10 - Radiación Electromagnética

Electromagnetismo 2004
10-1
10 - Radiación Electromagnética
Introducción
En los capítulos precedentes analizamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un recinto sin fuentes de campo, que constituyen ondas electromagnéticas. En tales casos se suponía
que las fuentes se hallaban fuera del recinto de integración. En este capítulo analizaremos las
soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando las fuentes del campo se hallan dentro del recinto de integración. De esta forma se determina la relación entre el campo y sus fuentes, es decir, se describe el proceso de generación de energía electromagnética radiante.
El problema de la radiación electromagnética tiene importancia práctica a altas frecuencias. En
sistemas de potencia es de relevancia en situaciones de sobrecarga o desbalanceo transitorios,
caída de rayos, y como factor de interferencia electromagnética sobre otros equipos o instalaciones. En comunicaciones inalámbricas, los sistemas radiantes se basan en estos principios. Finalmente, son de interés actual las consecuencias biológicas y ambientales de los campos electromagnéticos, fundamentalmente en relación a los eventuales efectos perjudiciales que las instalaciones eléctricas puedan tener sobre la salud humana y el medio ambiente.
Resolución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes
ρ (r, t )
ε0
∇ • H (r, t ) = 0
En el vacío:
∂H (r, t )
∇ × E(r, t ) + µ 0
=0
∂t
∂E(r, t )
∇ × H (r, t ) − ε 0
= j(r, t )
∂t
Para resolver estas ecuaciones inhomogéneas, es conveniente introducir los llamados potenciales
electrodinámicos, que surgen de las propiedades de los campos:
1
H (r, t ) =
∇ × A(r, t )
Como
∇ • H (r, t ) = 0
⇒
µ0
A es el llamado potencial vectorial electrodinámico1.
∂H (r, t )
∂
Entonces:
∇ × E(r, t ) + µ 0
= 0 ⇒ ∇ × E(r, t ) + ∇ × A(r, t ) = 0
∂t
∂t
∂A(r, t ) 

Luego:
∇ × E(r, t ) +
=0
∂t 

de modo que el campo dentro del corchete se puede escribir como el gradiente de un potencial
∂A(r, t )
∂A(r, t )
escalar:
E(r, t ) +
= −∇φ (r, t )
⇒ E(r, t ) = −∇φ (r, t ) −
∂t
∂t
2
φ es el llamado potencial escalar electrodinámico .
∇ • E(r, t ) =
1
Nótese que este potencial vectorial electrodinámico coincide con el potencial vectorial magnético que hemos visto
previamente en el caso estático cuando los campos no dependen del tiempo.
2
También el potencial escalar electrodinámico coincide con el potencial electrostrático cuando los campos no dependen del tiempo.
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Ejemplo 10.1: Analizar la unicidad en la selección de los potenciales electrodinámicos.
H (r, t ) = ∇ × A (r, t ) / µ 0 se ve que puede
H (r , t ) = ∇ × [A (r , t ) + ∇Ψ (r , t )] / µ 0 donde Ψ (r , t ) es un campo escalar
Como se define el potencial vectorial a partir de:
escribirse también:
diferenciable cualquiera, ya que el rotor de un gradiente siempre es cero. Entonces el potencial vectorial no es único, sino que está definido a menos del gradiente de un campo escalar.
Si tomamos entonces:
A ′(r, t ) = A(r, t ) + ∇Ψ(r, t )
∂A ′(r , t )
∂A (r , t ) ∂∇Ψ (r , t )
queda para el campo eléctrico:
E(r , t ) = −∇φ (r , t ) −
= −∇φ (r , t ) −
−
∂t
∂t
∂t
t
t
(
,
)
(
,
)
r
∂
A
r
∂
Ψ


o sea:
E(r , t ) = −∇ φ (r , t ) +
−
∂t
∂t 

de manera que si tomamos los potenciales electrodinámicos:
A ′(r , t ) = A(r , t ) + ∇Ψ (r , t )
∂Ψ ( r , t )
φ ′(r , t ) = φ (r , t ) −
∂t
llegamos a las mismas expresiones de los campos que antes. La función Ψ es arbitraria, y
su elección se conoce como una calibración o gauge. Las leyes físicas deben ser invariantes
frente a una transformación de calibración. Las modernas teorías de gauge en la descripción
de las interacciones elementales han creado una nueva visión de la física.
Los potenciales electrodinámicos φ(r,t) y A(r,t) permiten obtener los campos. Veamos cómo
se escriben las ecuaciones de Maxwell para estos potenciales:
ρ (r, t )
ρ
ρ
∂A 
∂

