Modulo IV. Factor de potencia y armónicas
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Modulo IV. Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés A4-410 Tel 83582000 Ext 5420 email: allamas@campus.mty.itesm-mx Ing. Javier Rodríguez Bailey A4-423D Tel 83 58 20 00 Ext 5512 email: jrodrigu@campus.mty.itesm.mx Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Objetivo ¿Desea disminuir el pago de energía eléctrica, mejorando el factor de potencia? ¿Desea aprovechar mejor su equipo eléctrico, aumentando la eficiencia y capacidad al reducir el contenido de armónicas? Objetivo: Capacitar al profesionista para que: comprenda el significado del factor de potencia en ausencia y con presencia de armónicas, entienda que se mide para determinar factor de potencia y los efectos nocivos que pueden tener las armónicas y su efecto al tratar de corregir factor de potencia. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Contenido 1.- Definiciones fundamentales de potencia: potencia instantánea, potencia promedio, potencia reactiva y potencia aparente en ausencia de armónicas. 2.- Modificación de los conceptos anteriores al incluir la influencia de armónicas: factor de desplazamiento, factor de distorsión y distorsión total de armónicas. 3.-Corrección de factor de potencia con condensadores: como modifican el factor de potencia, que parte del factor de potencia mejoran, resonancia paralelo y filtros. Demostración del efecto de resonancia paralelo al agregar condensadores para corregir factor de potencia. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Contenido - 2 4.-Convertidores estáticos: como cambia el factor de potencia en convertidores estáticos y que armónicas se producen. 5.-Convertidores estáticos con factor de potencia mejorada: técnicas para mejorar el factor de potencia, técnicas que mejoran el factor de potencia y el contenido de armónicas. 6.- Medición: como se mide el factor de potencia y como se determina el contenido de armónicas. Demostración de medición de armónicas y el factor distorsión de armónicas. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Factor de potencia en ausencia de armónicas o factor de potencia tradicional. Para iniciar se repasaran los conceptos básicos de potencia y factor de potencia, incluyendo entre otros los siguientes conceptos: -potencia promedio (también denominada potencia real o potencia activa), -potencia reactiva (también llamada potencia imaginaria) - potencia aparente -relación existente entre ellas incluyendo factor de potencia. Para este propósito se considerara el caso de tener una fuente senoidal v(t) conectada a una carga lineal por donde circulara una corriente senoidal i(t). Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Potencia instantánea v(t) = 2 V Cos (wt +Θ) p (t)=v(t) i(t) = i(t) = 2 I Cos (wt +Ø) 2 V Cos (wt + Θ ) 2 I C os (wt +Ø ) Usando identidades trigonométricas se obtiene: p(t) =V I[Cos(Θ−Φ) +Cos(2wt +Θ+Φ)] Donde Ppromedio = V I Cos (Θ − Φ ) Y el otro término es un coseno del doble de la frecuencia de la fuente. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Potencias promedio y reactiva La ecuación anterior también se puede expresar de la siguiente forma: p (t ) = V I Co s (Θ − Φ) [1 + Cos (2 wt + 2Θ )] + V I Sen (Θ − Φ) Sen(2wt + 2Θ) Donde al término que multiplica a 1 +Cos (2wt+2Θ) es el valor promedio y lo conocemos como potencia activa. Al término que multiplica a Sen(2wt+2Θ) lo conocemos como potencia reactiva. P = V I Centro de Estudios de Energía C os(Θ − Φ ) y Q = V M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas I S en (Θ − Φ ) Ing. Javier Rodríguez Bailey Potencia compleja Se puede usar una notación simplificada para P y Q, juntándolos y formando un número complejo. P + j Q = V I Cos (θ − φ ) + jV I Sen (θ − φ ) Usando la ecuación de Euler ejβ = Cos β +j Sen β tambien se puede expresar como: S = P + jQ =V I e j (θ −φ ) = Ve jθ Ie − jφ =VI * Donde S es la potencia compleja, P es la potencia promedio, activa o real y Q es la potencia reactiva o imaginaria.V es el fasor voltaje e I* es el fasor corriente conjugado. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Carga resistiva CASO DE CARGA RESISTIVA CORRIENTE EN FASE CON VOLTAJE 1.0 V(t)= 1.0 Cos(wt) 0.8 I(t) = 0.8 Cos (wt) 0.6 0.4 P(t) = 0.8 Cos(wt) Cos (wt) = 0.4 (1+ Cos (2 wt)) 0.2 0.0 Potencia promedio = 0.4 -0.2 Potencia reactiva = 0 -0.4 -0.6 VOLTAJE CORRIENTE POTENCIA CERO -0.8 -1.0 0 45 90 135 180 225 270 315 360 ANGULO Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Carga inductiva CASO DE CARGA INDUCTIVA CORRIENTE ATRASADA 90 GRADOS V(t)= 1.0 Cos(wt) 1.0 0.8 I(t) = 0.8 Sen (wt) 0.6 P(t) = 0.8 Cos(wt) Sen(wt) = 0.4 Sen(2 wt) 0.4 Potencia promedio = 0 0.0 0.2 -0.2 Potencia reactiva = 0.4 -0.4 VOLTAJE CORRIENTE POTENCIA CERO -0.6 -0.8 -1.0 0 45 90 135 180 225 270 315 360 ANGULO Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Carga capacitiva CASO DE CARGA CAPACITIVA CORRIENTE ADELANTADA 90 GRADOS V(t)= 1.0 Cos(wt) 1.0 I(t) = - 0.8 Sen (wt) 0.8 P(t)= - 0.8 Cos(wt) Sen(wt) = - 0.4 Sen(2 wt) 0.6 0.4 0.2 Potencia promedio = 0 0.0 -0.2 Potencia reactiva = -0.4 -0.4 VOLTAJE -0.6 CORRIENTE -0.8 POTENCIA CERO -1.0 0 Centro de Estudios de Energía 45 90 135 180 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 225 ANGULO 270 315 360 Ing. Javier Rodríguez Bailey Diagramas fasoriales Q CARGA RESISTIVA V P S I CARGA INDUCTIVA Q S V P I CARGA CAPACITIVA I Q V P S V CARGA ARBITRARIA Θ I Ø Q S Θ− Ø P Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Potencia reactiva La potencia Q es positiva y el ángulo de S es positivo para cargas inductivas o sea cuando la corriente esta atrasada con respecto al voltaje o el factor de potencia es atrasado (-). La potencia Q es negativa y el ángulo de S es negativo cuando la corriente esta adelante del voltaje o el factor de potencia es adelantado (+). Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Significado de Q Q es una medida de potencia transmitida inútilmente por largas distancias. Q es una medida del grado al cual un sistema de potencia no se aprovecha adecuadamente. Q es una medida de la capacidad del equipo que se requiere para obtener corriente en fase con el voltaje o sea factor de potencia unitario. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Necesidad de Q Q es necesaria para la producción de campos magnéticos requeridos para la operación de muchos equipos como transformadores, motores de inducción, válvulas solenoides, relevadores etc.. En estos casos Q es positiva. Q es necesaria para la producción de campos eléctricos para tener voltaje como en las líneas de transmisión. En este caso Q es negativa Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Técnicas para mejorar el factor de potencia 1.- Suministrar la potencia reactiva localmente con condensadores o motores sincrónicos. 2.-Controlando la potencia reactiva requerida por controladores estáticos. 3.- Desconectando motores y transformadores sin carga. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Cuatro métodos de controlar potencia reactiva usando condensadores 1.- Conectando condensadores en concordancia con el motor, usando el arrancador del motor. 2.-Conectando condensadores usando contactores, termomagnéticos o interruptores al vació. 3.- Usando tiristores para conectar un reactor en paralelo con condensadores. (Static var compensation o SVC). 4.- Usar tiristores para conectar condensadores que se conecten y desconecten con corriente cero. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Motivación para corregir factor de potencia: 1.- Disminuir penalización aplicada al consumo de energía. 2.- Liberar capacidad de alimentadores y transformadores. 3.- Disminuir pérdidas en alimentadores 4.- Disminuir la caída de voltaje en alimentadores. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Reducción en corriente de línea Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Beeman, Industrial Power System Handbook, McGraw-Hill, 1955 Penalización aplicada al consumo de energía. Recargo por factor de potencia menor a 0.9: % de Recargo= 3/5 x ( (90/FP) -1) x 100 Ejemplo: FP= 30% %de Recargo= 120% Bonificación por factor de potencia mayor a 0.9: % de Bonificación = 1/4 x (1 -(90/FP)) x 100 Ejemplo: FP=100% Centro de Estudios de Energía % de Bonificación= 2.5% M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Recuperar capacidad de alimentadores y transformadores. Otra forma de interpretar la reducción en la corriente al corregir el factor de potencia, es ver que esto permite que los alimentadores y transformadores puedan aumentar su corriente para alimentar otras cargas. Por ejemplo: si originalmente la capacidad de conducción de corriente era de 100A y se estaba usando esta capacidad para alimentar una carga con factor de potencia 0.8. Al corregir el factor de potencia a 1.0 la corriente se reduce a 80A lo que libera 20A de capacidad de conducción para alimentar otras cargas. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Reducción de pérdidas en alimentador Iw I = Iw + Ivar |Ι|2 = |Iw|2+ |Ivar|2 Ivar I Pérdidas del alimentador = r |Ι|2 = r |Iw|2+ r |Ivar|2 Perdidas del alimentador al eliminar Ivar = r |Iw|2 Si el factor de potencia original era =0.8(-) y se corrige a 1.0 |Iw| = 0.8 |Ι| .y |Ivar| = 0.6 |Ι|. Pérdidas originales = r |Ι|2 Pérdidas al quitar Ivar = r |Iw|2 = 0.64 r |Ι|2 Las pérdidas se reducen en 0.36 r |Ι|2 o sea 36% Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Caída de voltaje en alimentadores La caída de voltaje en alimentadores depende de la impedancia del alimentador y de la corriente que circula por el mismo. A bajos voltajes el efecto resistivo es importante. A altos voltajes predomina el efecto inductivo. ∆V= Z I = (r + j x) (Iw +Ivar) donde: Iw es la parte de la corriente que suministra potencia promedio Ivar es la parte de la corriente correspondiente a la potencia reactiva. