por grupos de sitios vecinos, más cercanos, unidos entre sí. Las mallas de la Figura 3.6 tienen el mismo número de sitios ocupados, pero sólo la segunda malla percola, si consideramos que el racimo principal se ha formado cuando el extremo superior y el extremo inferior se encuentran unidos por una ruta de sitios vecinos ocupados más cercanos, como se observa en la segunda malla. Se define sitios vecinos mas cercanos, aquellos que se encuentran a los lados de un sitio, no en diagonal. La base teórica de la percolación se encuentra en la ley estadística de los grandes números. El proceso que rige esta teoría es la ocupación aleatoria de sitios con una probabilidad p sobre un arreglo regular o malla, lo que se llama percolación por sitios. En las mallas de la Figura 3.6, la probabilidad de ocupación de sitios es p=0.6, llamada también concentración del sistema (en este caso densidad de elementos o de fracturas). En el punto crítico de esta transición la probabilidad de ocupación es llamada 61 probabilidad crítica, pc, o umbral de percolación. El parámetro de orden se expresa en función de (p-pc), lo cual representa la cercanía al punto crítico y escala con este parámetro en forma de ley de potencia. P ∝ ( p − pc ) β (3.60) En este caso P es la llamada resistencia del racimo infinito (fracción de sitios que pertenecen al racimo infinito) y β es el exponente crítico correspondiente. En el punto crítico el parámetro de orden se anula como ocurre con la magnetización en la transición de fase magnética y con la diferencia de densidades en la transición de fase de fluidos. ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Figura 3.6 Esquema de una malla de percolación por sitios La probabilidad crítica de ocupación o estado crítico se define en el límite, por lo tanto, la teoría de percolación asume sistemas infinitos. Sin embargo, es conocido que los problemas reales se presentan en escalas finitas y es allí donde se deben escalar las cantidades importantes. El comportamiento de estas cantidades se estudiará en sistemas de tamaños finitos. En el punto crítico, las fuerzas que tienen influencia en escalas pequeñas, son llamadas fuerzas de corto alcance y han sido generadas lejos del estado crítico. Éstas fuerzas crecen en la medida en que el sistema se acerca al estado crítico y se empiezan a desarrollar correlaciones de esas fuerzas en escalas mayores, hasta que, en el punto crítico, se presentan correlaciones en todas las escalas y se dice que el sistema ha 62 desarrollado fuerzas de largo alcance. En el punto crítico se encuentran racimos en todas las escalas de longitud. En el estado crítico de la transición gas-líquido, se observan fluctuaciones de densidad en todas las escalas, y el punto de opalescencia demuestra la existencia de las fuerzas de largo alcance. Un poco por encima del umbral el sistema se encuentra conectado, se dice que la correlación es infinita (permanecen fuerzas de largo alcance) y aparece el llamado racimo infinito pero aún prevalecen racimos de diferentes tamaños (aunque se ha desarrollado una correlación de largo alcance, no se eliminan las de corto alcance). La longitud de correlación diverge en el punto crítico con el exponente ν, y escala de la siguiente manera, ξ ∝ ( p − pc ) −ν (3.61) 3.8.2.2 Leyes de escalamiento en sistemas de tamaño finito. Las leyes obtenidas en la teoría de percolación son válidas para sistemas muy grandes o infinitos. Sin embargo, en la realidad, se puede acceder solamente a sistemas finitos y por ello es necesario estudiar la discrepancia que presentan dichas leyes entre sí. El umbral de percolación se ha calculado para sistemas infinitos y toma un valor de 0.5927 (Stauffer, 1990). Éste es la el valor de la densidad crítica en mallas cuadradas y percolación por sitios. Se utiliza entonces una ley de escalamiento, cerca del punto crítico que permite estimar el valor del umbral de percolación para diferentes tamaños de malla. En esta investigación se consideran sistemas cercanos pero por encima, del umbral de percolación. El escalamiento de la densidad de la masa del racimo principal, ρ ( ρ = M/LD, D expresa la dimensión del sistema) se utiliza para plantear la base del escalamiento en tamaño finito. Esta densidad no es uniforme para escalas de observación menores que la longitud de correlación (L<ξ). Para observaciones bajo esa escala no existe una distribución homogénea de la masa y las propiedades físicas del sistema deben considerar la estructura detallada del racimo (propiedades microscópicas). En este caso la masa sólo depende de la longitud, así M α LD. En el caso de observaciones en 63 longitudes L>ξ, se encuentra que la densidad permanece constante y se observa una distribución homogénea de la masa, existiendo una dependencia adicional sobre L que aparece a través de una función de la relación de escala (L/ξ). Por lo tanto la masa escala como M α LD f(L/ξ). En el régimen homogéneo, la densidad, y por tanto, la función f, está relacionada con la resistencia P, la cual considera el parámetro de orden como en la ecuación 3.60. Así se obtiene una ley de escalamiento general para cualquier cantidad X, en la transición de percolación, de la siguiente forma, [ X ( L, P) = ( p − pc ) −ν g ( p − pc ) L1 / ν ] (3.62) donde g es una función de escalamiento. Se deduce entonces que existen dos regímenes en los cuales las propiedades asumen un comportamiento definido. Por lo tanto, para toda propiedad existe una ley de escalamiento para tamaños menores que su longitud de correlación, y otra ley para tamaños mayores que su longitud de correlación. Ver Figura 3.7. Densidad p-pc=0.1 p-pc=0.01 p-pc=0.001 p-pc=0.0001 ξ1 ξ2ξ3ξ4 Régimen homogéneo, L>ξ L Figura 3.7. Esquema del comportamiento de la densidad de sitios conectados al racimo principal en función del tamaño de la malla. Este tipo de comportamiento se extiende a otras propiedades. 64 3.8.2 3 Probabilidad de percolación y escalamiento Sea π la probabilidad de que exista un racimo que percole. Esta probabilidad se conoce con el nombre de probabilidad de percolación y claramente es función de la probabilidad de ocupación p. Si el sistema es infinito esta probabilidad toma el valor de uno para toda p>pc, y toma el valor de cero para toda p<pc, así la probabilidad de percolación toma la forma de la distribución Delta para dominios infinitos, como se observa en la figura 3.8. Considerando que en sistemas infinitos el valor de π es igual a uno, entonces el exponente crítico es cero y la ley general de la ecuación 3.62 permite obtener la ley de escalamiento para la probabilidad de percolación así, π = g [( p − pc ) L1 / ν ] (3.63) π L=∞ L<∞ p Figura 3.8. Esquema de variación de la probabilidad de percolación π en función de la densidad de sitios. Podemos definir la probabilidad de que la malla empiece a percolar como dπ/dp, y el promedio de la probabilidad en la cual la malla percola por primera vez es Pc ( L ) = ∫ p 65 dπ dp, dp (3.64) tal como se calcula el promedio de cualquier función. Si se toma como argumento de la función g, z = (p-pc)L1/ν , y se reemplaza en las ecuaciones 3.62 y 3.63 se llega a la siguiente expresión, Pc ( L ) − Pc ( ∞ ) ∝ L1 / ν , (3.65) donde la constante de proporcionalidad es ∫ z g´(z)dz. La ecuación 3.65 expresa la diferencia entre la probabilidad crítica para una red de tamaño finito Pc(L) (se puede obtener con simulaciones numéricas), y la probabilidad crítica para un tamaño infinito Pc(∞), proporcional, en forma de ley de potencia, con el tamaño de malla, L y el exponente crítico ν. El umbral de percolación depende entonces del tamaño del sistema. Conociendo los dos valores de las probabilidades críticas se puede estimar también el valor del exponente ν. Esta es una forma de aproximación al valor crítico del umbral de percolación en sistemas infinitos. Podremos observar también el ancho de la transición de percolación a través de la diferencia entre las dos probabilidades críticas y tendremos la desviación de la raíz media cuadrada c, entre el valor en el umbral de percolación y los datos observados en simulaciones numéricas, lo cual se puede expresar como Δ ∝ L1 / ν (3.66) donde Δ es la diferencia entre Pc(L) y Pc(∞). En este caso se observa el ancho de transición de percolación de acuerdo a la probabilidad de ocupación, y éste se interpreta como la diferencia entre el umbral de percolación en tamaño finito y en tamaño infinito. Este ancho varía para cada tamaño y tipo de malla, siendo, para una probabilidad de percolación fija, mayor en sistemas de menor tamaño y menor en sistemas de gran tamaño. Stauffer (1990). 66 3.8.2.4 Umbrales de percolación en mallas de tamaño finito. Los criterios a seguir para la estimación de los umbrales de percolación se basan en el comportamiento y propiedades de la probabilidad de percolación π, vista en el numeral anterior. Para tamaños finitos la función se suaviza y presenta dos comportamientos debido a la ocurrencia de dos eventos: el evento de que la malla no percole o el evento de que la malla percole; el umbral de percolación se encontrará entonces en el punto de inflexión de la función. El punto de inflexión debe coincidir con el umbral de percolación y se encuentra cuando π =1/2 debido a que el experimento es de tipo Bernoulli. El valor π =1/2 es el valor que divide la distribución en dos partes iguales, por lo tanto nos basamos en el criterio de la mediana de la distribución para estimar el umbral de percolación. Una aproximación a la forma funcional entre π y p se puede obtener a través de experimentos numéricos tipo Montecarlo. Con el criterio anterior se podrán obtener los valores del umbral de percolación para mallas de diferentes tamaños. La probabilidad de percolación π así estimada presenta una variabilidad que disminuye en la medida que aumenta el número de realizaciones y el tamaño de la malla, como se podrá observar en las simulaciones Montecarlo realizadas en el capítulo 4. A partir de la ley de potencia de la ecuación 3.65 y de los valores obtenidos del umbral de percolación en las simulaciones numéricas, es posible estimar el exponente crítico ν para cualquier tipo de malla. Los valores obtenidos en la literatura para sistemas de dimensión igual a dos son 0.74 obtenido por Bour and Davy (1997) desde sistemas aleatorios de fracturas, y el valor teórico de 1/ν, igual a 0.75 reportado por Stauffer (1990), el cual fue calculado desde la malla Bethe la cual tiene solución analítica para los exponentes críticos. 