∇ • E(r, t ) =
⇒ ∇ • ∇φ +
=−
⇒ ∇ 2φ + ∇ • A = −

ε0
∂t 
ε0
∂t
ε0

∇ × H (r, t ) − ε 0
∂E(r, t )
= j(r, t )
∂t
⇒
1
µ0
∇ ×∇ × A + ε0
∂ 
∂A 
∇φ +
=j

∂t 
∂t 
de donde:
∇(∇ • A ) − ∇ 2 A +
1  ∂φ  1 ∂ 2 A
1 ∂φ 
1 ∂2A

2
∇
+
=
µ
j
⇒
∇
∇
•
A
+
−
∇
A
+
= µ0 j




0
c 2  ∂t  c 2 ∂t 2
c 2 ∂t 
c 2 ∂t 2

Todo campo vectorial queda unívocamente definido si se dan su divergencia y su rotor. En el
caso del potencial vectorial A se conoce el rotor (que es H) pero las ecs. de Maxwell no dan ninguna condición sobre su divergencia. Es así que podemos elegirla de la forma más conveniente
para resolver el problema. Esta elección arbitraria se llama una calibración, como se mencionó
en el Ejemplo 10.1.
En nuestro caso, las ecuaciones diferenciales para los potenciales electrodinámicos se simplifi1 ∂φ
=0
∇•A+ 2
can si usamos la calibración de Lorentz:
c ∂t
de donde queda:
1 ∂2
ρ (r, t )
1 ∂2
∇ 2φ (r, t ) − 2 2 φ (r, t ) =
∇ 2 A(r, t ) − 2 2 A(r, t ) = µ 0 j(r, t )
c ∂t
ε0
c ∂t
que son ecuaciones vectoriales de D’Alembert inhomogéneas.
La solución de estas ecuaciones inhomogéneas son las siguientes (APENDICE 7):
Se ve de estas expresiones que
los potenciales en un punto r
µ 0 j(r ′, t ′)
1
ρ (r ′, t ′)
del espacio y en el instante t
dV
dV
φ (r , t ) =
A (r , t ) =
∫
∫
dependen de lo que ocurrió en
4π ε 0 V
R
4π V R
las fuentes en un instante antet′ = t − R / c
con: R = r − r ′
rior t’. Por esta razón se llaman potenciales retardados.
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Este retardo surge del valor finito de propagación de la luz en el vacío, que da lugar a un intervalo entre el momento que se da un cambio en la fuente y el momento en que se observa el correspondiente cambio en el campo lejano observado. Los cambios se propagan en forma ondulatoria
con velocidad c. Estas ecuaciones representan la generación de ondas electromagnéticas a partir
de sus fuentes. Estas ondas transportan energía desde las fuentes hacia otros sistemas.
De la expresión de A se observa que existe generación de ondas cuando la corriente depende del
tiempo. Si la corriente es estacionaria, no existe generación de ondas. Una corriente estacionaria
(independiente del tiempo) implica que las cargas se hallan en movimiento uniforme. Una corriente no estacionaria implica cargas aceleradas.
Se concluye entonces que sólo cargas aceleradas emiten ondas electromagnéticas, mientras que cargas en movimiento uniforme no emiten radiación.
Parámetros básicos de las antenas
Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre.
Su objetivo es enviar o recibir energía y/o información a distancia en forma de ondas electromagnéticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo de adaptación de impedancias entre
la línea o guía de alimentación y el espacio. En las siguientes secciones presentamos los parámetros básicos que describen el comportamiento de las antenas.
Resistencia de radiación
Cuando la antena actúa como emisora, envía energía al espacio que la rodea. Se puede modelizar esta cesión de energía con una analogía circuital donde la energía radiada se supone disipada
por efecto Joule en una resistencia de radiación.
Onda libre
Generador
Onda guiada
Antena
Generador
Onda guiada
R Radiación
Diagrama de radiación
Un parámetro importante de una antena es la distribución espacial de la radiación que emite.
Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribución
no uniforme de la radiación. Esto permite lograr “guiar” ondas aún el espacio libre sin contornos.
Las gráficas de campo o densidad de potencia radiada según las direcciones del espacio son los
llamados diagramas de radiación. Estos diagramas también describen las propiedades anisótropas de recepción de antenas receptoras, de manera que son características de gran interés en el
diseño de un enlace de radiocomunicaciones.Habitualmente el diagrama de radiación de una antena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las características de la antena.
Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esféricas y secciones sobre planos horizontales (a ϕ constante) o verticales (a θ constante). En la figura se muestran diagramas polares
horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados
sobre el eje vertical.
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0
θ
30
0
30
60
60
90
90
120
120
150
180
30
θ
30
60
150
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60
90
90
120
120
150
150
180
Diagrama de campo
Diagrama de potencia
También se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional
a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala
logarítmica (en dB), como se ilustra en las siguientes figuras para el mismo sistema de las gráficas polares.
∆ϕ
θ (grados)
θ (grados)
Se observa que el diagrama de radiación consiste en una serie de lóbulos. Se ve además que (en
general) el diagrama de radiación de campo revela con más detalle la estructura lobular de la
radiación, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma más realista la distribución anisotrópica de la energía radiada. En lo que sigue en esta sección, nos referiremos al
diagrama de potencia.
Hay lóbulos principales, en las direcciones de máxima radiación, y lóbulos secundarios, que se
hacen más evidentes en los diagramas logarítmicos. El lóbulo se define por su amplitud y su
ancho de haz de potencia media ∆ϕ para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del
valor máximo para el lóbulo (y los campos a 1 / 2 ).
En muchos casos la antena produce una polarización no lineal, y se pueden dar los diagramas de
radiación para cada componente de polarización o un diagrama de potencia, que grafica el módulo del vector de Poynting (para el campo completo) en función de la dirección (θ,ϕ). Habitualmente los diagramas de potencia se normalizan a la densidad máxima.
Potencia media radiada
El vector de Poynting medio emitido por la antena será: < N >=
(
1
Re E × H *
2
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)
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La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a
través de una superficie cerrada que contiene a la antena:
P =
∫
S
N • nˆ ds
La superficie de integración es cualquiera. Supongamos,
por ejemplo, que tomamos a S1 como superficie de integración, y obtenemos un valor P1 . Si luego tomamos
S1
otra superficie S2 que contiene a S1, obtendremos en prinr
cipio otro valor P2 . Pero el espacio entre S1 y S2 es vacío, es decir, no contiene fuentes (otros radiadores) ni suS
2
dS
mideros (por ejemplo, cuerpos conductores) de energía
dΩ
electromagnética. Por lo tanto la potencia que cruza S1
debe ser la misma que cruza S2. De esta forma demostramos que la superficie de integración puede ser cualquiera y entonces se elige por conveniencia
matemática una esfera centrada en el centro de la antena:
< P >= ∫ < N > •nˆ dS = ∫ < N r > r 2 dΩ
4π
S
donde dΩ es el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento dS. Definimos así el diagrama de radiación de potencia:
d<P>
= r 2 < Nr >
dΩ
d P dΩ
⇒
d P dΩ max
=
< Nr >
= f (θ ,ϕ )
< N r > max
Area de haz
ΩA =
Se define como área de haz a:
∫ f (θ ,ϕ ) dΩ ≤ 4π
y es el ángulo sobre el cual se
4π
concentraría la radiación si fuera dentro de este ángulo de valor igual al máximo.
Se tiene que:
< P >= < N r > r 2 Ω A = d P dΩ max Ω A
max
El área de haz mide la anisotropía de la radiación. Es menor cuanto más concentrada se halla la
radiación en un ángulo pequeño.
El área de haz se puede expresar en forma aproximada como el producto de los anchos de potencia media sobre las dos direcciones principales ortogonales:
Ω A ≅ ∆θ ∆ϕ
También en ocasiones se separa la contribución de los lóbulos mayores de los lóbulos menores:
Ω A ≅ Ω M + Ω m lo que lleva a definir la eficiencia del haz principal como:
ε M = ΩM / Ω A
Directividad, ganancia y eficiencia
La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad
de potencia promediada sobre una esfera. Resulta en un número ≥ 1 que mide el grado de anisotropía de la radiación. Una antena muy directiva concentra su radiación en un ángulo sólido pequeño.
Una antena isotrópica tiene directividad unitaria.
De acuerdo a su definición: D =
d P dΩ max
=
P / ΩA
P / 4π
P / 4π
vidad es inversamente proporcional al área de haz.
=
4π
ΩA
y se ve que la directi-
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Se denomina ganancia de la antena a:
G=kD
donde k es la eficiencia de la antena, que está relacionada con las pérdidas por efecto Joule en
los conductores de la antena. Si (idealmente) la antena no presenta pérdidas óhmicas, k = 1 y la
ganancia coincide entonces con la directividad.
Impedancia de entrada
La impedancia de entrada es la impedancia que la antena presenta al circuito de alimentación. En
general es compleja: ZA = RA + i XA y la parte resistiva se puede descomponer en la parte Rj que
representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación Rr,
asociada a la potencia emitida: RA = Rj + Rr.
La impedancia de entrada de la antena es un parámetro fundamental para la adaptación de la antena al circuito alimentador y es frecuente que su variación con la frecuencia sea uno de los parámetros de diseño más importantes.
ZG
En general podemos considerar un generador de impedancia interna ZG conectado a una antena de impedancia de entrada ZA. La corriente de alimentación
I
V
de la antena es la que circula por el circuito equivalente de la figura:
V
V
ZA
I=
=
Z G + Z A RG + R j + R r + i ( X G + X A )
donde V es la tensión pico del generador. La potencia media de pérdidas óh2
Rj
V
1 2
micas en la antena es:
Pj = I R j =
2
2 ( RG + R j + R r ) 2 + ( X G + X A ) 2
mientras que la potencia media radiada por la antena es:
2
V
Rr
1 2
P = I Rr =
2
2 ( RG + R j + R r ) 2 + ( X G + X A ) 2
Finalmente, la potencia media perdida en el circuito del generador es:
2
V
RG
1 2
PG = I RG =
2
2 ( RG + R j + R r ) 2 + ( X G + X A ) 2
El generador debe suministrar estas tres potencias. La condición de máxima transferencia de
potencia del generador a la antena se da cuando la impedancia de la antena es el conjugado de la
impedancia del generador:
RG = R A = R j + R r
XG = −X A
En este caso las potencias involucradas valen:
2
2
2
Rj
V
V
V
Rr
Pj =
P=
PG =
8 (R j + Rr ) 2
8 (R j + Rr ) 2
8 (R j + Rr )
de donde se ve que: PG = PA = Pj + P
es decir la potencia perdida en el circuito interno del generador es igual a la potencia total que se
envía a la antena, donde parte se disipa por efecto Joule y parte es emitida en forma de radiación
electromagnética. Si la antena idealmente no tuviera pérdidas el generador debería suministrar el
doble de la potencia que se quiere emitir en la condición de máxima transferencia de potencia.
En casos prácticos debe suministrar más, para compensar las pérdidas óhmicas de la antena y de
la/s líneas de transmisión de conexión.
Abertura o área efectiva
Cuando la antena se utiliza como receptora, recibe una dada densidad de potencia electromagnética, que convierte en energía eléctrica en un circuito. La relación entre la potencia eléctrica
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útil y la densidad de potencia que recibe la antena tiene dimensiones de área, y se denomina área
o abertura efectiva de la antena:
Ae = <P>/<N>
La abertura efectiva de la antena significa el área efectiva que presenta a la radiación incidente, como si fuera una “abertura” por donde pasa toda la potencia recibida. La abertura efectiva de
la antena resume dos características: la anisotropía o directividad de la antena y la eficiencia de
conversión de energía radiante en potencia eléctrica en un circuito. Si suponemos que esta eficiencia es máxima (unitaria), la abertura efectiva se denomina abertura efectiva máxima.
Para calcular la abertura efectiva máxima de una antena receptora consideremos una antena que
está conectada a una carga ZL, sobre la que incide
ZA
una onda desde un transmisor lejano, que podemos
considerar una onda plana. En tal caso, el vector de
I
ZL
V
Poynting o densidad de potencia incidente es:
L
ZL
2
< N >= Ei 2η0 donde Ei es la amplitud del campo incidente. Por otra parte, este campo incidente
inducirá una fem V ≈ Ei L sobre la antena, donde L es su longitud. Se puede entonces pensar en un circuito equivalente como el de la figura,
donde ZA es la impedancia de la antena. Por lo tanto, la potencia transmitida a la carga es:
2
2
I RL
V RL
1
1
*
*
< P >= ℜe(VL I ) = ℜe(Z L I I ) =
=
2
2
2
2
2 ZL + Z A
Si queremos hallar la abertura máxima no debe haber pérdidas en la antena, de modo que la parte
real de la impedancia de antena es solamente la resistencia de radiación: Z A = R r + iX A lo que
indica que toda la potencia activa absorbida por la antena es potencia de radiación. Además, para
máxima transferencia de potencia de la antena a la carga, la impedancia de carga debe ser conjugada de la de la antena: Z L = Z A* = R r − iX A y entonces:
2
< P >=
2
V RL
2 ZL + ZA
2
=
V Rr
2 2Rr
2
=
2
V
8R r
2
=
E i L2
8R r
2
La abertura efectiva máxima resulta así:
Aem
E i L2 8 R r η 0 L2
<P>
=
=
=
2
<N>
4Rr
E i 2η 0
para una antena del tipo de un alambre recto.
Cuando la antena es una espira, la fem inducida será:
V = dΦ m dt ≈ iω B i S = iω µ 0 ( E i / η 0 ) S = iω E i S c
donde S es el área de la espira. Luego:
< P >=
V
2
8R r
2
=
ω 2 Ei S 2
8c 2 R r
⇒
Aem =
<P>
<N>
2
=
ω 2 E i S 2 8c 2 R r
Ei
2
2η 0
=
η 0ω 2 S 2
4c 2 R r
=
π 2η 0 S 2
λ2 Rr
donde se ha usado: ω/c = 2π/λ
Una misma antena puede utilizarse como transmisora y receptora. Por lo tanto, sus características
de rtransmisión y recepción están ligadas. Las relaciones más importantes son3:
4π
4π
λ2 = Ae m Ω A
D = 2 Ae m ⇒ G = 2 Ae :
λ
3
λ
Ver, por ejemplo, W.Stutzman & G.Thiele, “Antenna Theory and Design”, 2nd.Ed., Wiley, New York, 1998, p.78.
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Tipos básicos de radiadores
En este capítulo veremos algunos de los tipos básicos de radiadores: el dipolo eléctrico corto, el
dipolo magnético elemental y las ranuras radiantes. Con estos tipos podemos describir antenas de
mayor complejidad y tamaño.
H
Dipolo eléctrico
E
H
H
E
E
Dipolo magnético
Ranura radiante
Los diagramas de radiación y la polarización de los campos emitidos por estos radiadores se
muestran en las figuras para comparación. Debe tenerse en cuenta que la intensidad de la potencia radiada por estos elementos es diferente y los diagramas no están a escala.
La combinación de estos tres tipos elementales de radiadores lleva
a la mayoría de los tipos de antenas de uso en la técnica.
Una clasificación básica de las antenas surge de su comportamiento en frecuencia. Hay configuraciones de banda angosta, que emiten eficientemente sólo en un conjunto discreto de frecuencias (quizás una sola) y antenas de banda ancha, que emiten con eficiencia similar en un espectro importante. Cada tipo tiene aplicaciones específicas y veremos ejemplos de ambos tipos de
antenas en este Capítulo.
Radiación dipolar eléctrica
Las antenas tradicionales consisten en conductores filiformes por los que circulan corrientes dependientes del tiempo. El caso más simple de emisión de ondas electromagnéticas o radiación,
se da en el caso de un hilo muy corto, que transporta una corriente uniforme variable en el tiempo. Este objeto no corresponde a ningún caso real, pero se trata de un caso límite que se puede
usar luego para el análisis de antenas reales mediante superposición.
z
Suponemos que por el hilo, que llamamos dipolo eléctriA(r,t)
co radiante, circula una corriente armónica uniforme
I (t ) = I 0 e i ω t (en notación fasorial). El potencial vectorial
magnético creado por el dipolo será:
µ j(r ′, t ′)
µ I (t ′)
r
A (r , t ) = 0 ∫
dV ′ = 0 ∫
zˆ dz ′
4π V R
4π C r
donde hemos pasado de una integral de volumen a una
L
y
integral de línea, y como r’ = 0 y la corriente no depenI(t)
de de r’ queda:
x
z
ẑ
r
θ
A(r, t) =
µ0 I 0 L
4π r
ei ω (t −r / c) zˆ
A partir del potencial vectorial podemos calcular el camr̂ po magnético: H = ∇×A. Para ello nos conviene expresar A en coordenadas
esféricas, ya que su dependencia funcional es respecto de la distancia r.
De la figura:
zˆ = cos θ rˆ − sen θ θ̂
ˆ
θ
µ I L
y entonces:
A(r, t ) = 0 0 e i ω ( t − r / c ) cos θ rˆ − sen θ θ̂
4π r
(
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)
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En coordenadas esféricas:
rˆ
∂
1
∇×A = 2
r sen θ ∂ r
Ar
rθˆ
∂
∂θ
rAθ
r sen θ φˆ
∂
1
= 2
∂φ
r sen θ
r sen θ Aφ
rˆ
∂
∂r
Ar
rθˆ
∂
∂θ
rAθ
∂
1  ∂ ( rAθ ) ∂Ar  ˆ µ 0 I 0 L i ω t  ∂ − i kr
= 
−
e  − (e sen θ ) −
φ =
∂θ
∂θ 
4π r
r  ∂r
 ∂r
=
r sen θ φˆ
0
0
 e − i kr