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Caso de alimentador con efecto resistivo Iw Vs Ivar VL r Iw ∆V r Ivar Centro de Estudios de Energía En este caso la corriente Iw provoca una caída en fase con el voltaje de la fuente, y la corriente Ivar no altera significativamente la magnitud del voltaje en la carga, solo altera su ángulo de fase. M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Caso de alimentador puramente inductivo Iw Ivar Vs jx Iw ∆V jx Ivar Centro de Estudios de Energía ∆V VL En este caso lo corriente Ivar produce la caída que se resta en fase con el voltaje de la fuente y la corriente Iw no modifica en forma predominante la magnitud de voltaje de la carga, solo cambia el defasamiento. M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Caso de alimentador puramente inductivo usando condensadores Si se elimina Ivar mediante el uso de condensadores,la magnitud del voltaje en la carga no se modificaría apreciablemente. Vs VL Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas ∆V Ing. Javier Rodríguez Bailey Tamaño de condensadores Sexistente Qexistente Pexistente = Sexistente Cos Θo Qexistente = Sexistente Sen Θo Sdeseada Qexistente = Pexistente Tan Θo Θ f Θο Pexistente = SdeseadoCos Θf Pexistente Qdeseado = Sdeseado Sen Θf Qdeseada Qc Qdeseado = PexistenteTan Θf Qdeseado = Qexist ente − Qc Qc = Qexistente − Qdeseado Qc = Pexistente (Tan Θo − TanΘ f ) 2 V = V 2 w C = V 2 2π f C Qc = X Centro de Estudios de Energía c M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Hoja de cálculo CFE-1 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Hoja de cálculo CFE-2 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Hoja Excel Período de Horas del Consumo facturación período Mes/Año Dic-00 Ene-01 Feb-01 Mar-01 Abr-01 May-01 Jun-01 Jul-01 Ago-01 Sep-01 Oct-01 Nov-01 Dic-01 Promedios Máximos h 744 744 672 744 720 743 720 744 744 721 744 720 744 kWh 23000 22000 21000 24000 23000 27000 27000 26000 32000 29000 35000 33000 30000 Demanda Potencia Potencia Factor de Demanda Factor de máxima reactiva reactiva potencia media carga promedio máxima Dm kW fp Dprom fc Qprom Qmax 142 0.8556 31 0.2177 19 86 140 0.8954 30 0.2112 15 70 136 0.8944 31 0.2298 16 68 141 0.8944 32 0.2288 16 71 140 0.834 32 0.2282 21 93 126 0.8023 36 0.2884 27 94 142 0.9138 38 0.2641 17 63 134 0.8779 35 0.2608 19 73 170 0.8599 43 0.2530 26 101 177 0.8561 40 0.2272 24 107 155 0.8923 47 0.3035 24 78 135 0.8944 46 0.3395 23 68 172 0.8575 40 0.2344 24 103 147 0.871743 37 0.2519 21 83 177 47 107 fp = kWh kWh2 + kVArh2 Dprom = fc = kWh h Dprom Dm Demanda máxima: La mayor de las demandas del período de facturación (Dp, Di, Db) 2 1 Qprom = Dprom − 1 fp Centro de Estudios de Energía 2 1 Q max = Dm − 1 fp M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Triángulos de potencia y selección del banco de capacitores M áximo de demandas Fp = 0.8556 Promedio de demanda media Promedio de demandas 107 kVAr Fp = 0.8708 177 kW 83 kVAr Fp = 0.8697 21 kVAr 37 kW 147 kW Al instalar 40 kVar: M áximo de demandas Promedio de demanda media Promedio de demandas 37 kW Fp = 0.9352 67 kVAr Fp = 0.9598 43 kVAr 19 kVAr Fp = 0.8896 Fp = 1.00 177 kW Centro de Estudios de Energía 147 kW M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Recargo o bonificación 20.0% 17.5% 15.0% % 12.5% %rec 10.0% %bon 7.5% 5.0% 2.5% 0.0% 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 fp 3 0.9 % Re c = − 1 5 fp Centro de Estudios de Energía 1 0.9 % Bon = 1 − 4 fp M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Recuperación de inversión Fp o = 0.85 atrasado Rec = 3.5% Fp n = 0.97 atrasado Bon = 1.8% Ahorro = 5.3 % Facturación promedio sin iva y sin recargo = $18,000.00 Ahorro mensual = $ 954.00 Inversión inicial = $ 22896.00 Retorno simple = 24 meses Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Localización de condensadores La localización de condensadores requiere tomar en cuenta factores económicos. Los costos por KVAR de condensadores de medio voltaje son significativamente menores que los de bajo voltaje, pero esta ventaja es contrarrestada por los costos de los medios de conexión. Los costos de comprar, instalar, proteger y controlar un solo banco de condensadores y la habilidad de aislarlos de fuentes de armónicas puede inclinar la decisión hacia instalar un solo banco. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Opciones de localización de condensadores Fuente de suministro 115KV C5 13.8KV C3 C4 M Cargas de distribución 4.16KV 440V M Centro de Estudios de Energía C1 C2 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas M IEEE Std 141, Red Book Localización de condensadores junto al motor ALIMENTACION cuchilla cuchilla cuchilla fusible fusible fusible C1 contactor contactor relevador de sobrecarga contactor C2 relevador de sobrecarga relevador de sobrecarga C3 M Centro de Estudios de Energía MOTOR M MOTOR M M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas MOTOR IEEE Std 141, Red Book No se deben conectar los condensadores directamente al motor cuando: 1.- Se usan arrancadores de estado sólido. 2.- Se arrancan los motores usando transición de circuito abierto. 