67 3.8.3 Caracterización de racimos de fracturas A partir de las observaciones de campo, pruebas de trazadores y ensayos de pozos, existe evidencia de que las fracturas se encuentran formando pequeños y grandes grupos (racimos de fracturas), algunas veces totalmente aislados (no existe conexión con otros grupos) y otras veces se encuentran unidos a una red principal de fracturas. Algunos grupos que son interceptados por las perforaciones de los pozos muestran mayor transmisividad que otros grupos, como puede observarse en el esquema realizado con información obtenida en Mirror Lake, Hsieh (1998). Ver Figura 3.9. Las pruebas de pozos en estos tipos de formaciones geológicas no pueden interpretarse con modelos que asumen un medio homogéneo caracterizado por una escala de observación. Figura 3.9 Sección vertical de un campo de pozos ilustrando racimos de fracturas. Sitio Mirror Lake, U.S.A. Tomado de Paul A. Hsieh (1998). 68 3.8.4 Estructura del racimo principal Un sistema con probabilidad de ocupación por encima del umbral de percolación se encuentra, en promedio, conectado por un grupo principal formado por fracturas que atraviesan el sistema desde un extremo al otro de su dominio. Si se coloca una condición de flujo en los extremos del sistema, el flujo circula a través de dicho grupo de fracturas. Para observar la estructura de los racimos se presenta un sistema de percolación que representa fracturas localizadas aleatoriamente en un dominio bidimensional. En la Figura 3.10, en A, puede observarse un sistema por debajo del umbral de percolación en el cual no se ha formado el racimo principal y se encuentra desconectado para el flujo. En B se observa el sistema muy cerca, por encima, del umbral de percolación, y en C su correspondiente racimo principal, extraído de la malla mostrada en B. Se observa que dentro del grupo principal existen algunos segmentos de fracturas que no llevan a ninguna parte, por lo tanto no contribuyen al flujo y se llamaran segmentos inactivos; la mayor parte de la masa que conforma el grupo principal cerca del umbral de percolación corresponde a segmentos inactivos. Si se remueven estos segmentos del grupo principal se obtiene la llamada columna vertebral del sistema (D en la Figura 3.10), la cual, cuando se trata de estudiar la conductividad hidráulica de estos sistemas resulta ser muy importante ya que conforma la ruta principal de flujo. Al observar detenidamente la columna vertebral se distinguen dos tipos de segmentos: a. Aquellos segmentos individuales que unen varios grupos de segmentos, y son considerados los cuellos de botella del sistema de flujo (transportan todo el flujo). La remoción de uno de ellos, en este caso un segmento de fractura, desconecta el sistema que se encuentra muy cerca de la transición de percolación. b. Aquellos segmentos que se encuentran localizados entre segmentos individuales, formando grupos en forma de circuitos cerrados, en los cuales se dividen las rutas de flujo del grupo principal. 69 A B C D Figura 3.10 Ejemplos de patrones de fracturas con dirección aleatoria. Se observa el sistema en diferentes estados. A, sistema bajo el umbral de percolación. B sistema sobre el umbral de percolación. C, racimo infinito. D, columna vertebral del sistema. Gráfico presentado por Bour and Davy, 1997. Muy cerca, por encima, del umbral de percolación se observa que en escalas menores a la longitud de correlación, ξ, se encuentran, en promedio, presentes los dos tipos de segmentos mencionados en todas las escalas de longitud. Para escalas mayores, el sistema se puede dividir en cajas de tamaño ξ, y dentro de cada una de ellas se observa una geometría similar a la de los segmentos descritos anteriormente, conformando la columna vertebral del grupo principal e igualmente similares en todas las escalas. La masa de los segmentos que conforman el grupo principal posee igualmente leyes de escalamiento en forma de ley de potencia como las leyes descritas anteriormente. 70 En el contexto de la transición de percolación, el umbral de percolación de sistemas de fracturas ha sido considerado en función de la densidad crítica de elementos la cual se define, como la densidad mínima de fracturas necesaria para formar un grupo principal y conectar las fronteras del sistema. Esto permite considerar arreglos de fracturas e involucrar algunos de sus parámetros geométricos, como la longitud y la orientación, Robinson (1984), Hestir, Long (1990). El parámetro de percolación se define como la densidad de objetos de longitud especifica por la unidad de área, en arreglos dimensionales de fracturas. En arreglos de fracturas generados con estos conceptos se ha comprobado el valor de algunos exponentes universales y se han verificado los umbrales de percolación, confirmándose la estructura fractal de los sistemas y las leyes de escalamiento cerca del umbral de percolación. Sin embargo, dada la complejidad de estos arreglos no se ha considerado el flujo a través de estos sistemas de percolación (sólo se ha estudiado el flujo sobre estructuras fractales conocidas, ejemplo tipo carpeta de Sierpinski, Polek (1990), Acuña (1995)), ni se ha estudiado desde simulaciones de flujo la ley de escalamiento para la conductividad hidráulica en sistemas de fracturas cerca al umbral de percolación. La conectividad de los sistemas de fracturas es un parámetro que ha sido considerado para determinar la mayor o menor conexión hidráulica de un sistema. Sin embargo, la definición de conectividad no ha sido aceptada por la comunidad científica y solamente expresa una apariencia subjetiva de una red de fracturas. Se han presentado en la literatura diversos enfoques de estudio de este parámetro y diversas formas de medición (Hestir and Long, 1990; Sahimi, 1994; Berkowitz, 1993). 3.8.5 Escalamiento de parámetros de flujo desde la teoría de percolación. La dependencia de la escala de los parámetros de un sistema es un aspecto importante que estudia la teoría de percolación. A partir de la caracterización presentada en el numeral 3.8.3 de los grupos de fracturas y de la presencia de ellas en diferentes escalas, el fenómeno del flujo en rocas fracturadas se ha presentado como un fenómeno que tiene 71 rasgos importantes en diferentes escalas y es por ello necesario plantear leyes de escalamiento de sus parámetros de flujo. La conductividad y difusividad hidráulica de los medios porosos y fracturados, así como la conducción de sistemas eléctricos, que se expresan como redes de conductores aleatorios pueden ser estudiados con la teoría de percolación. El escalamiento de los parámetros se puede expresar con una ley de potencia propuesta por esta teoría. La difusividad es proporcional a la conductividad de estos sistemas (De Gennes, 1976) lo cual es una manifestación de la ley de Einstein de la física estadística, que considera a la difusividad proporcional a la movilidad (velocidad promedia de los electrones es proporcional a la corriente eléctrica que ellos producen). La ley de escalamiento de la conductividad hidráulica debe ser análoga a la conductividad eléctrica y por lo tanto se expresa aquí la ley de escalamiento para esta última. Stauffer (1990) compara la conductividad eléctrica con el parámetro P (resistencia de la red y parámetro de orden) debido a que en la probabilidad p=1 todo el material esta conduciendo electricidad y en ese estado ambos parámetros toman el mayor valor. En el umbral de percolación ellos se anulan, es decir, dejan de tener sentido una vez el sistema se desconecta o el racimo principal desaparece. Para la permeabilidad el significado físico es que bajo el umbral de percolación no existe una ruta (conformada por poros o discontinuidades en la roca) a través de la cual pueda transportarse un fluido. En la Figura 3.11 se observa que las dos cantidades se anulan en el umbral con diferente pendiente y por tanto diferente exponente crítico. K 1 P 1/2 k 0 0 1/2 pc 1 p Figura 3.11 Conductividad K y resistencia P en sistemas de percolación. Tomado de Stauffer and Aharony, 1992. 72 La razón para que estos dos parámetros se anulen con exponente diferente es que la mayor parte de la masa del racimo principal P corresponde a extremos o circuitos que no contribuyen al flujo, por ello la mayor parte de la masa no contribuye a la conductividad. Cerca al umbral de percolación (al aumentar la probabilidad) la cantidad total de sitios conectados P crece rápidamente mientras la conductividad aumenta muy lentamente con pendiente casi nula. Basados en el comportamiento análogo de la conductividad eléctrica y de la ley general de escalamiento de la teoría de la percolación, se deduce que la conductividad hidráulica escala como para L << ξ K ∝ L− μ / ν , K ∝ ξ − μ /ν ∝ ( p − pc ) μ , para L >> ξ (3.67) de acuerdo a la escala de corte ξ. Estas expresiones constituyen la primera y la segunda ley de escalamiento respectivamente. El exponente crítico aquí es μ, el cual no ha sido expresado en función de otros exponentes de la transición de percolación. A través de simulaciones Montecarlo, en sistemas de conductores eléctricos (se utiliza la ley de Kirchoff y la ecuación de continuidad), se ha obtenido el exponente μ= 1.3 en d=2, y μ=2.02 en d=3. Estos exponentes caracterizan a la propiedad del medio que se encuentra relacionada con flujo, ya sea un medio poroso, un medio fracturado, o un sistema de conductores eléctricos. Por tanto, a partir de la teoría de percolación se obtiene una ley de escalamiento general que posee propiedades universales. 