cos θ  φˆ
 r

 e −i kr

µ0 I 0 L iω t 
e − (− i k e − i kr )sen θ + 
sen θ  φˆ
4π r
 r


H (r, t ) =
y finalmente:
1
µ0
∇×A =
1
I 0 L i (ω t − kr ) 
e
 i k +  sen θ φˆ
4π r
r

Se ve que H(r,t) tiene dos términos, uno que depende como 1/r y otro que depende como 1/r2.
A partir de H(r,t) se puede calcular E(r,t) con la ecuación de Maxwell-Ampère:
rθˆ r sen θ φˆ
rˆ
1
1
1
∂
∂
∂
∂E
⇒ E=
∇×H=
∇ × H = ε0
2
iω ε0
i ω ε 0 r sen θ ∂ r ∂θ
∂φ
∂t
0
0 r sen θ H φ
E=
y finalmente:
1
1
i ω ε 0 r sen θ
2
E (r , t ) = −
 ∂

ˆ ∂
rˆ ∂θ (r sen θ H φ ) − rθ ∂ r (r sen θ H φ )


i I0 L
 cos θ
e i ( ω t − kr )  2
4π ε 0 ω r
r

1
1

 2 ik
 i k +  rˆ − sen θ  k − − 2
r
r
r



 ˆ
θ 
 
Se ve que E(r,t) tiene dos componentes, una sobre r̂ y otra sobre θ̂ . Esta última componente
presenta un término que depende como 1/r mientras que todos los otros términos de E(r,t) dependen de potencias de r inversas mayores.
Los campos creados por cargas estáticas y corrientes estacionarias contenidas en recintos acotados a grandes distancias varían como 1/rn, con n ≥ 2. Este es el primer caso que hemos encontrado donde campos lejanos varían como 1/r. Estos términos, que predominan a grandes distancias sobre los otros términos, se denominan términos de radiación.
Para completar el análisis de su significado calculamos la potencia media que transportan las
ondas generadas por el dipolo. Necesitamos el valor medio del vector de Poynting. En notación
 rˆ
θˆ
φˆ 
1
1 
1
fasorial:
0  = Re Eθ H φ* rˆ − E r H φ*θˆ
< N > = Re (E × H *) = Re  E r Eθ
2
2 
 2
 0
0 H φ* 


