EJERCICIOS DE CÁLCULO NUMÉRICOS: PRIMER PARCIAL 2004/05 1. Razone la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes: (a) Si A ó B es invertible, entonces I − AB y I − BA tienen los mismos valores propios; (b) Los valores propios de AB y BA son iguales; b1 b2 b3 . . . bn a 0 0 ... 0 (c) Sea Bn = donde bj = 0 a . ... 0 . . . 0 0 0 0 ... a 0 iterativo: x(k+1) = Bn x(k) + c, c ∈ Rn converge; β 2j (|a| < 1 y |β| ≤ 1 ). El método (d) Dos matrices con los mismos valores propios son semejantes; (e) El método de Euler modificado proporciona la solución exacta de la E.D.O. y 0 = −2λx R1 (f) El orden de exactitud de la F.I.N. −1 f (x) dx ≈ 31 f (−1) + 43 f (0) + cf 0 (0) + 13 f (1) es mayor que 1; (g) El orden de un método de 1-paso con Φ (x, y; h) = f (x, y) + h2 y 00 (x) es 2. 2. Obtenga un método de tipo Runge-Kutta de dos etapas que reúna los requisitos siguientes: (a) sea explı́cito; (b) tenga orden 2; (c) el error de truncatura local sea mı́nimo. 0 3. Para el método Runge-Kutta de 2-etapas con arreglo matricial: α 0 α 0 0 1−α 2 1+α 2 (a) Determine el orden del método según los valores del escalar α. (b) Para α con orden máximo para el método, ¿cuál es el término principal del error local de truncatura? (c) Verifique si el método es estable (cero-estable) para todo α. 0 α 4. El arreglo de Butcher, β 0 α 0 1 3 0 0 β α 2 3 0 0 define un método Runge-Kutta explı́cito de 3-etapas. 0 −α (a) ¿Es consistente para cualquier valor α? (b) ¿Es de orden p > 2 para todos los valores de α y β? ¿puede ser de orden 3? (c) Elija valores adecuados de α y β para los que el método sea de orden exáctamente 2 y dé, en tal caso, la parte principal del error de truncatura local. 1 5. Analice la A-estabilidad de los métodos de 1-paso siguientes: (a) Método de Euler: yn+1 = yn + hf (xn , yn ) n = 0, 1, . . . (b) Método de Euler implı́cito: yn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 ) n = 0, 1, . . . (c) yn+1 = yn + hf xn + h2 , yn + h2 f (xn , yn ) n = 0, 1, . . . (d) yn+1 = yn + h2 (f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))) n = 0, 1, . . . 6. ¿Qué ocurre si se aplica el método Runge-Kutta clásico a la ecuación y 0 = f (x)? 7. Resuelva el problema de interpolación siguiente: Hallar la función spline cuadrática clase 1, s(x) ∈ S(2, 1; {a = x0 , x1 , . . . , xN = b}, que interpola la función f (x, y(x)) en xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , N h = b−a y s0 (x0 ) = d0 (valor dado); es N decir, Hallar s (x) = si (x) ∈ P2 , (xi ≤ x ≤ xi+1 ) i = 0, . . . , N − 1 verificando : si (xi ) = f (xi , y (xi )) , s0i (xi ) = di si (xi+1 ) = f (xi+1 , y (xi+1 )) (a) Deduzca, desde el interpolante anterior, un método para resolver el problema de Cauchy; 8. Considere el P.V.I. , y 0 = 1 − xy , y (2) = 2 (a) Demuestre que se verifica la relación de recurrencia siguiente: 0 , y 00 = 1−2y x y (k−1) (k) y = −k x k = 3, 4, . . . (b) Dé la solución numérica obtenida con el método de Taylor de orden 10 en el intervalo [2, 20] y paso h=1; (c) Calcule la solución exacta y compárela con los resultados obtenidos en (b). 9. Resuelva, numéricamente, el P.V.I. (y 0 )2 − 2xy 0 − y cos (x) = 0, con y (0) = 0 en el intervalo [0, 1] (se supone la búsqueda de una solución no nula). ¿Cómo procederı́a si se sustituye (y 0 )2 por (y 0 )3 ? 10. (a) Demuestre que cuando se aplica el método de Runge-Kutta al problema, y 0 = λy, la fórmula para generar la solución numérica es: 1 1 1 2 3 4 (hλ) y (x) y(x + h) = 1 + hλ + (hλ) + (hλ) + 2 6 24 (b) Pruebe que el error de truncatura local es O (h5 ) 2