3.- El motor se sujeta a conexiones y desconexiones repetitivas (jogging, inching, or plugging). 4.- Se usan motores de múltiples velocidades. 5.- Se opera el motor en forma reversible. 6.- El motor mueve una inercia muy grande. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Limitaciones en la conexión de condensadores junto con el motor 1.- La existencia de corrientes con armónicas. 2.- Sobre-voltajes debido a autoexcitación. 3.- Corrientes de energización excesivas y pares transitorios debido a conexión con defasamiento de voltajes. 4.- Conexión de condensadores espalda con espalda. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Existencia de corrientes armónicas En sistemas de distribución con varios motores conectados a un barraje, se recomienda usar un banco de condensadores conectado al barraje en lugar de conectar los condensadores con los motores, para minimizar las posibles combinaciones de condensadores e inductancia y simplificar la aplicación de filtros. La aplicación de condensadores a un barraje con corrientes armónicas requiere un análisis del sistema de potencia para evitar posibles resonancias paralelo entre los condensadores y las inductancias de transformadores y de otros circuitos. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Autoexcitación de motores al desconectarlos Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Standard 141-1993 p 417 Corrientes de energización excesivas debido a conexión con defasamiento de voltajes Los motores pueden sufrir daños si se re-conectan mientras todavía existe voltaje inducido en el motor. Este daño se puede prevenir si la re-conexión ocurre después que el voltaje residual ha bajado lo suficiente (menos del 25% del original). El tiempo requerido para que el voltaje de un motor baje cuando se desconecta, se alarga significativamente cuando los condensadores están conectados en paralelo con el motor. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas IEEE Std 141, Red Book Multiplicadores para dispositivos de desconexión de capacitores Tabla 8.6. M ultiplicadores de nominal de capacitores para obtener capacidad*de dispositivo de desconexión Tipo de dispositivo de desconexión Corriente equivalente por kVAr M ultiplicador Interruptor de potencia tipo magnético Int.en caja moldeada M agnético Otros Contactores, encerrados+ Interruptor de seguridad Interruptor de seguridad fusible * El dispositivo de desconexión debe tener un nominal de corriente continua que sea igual o que exceda a la corriente asociada con los kVAr del capacitor por el multiplicador indicado. Los nominales de interruptores encerrados son a 40°C de temperatura ambiente. + Si los fabricantes dan valores nominales específicos para capacitores, estos son los que hay que cumplir Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Capacidad interruptiva del interruptor Capacidad interruptiva interruptor o fusible debe ser mayor que la posible corriente máxima de corto circuito. kVASC-1 son proporcionados por la compañía suministradora kVASC-1 CFE kVASC −2 = kVASC-2 kVAt Zt I SC = 1 Zt 1 + kVASC −1 kVAt kVASC− 2 ×1000 3 × VLL Si no se conocen los kVASC-1 se pueden suponer infinitos Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Ejemplo de selección del interruptor Considere un transformador de 1000 kVA, 480 V, con 6% de impedancia, un banco de capacitores de 70 kVAr y 100 MVA de corto circuito en el primario Multiplicador: 1.35 Corriente nominal del capacitor: Corriente nominal del interruptor en caja moldeada: Se podría escoger uno de 125 A Potencia de corto circuito en secundario: Máxima corriente de corto circuito: Se requiere un interruptor con capacidad interruptiva superior a 18 kA en 480 V Zsc = 1000 / 14286 = 7 % Centro de Estudios de Energía I NOM ,CAP = kVAr × 1000 70000 = = 84 .2 A 3 × VLL 3 × 480 I SC I NOM , ITM = 1.35 × 84.2 = 113.7 A −1 kVASC −2 1 0 .06 = 14286 = + 3 100 10 1000 × 14286 ×103 = = 17183, A 3 × 480 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Elevación de voltaje ∆V = ∆V: Elevación de voltaje en pu, Vc: Voltaje en terminales del capacitor con éste conectado al sistema, Vs: Voltaje del sistema antes de conectar el banco, VAr: Potencia reactiva del banco al voltaje nominal del sistema, VAsc: Potencia de corto circuito, en el lugar en que se instala el banco de capacitores, VAt: Potencia nominal del transformador. VC − VS VAr VAr VAT = = × VC VASC VAT VASC kVAt Zt CFE Xsc = XSC-1 + kVASC-1 Xt Xsc en pu, tomando como base los nominales del transformador, es igual al cociente de la capacidad del transformador en VA entre los VA de corto circuito en el secundario. Xsc = VAt / VAsc. kVASC-2 + Vs Vc - Centro de Estudios de Energía + M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Curvas de elevación ∆V = VC − V S VAr VAr VAT = = × VC VASC VAT VASC curvas de ∆ V DV ∆V ∆V DV ∆V DV ∆V DV ∆V DV ∆V DV 0.35 VAr/Vat 0.3 0.25 0.2 = 0.5% = 1% = 1.5% = 2% = 2.5% = 3% 0.15 0.1 0.05 0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 VAt/VAsc • • Ejemplo: 2% de caída al desconectar el banco, curva azul claro, 8% de impedancia de corto circuito Î El banco debe ser 0.25 kVAt. En un sistema industrial un banco de capacitores difícilmente elevará el voltaje más de un 3%, lo cual se puede remediar con un cambio de TAP. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Factor de potencia en presencia de armónicas Cuando en una red eléctrica se conectan cargas no lineales los conceptos anteriores se tienen que modificar para contemplar la existencia de corrientes con armónicas. Entre otras se pueden mencionar las siguientes cargas no lineales: a) Convertidores electrónicos. b) Hornos de arco eléctrico usados en fundición de acero. c) Circuitos magnéticos de máquinas y transformadores. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Fuentes de Armónicas • Saturación de transformadores Corrientes de energización de transformadores Conexiones al neutro de transformadores Fuerzas magnetomotrices en máquinas rotatorias de corriente alterna Hornos de arco eléctrico Lámparas fluorescentes Fuentes reguladas por conmutación Cargadores de baterías • Compensadores estáticos de VAr’s • • • • • • • • • Variadores de frecuencia para motores (“drives”) Conve rtidores de estado sólido Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés La definición básica de factor de potencia es esencialmente la misma: P(en watts ) f . p. = VA(en volt − amperes ) Pero la forma de calcular cada uno de estos valores cambia en la presencia de armónicas Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Factor de Potencia Total o Verdadero Potencia Promedio P, (W) = Potencia Aparente V I, (VA) fp = 1 T P fp = = S 1 T T ∫0 T ∫0 v(t) ⋅ i(t) ⋅ dt [v(t)] ⋅ dt × 2 1 T T ∫0 [i(t)] ⋅ dt 2 libro esmeralda página 31 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Potencia promedio con distorsión en voltaje y corriente P = ∞ ∑ i = 1 , 2 , 3 ... Vi Ii C os θ i Donde Vi es el voltaje RMS de la armónica i Ii es la corriente RMS de la armónica i θι es el defasamiento entre la armónica i de voltaje y la armónica i de corriente Si solamente existen armónicas de corriente y el voltaje solo tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de P se simplifica a: P = V1 I 1 C o s θ 1 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Potencia aparente con distorsión en voltaje y corriente V A = Vs I s do n d e V s = ∞ ∑ 2 i = 1, 2 ,3 (V i ) y Is = ∞ ∑ i = 1,2 ,3 ( I i2 ) Si solamente existen armónicas de corriente y el voltaje solo tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de VA se simplifica a: VA = V1 I s Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey El factor de potencia cuando existen armónicas de voltaje y corriente ∞ f . p. = ∑ i =1,2 ,3... ∞ ∑ i =1,2,3 Centro de Estudios de Energía Vi Ii Cos θ i 2 (Vi ) ∞ ∑ ( Ii2 ) i =1,2,3 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Distorsión armónica sólo en corriente Si solamente existen armónicas de corriente y el voltaje solo tiene la componente de frecuencia fundamental la ecuación de f.p. se simplifica a: V1 I1 Cos θ1 I1 f . p.= = Cos θ1 V1 I s Is El termino Cos θ1 es similar al que se tenia con cargas lineales y se le llama factor de desplazamiento, pero ahora tenemos otro termino que es la relación entre el valor RMS de la componente fundamental y el valor RMS total de la corriente, al cual se le llama factor de distorsión. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Factor de Potencia de Desplazamiento • es la componente de desplazamiento del factor de potencia • es la relación de la potencia activa de la onda fundamental, (W), a la potencia aparente de la onda fundamental, (VA) fp disp V1 ⋅ I1 ⋅ cos( θ v1 − θ i1) = V1 ⋅ I1 fp disp = cos( θ v1 − θi1 ) libro esmeralda página 31 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Factor de Potencia de Distorsión fp = Potencia Promedio P, (W) = Potencia Aparente V I, (VA) fp = fpdisp × fpdist fpdist Centro de Estudios de Energía fp P = = fpdisp VI ⋅ cos(θv1 − θi1) M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Distorsión Armónica Total THD = valor rms de la distorsión Idist = valor rms de la fundamental I1 I22 + I23 + I24 + I25 +L+Ih2 max THD = 2 I1 2 2 2 I I I I I THD = 2 + 3 + 4 + 5 + L + h max I1 I1 I1 I1 I1 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 2 = Ih ∑ h= 2 I 1 h max 2 Dr. Armando Llamas Terrés Factor K Indica la capacidad de un transformador para alimenta cargas no senoidales sin sobrecalentarse K h = hmax = I2h h =1 ∑ ⋅ h2 Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu del valor efectivo de la corriente total Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental, el factor K se puede calcular mediante la siguiente expresión 2 I1 K = ⋅ I Centro de Estudios de Energía h = h max Ih2 h =1 ∑ ⋅ h2 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Con voltaje senoidal fp dist = VI ⋅ cos(θ v − θi1) I I1 P = 1 = 1= VI ⋅ cos( θv − θi1) VI ⋅ cos(θ v − θi1) I I ⋅ 1 + THD 2 1 i fp de distorsión potencia