Luego (señalamos en rojo los términos de radiación):
(
)
 iI L i (ω t −kr )

1
1
1
ik 1  I L


Re ( Eθ H φ* ) = Re  0
sen θ  k 2 − − 2  0 e −i (ω t −kr )  −ik +  sen θ 
e
2
2
r r  4π r
r


 4πε 0ω r

=
 iI 02 L2

1
k 2 k 2 ik ik 1   I 02 L2 k 3 sen 2θ
2
3
ik
+
−
− + −
Re 
sen
θ
−
=

2
2
r
r r 2 r 2 r 3   32π 2ε 0ω r 2
2

 16π ε 0ω r
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Electromagnetismo 2004
10-10

i I0 L
1
1 
cosθ 
1  I 0 L −i (ω t − kr ) 
1
e i (ω t − kr ) sen θ
e
Re(E r H φ* ) = Re2
i k + 
 − i k +  sen θ 
r 
r  4π r
r
2
2  4 π ε 0ω r


=
ik ik 1
1  i I 02 L2

Re 2
sen 2 θ cosθ  k 2 +
−
+
2
r
r r2
2  8 π ε 0ω r

< N >=
y finalmente:

 = 0

I 02 L2 k 3 sen 2 θ
32 π 2 ε 0ω r 2
η 0 I 02 sen 2 θ  L  2
rˆ =
  rˆ
λ
8r 2
Se observa que sólo contribuyen al valor medio del vector de Poynting los términos de radiación en el desarrollo de los campos:
E rad (r, t ) =
I L k2
i I 0 L k 2 i (ω t − kr )
sen θ θˆ = − 0
sen(ω t − kr ) sen θ θˆ
e
4 π ε 0ω r
4 π ε 0ω r
H rad (r, t ) =
I Lk
i I 0 L k i (ω t −kr )
sen θ φˆ = − 0
sen(ω t − kr ) sen θ φˆ
e
4π r
4π r
de donde:
z
N(r,t)
E rad
Hφ(r,t)
r
Estos campos se denominan campos de radiación y son los
que describen la emisión de energía electromagnética del
y dipolo. Se ve que los términos de radiación dependen como
1/r , son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación radial, y la relación entre ellos es la impedancia intrínseca del vacío. Constituyen entonces una onda esférica elemental.
Eθ(r,t)
L
H rad
I0 L k 2
4π ε 0ω r
1
k
=
=
=
= η0
I0 L k
ε 0ω cε 0
4π r
I(t)
x
Ejemplo 10.2: Analizar la relación entre los campos de radiación y los potenciales electrodinámicos.
E = −∇φ + iωA
µ I L
A(r, t ) = 0 0 e i ω ( t − r / c ) cos θ rˆ − sen θ θ̂
El potencial vectorial es:
4πr
I 0 L k 2 i (ω t − kr )
e
sen θ θˆ
Y el campo eléctrico de radiación: E rad (r , t ) = −
4 π ε 0ω r
ˆ
Se ve que E (r, t ) = iω A θ de donde surge que el campo de radiación está relacionado
Para soluciones armónicas:
(
rad
)
θ
solamente con la componente de A transversal a la propagación. El potencial escalar no
interviene en la definición del campo de radiación, sino que da lugar a componentes longitudinales a la propagación que no son términos de radiación.
De estas ecuaciones surge que una forma sencilla de hallar, en forma aproximada, los
campos lejanos o campos de radiación de un radiador es:
1) calcular A con la solución particular ecuación inhomogénea;
2) calcular E rad = iω AT donde AT es la componente de A transversal a la propagación;
3) calcular H rad = rˆ × E rad / η0
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Electromagnetismo 2004
10-11
Los otros términos de los campos se denominan campos de inducción o términos de inducción
y decaen más rápido que los términos de radiación. Estos términos no transportan energía
neta (en valor medio temporal), pero definen los valores relevantes del campo en las cercanías
del emisor.
El diagrama de radiación para el dipolo eléctrico corto se obtiene de:
η0 I 02 sen 2 θ  L 
 
r2 < Nr >
8
λ
f (θ , φ ) = 2
=
2
2
r < Nr >
η0 I 0  L 
max
 
8 λ
2
⇒
f (θ , φ ) = sen 2 θ
z
0
30
θ
30
z
60
60
90
90
120
120
150
150
180
Este diagrama presenta un máximo o lóbulo principal para θ = π/2. El diagrama no presenta
dependencia respecto de φ por la simetría de revolución del problema respecto del eje z, de manera que la gráfica polar 2D es una sección recta del diagrama 3D que es un toro.
Potencia radiada
∫
< P > = < N > •nˆ dS
La potencia media radiada por el dipolo es:
S
donde S es una superficie cerrada cualquiera que encierra al radiador. Debido a que <N> depende de r y de θ, conviene usar una superficie esférica. Se tiene:
2
2
π
η 0 I 02  L  2π π sen 2 θ 2
η 0 I 02  L 
3
ˆ
r sen θ dθ dφ =
< P > = ∫ < N > •n dS =
  2π ∫ sen θ dθ
  ∫∫
2
8 λ 0 0 r
8 λ
0
S
< P >=
y entonces:
π η 0 I 02
3
 L
 
λ 
2
Se observa que la potencia media radiada depende del cuadrado de la corriente pico y de la relación (L/λ)2. Como para el dipolo elemental esta relación es muy pequeña, la potencia emitida por
el dipolo radiante eléctrico también lo es.
Podemos calcular los otros parámetros vinculados con la radiación:
2
1 2
2π  L 
π η0 I 02  L 
< P >=
η0  
  = I 0 Rr ⇒ Rr =
3 λ
2
3 λ 
•
Resistencia de radiación:
•
Ancho de haz de potencia media:
•
Area de haz y eficiencia del haz principal:
2
sen 2 θ = 1/ 2 ⇒ θ1, 2 = ±π / 4 ⇒ ∆θ = π/2 = 90o
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ΩA =
∫
4π
< Nr >
dΩ =
< N r > max
∫
2π
sen 2 θ dΩ =
4π
D = 4π / Ω A = 3 / 2
•
Directividad:
•
Abertura efectiva máxima:
Ae m =
π
∫ dϕ ∫ sen 3 θ dθ = 3 π
0
8
10-12
εM =
0
η0 L2 3λ2
=
4 Rr
8π
ΩM
=1
ΩA
(se verifica D = 4πAe m / λ2 )
Ejemplo 10.3: Un dipolo eléctrico radiante de 1 cm de longitud alimentado por una corriente
pico de 1 A y frecuencia 10 MHz. Halle la potencia radiada y la resistencia de radiación
A 10 MHz la longitud de onda es
λ = c/ f
usar las aproximaciones de dipolo elemental.
La potencia radiada es:
La resistencia de radiación es:
≈ 30 m >> L = 1cm
< P >= π 3 η0 I 02 (L λ ) ≈ 44 µW
2
de modo que podemos
que es muy baja.
Rr = 2π η0 3 (L λ ) ≈ 2.3 × 10− 7 η0 ≈ 8.77 × 10− 5 Ω
2
también muy baja
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10-13
Radiación dipolar magnética
Para el espacio vacío, las ecuaciones de Maxwell donde figura el rotor de los campos son simé∂H(r, t )
∂E(r, t )
tricas:
∇ × E(r, t ) + µ 0
=0
∇ × H( r , t ) − ε 0
=0
∂t
∂t
Nada cambia si reemplazamos E por H y µ0 por ε0 en la ley de Faraday, H por (-E) y ε0 por µ0
en la de Maxwell-Ampère. Esta propiedad se conoce como dualidad, y lleva a que podamos
expresar la solución de un problema con una fuente magnética a partir de la solución para un
problema similar con una fuente eléctrica.
Para usar esta propiedad expresamos los campos de la radiación por un dipolo eléctrico corto, no
en términos de la corriente que circula por el elemento sino a través de su momento dipolar
eléctrico, que podemos calcular a partir de la ecuación de continuidad aplicada dentro del elemento conductor. Para variaciones armónicas:
∇ • j + ∂ρ / ∂t = 0 ⇒ ∇ • j + iωρ = 0
Integramos sobre un volumen V que encierre un solo extremo del elemento:
∫ (∇ • j + iωρ ) dV = 0 ⇒ ∫ ∇ • j dV = iω ∫ ρ dV ⇒ ∫ j • nˆ dS = iω ∫ ρ dV
S
V
V
V
S
V
V
de donde: I 0 = iω q . En esta ecuación q es la carga acumulada en el extremo del
elemento. Debido a la pequeña longitud del elemento no habrá carga acumulada
en su interior, aunque un razonamiento similar nos demuestra que hay una carga
I0
acumulada (-q) en el otro extremo del elemento. Podemos pensar así al elemento
de corriente como un dipolo, cuyo momento dipolar será: p = qL = I 0 L iω
A partir de este resultado podemos expresar los campos y otras características del dipolo eléctrico corto radiante en términos de este momento dipolar eléctrico4:
En la magnetostática se define el momento dipolar magnético de una espira como m = IS nˆ ,
donde I es la corriente que circula por la espira, S su área y n̂ la normal. El campo magnético
creado por este dipolo magnético tiene la misma forma matemática que el campo eléctrico creado por el dipolo eléctrico en la electrostática. En la electrodinámica podemos, utilizando la propiedad de dualidad, escribir los campos creados por un dipolo magnético radiante por el que circula una corriente armónica. Para ello usamos las siguientes relaciones duales:
Dipolo eléctrico radiante
Momento dipolar eléctrico
Campo E, µ0
Campo H, ε0
p = ( I 0 L iω )zˆ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Dipolo magnético radiante
Momento dipolar magnético
Campo H, ε0
Campo (-E) , µ0
m = IS zˆ
de donde:
iω p
H φ (r, t ) =
1

