El problema del máximo cubrimiento ordenado

El problema del máximo cubrimiento ordenado
Jörg Kalcsics1 , Mercedes Landete2 , Alfredo Marı́n3 , Stefan Nickel1
2 Universidad
1 Saarland University,
Miguel Hernández de Elche, 3 Universidad de Murcia.
Madrid, 2007
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en
las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar
y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones
cubiertas.
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en
las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar
y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones
cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante.
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en
las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar
y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones
cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante.
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Dado un conjunto de ubicaciones demandantes de un servicio en
las que se puede instalar una planta, debemos elegir dónde instalar
y cómo servir para maximizar el peso ponderado de las ubicaciones
cubiertas. Suponemos que el radio de cubrimiento es constante.
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Los problemas ordenados multiplican cada variable en la función
objetivo por una constante de ponderación.
max X ⊂S
|X |=p
n
X
λi ŵσ(i) (X )
i=1
λ = (1, 1, . . . , 1).
λ = (0, 0, . . . , 0, 1).
λ = (µ, µ, . . . , µ, 1) (0 < µ < 1).
λ = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1).
λ = (2, 0, . . . , 0, 1).
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Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
y` =
aij =
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
1 si se abre una planta en la ubicación `
0 en otro caso
1 si el i-ésimo de todos los pesos es el j-esimo de los abiertos
0 en otro caso
Por ejemplo, si n = 7, w1 ≤ w2 ≤ . . . ≤ w7 , y
ubicaciones 1, 3,4 y 7. Entonces,

0 0 0 1 0 0
 0 0 0 0 0 0

 0 0 0 0 1 0

(aij ) = 
 0 0 0 0 0 1
 0 0 0 0 0 0

 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
se cubren las
0
0
0
0
0
0
1










Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Entonces, se cumple aij = 0 cuando j < i, es decir, cero por debajo
de la diagonal.
Por otro lado, si r es el radio de cubrimiento, definimos Si como el
conjunto de ubicaciones que cubren i:
Si = {` ∈ S : di` ≤ r }
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i = 1, . . . , n
Máximo Cubrimiento Ordenado
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(P) max
s.a
n
X
j=1
n
X
λj
j
X
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
wi aij
i=1
aij ≤
j=i
y` ≤
X
`∈Si
n
X
y`
∀i = 1, . . . , n
aij
∀i ∈ C , ` ∈ S con di` ≤ r
j=i
j
X
i=k
aij ≤
j+1
X
∀k, j = 1, . . . , n − 1
ai,j+1
i=k+1
n
X
ain ≤ 1
i=1
m
X
y` = p
`=1
aij , y` ∈ {0, 1}
∀i, j = 1, . . . , n, ` = 1, . . . , m
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
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El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
P
P
Maximizamos la suma de los pesos ordenados, nj=1 λj ji=1 wi aij
verificando que:
n
X
j=i
aij ≤
X
y` para todo i
`∈Si
Si todas las plantas que cubren a i están cerradas, entonces la
ubicación i no se sirve.
y` ≤
n
X
aij para todo i ∈ C , ` ∈ S con di` ≤ r
j=i
Si la ubicación i no se cubre, entonces todas las plantas que le
cubren están cerradas.
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Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
El problema del máximo cubrimiento ordenado
j
X
i=k
aij ≤
j+1
X
ai,j+1 para todo j ≤ n − 1, k ≤ j
i=k+1
La suma parcial de una columna es mayor que la misma suma
parcial de la columna anterior.
j
X
ain ≤ 1
i=1
La suma de la última columna es menor o igual que 1 y, por tanto,
la suma de cualquier columna.
m
X
y` = p
`=1
El número de plantas abiertas es p.
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Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Podemos simplificar observando que:(i) La suma de las últimas
columnas vale 1 ya que al menos se cubren p ubicaciones; (ii) La
asignación del i-ésimo peso wi , i ≤ p − 1, no puede ir a una
ubicación de entre la p − i últimas ya que, en este caso, faltarı́an
ubicaciones con peso menor.
j
X
aij = 1
∀j = n − p + 1, . . . , n
(1)
i=1
aij = 0
∀i = 1, . . . , p − 1, j = n − p + i + 1, . . . , n
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Máximo Cubrimiento Ordenado
(2)
El problema del máximo cubrimiento ordenado
i−1 X
n
X
i 0 =1 j=k+1
ai 0 j ≤ (i − 1)(1 −
k
X
aij )
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
∀i = 2, . . . , n, k ≥ i
j=i
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
(3)
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
El problema del máximo cubrimiento ordenado
0
n
n
X
X
k=i+1 j=k
1
2
n
X
akj + (j − i)aij ≤ n−i
3
4
5
6
7
∀i = 1, . . . , n−1
j=i
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Máximo Cubrimiento Ordenado
(4)
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
El problema del máximo cubrimiento ordenado
7
n
n
X
X
k=i+1 j=k
akj ≥
n
X
6
5
(n − j)aij
4
3
2
1
0
∀i = 1, . . . , n − 1
j=i
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Máximo Cubrimiento Ordenado
(5)
El problema del máximo cubrimiento ordenado
aij +
n
X
ai−1,k ≤ 1
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
∀i ≥ 2, j ≥ i
k=i−1
k6=j−1
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Máximo Cubrimiento Ordenado
(6)
El problema del máximo cubrimiento ordenado
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Generamos cinco problemas con 50 clientes aleatoriamente como
sigue:
1
Las coordenadas de los clientes se distribuyen de modo
uniforme en el cuadrado Q = ((0, 0), (10, 10)).
2
Los pesos de los clientes siguen una distribución normal en el
intervalo [10, 80].
Los ejemplos 1, 3 y 5 usan p = 3 y el resto p = 4. Además, todos
cumplen r = 1.
Consideramos dos tipos de lambda’s. El primero consiste en valores
decrecientes no negativos, es decir, λi ≥ λi+1 ≥ 0. Para el segundo
generamos valores de una uniforme en (0, 1).
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Decreciente λ
(P)
(P) &
(1) y (2)
Aleatorio λ
Ej.
Valor Obj.
1
637.3
2
844.4
3
276.2
4
298.8
5
164.0
1
368.1
2
476.5
3
244.1
4
320.0
5
128.2
LP-Rel.
Gap
LP-Rel.
Gap
637.3
0.0
637.3
0.0
892.9
5.7
892.9
5.7
324.4
17.5
308.7
11.8
384.4
28.6
338.4
13.2
246.9
50.5
224.9
37.1
376.6
2.3
376.6
2.3
486.1
2.0
486.1
2.0
251.6
3.0
249.9
2.4
325.8
1.8
325.8
1.8
138.6
8.1
132.9
3.7
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
El problema del máximo cubrimiento ordenado
Decreciente λ
(P) y (4)
(P), (1) y (4)
(P), (1), (2) y (4)
(P) y (5)
(P), (1) y (5)
(P), (1), (2) y (5)
(P) y (6)
(P), (1) y (6)
(P), (1), (2) y (6)
3
Aleatorio λ
1
2
4
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
1
0.6
1
0.6
1
1.2
35
6.5
13
4.1
17
4.6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
1
1.5
1
2.2
1
1.7
25
11.1
13
16.1
41
17.9
33
18.0
15
11.9
15
13.3
Decreciente
29
18.3
17
16.0
25
12.9
λ
41
22.3
31
21.2
43
24.3
7
4.8
25
9.0
11
5.3
27
17.1
15
11.4
17
12.7
3
4.1
7
6.6
9
6.4
Aleatorio
27
14.5
15
9.9
17
10.2
λ
21
10.3
23
10.6
21
10.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
Nodos
Tiempo
1
1.9
1
3.0
1
2.3
19
11.1
13
17.8
21
11.9
17
13.5
19
16.3
23
11.8
31
16.9
13
17.2
25
9.8
75
25.9
45
29.7
41
13.9
11
5.4
25
11.3
15
5.9
19
11.2
27
16.2
21
11.3
7
4.1
11
6.9
7
4.8
17
9.0
15
22.4
15
9.7
17
8.7
11
12.0
15
7.7
17
27
5.1
7.6
11
17
5.4
5.6
17
21
6.1
5.3
Decreciente λ
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
5
1
2
61
13.4
33
8.1
61
8.1
13
3.4
11
3.1
15
3.3
23
4.5
15
3.8
19
4.9
3
4
5
17
19
3.9
5.1
9
17
2.7
5.8
9
15
2.1
8.1
Aleatorio λ
Máximo Cubrimiento Ordenado
19
6.5
19
5.3
7
4.5
El problema del máximo cubrimiento ordenado
El problema
El modelo
Simplificaciones
Resultados computacionales
Gracias por la atención
J. Kalcsics, M. Landete, A. Marı́n, S. Nickel
Máximo Cubrimiento Ordenado