reactiva de desplazamiento potencia de distorsión Centro de Estudios de Energía fpdist = 1 1 + THDi2 Q disp = VI1 ⋅ sin( θ v − θi1) D = S2 − P 2 − Q2disp M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Potencia de distorsión VOLTAJE SENOIDAL S total V D Ip Qdisp S fund I dist Iq P S2 = P 2 + Q2disp + D2 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Carga con Distorsión Sin desplazamiento Con desplazamiento S D Qdisp = 0 S D P= S fund Qdisp S fund P S2 = P 2 + Q2disp + D2 Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Efecto de las armónicas en Cables y Conductores • Aumento en las pérdidas I2R por efecto piel, Rac > Rdc por el aumento de la corriente en la periferia del conductor (a) Corriente directa (b) Corriente alterna de alta frecuencia Densidad mínima Densidad máxima • Ejemplo de la variación del efecto piel en conductores Tamaño del conductor 300 MCM 450 MCM 600 MCM 750 MCM Centro de Estudios de Energía Resistencia AC / Resistencia DC 60 Hz 300 Hz 1.01 1.21 1.02 1.35 1.03 1.50 1.04 1.60 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Efecto de las armónicas en Transformadores -1 • Aumento en sus pérdidas: 1. Pérdidas I2R (efecto Joule) 2. Pérdidas por corrientes de eddy h = h max Pe = Pe, R ∑ h=1 2 I h 2 h I R Ih = corriente de la armónica h, en amperes IR = corriente nominal, en amperes Pe, R = pérdidas de eddy a corriente y frecuencia nominal 3. Pérdidas adicionales h = h max Pex = Pex, R ∑ h=1 2 Ih h I R Pe, R = pérdidas adicionales a corriente y frecuencia nominal Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Efecto de las armónicas en Transformadores - 2 • En conexiones delta-estrella que alimenten cargas no lineales monofásicas se puede tener: a. Sobrecalentamiento del neutro por la circulación de armónicas “triplen” b. Sobrecalentamiento del devanado conectado en delta • En caso de que alimenten cargas no lineales que presenten componente de corriente directa es posible: a. Aumento ligero en las pérdidas de núcleo o sin carga b. Aumento en el nivel de sonido audible c. Incremento sustancial en la corriente de magnetización • Para los transformadores que alimenten a cargas no lineales se recomienda: a. Disminuir su capacidad nominal b. Utilizar transformadores con factor K Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Transformadores con factor K • Diferencias entre transformadores convencionales y transformadores con factor K: a. El tamaño del conductor primario se incrementa para soportar las corrientes armónicas “triplen” circulantes. Por la misma razón se dobla el conductor neutro. b. Se diseña el núcleo magnético con una menor densidad de flujo normal, utilizando acero de mayor grado, y c. Utilizando conductores secundarios aislados de menor calibre, devanados en paralelo y transpuestos para reducir el calentamiento por el efecto piel. • Transformadores con factor K disponibles comercialmente KKKKKK- Centro de Estudios de Energía 4 9 13 20 30 40 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Efecto de las armónicas en los motores • • • • Calentamiento excesivo por el aumento en todas sus pérdidas a. Pérdidas I2R en el estator: por el aumento de la corriente de magnetización y por el efecto piel b. Pérdidas I2R en el rotor: por el aumento en la resistencia efectiva del rotor por el efecto piel c. Pérdidas de núcleo: aumentan relativamente poco debido al aumento en las densidades de flujo pico alcanzadas d. Pérdidas adicionales: aumentan, pero son extremadamente complejas de cuantificar y varían con cada máquina Dependiendo del voltaje aplicado puede haber una reducción en el par promedio de la máquina Se producen torques pulsantes por la interacción de las corrientes del rotor con los campos magnéticos en el entrehierro Menor eficiencia y reducción de la vida de la máquina Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Efecto de las armónicas en otros equipos • • • • • Barras de neutros Calentamiento por la circulación de corrientes de secuencia cero (armónicas “triplen”) Interruptores Los fusibles e interruptores termomagnéticos protegen en forma efectiva contra sobrecargas por corrientes armónicas. Su capacidad interruptiva no se ve afectada por armónicas Bancos de capacitores Se pueden tener problemas de resonancia serie o paralelo al instalar bancos de capacitores en presencia de armónicas, lo que ocasiona la operación de dispositivos de protección y el daño o envejecimiento prematuro de los bancos Equipos electrónicos sensitivos Las armónicas pueden afectar la operación en estos equipos Valores erróneos en los equipos de medición Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Convertidores de C. A. A C. D. Ejemplos de convertidores de C. A. a C. D. con generación de armónicas y factor de potencia variable al cambiar el voltaje promedio de salida. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Convertidor completo monofásico Se analizara el convertidor completo monofásico de la figura con una carga formada por una resistencia (R), una inductancia muy grande (L) y una fuente de directa (E). Esto podría representar la armadura de un motor de C. D. Debido a la inductancia grande la corriente por la carga será continua y constante. Los tiristores al dispararse con un atraso de ángulo α controlaran el voltaje promedio aplicado a la carga. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de convertidor completo α α Vdc = 2Vm π ( Cosα ) f . p. = 0.9003 Cosα Centro de Estudios de Energía Vrms is = Vm = 2 ∞ 4Ia Sen(nwt − nα) ∑ n =1,3... nπ M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Vcd y f. p. y en convertidor completo Convertidor completo monofásico VCDnormalizado F.P. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 Centro de Estudios de Energía 15 30 45 Alfa 60 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 75 90 Ing. Javier Rodríguez Bailey Armónicas de convertidor completo Para el convertidor monofásico se tendrán los siguientes valores: Fdist = =.9003 Fdesp = Cos α F. P. = 0.9003 Cos α I1 = 90.03% I7=12.86% I3= 30.01% I9=10.0% I5= 18% THD= 48.34% Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Semiconvertidor monofásico En el semiconvertidor mostrado en la figura la carga será una resistencia (R), una inductancia muy grande (L) y una fuente de directa (E), que podría representar la armadura de un motor de C. D. Por ser un semiconvertidor el voltaje en la carga no puede ser negativo, y debido a la inductancia grande la corriente por la carga será continua y constante. El voltaje promedio aplicado a la carga se controla con el atraso α en la señal de disparo a los tiristores. Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de semiconvertidor monofásico α α Vdc = Vm f . p. = π (1 + Cosα ) 2 (1 + Cosα ) π (π − α ) Centro de Estudios de Energía Vrms is = π − α + 0.5Sen(2α ) = π 2 Vm 4Ia n(π − α ) nα Sen Sen ( nwt ) − ∑ 2 2 n =1,3.. nπ ∞ M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Vcd y f. p. de semiconvertidor monofásico Semiconvertidor monofásico Vcdnormalizado F.P. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 Centro de Estudios de Energía 30 60 90 Alfa 120 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 150 180 Ing. Javier Rodríguez Bailey Fdist, fdesp y f. P. de semiconvertidor monofásico Semiconvertidor monofásico F.P. Fdesp Fdist 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 30 Centro de Estudios de Energía 60 90 Alfa 120 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 150 180 Ing. Javier Rodríguez Bailey Armónicas en semiconvertidor monofásico Armónicas en semiconvertidor monofásico 1 3 5 7 9 Is THD 1.5 1 0.5 0 0 Centro de Estudios de Energía 30 60 90 Alfa 120 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 150 180 Ing. Javier Rodríguez Bailey Como mejorar el factor de potencia en convertidores de C. A. a C. D Para poder mejorar el factor de potencia se usara un semiconvertidor con tiristores con capacidad para encenderse y apagarse (se puede usar GTO) y se necesita agregar un diodo (DM) para permitir que la corriente de la carga pueda seguir circulando cuando se apaguen los tiristores. Para mejorar el factor de potencia se tienen varias opciones que se describirán a continuación manteniendo la posibilidad de control del voltaje promedio aplicado a la carga Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Opciones para mejorar f. P. en convertidores. Para mejorar el factor de potencia existen las siguientes opciones: a) Control del ángulo de extinción b) Control de ángulo simétrico c) Modulación de ancho de pulso uniforme d) Modulación de ancho de pulso senoidal Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de control de ángulo de extinción β Vdc = Vm π f . p. = (1 + Cosβ ) 2 (1 + Cos β ) π (π − β ) Centro de Estudios de Energía β π − β + 0.5Sen(2 β ) Vrms = π 2 ∞ n ( π − β) 4Ia nβ i = Sen Sen(nwt + ) Vm s ∑ n =1,3... nπ M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 2 2 Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de control de ángulo simétrico β β 2Vm Vdc = Sen π 2 2 2 β f .p. = Sen 2 πβ Centro de Estudios de Energía β Vrms Vm β + Senβ = π 2 4I a nβ is = ∑ Sen Sen nwt n =1, 3.. nπ 2 ∞ M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Vcd y f.p de control de ángulo simétrico Control de ángulo simétrico VCDnormalizado Fdesp Fdist=F.P. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 30 Centro de Estudios de Energía 60 90 Beta 120 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 150 180 Ing. Javier Rodríguez Bailey Armónicas de control de ángulo simétrico Control de ángulo simétrico 1 3 5 7 9 Is THD 1.5 1 0.5 0 0 Centro de Estudios de Energía 30 60 90 Beta 120 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 150 180 Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de modulación de ancho de pulso uniforme V V is = ∞ ∑ n =1,3,... dc rms = p Vm π = Vm ∑ [Cos α m =1,2,... 