e i (ω t − kr )  i k +  senθ

r
4π r
E r (r , t ) =
1

e i (ω t − kr )  i k +  cos θ
r
2π ε 0 r

E θ (r , t ) = −
4
⇒
p
2
⇒
E φ (r , t ) = −
H r (r , t ) =
iω µ 0 m

1
e i (ω t − kr )  i k +  senθ
r
4π r


1
e i ( ω t − kr )  i k +  cos θ
r
2π r

m
2
ik
m i (ω t − kr )  2 ik
1 
1 

e i (ω t − kr )  k 2 − −
H θ (r , t ) = −
e
 sen θ
k − −
 sen θ
2
⇒


r r 
r r2 
4π ε 0 r
4π r
p
En realidad, en la deducción original de los campos radiados por este elemento realizada por Hertz consideró efectivamente un dipolo (dos cargas eléctricas) cuya carga depende del tiempo, de donde surge el nombre de este radiador.
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10-14
Y los campos de radiación del dipolo magnético radiante quedan entonces
E rad (r, t ) =
η0 k 2 m
4π r
e i (ω t − kr ) senθ φˆ
H rad ( r , t ) = −
k 2m
4π r
e i ( ω t − kr ) sen θ θˆ
Los campos de radiación son normales entre sí y a la dirección radial de propagación, y se hallan
en relación de dualidad respecto de los campos radiados por el dipolo eléctrico corto. El vector
medio de Poynting es:
 k 4η 0 I 02 S 2
k 2 I 0 S −i (ω t − kr )
1
1 η k 2 I S
< N > = Re(E × H * ) = − Re 0 0 e i (ω t −kr ) senθ φˆ ×
e
senθ θˆ  =
sen 2θ rˆ
2 2


2
2  4π r
4π r
 32 π r
El diagrama de radiación es el mismo que para el dipolo eléctrico corto. La potencia radiada es:
k 4η0 I 02 S 2 π
4 2 2 S2
3
< P > = ∫ r < N r > dS = 2π
sen θ dθ = π η0 I 0 4
32π 2 ∫0
3
λ
S
A partir de estas expresiones se pueden calcular los otros parámetros de la antena dipolar magnética.
2
< P >=
•
Resistencia de radiación:
•
Abertura efectiva máxima:
Ae m =
4 2 2 S2 1 2
8π 2η0 S 2
π η0 I 0 4 = I 0 Rr ⇒ Rr =
3
2
3λ4
λ
π 2η0 S 2 3λ2
=
8
λ2 Rr
El ancho de haz de potencia media, el área de haz y la eficiencia del haz principal y la directividad coinciden con las expresiones del dipolo eléctrivo corto.
Es interesante comparar las potencias radiadas por las dos antenas elementales en similares condiciones. Tomamos el mismo valor de I0, frecuencia y tamaño equivalente con: S = L2:
(
)
2
4π S
π 2η0 I 02 S λ 2
= 2 << 1
1 π η I 2 ( L λ )2
λ
3
0 0
para dipolos pequeños frente a la longitud de onda. Por lo tanto, el dipolo magnético radiante es
aún menos eficiente que el dipolo eléctrico de dimensiones similares.
< PM >
=
< PE >
4
3
Radiador isotrópico
Se ve que la radiación emitida por el dipolo eléctrico corto es anisótropa, es decir, depende de la
dirección en el espacio. En análisis teóricos es conveniente disponer de un radiador (ideal) que
emita en forma isótropa. Este radiador isótropo o isotrópico se puede describir mediante los
campos y densidad de potencia:
radiador isotrópico
Eθ = A
ei (ωt − kr )
r
Hφ =
Eθ
η0
< Nr > =
A2
⇒ f (θ , φ ) = 1
2η0 r 2
que representan una onda esférica elemental.
Por otra parte, estas expresiones coinciden con las correspondientes a los campos del dipolo eléctrico elemental sin tener en cuenta la variación con θ.
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10-15
Radiador fuera del origen
z
r
θ
x
φ
z
r
θ
Los campos de un radiador situado en el origen de coordenadas pueden describirse por ondas esféricas elementales, modulada por un
factor de anisotropía debido a la geometría del radiador y la distribue i (ωt − kr )
ción de corriente dentro del radiador:
F (r ) = f (θ , φ )
r
y En la figura se muestra esta geometría. Si se corre el origen de coordenadas, de modo que el radiador pase a la posición r’, la expresión
de los campos debe modificarse a:
e i (ωt − kR )
F (r ) = f (θ ′, φ ′)
donde
R = R = r − r′
R
θ’ y φ’ son los ángulos esféricos en el sistema coordenado
centrado en el radiador. Para distancias lejanas ( r >> r ′ )el
triángulo formado por los vectores r, r’ y R es muy delgado.
R
θ'
Por el teorema del coseno y desarrollando en serie de Taylor a
primer orden:
R = r 2 + r ′ 2 − 2r ′ • r ≈ r − r ′ • rˆ
y Podemos aproximar a orden cero en la amplitud del campo
φ’
(el denominador de la expresión anterior), pero debemos
x
mantener orden uno en la fase, ya que en general usamos la
φ
descripción del radiador fuera del origen de coordenadas para
analizar la superposición coherente de los campos radiados por un conjunto de radiadores, y es el
término de fase el que introduce el fenómeno de interferencia. Por otra parte, los ángulos esféricos tienden a sus valores respecto del sistema coordenado original: θ’→ θ y φ’ → φ.
r’
Aproximamos así:
F (r ) ≈ f (θ , φ )
e i (ωt − kr )
e − ikr ′•&r& = f (θ , φ )
r
ya que k = k rˆ ⇒ kR ≈ k ( r − r ′ • rˆ ) = kr − k • r ′ . En resumen:
e i (ωt − kr )
r
e ik •r ′
En la superposición de campos emitidos por radiadores elementales,
los campos de radiación lejanos habitualmente pueden calcularse:
• aproximando la amplitud a orden cero:
1/ R ≈ 1/ r
• aproximando la fase a orden uno:
kR ≈ kr − k • r′
• suponiendo paralelos los campos emitidos
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10-16
Dipolo eléctrico largo
z
L/2
θ′
R
dl´
r´
r
θ
ρ
0
-L/2
El dipolo eléctrico corto es un sistema ideal, ya que la corriente
no puede ser constante sobre toda su extensión, porque debe
anularse en los extremos. En el caso de una antena dipolar de
longitud L cualquiera podemos anular la corriente en los extremos abiertos, pero entonces debemos admitir que la corriente varía a lo largo de la antena. Se observa experimentalmente
que en muchos casos de interés la distribución de corriente a lo
largo de la antena se puede expresar aproximadamente como:
 2π  L