73 4. EXPERIMENTOS NUMÉRICOS EN ACUÍFEROS FRACTURADOS Con el fin de estudiar el comportamiento de los parámetros hidráulicos de acuíferos fracturados que se expresa en forma de leyes de escalamiento (leyes de potencia), se diseñó un experimento numérico basado en los conceptos de la teoría de percolación y en los conceptos de flujo a través de acuíferos. En el capítulo anterior se planteó la física del fenómeno que permite estudiar el flujo en rocas fracturadas como un fenómeno crítico cerca de la transición de fase de percolación. En este trabajo se estudian las propiedades de un sistema que está muy cerca, pero por encima, del umbral de percolación e interesan aquellos sistemas en los cuales el campo de esfuerzos actuando sobre la roca ha sido suficiente para formar un grupo principal de fracturas a través del cual ocurre flujo en el dominio considerado. Se estudian sistemas conectados de fracturas muy cerca de la transición de percolación y se simula el flujo a través de ellos. Por el hecho de que los sistemas que se simulan son finitos, es necesario estudiar el efecto del tamaño finito en el valor del umbral de percolación o probabilidad crítica. Para ello se generan simulaciones Montecarlo y se estiman los valores promedios de umbrales de percolación en mallas de tamaño finito. A partir de la teoría de percolación y sus propiedades se construye un medio sintético que representa arreglos de fracturas, el cual se puede estudiar con las propiedades universales de la transición de percolación. La simulación del flujo se realiza en sistemas de fracturas en forma de arreglos radiales para representar condiciones de bombeo. En el numeral 4.1 se describe el modelo de simulación de las mallas de percolación y en el numeral 4.2 se describe el modelo de flujo. Igualmente se plantea la forma de estimación de los parámetros hidráulicos y se presentan los resultados de las leyes de escalamiento y exponentes críticos en el numeral 4.3. 74 4.1 ESTIMACIÓN DE UMBRALES DE PERCOLACIÓN EN MALLAS DE TAMAÑO FINITO Los criterios a seguir para la estimación de los umbrales de percolación se basan en el comportamiento y las propiedades de la probabilidad de percolación π presentada en el numeral 3.8.2.3. Aquí se estiman los valores de los umbrales de percolación de las mallas estudiadas y su comportamiento o ley de escalamiento 4.1.1. Simulaciones Montecarlo Para obtener estos umbrales se diseñó el programa PERCOLA que realiza las simulaciones Montecarlo en mallas cilíndricas (estas mallas pueden representar una malla radial como se describe mas adelante) y permite obtener la información de si el sistema percola o no, para una probabilidad de ocupación dada. El sistema percola bajo las condiciones dadas en 3.8.2.1. El llenado de los sitios ocupados se realiza a partir de una semilla aleatoria, entre cero y uno, que se reinicia para cada realización: se asigna un valor de cero si el valor asignado aleatoriamente es menor que el valor de p dado, y un valor de uno, si es mayor. La información de si el sistema percola permite estimar la forma funcional entre π, la probabilidad de percolación, y ocupación, después de realizar numerosas simulaciones. Si el sistema percola se p la probabilidad de almacena la información de los nodos que pertenecen al racimo principal con el fin de identificar y trazar la ruta principal de dicho racimo. Para obtener el umbral de percolación se estudian mallas cilíndricas de tamaños L=10, 32, 64, 128 y 256. En este caso, el tamaño de la malla se refiere al número de sitios que tiene, ejemplo la primera malla tiene diez por diez sitios. Topológicamente, una malla cilíndrica se puede construir uniendo y doblando los bordes izquierdo y derecho de una malla cuadrada. Esta malla cilíndrica se transformará posteriormente formando las mallas radiales necesarias en las simulaciones de flujo. Ver numeral 4.2. El programa construido permite que las simulaciones Montecarlo tengan en cuenta esta topología y así obtener los valores del umbral de percolación para dichas mallas. 75 4.1.2 Probabilidad de percolación y estimación de umbrales Para tamaños finitos la función que relaciona π y p, se suaviza y presenta dos comportamientos debido a la ocurrencia de dos eventos, el evento de que la malla no percole o el evento de que la malla percole. El umbral de percolación se encontrará entonces en el punto de inflexión de la función, según criterios expuestos en el numeral 3.8.2.3. El punto de inflexión debe coincidir con el umbral de percolación y se encuentra cuando π =1/2 debido a que el experimento es de tipo Bernoulli. El valor π =1/2 es el valor que divide la distribución en dos partes iguales, por lo tanto se basa en el criterio de la mediana de la distribución para estimar el umbral de percolación. Los trabajos de Hestir y Long (990), Bour y Davy (1997) y Englman (1983) utilizan este criterio para obtener los umbrales de percolación en sistemas finitos de fracturas. La probabilidad de percolación π, presenta una variabilidad que disminuye en la medida que aumenta el número de realizaciones y el tamaño de la malla. Con el fin de disminuir dicha variabilidad se escogió el número de 384 realizaciones que corresponde a un nivel de confiabilidad del 95% y un error del 5%. Este fue el criterio de estimación de tamaño de muestra para un intervalo de confianza. El número de 384 realizaciones disminuyó sustancialmente la desviación estándar del estimador de π para las mallas de tamaño 32, 64 y 128. Para la malla de tamaño 256 fue necesario disminuir el número de realizaciones a 269 debido al fuerte incremento en el tiempo de computador de cada simulación. Sin embargo, se mantuvieron desviaciones estándar del orden de las mallas anteriores. Para la malla de tamaño 10, el número de realizaciones se elevó a 500 y se obtuvieron valores de desviación estándar del estimador de π semejantes a las anteriores, del orden de 1.5. Para la malla mas pequeña se utilizó un número de 500 realizaciones. Debido a la rapidez de la simulación, en la malla de tamaño 10, se pudo observar que para diferentes número de realizaciones el valor del umbral cambia en forma no muy 76 sensible, y en vez de hablar de un valor exacto del umbral de percolación, debe pensarse en un estimador, como se observa en la figura 4.1. probab.de percolación, % 54 52 384 simulac 500 simulac 1000 simulac 50 48 46 0.564 0.566 0.568 0.57 0.572 0.574 0.576 Probab.de ocupación Figura 4.1. Umbrales de percolación en función del número de simulaciones para tamaño de malla 10x10. El valor del umbral de percolación corresponde a una probabilidad de percolación del 50% que en este caso corresponde a un valor de 0.569 aproximadamente. Para cada probabilidad de ocupación se realizaron 20 simulaciones de n número de realizaciones (500 realizaciones para la malla 10 y 384 realizaciones para las mallas 32, 64 y 128, y 269 para la malla 256). El valor del umbral se tomó como la probabilidad de percolación que corresponde a un valor de π = 50%. Esta aproximación se obtuvo observando el comportamiento de tres o cuatro puntos muy cercanos al rango del valor crítico para cada tamaño de malla e interpolando para π = 50%.. Los umbrales de percolación para las mallas de tamaño finito obtenidos se observan en la Tabla 1. Tabla 1. Umbrales de percolación estimados para mallas cilíndricas. Tamaño 10 32 64 128 256 P(L)prom 0.5690 0.5808 0.5857 0.5878 0.5898 P(L) significa el valor del umbral en la malla del tamaño correspondiente L. 77 Stauffer (1992) reporta un valor de umbral de percolación de 0.5927 para mallas cuadradas de tamaño infinito y percolación por sitios. El valor del umbral cambia de acuerdo al tipo y dimensión de la malla. En el caso de mallas cilíndricas, se esperaba que existiera un efecto de tamaño finito ligeramente diferente al de las mallas cuadradas. Sin embargo se puede observar en la figura 4.2 que los umbrales de percolación para mallas de tamaño finito pc(L) tienden asintóticamente al valor del umbral en mallas infinitas. pc(L) 0.7 0.6 0.5 0 50 100 150 200 250 300 tamaño, L Figura 4.2. Se observa la variación del valor del umbral de percolación para mallas de tamaño finito, pc(L), en función del tamaño de la malla L. Los valores de los umbrales en tamaño finito tienden asintóticamente al valor teórico para mallas cuadradas de tamaño infinito, pc=0.5927. Con el fin de observar las formas de la relación π vs p, se realizó el mismo proceso para un rango de probabilidades p, entre cero y uno para los diferentes tamaños de mallas, lo que permite comparar el comportamiento de la probabilidad de percolación y el efecto del tamaño finito sobre dicha probabilidad. Se observa que para las mallas de tamaños más grandes, la probabilidad de percolación se acerca más a la teórica para tamaño infinito. Para observar este efecto se dibujaron las curvas de percolación para los cuatro tamaños de malla analizados que se observan en la figura 4.3. 78 Probab. de percolación 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Probabilidad de ocupación Figura 4.3. Efecto del tamaño finito en el umbral de percolación para mallas cilíndricas. Se tuvieron en cuenta mallas de diferentes tamaños, L=10 se representa con rombos, L=32 se representa con cuadrados, L=64 se representa con círculos, L=128 se representa con cruces y L=256 se representa con asteriscos. 