1 2π Cn Sen ( nwt ) Centro de Estudios de Energía m − Cos (α m + ∂ m ) ] 1 1 Sen α Sen α ∂ + − + ∂ (2 ) (2 2 ) ∑ m m m m 2 2 m =1,2,... p 2I donde Cn = a nπ p ∑ Cos (nα m =1,2 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas m ) − Cos ( n α m + n ∂ m ) Ing. Javier Rodríguez Bailey Vcd y f.p. de modulación de ancho de pulso uniforme. Modulación de pulsos uniforme FDESP FDIST=FP VDCnormalizado 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Indice de modulación Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey Armónicas de modulación de ancho de pulso uniforme. Modulación de ancho de pulso uniforme 1 3 5 7 9 IS THD 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Indice de modulación Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Ing. Javier Rodríguez Bailey THD de modulación de ancho de pulso uniforme Comparación de THD THD THDhasta9 4 3.5 3 2.5 THD 2 1.5 1 0.5 0 0 Centro de Estudios de Energía 0.2 0.4 0.6 0.8 Indice de modulación M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 1 Ing. Javier Rodríguez Bailey Ondas de modulación de ancho de pulso senoidal. V dc V rms = Vm is = ∞ ∑ n =1,3,... = Centro de Estudios de Energía π 1 2π Cn Sen ( nwt ) p Vm ∑ [Cosα m =1,2,... m − Cos (αm + ∂ m )] 1 1 Sen α Sen α (2 ) (2 2 ) ∂ + − + ∂ ∑ m m m m 2 2 m =1,2,... p 2 Ia donde Cn = nπ p ∑ Cos (nα m =1,2 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas m ) − Cos ( n α m + n ∂ m ) Ing. Javier Rodríguez Bailey Vcd y f. P. de modulación de ancho de pulso senoidal Modulación de ancho de pulso senoidal Fdesp Fdisp=FP Vdctotal 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 Centro de Estudios de Energía 0.2 0.4 0.6 Indice de modulación M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 0.8 1 Ing. Javier Rodríguez Bailey Armónicas de modulación de ancho de pulso senoidal. Modulación de ancho de pulso senoidal 1 3 5 7 9 Is THD 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 Centro de Estudios de Energía 0.2 0.4 0.6 Indice de modulación M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 0.8 1 Ing. Javier Rodríguez Bailey THD de modulación de ancho de pulso senoidal. Modulación de ancho de pulso senoidal THD THDhasta9 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 Centro de Estudios de Energía 0.2 0.4 0.6 Indice de modulación M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 0.8 1 Ing. Javier Rodríguez Bailey Capacitores y resonancia paralelo jXsc -jXc V NL ΣIh h = 1, 5, 7, .. Circuito original jXsc V jXsc . h -jXc NL Σ Ih I1 -jXc / h h = 5, 7, .. Circuito de 60 Hz Centro de Estudios de Energía Circuito de armónicas de 60 Hz M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Circuito de armónicas de 60 Hz Z(h) ωR = jXsc h 1 LSC ⋅ C -jXc / h / 1 Ih; h = En resonancia: Centro de Estudios de Energía X SC h = hr = 1 (120π ⋅ Lsc)(120 π ⋅ C ) hr = Xc = Xsc MVAsc MVAr XC h M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Curvas de hr hR = 1 VAsc = VAr VAr VAt VAt VAsc VAr/VAt 0.5 0.4 hr = 15 0.3 hr = 13 0.2 hr = 11 0.1 hr = 9 0 0.020 hr = 7 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 hr = 5 VAt/VAsc Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Respuesta a la frecuencia con capacitor Z(h) jXsc h 1 Z ( h) = j (h ⋅ Xc) ⋅ Xc h 2 Xsc -jXc / h / 1 Ih; h = 10 Z(h) 8 Xc VASC hR = = Xsc VAR 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 h hR Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés 25 200 0 0 -25 -200 -50 -400 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tie m po (s eg) Corriente Voltaje 90 400 45 200 0 0 -45 -200 -90 -400 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tie m po (s eg ) corriente Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas voltaje Dr. Armando Llamas Terrés Voltaje (V) 400 Voltaje (V) 50 Corriente (A) Corriente (A) Corriente y voltaje en capacitores, carga no lineal Filtros en Sistemas de Potencia A I A j Xsc ⋅ h j V NL Xc h 2f −j ⋅h h = 1, 5, 7, .. Σ Ih Xc h B B Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Respuesta a la frecuencia al instalar un filtro A j Xsc ⋅ h Xc j h2f −j ⋅h Z(h) Xc h B h ⋅ Xsc ⋅ Xc h 2 - h2f Z(h) = j ⋅ 2 1 Xsc ⋅ h f + Xc h2 Xsc 1 + Xc h 2f har 1 MVAr 1 + 2 MVA sc hf h0 = hf 0.12 impedancia (ohms) har = 0.08 0.04 0 0 2 4 hf Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas 6 8 armónica Dr. Armando Llamas Terrés Resonancia en un filtro 200 400 200 50 100 200 100 0 0 -50 -100 -100 -200 0 90 180 270 Grados Eléctricos Corriente (Amp) 100 0 0 -200 -100 -400 -200 0 Bien sintonizado, hf < 5 Centro de Estudios de Energía 90 180 270 Grados Eléctricos Mal sintonizado, hf > 5 M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Voltaje (Volts) Voltaje Voltaje (Volts) Corriente (Amp) Corriente Resonancia Transformador Rectificador CFE Capacitor Dimmer ABB Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Dr. Armando Llamas Terrés Medición de voltaje, corriente y armónicas Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas Medición de voltaje, corriente y armónicas ∼ Señal de voltaje Señal de corriente FLUKE Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas FIN Centro de Estudios de Energía M ódulo 4 Factor de potencia y armónicas