I ( z , t ) = I 0 sen   − z  e iωt

 λ 2
Para calcular los campos emitidos por el dipolo largo podemos
repetir el procedimiento realizado con el dipolo corto o podemos pensar que la antena está formada por una sucesión de
dipolos eléctricos cortos de longitud dl´, cada uno de los cuales
emitirá un campo de radiación:
iη
i I ( z, t ) k 2 −ikR
dEθ =
e sen θ ′ dl ′ = 0 I ( z, t )e −ikR sen θ ′ dl ′
4 π ε 0ω R
2 λR
dH φ =
En estas ecuaciones:
dEθ
η0
R = r − r ′ = ρ 2 + ( z − z ′) 2
y θ′ es el ángulo formado entre R y el eje z.
Como la relación de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos elementos radiantes
es fija, dada por la expresión de la distribución de corriente sobre la antena, los radiadores emiten en coherencia de fase, y se suman los campos.
Eθ =
L/2
 2π
iη0 I 0 iωt
e ∫ sen 
2λ
λ
−L / 2
− ikR
L
 e
′
−
z
sen θ ′ dz′


2
 R
Hφ =
Eθ
η0
Para distancias muy alejadas ( r >> L ) aproximamos el campo generado por cada elemento como
se ha explicado en la sección precedente y tenemos:
e − ikR e − i ( kr − k • rˆ ′) e − ikr ikrˆ • z ′zˆ e − ikr ikz ′ cos ϑ
≈
=
e
=
e
R
r
r
r
L/2
iη 0 I 0 i (ωt − kr )
 kL

Luego:
Eθ ≈
e
sen θ ∫ sen  − k z ′  e ik cos θ z ′ dz ′
2λ r
 2

−L / 2
En el APENDICE 8 se calcula esta integral:
L/2
  kL
2
kL 
 kL


sen  − k z′  eik cos θ z ′ dz′ =
cos  cos θ  − cos 

2
∫
2
k sen θ   2
 2


−L / 2
con lo que tenemos:
Eθ ≈
iη0 I 0
kL 
  kL

ei (ω t −kr ) cos  cos θ  − cos 
2π r sen θ
2

  2
Hφ ≈
Eθ
η0
Podemos reescribir esta expresión como el producto entre el campo generado por un único dipolo “corto” de longitud L y otro factor:
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Eθ ≈
10-17
  kL
iη0 I 0
kL 

ei (ωt − kr ) cos  cosθ  − cos 
2π r senθ
2

  2

 iη I L
  kL
λ
kL  

cos  cosθ  − cos  
=  0 0 ei (ωt − kr ) senθ  

2
2 

  πL sen θ   2
 2λ r
iη I L
donde el primer factor Eθd (r , θ ) = 0 0 e i (ωt − kr ) sen θ
es el campo que generaría un único
2λ r
F ( L, θ ) =
dipolo “corto” de longitud L y
  kL
kL 

cos cos θ  − cos 

2

( kL / 2) sen 2 θ   2
1
es un factor de interferencia que depende de la dirección en el espacio (como en toda interferencia) y también de la longitud del dipolo. Este factor de interferencia surge de la superposición
coherente de dipolos elementales que se ha usado en el cálculo del campo radiado.
El diagrama de radiación generado por el dipolo largo es:
2
2
E *  Eθ
1
1 
1
< N r > = Re Eθ × H φ* = Re Eθ × θ  =
=
Eθd (r , θ ) F 2 ( L, θ )
2
2 
η 0  2η 0
2η 0
(
)


2
 Eθd (r , θ )
  F 2 ( L, θ ) 


f (θ , φ ) = 2
=
2
2


d
 E (r , θ )
  F ( L, θ )
r < Nr >
max
max 
θ

max 

y se observa que se cumple la llamada regla de multiplicación de diagramas: el diagrama de
radiación total se puede expresar como el producto del diagrama de radiación de cada elemento
en que se divide el sistema radiante y el diagrama de radiación que surge de la interferencia entre
los radiadores elementales independientemente de sus características individuales. Realizando
las cuentas:
r 2 < Nr >
f (θ ,φ ) =
r 2 < Nr >
r 2 < Nr >
  πL

 πL 
cos 
cos θ  − cos 

2 
η I
 λ

 λ 
r 2 < N r > = 0 20 
8π
sen 2 θ
pero:
max
2
el máximo de esta densidad de potencia depende de una forma trascendente de la relación L / λ .
Para hallar el máximo, graficamos la siguiente expresión en función de θ para distintos valores
  πL

 πL 
de L/λ: g (θ ) = cos cosθ  − cos 

 λ 
 λ
2
sen 2 θ
L/λ
λ fmax θ (grados)
1/2 1.0 90
4.0 90
1
3/2 1.96 42.6, 137.4
11.6 35,145
5
Diagrama logarítmico
normalizado (en dB)
A la derecha se da el diagrama de radiación logarítmico (en dB) normalizado para las distintos
valores de de L/λ. Observamos el reposicionamiento y modificación del valor de los máximos
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10-18
principales con la longitud de la antena. Se ve que aumenta la intensidad de los máximos con la
relación L/λ y aparecen lóbulos secundarios en distintas direcciones.
En las figuras se presenta el diagrama de radiación polar normalizado5 lineal que pueden compararse con los diagramas lineales de la página previa:
θ
0
0
0
30
30
60
θ
30
30
60
60
120
120
150
150
60
90
90 90
120
120
120
120
150
150
150
150
180
180
180
L/λ = 1/2
30
60
60
90 90
90
θ
30
L/λ = 3/2
L/λ = 5
Finalmente, podemos calcular la potencia radiada por el dipolo largo:
2
  πL
 πL  