4.1.3 Estimación del exponente crítico ν Para estas mallas, el exponente se obtiene a partir de la ley de potencia dada en la ecuación 3.66 del capítulo anterior y de los valores obtenidos del umbral de percolación en las simulaciones numéricas. Se calculan los valores de delta Δ, como la diferencia entre el umbral de percolación de una malla de tamaño finito y el umbral en tamaños infinitos, en este caso el valor 0.5927 y se presentan en la tabla 2. Tabla 2. Valores de Δ para mallas de tamaño finito simuladas Δ (p(L)-pc(∞)) Tamaño 0.0234 10 0.0114 32 0.007 64 0.0049 128 0.0029 256 79 El exponente que representa este comportamiento es 1/ν que se obtiene para este caso desde la pendiente de la línea en el espacio log-log. El valor obtenido es de 0.65, como se observa en la figura 4.4. 0 0 1 3 4 2 Exponente 0.65 R = -1 log (p-pc(L)) 2 -2 -3 -4 log L Figura 4.4. Estimación en el espacio log-log del exponente ν que corresponde al valor de 1.54, el valor presentado por la teoría de percolación es de 1.33. Otros valores del exponente 1/ν obtenidos en la literatura para sistemas en dos dimensiones son, el valor de 0.74 obtenido por Bour and Davy (1998) desde sistemas aleatorios de fracturas y el valor teórico de 1/ν igual a 0.75 reportado por Stauffer (1990), el cual fue calculado desde la malla Bethe, malla que tiene solución analítica para los exponentes críticos. El valor obtenido del exponente ν, confirma la universalidad de los exponentes críticos, en este caso para la transición de percolación en mallas cilíndricas, y permite la estimación de la longitud de correlación. 4.1.4 Longitud de correlación para sistemas simulados Para estudiar la longitud de correlación en estos sistemas se plantea la ley general de escalamiento de acuerdo a los conceptos presentados en el numeral 3.8.2.1. La longitud de correlación escala como, ξ ∝ ( p − pc) −ν 80 (4.1) donde el exponente ν toma el valor de 4/3 en sistemas de dos dimensiones. Este valor es la escala de corte para plantear las expresiones de escalamiento de los parámetros de transporte en teoría de percolación. En el umbral de percolación la longitud de correlación diverge para las mallas analizadas. El comportamiento de la longitud de correlación se observa en la Figura 4.5. Longitud de correlación 200000 150000 100000 50000 0 0.57 0.575 0.58 0.585 0.59 0.595 0.6 Probabilidad Figura 4.5 Comportamiento de la longitud de correlación cerca al umbral de percolación para los tamaños utilizados. El tamaño de la malla 32 se distingue con un círculo, 64 se distingue con un cuadrado, 128 con un rombo y 256 con asterisco. Para cada tamaño de malla L, se define la cercanía al umbral de percolación del sistema como (p-pc), siendo p el valor de la probabilidad en la cual se encuentra el sistema, y pc, el valor teórico (0.5927). Esta diferencia representa el valor de acercamiento al umbral de percolación. Se buscaron valores de (p-pc) que cubren hasta cuatro órdenes de magnitud con el fin de observar el comportamiento de una ley de potencia. En el numeral 3.8.5 se expuso la forma de la ley de escalamiento de la conductividad de los sistemas propuesta por la teoría de percolación de acuerdo a la ecuación 3.67. La forma de la ley de escalamiento a utilizar se define con el criterio de la escala de corte o longitud de correlación, ξ. Para cada forma se definen diferentes valores de cercanías al umbral de percolación como se muestra en la Tabla 3. Se compara el valor de L, el tamaño de la malla, con el valor calculado de la longitud de correlación en unidades de malla. 81 La primera forma de la ley de escalamiento de la conductividad se puede obtener con suficiente exactitud debido a que se trata de simular mallas de tamaño menor que la longitud de correlación. En este caso los parámetros hidráulicos depende del tamaño del sistema. La segunda forma de la ley de escalamiento es un poco más difícil de alcanzar con precisión debido a que se deben cubrir tres órdenes de magnitud y esto puede requerir de mallas tan grandes que difícilmente pueden ser simuladas en computadores. La forma de esta ley es válida para mallas de tamaño mayor que la longitud de correlación. La mayor dificultad se encuentra en la simulación numérica del flujo, debido al extenso tiempo de computador necesario para correr un número grande de realizaciones. Tabla 3. Leyes de escalamiento de los parámetros hidráulicos. p-pc (delta) 0 0.0001 0.001 0.010 0.016 0.06 0.1 Longitud correlación Infinito 215443 10000 464.2 248 42.6 21.5 de L < longitud de Correlación Todas Todas Todas Todas L=256>long. Correlación L=128, 64>long. Correlación Todas, L >long. Correlación Forma escalamiento 1ª Ley 1ª Ley 1ª Ley 1ª Ley 2ª.Ley 2ª Ley 2ª Ley de Nota. L es el tamaño de la malla. La longitud de correlación se calcula con la ecuación 3.61. Las 1ª y 2ª leyes se presentan en la ecuación 3.67. 4.2 MODELO DE FRACTURAS COMO SISTEMAS DE PERCOLACIÓN El modelo de percolación se aplica a mallas regulares y en este caso se utilizó una malla radial para representar las condiciones de flujo radial. Sobre esta malla se construye el arreglo de fracturas que se describe a continuación. Para percolación por sitios como es el caso desarrollado en este trabajo, cada sitio (punto de intersección de la malla) se encuentra activo con una probabilidad p. En la medida en que p aumenta, aumenta el número de sitios activos y por tanto la conexión del sistema. Para cada valor de p se tiene entonces un sistema con diferentes propiedades de conexión y por lo tanto con 82 diferentes propiedades de flujo. La unión de dos sitios vecinos ocupados forma un segmento que representa una fractura activa. La unión de dos sitios vecinos no ocupados forma un segmento que representa una fractura no activa, es decir se encuentra cerrada para el flujo. Con estos sistemas de percolación se pueden obtener grupos de fracturas activas y no activas, de todos los tamaños, incluídos grupos aislados de fracturas que no contribuyen al flujo total del sistema. Para este caso de arreglos de fracturas, no se fijan ni orientaciones, ni longitudes y se maneja un valor de abertura constante. Sin embargo para estos arreglos la longitud de los segmentos varía de acuerdo a la longitud de dominio que se modele. Esta longitud representa la distancia de corte entre dos fracturas. Para crear las mallas de percolación bajo diferente valor de probabilidad p, se realizaron simulaciones Montecarlo con el programa desarrollado para este trabajo llamado PERCOLA, el cual permite ajustar un valor de probabilidad y observar sí la malla percola o no. La malla percola si bajo esa probabilidad se conforma un racimo principal de sitios ocupados, de lo contrario no percola. En la Figura 4.6 se muestran cuatro sistemas de arreglos de fracturas en forma radial de tamaño 64 con diferentes probabilidades o densidades. La primera con una p=0.4, bajo el umbral de percolación, las dos siguientes con p= 0.6 y 0.7, se encuentran sobre el umbral de percolación, lo cual significa que son sistemas conectados y se dice que percolan; sobre estos sistemas conectados se puede simular condiciones de flujo. La malla de p=1 representa un sistema totalmente conectado. El programa PERCOLA permite rastrear a través del sistema la ruta formada por el racimo principal. En la figura 4.7.1 se observa un sistema de fracturas de tamaño 128 y densidad 0.6, el cual percola. En la Figura 4.7.2 se observa el mismo arreglo con un trazo del racimo principal. La información del racimo principal es almacenada con el fin de localizar sobre él los puntos de observación. Un esquema de estos puntos o pozos de observación se observa en la figura 4.7.3. 83 Sistemas de este tipo se crearon para realizar las simulaciones numéricas de flujo en diferentes tamaños y estados de conexión como se describe en el siguiente numeral. 1 4 3 Figura 4.6 Mallas radiales de percolación en densidad de ocupación p=0.4, p=0.6, p=0.7 y p=1. El tamaño de la malla es 64 x 64. 84 Figura 4.7.1. Sistema de fracturas sobre el umbral de percolación, con densidad de ocupación de 0.6 y representado por una malla de percolación de tamaño 128x128. 85 Figura 4.7.2. Racimo principal en malla 128 con densidad 0.6. La línea continua es una traza del racimo principal. 86 Figura 4.7.3. Localización de los puntos de observación que representan pozos de observación ubicados sobre el racimo principal del sistema. 87 4.2.1 Modelo de flujo Sobre las mallas de percolación descritas en el numeral anterior se generan condiciones de flujo a partir de pruebas numéricas que simulan condiciones de bombeo. Estas pruebas se realizan colocando condiciones de borde que representan el efecto de bombeo. El caudal de explotación es una condición tipo Neuman que se impone en el centro de la malla. El acuífero se extiende hasta el borde exterior de la malla donde se impone la condición Dirichlet de cabeza constante, la cual representa abatimiento cero en el límite. Esta última condición intenta expresar el efecto de acuíferos infinitos, necesario para la interpretación de las pruebas de bombeo. Se está interesado en obtener las respuestas transitorias de la cabeza hidráulica (nivel piezométrico en el acuífero) a partir de las pruebas de bombeo generadas sobre el medio. Debido a que los acuíferos simulados adquieren las características de los sistemas de percolación, el flujo ocurre a través de aquellos segmentos que pertenecen al racimo principal, el cual conforma la o las rutas principales de flujo en el acuífero desde el pozo de bombeo localizado en el centro de la malla, hacia el borde exterior del acuífero. Ver figuras 4.6 y 4.7.2. Las rutas de flujo generadas adquieren entonces las características del racimo principal que poseen los sistemas de percolación y se estudian como tal. Para observar el comportamiento transitorio de la cabeza hidráulica y evaluar los parámetros de flujo en distintos sitios del acuífero, se localizaron pozos de observación donde se hace la lectura de cabeza hidráulica. Estos siete pozos se situaron sobre el racimo principal del sistema mapeado por el programa PERCOLA, en forma equidistante desde el pozo de bombeo, como se observa en la figura 4.7.3. 4.2.1.1 Programa de Flujo Para modelar el flujo en los arreglos de fracturas anteriores y simular las pruebas de bombeo se utilizó el programa de computador TRINET construido por Kenzi Karasaki de Lawrence Berkeley Laboratory, California. Este programa calcula el flujo y transporte en redes de líneas interconectadas que simulan canales de flujo. Esto permite 88 representar las rutas preferenciales o canales de flujo en fracturas, resultado de la heterogeneidad estudiada. El programa de computador soluciona el campo de flujo (Ecuación 3.11) utilizando el método de elementos finitos de Galerkin. La derivada del tiempo se trata con un esquema de diferencias finitas. La distribución de velocidad en la red de fracturas se calcula a partir de la distribución de presión en cada nodo, solucionando la Ley de Darcy, simultáneamente, para toda la malla. Esto genera una matriz cuyo ancho de banda se minimiza reenumerando los nodos en cada ciclo, obteniendo un arreglo de cabezas hidráulicas en cada nodo y en cada intervalo de tiempo cuando se simulan procesos transitorios. Debido a que los sistemas simulados tienen diferentes tamaños se deben calcular las longitudes de los elementos, arcos y radios, que conforman el arreglo radial, manteniendo constante las áreas comprendidas entre cuatro segmentos consecutivos, Además la malla que representa el arreglo de fracturas es de percolación, y no todos sus elementos conducen. Se construyó entonces el programa MALLA para calcular las longitudes de los elementos y colocarlos en el formato requerido por el programa de flujo, con las propiedades hidráulicas fijas de cada elemento. La longitud de los segmentos también varían con el tamaño de la malla y con el dominio del flujo. La transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de cada segmento se mantienen constantes en los segmentos que representan fracturas activas y se asignan valores cero a aquellas fracturas no activas. Toda la información hidráulica y geométrica de los elementos se presenta en el archivo elmt. La información de condiciones de borde del sistema se entra en el archivo node, y la información de localización de pozos de observación se entra en el archivo npn. Las condiciones de flujo transitorio y tiempos se entran en el archivo ctrl. 4.2.1.2 Realizaciones de arreglos de fracturas Con el fin de simular los arreglos de fracturas en diferentes estados de conexión y evaluar las propiedades hidráulicas promedias de los acuíferos para cada uno de esos 89 estados, se simularon 20 realizaciones para cada estado en diversos tamaños de sistemas. Se crearon arreglos para cuatro tamaños de malla (L =32, 64, 128 y 256) y para tres dominios de flujo (50, 1000 y 10000 m). Como se mencionó en el numeral 4.1, los estados de conexión de los arreglos se expresan con diversos valores de densidad, definiendo un nivel de cercanía al umbral de percolación. El nivel de cercanía (p-pc) se expresa como la diferencia entre la densidad de ocupación del sistema y la densidad crítica, pc, de mallas de percolación en dos dimensiones. Se realizaron cerca de 5000 simulaciones de flujo para todas los tamaños y estados de los sistemas y se leyeron respuestas transitorias de cabeza (en adelante se denominan, transientes) hidráulica en siete pozos de observación en cada simulación. 4.2.2 Estimación de parámetros hidráulicos Las propiedades estimadas desde sistemas de percolación equivalen a valores promedios que permiten obtener la propiedad macroscópica de un continuo. En este caso se simularon 20 realizaciones por cada parámetro para obtener el parámetro hidráulico promedio, lo cual equivale a interpretar cerca de 20000 transientes. En este caso los parámetros hidráulicos son la transmisividad y coeficiente de almacenamiento de acuíferos fracturados. Para expresar las leyes de escalamiento se evaluaron los dos parámetros definidos como la conductividad hidráulica (m/s) y la difusividad hidráulica del acuífero (m2/s) considerada como la relación entre la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento. Aplicando la metodología de Theis se obtuvo un valor de T y S para cada uno de los cerca de 20000 transientes generados en las simulaciones de flujo. Dado el número de información generada en este tipo de pruebas hidráulicas (en campo se obtiene escasa información, en el espacio y en el tiempo) se desarrolló un programa de computador que permitiera la evaluación en forma sistemática de los parámetros hidráulicos. Por lo tanto, no se utilizó la metodología gráfica de ajuste de Theis, sino que se desarrolló una metodología que permitiera la evaluación sistemática de las pruebas de bombeo. Esta 90 metodología se basa en la optimización de dos funciones que expresan los abatimientos a partir de una prueba de bombeo, siendo la primera una función teórica, dada por la ecuación de flujo, y la segunda, la función dada por el abatimiento observado en la simulación. Los parámetros T y S se varían sistemáticamente hasta hallar la pareja de valores que hace esta función lo más cerca posible a cero, bajo esta condición se encuentran los parámetros que representan mejor el comportamiento del acuífero. La forma de la función a minimizar es, ⎛ C1 × Q ∞ e − u ⎞ delta = ⎜⎜ × ∫ du ⎟⎟ − (sobs ) , u u ⎝ T ⎠ (4.2) siendo delta la diferencia entre el abatimiento teórico dado por los valores T y S y el abatimiento obtenido dado por la simulación de flujo; C1 y C2 son constantes que dependen de las unidades utilizadas; Q es el caudal o rata de bombeo; T es la Transmisividad; S el coeficiente de almacenamiento, t el tiempo desde el inicio del bombeo; sobs es el abatimiento obtenido de la simulación de flujo y u es r2 × S 4 × C2 × T × t que es un argumento adimensional. El programa desarrollado se llama THEISMOD y permite la evaluación simultánea de 20 simulaciones o más, de flujo. Los parámetros de control son los errores observados, permitiéndose hasta un error del 20%. Sin embargo, los parámetros obtenidos con las simulaciones de flujo presentaron valores bastante menores que éste. En las figuras 4.8 y 4.9, se observan las curvas de abatimiento generadas con los parámetros estimados de transmisividad y coeficiente de almacenamiento de cuatro transientes obtenidos en diferentes pozos. El ajuste se observa aceptable en los tiempos medios y finales de las pruebas. 91 Figura 4.8 Ajuste de curvas de abatimiento de la simulación numérica y abatimientos teóricos a partir de los parámetros de flujo obtenidos con el programa THEISMOD. 92 Figura 4.9 Ajuste de curvas de abatimiento de la simulación numérica y abatimientos teóricos a partir de los parámetros de flujo obtenidos con el programa THEISMOD. 93 4.3 DISCUSIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS Los experimentos numéricos se realizaron para simular pruebas de bombeo en acuíferos fracturados. Estos acuíferos son representados con sistemas de percolación que se encuentran sobre el umbral de la transición de fase. A partir de las condiciones hidráulicas impuestas sobre estos sistemas, es posible estudiar comportamientos espaciotemporales que en pruebas de campo es imposible observar. Los parámetros de flujo estudiados son la conductividad hidráulica y la difusividad (Transmisividad sobre el coeficiente de almacenamiento) los cuales usualmente se utilizan para el reconocimiento y evaluación hidráulica de acuíferos. Los acuíferos estudiados se encuentran en estados diferentes expresados por la densidad de ocupación o de segmentos abiertos para el flujo. Como se dijo antes, esta densidad expresa el grado de conexión de los sistemas de fracturas. Se trata, entonces, de acuíferos que poseen un medio heterogéneo a través del cual ocurre el flujo. Un sistema en el umbral corresponde a un valor de p igual a pc (0.5927), la cercanía al umbral se expresa como p-pc. El estudio y análisis de los resultados de los parámetros hidráulicos obtenidos desde numerosas simulaciones numéricas muestran lo siguiente: 1. La localización de puntos que representan pozos de observación en forma equidistante dentro del acuífero y la evaluación de los parámetros hidráulicos en cada uno de esos puntos, permite observar la variación espacial de los parámetros hidráulicos entre el sitio de localización del pozo de bombeo y el limite exterior del acuífero. Este es el llamado efecto de escala de los parámetros de flujo: el valor de los parámetros hidráulicos aumenta con la escala de observación. Este comportamiento se observó para todos los estados de acuíferos simulados y para diversos dominios utilizados, ver figura 4.10. Los resultados resultan congruentes con los expuestos por Brace (1984) y Clauser (1990), quienes plantean el efecto de escala desde la medida de la conductividad 94 hidráulica en escalas de laboratorio y de campo. Igualmente resultan congruentes con el comportamiento observado por Hestir and Long (1990) en simulaciones numéricas a partir de sistemas de percolación que representan fracturas. Se debe aclarar que la distancia mas alejada del pozo de bombeo corresponde a un pozo de observación que debe poseer un fuerte efecto de las condiciones de frontera de los Conductividad Hidraulica Conductividad Hidraulica acuíferos, como es evidente en la figura 4.10. 4.00E-04 3.00E-04 2.00E-04 1.00E-04 0.00E+00 0 2000 4000 6000 8000 10000 3.00E-03 2.00E-03 1.00E-03 0.00E+00 0 Distancia, m PROB. B 200 400 600 800 Distancia, m PROB. E PROB. B PROB. E Figura 4.10. Se observa la variación de la difusividad y la conductividad hidráulica con la distancia desde el pozo de bombeo o efecto de escala. La probabilidad B y E representan el sistema simulado mas cerca y más lejos del umbral de percolación, respectivamente. Entre estos dos valores se encuentran los demás estados simulados, los cuales presentan el mismo efecto. Las simulaciones se realizaron sobre diferentes dominios. 