cos θ  − cos

2 π  cos
η0 I 0   λ
λ  


dθ
< P > = ∫ < N r > dS = 2π
8π 2 ∫0
sen θ
S
Esta expresión se puede calcular6 en términos del llamado coseno integral:
x
1 − cos t
dt
Cin ( x ) = ∫
t
0
Definimos n = 2L / λ (número de semilongitudes de onda que entran en la longitud de la antena)
n impar
η I 2  Cin(2nπ )
y entonces:
< P >= 0 0 
n par
8π [4Cin(nπ ) − Cin(2nπ )]
o, en función de la resistencia de radiación:
< P >=
η Cin(2nπ )
I 02 Rr
⇒ Rr = 0 
2
4π [4Cin(nπ ) − Cin(2nπ )]
y la abertura efectiva máxima:
Ae =
η0 L2
n impar
n par
πL2 / Cin(2nπ )
= 2
4 Rr πL /[4Cin( nπ ) − Cin( 2nπ )]
n impar
n par
5
En diagramas no normalizados los máximos crecen rápidamente con la longitud de la antena, de acuerdo a los
valores de la gráfica de la página previa.
6
M.Bisceglia, E.Zubcov, J.C.Fernandez, “Curso de electromagnetismo”,Ed. Nueva Librería (1982), p.347.
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Electromagnetismo 2004
10-19
Ejemplo 10.4: Calcular la resistencia de radiación para dipolos eléctricos radiantes de nλ/2,
con n =1, 10.
Calculamos de tablas o mediante series los cosenos integrales7 para obtener:
n
1
2
3
4
5
Rr
0.194 η0 = 73.08Ω
0.528 η0 = 198.95Ω
0.279 η0 = 105.42Ω
0.689 η0 = 259.46Ω
0.320 η0 = 120.68Ω
Comentarios
n
dipolo de media onda
6
dipolo de onda completa 7
8
9
10
Rr
0.785 η0 = 295.55Ω
0.347 η0 = 130.76Ω
0.853 η0 = 321.29Ω
0.367 η0 = 138.28Ω
0.906 η0 = 341.29Ω
Se observa que la resistencia de radiación aumenta, tendiendo a η0 con la longitud del dipolo y es mayor para antenas de longitud múltiplo de onda completa. Este comportamiento está relacionado con la forma y tamaño de los lóbulos de radiación de las figuras previas,
donde se ve cómo aumenta la radiación emitida con el tamaño de la antena.
La antena dipolar eléctrica o dipolo largo, es una antena resonante porque en el caso ideal de
pérdidas nulas se forma sobre ella una onda estacionaria de corriente con nodos en los extremos
abiertos. Por lo tanto la longitud de la antena debe ser un número entero de semilongitudes de
onda para satisfacer esta condición. De esta forma se ve que sólo se puede excitar un conjunto
discreto de frecuencias de resonancia. Si se alimenta a la antena con una frecuencia no "permitida", habrá una fuerte reflexión a la entrada de la antena, que se comporta en forma similar a una
línea resonante. Por lo tanto la antena dipolar eléctrica es una antena de banda angosta alrededor
de la/s frecuencia/s de resonancia. Este resultado es para un alambre de sección despreciable.
Puede demostrarse que el ancho de banda de una antena dipolar eléctrica aumenta si se usan
alambres de mayor sección.
En muchas ocasiones el “dipolo” tiene una sola rama a la que se conecta el generador, cuya otra conexión se hace a tierra. La otra rama
se puede considerar como la imagen en tierra de la rama verdadera.
Así, una rama de L = λ/4 produce un “dipolo” de λ/2. Esta disposición se conoce como antena látigo y es muy usada (automóviles, teléfonos celulares, etc.). Para que este sistema sea eficiente la tierra debe acercarse al comportamiento de plano conductor perfecto, de manera que debe ser de alta conductividad y extenderse varias veces λ/4
alrededor de la posición del látigo.
En general, la mayoría de las antenas se diseñan y construyen sobre tierra, y el método de imágenes se usa extensivamente. Sin embargo, en la realidad la tierra no es un conductor perfecto, ni
siquiera en casos un buen conductor. A partir de las investigaciones pioneras de Sommerfeld a
principios del siglo XX, la radiación de un dipolo eléctrico sobre un plano terrestre de conductividad finita se puede describir convenientemente como la superposición de una onda espacial,
cuyos campos decaen como 1/r (los típicos campos de radiación que hemos ya encontrado) y una
onda de superficie cuyos campos decaen como 1/r2, de forma que estos términos dejan de tener
importancia en la radiación lejana. Sin embargo, la presencia de conductividad finita altera los
diagramas de radiación, de manera que los lóbulos que se dan para el plano horizontal θ = π/2
giran sus máximos a un cierto ángulo de elevación, y la potencia emitida rasante al suelo se ve
reducida respecto al caso ideal.
En la figura8 se muestra la influencia en el diagrama de radiación de una antena dipolar vertical
de 10m de longitud colocada a λ/2 por encima de tierra, con suelos de distinta conductividad,
7
En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.
Esta figura está tomada de “A ground is just a ground – unless it is a model of a ground”, L.B.CebikW4RNL,
http://www.cebik.com/modelling.html.
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8
Electromagnetismo 2004
10-20
modelizado con el programa EZNEC/4. Se
observa primero que el
caso de tierra de conductor perfecto los lóbulos, que tienen su
máximo sobre el plano
horizontal, se mueven
hacia arriba. La caída
de la conductividad del
suelo disminuye el valor del máximo de radiación y convierte el cero en un máximo secundario (Nótese que la escala
es logarítmica, en dB).
Antenas de onda viajera
El dipolo eléctrico largo que hemos analizado es una antena resonante, porque las distribuciones
de corriente y tensión a lo largo de la misma son ondas estacionarias. Podemos analizar esta antena como una línea de transmisión de impedancia característica variable y abierta en el extremo.
Sin embargo, es posible construir antenas donde la onda de corriente es una onda viajera que se
propaga a lo largo de ella. Por ejemplo, consideremos un conductor recto de longitud L donde la
corriente está definida por la onda progresiva:
I ( z , t ) = I 0 e i (ωt − kz )
z
El campo eléctrico radiado por cada elemento dz´ de la antena será,
L
como en el caso del dipolo largo:
iη
i I ( z , t ) k 2 −ikR
dEθ =
e
sen θ ′ dl ′ = 0 I ( z , t )e − ikR sen θ ′ dl ′
4 π ε 0ω R
2λR
R
y aproximando de la misma manera que en ese caso:
r
L
r´
iη I
Eθ ≅ 0 0 e i (ωt − kr ) sen θ ∫ e − ikz ′ e ik cos θ z ′ dz ′
O
2λr
0
La integral es inmediata y obtenemos:
iη I
e ikL (cos θ −1) − 1 η 0 I 0 i (ωt − kr ) sen θ
Eθ ≅ 0 0 e i (ωt − kr ) sen θ
e
e ikL (cos θ −1) − 1
=
2λ r
ik (cosθ − 1) 4πr
1 − cosθ
[
y finalmente:
Eθ ≅ −
η 0 I 0 i (ωt − kr )
e
e
2πr
L
ik (cos θ −1)
2

 L
sen k (1 − cos θ )  sen θ

 2
1 − cos θ
]
Hφ =
Eθ
η0
El diagrama de radiación (no normalizado) será:


2 L
2 L
(1 − cosθ ) sen 2 θ
(1 − cosθ )
2 sen  k
2 sen π
I
I
η
η
2
 2

 λ

r 2 < N r > = r 2 Eθ 2η 0 ≅ 0 20
= 0 20
8π
(1 − cosθ )2
8π
tan 2 (θ / 2)
En la figura se muestran cuatro casos. Obsérvese que los máximos se hallan orientados hacia el
sentido de propagación de la onda viajera (+z). El valor de los máximos crece con la longitud de
la antena en forma similar a la de la antena resonante. Podemos calcular la potencia total radiada
por esta antena:
π
ηI
8π
0
< P > = ∫ r 2 < Nr > dΩ = 2π ∫
4π
2
0 0
2
 3
2 L
sen k (1 − cosθ ) sen θ

 2
dθ
2
(1 − cosθ )
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Electromagnetismo 2004
z
Esta integral vale9:
L=λ/2
L=λ
L=3/2λ
L=5λ
< P >=
η0 I 20
4π
10-21
sen(4πL / λ) 

1.1415+ ln(2L / λ ) − Ci(4πL / λ ) + 4πL / λ 
∞
cos t
dt = ln( x) + γ − Cin( x) es otra vat
x
riante del coseno integral. La constante γ ≈ 0.577216 es
llamada constante de Euler.
donde Ci ( x) = − ∫
De aquí la resistencia de radiación resulta:
Rr =
η0
2π
sen( 4πL / λ ) 

1.1415 + ln (2 L / λ ) − Ci (4πL / λ ) + 4πL / λ 


y la abertura efectiva máxima:
η0 L2
πL2 / 2
Ae =
=
sen(4πL / λ ) 
4 Rr

1.1415 + ln (2 L / λ ) − Ci (4πL / λ ) + 4πL / λ 


Ejemplo 10.5: Calcular Rr para antenas de onda viajera de nλ/2, con n =1, 10.
La expresión a usar es:
Rr =
η0
2π
sen(2nπ ) 

1.1415 + ln (n ) − Ci (2nπ ) + 2nπ 


Calculamos de tablas o mediante series10 los cosenos integrales para obtener:
n
1
2
3
4
5
Rr
0.185 η0 = 69.80Ω
0.293 η0 = 110.37Ω
0.357 η0 = 134.48Ω
0.403 η0 = 151.66Ω
0.438 η0 = 165.00Ω
n
6
7
8
9
10
Rr
0.467 η0 = 175.92Ω
0.491 η0 = 185.15Ω
0.513 η0 = 193.15Ω
0.531 η0 = 200.20Ω
0.548 η0 = 206.52Ω
Se observa que la resistencia de radiación aumenta en forma monótona, tendiendo a η0 con
la longitud de la antena. Salvo para n = 1, los valores para n impar son mayores y los valores para n par menores que los de la antena resonante de igual longitud.
Las antenas de onda viajera se pueden combinar para construir antenas V o antenas rómbicas,
disposiciones cuyas características de radiación se pueden describir en función de las halladas.
Como además la longitud de onda de la onda viajera no tiene que cumplir ninguna condición en
los extremos de la antena, como en el caso de las antenas resonantes, no hay condición sobre la
frecuencia de la corriente alimentadora y estas antenas son antenas de banda ancha, a diferencia de las antenas resonantes que son de banda angosta.
9
J.A.Stratton, "Electromagnetic Theory", Mc-Graw Hill, New York, (1941), p.445.
En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.
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10
Electromagnetismo 2004
10-22
Redes o arreglos de radiadores
Las antenas individuales dan diagramas de radiación que no siempre satisfacen las necesidades.
Es posible modificar el diagrama de radiación usando múltiples radiadores, causando interferencia entre los campos emitidos por cada uno. Para ello es necesario que los radiadores emitan
en forma coherente, es decir, que haya una correlación de fase entre los campos, lo que se logra
habitualmente estableciendo una correlación de fase entre las corrientes alimentadoras de los
radiadores.
Estas disposiciones se conocen como redes o arreglos de radiadores, y la mayoría de las antenas
de uso actual se basa en ellas.
z
Analicemos el caso más simple que consiste en un par de radiadores isotrópicos separados una distancia d. Como la recta que une ambos radiadores es un eje de simetría de revolución del sistema, tomamos un sistema de referencia centrado en el par, con los radiadores sobre el eje z, de
forma que los campos no dependan de φ. Suponemos además que las
corrientes alimentadoras son de igual amplitud pero que puede haber un
desfasaje ψ entre ellas. El campo emitido por el par de dipolos es, por
superposición coherente para distancias lejanas:
r1
d/2
r
θ
x
r2
φ
0
 e − ikr1 e − ikr2 iψ 
Eθ ≅ E0eiωt 
+
e 
r1
r2