2. Se observa la existencia de dos tipos de comportamiento desde el análisis de los sistemas más cerca al umbral de percolación y aquellos más alejados. Estas dos situaciones dan lugar a dos diferentes leyes de escalamiento de los parámetros hidráulicos, que se exponen en los siguientes numerales. Los acuíferos que se encuentran en estados más cerca al umbral de percolación (p-pc entre 0 y 0.001) presentan los valores más bajos de conductividad hidráulica y se agrupan entre sí. Aquellos acuíferos que se encuentran mas alejados del umbral (valores entre p-pc de 0.001 a 0.1), presentan los valores mas altos y se alejan del grupo anterior. Este 95 1000 comportamiento se observa en la figura 4.11 y se encontró en forma generalizada en todas las simulaciones realizadas. 4.00E-04 Conductividad Hidraulica Conductividad Hidráulica 8.00E-02 6.00E-02 4.00E-02 2.00E-02 0.00E+00 3.00E-04 2.00E-04 c 1.00E-04 0.00E+00 0 10 20 30 40 50 0 2000 Distancia, m 4000 6000 8000 Distancia,m Figura 4.11. Se observa que los sistemas que se encuentran mas cerca al umbral de percolación (valores de p-pc entre 0 y 0.001) presentan los valores de conductividad hidráulica más bajos y ellos se agrupan en el nivel inferior del gráfico. Los sistemas mas alejados del umbral (valores de p-pc entre 0.01 y 0.1) presentan los más altos valores y se distribuyen en la parte superior del gráfico. Los que corresponden a la mayor probabilidad se identifican con asteriscos. Cruces y círculos llenos, corresponden a sistemas de menor probabilidad respectivamente. 3. Aunque los sistemas simulados con la teoría de percolación en este trabajo, representan medios heterogéneos conformados por sistemas de fracturas que poseen un grado mayor o menor de conexión, existe una escala sobre la cual estos sistemas lucen homogéneos, y es la escala de correlación o escala representativa del sistema. Se analizaron los sistemas que se encuentran sobre dicha escala y se obtuvo la ley de escalamiento de sus correspondientes parámetros hidráulicos. Esta ley que se ha llamado en este trabajo la segunda ley de escalamiento, relaciona los parámetros hidráulicos con el valor de cercanía al umbral de percolación (p-pc), lo cual significa un mayor o menor grado de conexión del sistema de fracturas. En este trabajo se analizan 96 10000 los sistemas de mas alto valor de conductividad, y la ley obtenida corresponde a los sistemas un poco mas alejados del umbral de percolación (p-pc entre 0.01 y 0.1), pero lejos de un sistema totalmente conectado (p igual a uno). El exponente μ de la ley de escalamiento propuesto por la teoría de percolación se obtuvo para diferentes sistemas de flujo simulados y para cada punto de observación, como se observa en la figura 4.12. Para valores de p-pc igual o mayor a 0.2 los resultados no se ajustan a esta ley, lo cual puede significar que a partir de este valor el sistema de fracturas deja de comportarse como un sistema en transición de percolación. a -2 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -2.5 Log K Log D 9.5 -3 9 -3.5 8.5 b -2 -1.5 -1 -0.5 Log(p-pc) 0 -2 10 -2 -1.5 -1 -0.5 9.5 0 Log K Log D -2.5 9 -3 8.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -3.5 0 Log(p-pc) Log (p-pc) Figura 4.12. Comportamiento de los parámetros hidráulicos, difusividad y conductividad hidráulica, en función del valor de cercanía al umbral de percolación o grado de conexión del sistema. Este comportamiento define la ley de potencia para la ley de escalamiento de sistemas que se encuentran en escalas mayores a la escala representativa. En a) se presentan los resultados para una malla de tamaño 128, y en b) los resultados para una malla de tamaño 256. Ambos con dominios de flujo de 1000 metros. 97 Se encontró el exponente μ que define la ley de escalamiento de los parámetros hidráulicos en este régimen homogéneo cuyos valores y coeficiente de correlación se presentan en la Tabla 4 para la malla 128 y en la Tabla 5 para la malla 256. Tabla 4. Resultados de simulaciones en una malla 128. Pozo No. 2 3 4 5 6 DIFUSIVIDAD Exponente μ 1.23 1.2 1.14 1.18 1.17 CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA R2 Exponente μ 1.35 0.99 1.28 0.99 1.25 1 1.14 1 1.03 0.99 R2 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 Tabla 5. Resultados de simulaciones en una malla 256 Pozo No. 2 3 4 5 6 DIFUSIVIDAD Exponente μ 0.63 0.71 0.7 0.74 0.77 CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA R2 Exponente μ 1.04 0.99 1.02 0.99 1.00 0.99 0.97 0.99 0.94 0.99 R2 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 La teoría de percolación presenta el exponente universal μ con un valor de 1.30 (Stauffer, 1990) obtenido mediante simulaciones Montecarlo en sistemas aleatorios de conductores eléctricos. A partir de simulaciones numéricas en sistemas aleatorios de fracturas Hestir and Long (1990) presentan valores entre 1 y 2 para el exponente. En este trabajo se obtiene los exponentes desde simulaciones Montecarlo y simulaciones de flujo en arreglos radiales de fracturas que simulan acuíferos. Los valores del exponente más representativos corresponden a los obtenidos en la malla 128 donde se hicieron simulaciones con 30 realizaciones. Los valores del exponente en la malla 256 toman valores más bajo y se obtuvieron con 20 realizaciones. Así el exponente μ 98 hallado desde las simulaciones de flujo en sistemas de fracturas de percolación se encuentra entre 1 y 1.3, valor más cercano al propuesto por Stauffer. Con este valor obtenido se confirma el comportamiento en forma de ley de potencia de los parámetros hidráulicos en sistemas que poseen cierto grado de conexión, caso en el cual es posible encontrar una escala representativa. En este caso el sistema se observa bajo una resolución constante y no existe dependencia de la resolución del ensayo. 4. Los sistemas o acuíferos fracturados que se observan bajo la escala representativa no lucen homogéneos, sino que muestran una estructura fractal (los racimos de fracturas son autosemejantes) y por tanto las leyes que rigen los parámetros hidráulicos obtenidos bajo esa escala muestran características especiales regidas por otros exponentes. Lo que imprime estas condiciones a un sistema es la mayor cercanía al umbral de percolación, es decir, en ese estado (cerca al estado crítico) el flujo ocurre a través de muy pocas rutas que han sido conformadas por la formación del llamado racimo principal del sistema, al cual llamaremos el régimen fractal. Las simulaciones realizadas para probabilidades más cercanas al umbral de percolación presentan menores valores de conductividad hidráulica, tal como se observa en la figura 4.11. En este caso los parámetros hidráulicos dependen del tamaño del sistema en estudio, y se da lugar a la llamada en este trabajo primera ley de escalamiento. Los comportamientos de los parámetros hidráulicos obtenidos desde las simulaciones de acuíferos muy cerca al umbral de percolación, bajo una probabilidad de ocupación fija y discretización de malla fija, en función de diferentes tamaños de sistemas, se observan en la figura 4.13. 99 a 10 0 0 1 2 3 Resolucion 3.9 Resolución 3.9 -1 Log D Log K 9.5 -2 9 -3 8.5 -4 0 Log L 1 2 3 2 3 Log L 10 0 0 1 2 3 Log D Log K -1 -2 -3 9 Resolución 1 Resolución 1 8 -4 0 Log L 1 Log L b Figura 4.13 Para dos valores de resolución o discretización de malla fija, a) Valor de resolución 3.9, b) valor de resolución 1, se observa el comportamiento de los parámetros hidráulicos, K, conductividad hidráulica y D, difusividad hidráulica. La resolución se define como la relación entre el dominio de flujo y el número de discretización de la malla. Se observa el comportamiento aproximadamente constante para los diferentes pozos de observación (igual pendiente en el espacio Log-Log). Los valores de los exponentes obtenidos y sus coeficientes de correlación se presentan en la Tabla 6 y en la Tabla 7 para dos valores de discretización diferentes. Tabla 6. Exponentes de la ley de escalamiento para una resolución 3.9. Pozo No. 2 3 4 5 6 DIFUSIVIDAD Exponente μ/ν -0.84 -0.85 -0.91 -0.93 -0.98 CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA R2 Exponente μ/ν -1.05 0.99 -1.03 0.99 -1.10 0.98 -1.16 0.97 -1.20 0.97 R2 0.93 0.93 0.91 0.90 0.90 100 Tabla 7. Exponentes de la ley de escalamiento para una resolución de 1. Pozo No. 2 3 4 5 6 DIFUSIVIDAD Exponente μ/ν -0.89 -0.88 -0.90 -0.89 -1.10 CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA R2 Exponente μ/ν -0.97 0.80 -1.08 0.90 -1.25 0.97 -1.30 0.97 -1.20 0.96 R2 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 El exponente obtenido por Stauffer (1992) para el exponente universal en esta ley de escalamiento es de 0.975, obtenido también desde simulaciones Montecarlo en conductores aleatorios eléctricos. En este trabajo se obtuvieron exponentes entre 0.84 y 1.1 para un estado del sistema de p-pc igual a 0.001. Para sistemas en estados más cercanos al umbral de percolación, como por ejemplo, p-pc igual a 0.0001 o 0, se obtuvieron valores de exponentes entre 0.7 y 0.9. Los valores de exponentes no cambian sensiblemente con el sitio de medición de flujo (los sitios se encuentran localizados sobre la ruta principal del flujo) y esto puede ser reflejo de la estructura fractal del racimo principal. No se conocen otros trabajos que hayan obtenido este tipo de ley de escalamiento. 5. Se observa el comportamiento de los parámetros en el régimen fractal, expresando el valor de los parámetros hidráulicos respecto a discretizaciones del sistema. Se llama discretización al número de particiones de la malla (tamaño de mallas), para este caso se utilizan los valores de 32, 64, 128 y 256. La variación de ellos respecto a la resolución de observación, dejando la escala de observación fija, es una señal del carácter fractal del medio (Cushman, 1990). Si en el limite, resolución infinita, el parámetro tiende a un valor de cero, el espacio vacío es considerado fractal. Este comportamiento se observa en la figura 4.14. 101 El exponente que caracteriza este comportamiento se encontró muy cerca de uno para todos los valores de difusividad hidráulica, observándose con mayor definición el comportamiento en los sistemas que se encuentran muy cerca o en el umbral de percolación. En el caso de la conductividad hidráulica el comportamiento no se encontró definido, presentando exponentes con valores entre 0.2 y 0.7, con valores bajos de coeficiente de correlación. La razón puede ser que en el caso de formaciones acuíferas, la difusividad expresa mucho mejor las condiciones físicas del sistema. 10 9 9 Log D Log D 10 8 8 7 0 1 2 3 7 0 4 Log n 1 2 3 4 Logn Figura 4.14. La difusividad presenta un comportamiento definido en función del valor de discretización de las mallas utilizadas, n, que toman valores de 32, 64, 128 y 256. En el caso a) se simuló un dominio de 1000 metros bajo un valor de cercanía al umbral de percolación de p-pc igual a 0.001. En el caso b) se simulo un dominio de 50 metros justo en el umbral de percolación. Los exponentes se encontraron muy cercanos a uno. 6. La longitud de correlación que en este caso expresa la escala representativa de los sistemas utilizados, ha sido considerada como la única escala importante cerca de la transición de fase en fenómenos críticos, en este caso la transición de percolación. Esta longitud diverge en el umbral de percolación con un exponente ν que toma un valor de 4/3 como se plantea en el capitulo anterior. Sin embargo, ha sido considerada importante otra escala en el estado crítico, considerada microscópica que es relevante, y 102 que es el espaciamiento de las mallas que representan los sistemas, y que se expresa en función de un exponente anómalo, θ, propuesto por Goldenfeld (1992). En sistemas de percolación, esta escala representa el espacio entre dos sitios ocupados. Para el caso de sistemas de fracturas, esta escala representa la longitud de conexión entre dos fracturas. Bajo esta definición, el escalamiento de la longitud de correlación y demás parámetros se expresa en función del nuevo exponente. Con un valor del exponente μ de 1.3, escala característica de los sistemas utilizados, 3.5 o 7.8, y valor de difusividad encontrado, se obtiene un exponente θ de 5. Se considera que este valor no es apropiado y que este exponente debe obtenerse a partir de estimaciones de la longitud de correlación para lo cual se requiere mayor estudio. Un valor apropiado resulta ser del orden de 0.8. 7. Las simulaciones de flujo permiten estudiar el comportamiento de la respuesta transitoria de presión o de cabeza hidráulica a partir de ensayos de bombeo en los acuíferos simulados. El nivel de conexión de los sistemas de fracturas dado por la probabilidad de ocupación del sistema de percolación, influye directamente en el comportamiento de estos transientes. El comportamiento transitorio de un acuífero que se encuentra muy alejado del umbral de percolación se estabiliza mas rápidamente que aquellos que se encuentran cerca al umbral de percolación. En la figura 4.15 se observa el comportamiento transitorio para diferentes estados de acuíferos, desde aquellos completamente homogéneos donde todas las fracturas se encuentran interconectadas, p igual a 1, y que en este trabajo hemos llamado sistemas euclidianos (Hestir y Long,1990, comparan estos sistemas con el modelo de fracturas infinitas propuesto por Snow, 1966), hasta aquellos acuíferos que tienen poca conexión y se encuentran muy cerca al umbral de percolación con un valor de cercanía de p-pc igual a 0.016. En aquellos acuíferos que se encuentran más cerca del umbral de percolación existen menos rutas de flujo y ellas pueden llegar a ser más tortuosas, el sistema apenas se 103 encuentra conectado y la estructura del racimo principal tiene mayor influencia, por lo tanto la respuesta es más lenta. En los acuíferos alejados del umbral de percolación existen mas rutas que cooperan al flujo, y por lo tanto la respuesta es más inmediata. Los valores de la cabeza hidráulica, dependen de la física del flujo dentro de cada uno de los sistemas. 800 cabeza hidraulica, m a) 600 400 200 0 0 10 20 30 tiempo, min p-pc=0.016 p-pc=0.05 p-pc=0.1 b) cabeza hidraulica, m 400 200 0 0 10 tiempo, min p-pc=0.016 p-pc=0.05 p-pc=0.1 p=1 Figura 4.15. Comportamiento transitorio de la cabeza hidráulica en acuíferos simulados bajo diferentes estados de conexión, dados por los valores de p-pc. El acuífero más conectado (p-pc=0.1) tiene una respuesta de estabilización más rápida, y el acuífero menos conectado (se encuentra mas cerca del umbral de percolación, p-pc=0.016) demora tiempo en estabilizarse. Esta respuesta aparece en un pozo de observación localizado a 600 metros del pozo de bombeo. En a) se observa la respuesta para los sistemas de percolación hasta un tiempo de 30 minutos, y en la parte b) se incluye la respuesta del sistema totalmente conectado. 104 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES La heterogeneidad es una característica de los materiales de la naturaleza y depende de la escala y del lente con que se observe el medio. En la práctica no siempre es posible observar la heterogeneidad, se tiene limitación del equipo de medida. En este trabajo se estudia la heterogeneidad de los sistemas de fracturas en rocas, a partir de su interpretación como el producto de una transición entre la fase no conectada y la fase conectada. El cambio se presenta en el umbral de percolación, un sistema por debajo del umbral no tiene rutas de flujo que atraviesen el dominio y un sistema por encima del umbral posee un grupo de fracturas conectadas de tal manera que permiten el flujo a través de ellas. Esta aproximación hace posible observar las propiedades de los sistemas en función de la escala y del lente o resolución de observación. Los parámetros de flujo (conductividad y difusividad hidráulica) de sistemas que representan acuíferos fracturados se estudiaron a partir de experimentos numéricos diseñados para simular flujo sobre sistemas de percolación que representan sistemas de fracturas en diversos estados de conexión. La conexión de los sistemas estudiados depende de que tan cerca se encuentren del umbral de percolación o punto critico, se estudiaron sistemas de fracturas sobre el umbral de percolación. La lectura de los niveles transitorios en puntos que representan pozos de observación, localizados sobre el racimo principal de fracturas, permitió observar el efecto de escala alrededor del pozo de bombeo. Los valores de los parámetros de flujo aumentan en la medida en que el pozo de observación se aleja del pozo de bombeo, para todos los estados de conexión de los acuíferos. 105 La escala de correlación o escala característica de los sistemas de fracturas fija la escala de corte entre dos formas de observar los sistemas. Sobre esa escala los sistemas de percolación lucen homogéneos y bajo esa escala lucen fractales. La forma de expresar los parámetros en ambos casos es una ley de potencia, cuyo exponente crítico rige su comportamiento. Cuando se estudian sistemas en escalas mayores a la escala característica, sus parámetros hidráulicos dependen del estado de conexión de los sistemas de fracturas, y es observable el efecto de escala. El exponente crítico se encontró a partir de la evaluación de los parámetros hidráulicos obtenidos en las simulaciones de flujo y el valor que toma el exponente es aproximadamente igual al valor propuesto por la teoría (Stauffer, 1992) y a los valores obtenidos en simulaciones numéricas que consideran exclusivamente distribuciones geométricas de fracturas (Hestir and Long, 1990). Cuando se estudian los sistemas en escalas menores a la escala característica, sus parámetros hidráulicos muestran condiciones especiales que se rigen con otros exponentes, que ya no dependen del estado de conexión, sino del tamaño del sistema. Lo que genera estas condiciones es la mayor cercanía del sistema al estado crítico o umbral de percolación. En este caso el flujo ocurre a través de muy pocas rutas de flujo que exhiben un comportamiento fractal, lo cual es posible observar estudiando el sistema bajo resoluciones variables. Los parámetros de flujo toman valores bastante más bajos que los que toman en el anterior régimen. El exponente crítico para este caso toma valores entre 0.8 y 1.1 obtenido desde las simulaciones numéricas de flujo, valores muy parecidos al exponente propuesto por la teoría de 0.975. Los valores de los exponentes no cambian sensiblemente con el sitio de medición del flujo, el cual se localizó sobre el racimo o ruta principal formada por fracturas interconectadas entre sí. Esto puede interpretarse como un reflejo de la estructura fractal del medio, y significa que en ese régimen el medio no tiene escala característica, por lo tanto existe una variación continua en el espacio y en el tiempo de sus propiedades. 106 Una señal del carácter fractal del medio es la variación de los parámetros hidráulicos con respecto a la resolución del sistema. En este caso para un dominio de flujo constante se cambió el tamaño de la malla, lo cual genera resolución variable. Se observa que los valores de los parámetros disminuyen con un aumento del tamaño de la malla. Cuando el espacio vacío es considerado fractal, en el límite (resolución infinita), el parámetro tiende a un valor cero. El exponente que caracteriza este comportamiento se encontró muy cerca de uno, para todos los valores de difusividad hidráulica. Para la conductividad hidráulica no se encontró una relación definida de este comportamiento y se piensa que esto se debe a que la difusividad hidráulica es el parámetro que asume todas las condiciones físicas de los sistemas acuíferos. Los conceptos de los fenómenos de transición de fase se incluyeron en el estudio de las rocas fracturadas debido a que ellos contienen el sentido de función de correlación (órdenes de corto y largo alcance entre los elementos del sistema), función que expresa, en forma implícita, el estado de conexión del sistema y a su vez este estado determina las condiciones físicas del flujo. El hecho de que los sistemas de fracturas se agrupen en forma de racimos de percolación y que esos sistemas se encuentren cerca del estado crítico de la transición, se debe al efecto que causan los campos de esfuerzos sobre la roca en el tiempo geológico y a las propiedades fisicoquímicas de la roca. Las anteriores condiciones se reflejan en el estado de conexión de los sistemas de fracturas y deben ser tenidas en cuenta en la caracterización de sistemas de fracturas. La longitud de correlación que expresa la escala representativa de los sistemas estudiados ha sido considerada como la única escala importante cerca de la transición de fase en fenómenos críticos. En función de esa escala se expresan las leyes de escalamiento de los demás parámetros. Sin embargo, en el estado crítico, en sistemas de tamaño finito, se ha sugerido relevante otra escala, considerada microscópica, y es el espaciamiento de la malla. Goldenfeld (1992), expresa la longitud de correlación en función de esta escala y de un exponente crítico θ. 107 En sistemas de percolación la escala microscópica está representada por el espacio entre dos sitios vecinos inmediatos ocupados. Para el caso de sistemas de fracturas que conforman acuíferos fracturados, esta escala debe estar representada por la distancia promedia entre fracturas. Hestir and Long (1990) proponen la longitud promedia entre sitios en un sistema aleatorio de líneas que representan fracturas, como la representación de esta escala, sin embargo, ellos no asumen exponente anómalo para la nueva escala. Las simulaciones de flujo realizadas en los experimentos numéricos permiten estudiar el comportamiento de las respuestas transitorias a partir de condiciones hidráulica que expresan bombeo. Estas respuestas se pueden observar para diferentes estados de los sistemas de fracturas, sistemas con diferentes grados de conexión. Los sistemas más conectados presentan un menor valor de cabezas hidráulicas y menor tiempo de estabilización, lo cual sugiere que todos los segmentos de fracturas conducen fluido y por ello la respuesta es más rápida. Los sistemas menos conectados, cerca al umbral de percolación, presentan mayores valores de cabeza hidráulica y tiempos mayores de estabilización. Este comportamiento sugiere que los sistemas que se encuentran más cerca al umbral de percolación tienen pocas fracturas que conducen, el sistema apenas se encuentra conectado y el flujo está limitado a las rutas formadas por el racimo principal. Estas rutas tienen mayor tortuosidad y por tanto la respuesta es más lenta. Los valores de cabeza hidráulica y de conductividad hidráulica dependen de la física del flujo dentro de cada sistema, la cual se encuentra relacionada con el estado de conexión del sistema de fracturas, el cual a su vez esta relacionado con la cercanía al umbral de percolación o punto crítico. Es decir el comportamiento hidráulico en rocas fracturadas depende de las condiciones de conexión generadas durante la génesis de los sistemas de fracturas. Aunque se ha expresado la importancia y el efecto que tiene el grado de conexión sobre el comportamiento de los parámetros hidráulicos y sus leyes de escalamiento en acuíferos fracturados, en este trabajo no se ha hecho explícita una forma de medida de esa conexión. Esta conexión, en este trabajo, sólo se expresa como una cercanía al umbral de percolación en función de la probabilidad o densidad de fracturas. Se sugiere 108 estudiar con mas detalle el estado de los sistemas de fracturas y su conexión a partir del origen y formación de dichos sistemas. Esto debe incluir las características y dinámica de los eventos geológicos, además su efecto sobre la formación de las discontinuidades en macizos rocosos. En esta área del conocimiento se requiere mucho estudio y desarrollo de investigación de tipo teórico y experimental, antes de ser llevada a la práctica. Esto con el fin de actuar en forma adecuada frente a la complejidad del problema de flujo a través de rocas fracturadas. Todo estudio de reconocimiento en acuíferos y yacimientos fracturados debe incluir el estudio del estado de su sistema de fracturas y su cercanía a un umbral de flujo, de manera que la localización de pozos de explotación y de observación sea adecuada y se realice dentro de las rutas principales del flujo. Por lo tanto, debe estudiarse el carácter de agrupamiento de fracturas conductoras y no conductoras en la formación. Este reconocimiento es complejo y costoso, debe incluir un programa completo de ejecución de pozos de observación, estudios de trazadores, además del reconocimiento geológico regional y estudio de la dinámica de los campos de esfuerzos. Por otro lado, debe profundizarse en investigaciones que incluyan observaciones en escalas donde los sistemas de flujo lucen fractales, situación que posiblemente sea más común de lo que usualmente se piensa. Se deben estudiar sistemas de medida y observación desde el punto de vista de la geología y la hidráulica, que permitan identificar en mejor forma el carácter heterogéneo de este tipo de formaciones. En yacimientos fracturados que almacenan petróleo los altos costos de la exploración obligan aun más al desarrollo de investigaciones profundas de la física del fenómeno, en función de la dinámica de campos de esfuerzos acoplada al fenómeno de flujo, investigaciones que deben incluir además el efecto del almacenamiento del fluido en la matriz de la roca. Si bien en los sistemas de percolación generados y en las simulaciones de flujo del experimento numérico se consideraron condiciones radiales, la conexión parcial de los acuíferos fracturados hacen que el flujo no ocurra exactamente en forma radial, lo cual 109 genera cierta asimetría que no fue evaluada en este trabajo. Igualmente no se tuvieron condiciones de perdidas cerca al pozo de bombeo, ni efectos de almacenamiento en el pozo. La consideración de los yacimientos y acuíferos como formaciones geológicas que no siguen un comportamiento elástico, da lugar a que los parámetros de flujo sean una función del tipo de perturbación que el hombre realice sobre ellas. La perturbación puede crear ascenso o descenso de la presión en yacimientos o de la cabeza hidráulica en acuíferos. Formas de perturbaciones son las pruebas hidráulicas ejecutadas para estimación de los parámetros de flujo y también los procesos continuos de bombeo o inyección. En la práctica, estas perturbaciones difícilmente se realizan a una tasa constante. Más bien se producen variaciones y se originan ascensos y descensos de presión en forma continua dentro las formaciones, lo cual da lugar a una respuesta no elástica de la roca. El comportamiento no elástico es un problema que debe asumirse y tratarse con las leyes físicas y soluciones matemáticas adecuadas, de manera que se pueda llegar a plantear modelos físicos y matemáticos considerando la no linealidad de los procesos de flujo. Se mostró que el efecto del comportamiento no elástico de las rocas puede ser tenido en cuenta en las ecuaciones de flujo. Ese efecto da lugar a un problema de flujo no lineal y coeficiente discontinuo, su solución debe buscarse a partir de una ley de autosemejanza especial. Esta ley se basa en la consideración de un grupo de renormalización más complejo que el simple utilizado por el análisis dimensional, para lo cual resulta fundamental el estudio de Grupos de Lie. Este grupo expresa una ley de homogeneidad en función de una escala adicional que no es irrelevante, el radio del pozo, y un exponente anómalo que aparece debido al fenómeno físico. El planteamiento de una ley de conservación no integral, a la cual da origen la física del problema, permite obtener una expresión para su exponente anómalo y por tanto su solución completa. En este trabajo se propone el bombeo periódico como un problema de coeficiente discontinuo que posee las características anteriores. 110 Se hace la suposición de autosemejanza de segundo orden y la definición de la coordenada de un frente de carga y descarga con algunas simplificaciones. Se sugieren algunos lineamientos físicos y matemáticos para considerar la nueva suposición que lleva a obtener la solución del problema. Es pertinente continuar con el estudio de este problema siguiendo los lineamientos propuestos y obtener la expresión del exponente anómalo que rige la solución asintótica. Vale la pena resaltar una vez mas que escalas no consideradas importantes hasta el momento hacen parte de la solución cuando se considera la nolinealidad del flujo, en este caso la escala del radio del pozo. 111 REFERENCIAS Acuña J, Yortsos Y. 1995. Application of fractal geometry to the study of networks of fractures and their pressure transient. Water Ressources Research. Vol 31, No.3.pp527-540. Barenblat, G.I. 1996. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. Cambridge University Press. 384 p. Barenblat, G.I, Entov, V, Ryzhik, V. 1990. Theory of Fluid Flows Through Natural Rocks. Kluwer Academic Publishers, London. Barenblat, G.I. 1987. Dimensional Analysis. Gordon and Breach science publishers. Barenblat G.I, Zheltov Iu. P, Kochina I. N. 1960. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Liquids in Fissured Rocks (STRATA). PMM Vol. 24, No. 5. Pp852-864. Barker J.A. 1988. A Generalized Radial Flow Model For Hidraulic Test in Fractured Rock. 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