-d/2
donde r1 y r2 son las distancias desde cada radiador al punto de observación. Hemos adjudicado al segundo dipolo el desfasaje de las corrientes.
d
− ikr
e 1, 2 e − ikr ik•r1′, 2 e − ikr ±ik 2 cosθ
≈
e
=
e
Para puntos lejanos (r >> d):
y tenemos:
r1, 2
r
r
d
− ik cos θ
 ik d2 cos θ
e
e iψ
+e 2


ψ
2 E 0 i (ωt − kr + 2 )
ψ
 d
e
cos  π cos θ − 
=
r
2
 λ
El vector medio de Poynting es:
E
Eθ ≈ 0 e i (ωt − kr )
r
< Nr > =
E0
2
2η0
≅4
 E 0 i (ωt − kr +ψ2 )
=
e

r

ψ
d
− i ( k cos θ − ) 
 i ( k d2 cos θ −ψ2 )
2
2 
e
+e




2
ψ
ψ
 d
 d
cos2 π cosθ −  = < N r > max F (θ ,ψ ) ⇒ F (θ ,ψ ) ≅ cos2  π cosθ −  qu
2η0r
2
2
 λ
 λ
E0
2
e es un factor de interferencia entre los dos radiadores, que tienen diagramas individuales esféricos. Este factor depende de θ y ψ y en las siguientes figuras se grafica para diversas relaciones
d /λ y desfasajes ψ.
0
30
θ
0
30
60
30
90
120
120
150
150
180
d/λ = 1/5
30
60
60
90
θ
30
90
120
120
150
150
30
60
60
90
0
θ
60
90
90
120
120
150
150
180
ψ=0
d/λ = 1/2
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180
d/λ = 1
Electromagnetismo 2004
ψ=0
d/λ = 1/2
d/λ = 1/5
0
30
d/λ = 1
0
θ
30
60
90
120
60
90
90
120
120
120
120
150
150
150
150
180
180
ψ = π/4
d/λ = 1/2
d/λ = 1/5
0
d/λ = 1
0
0
θ
30
60
30
90
90
120
120
150
150
180
θ
30
60
60
30
90
90
120
120
150
150
θ
30
60
60
60
90
90
120
120
150
150
180
d/λ = 1/5
30
60
90
90
180
θ
30
60
150
150
30
60
90
120
0
θ
30
60
30
10-23
ψ = π/2
d/λ = 1/2
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180
d/λ = 1
Electromagnetismo 2004
0
θ
30
0
30
60
120
0
30
60
90
90
60
120
60
90
90
120
120
150
150
180
150
150
180
180
ψ=π
d/λ = 1/2
d/λ = 1/5
30
60
90
120
θ
30
90
150
150
θ
30
60
120
10-24
d/λ = 1
Se observa la influencia que tiene la separación y el desfasaje en el diagrama de interferencia de
los dos radiadores. En los diagramas siguientes, para d = 5λ se ve la complejidad de los diagramas obtenidos aún con sistemas muy simples.
0
0
θ
30
30
60
60
120
120
150
150
180
r1
d/2
r
θ
r2
φ
-d/2
60
120
120
150
150
x
ψ = π/2
30
60
90
90
θ
30
60
90
90
120
120
150
150
180
ψ=0
z
0
30
60
90
90
θ
30
180
ψ=π
Consideramos ahora la misma configuración pero reemplazamos los radiadores isotrópicos con dipolos eléctricos cortos paralelos al eje z. Repetimos
el cálculo del campo radiado y el diagrama de radiación para obtener:
d
− ik cos θ

 ik d cos θ
E
Eθ ≈ 0 e i (ωt − kr ) sen θ  e 2
+ e 2 e iψ 
r


2 E 0 i (ωt − kr +ψ2 )
ψ
 d
sen θ cos  π cos θ − 
e
=
2
r
 λ
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Electromagnetismo 2004
10-25
y el vector medio de Poynting es:
 E0 2

ψ
 d
2
sen
θ
< Nr >=
≅ 4
 cos 2  π cos θ − 
2
2η 0
2
 λ
 2η 0 r

= 4< N r > dip F (θ , φ ,ψ )
E0
2
que es un nuevo ejemplo de la:
Regla de multiplicación de diagramas
El diagrama de radiación del conjunto es el producto del diagrama de
radiación del elemento base por un diagrama de interferencia
La anisotropía en el diagrama de radiación introducida por el elemento base se ve así multiplicada por la anisotropía introducida por el factor de interferencia, que depende de la dirección del
espacio y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras de los elementos. Este resultado es totalmente general y se aplica cualquiera sea el elemento base (siempre que el arreglo sea de elementos idénticos).
En la siguiente figura se grafica el diagrama dipolar, el factor de interferencia y su producto para
d = λ , ψ = π/2.
X
d=λ
=
ψ = π/2
Redes lineales
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan situados sobre una línea recta. Esta es
una red lineal.
Analizamos primero una red vertical. Asumiremos que se trata de radiadoz
res isotrópicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia.
rn
Colocamos el sistema de coordenadas de manera que la posición del n-ésimo
radiador de la fila sea: ri′ = ( n − 1) d zˆ . El campo creado por el conjunto es:
e − ikRn
con
Rn = r − rn′
Rn
n =1
d θ
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n
y fase ψn. Para puntos lejanos podemos aproximar como en la sección anterior, a orden uno en la fase: Rn = r − rn′ ≅ r − (n − 1)d cos θ y a orden cero
en la amplitud, para obtener:
N
N −1
1
1
Eθ (r, t ) ≅ e i (ωt − kr ) ∑ E 0 n e i [( n −1) kd cos θ +ψ n ] = e i (ωt − kr ) ∑ E 0 n e i [nkd cos θ +ψ n ] con E 00 = 1,ψ 0 = 0 .
r
r
n =1
n =0
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Entonces podemos tomar
E 0 n = E 0 = cte y ψ n = cte = 0 ∀n .
La suma se convierte en una serie geométrica, ya que cada término es igual al precedente multiN
r
Eθ (r, t ) = ∑ E0 n ei (ωt +ψ n )
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Electromagnetismo 2004
10-26
plicado por el factor constante e ikd cos θ :
N −1
E
E
1 − e iNkd cosθ
Eθ (r, t ) ≅ 0 e i (ωt − kr ) ∑ e inkd cosθ = 0 e i (ωt − kr )
r
r
1 − e ikd cosθ
n =0
=
=
E0
e
r
1
i ( N −1) kd cosθ
i (ωt − kr ) 2
E0
e
r
1
i ( N −1) kd cosθ
i (ωt − kr ) 2
e
e
1
−i Nkd cosθ
2
e
e
1
−i kd cosθ
2
−e
−e
1
i Nkd cosθ
2
1
i kd cosθ
2
 Nkd

sen 
cos θ 
 2

 kd

sen  cos θ 
 2

y el diagrama de interferencia será proporcional a:
d


2  Nkd
2
cos θ 
cos θ 
2
2 sen 
2 sen  Nπ
Eθ
E0
λ
 2
 = E0


r 2 < N r >= r 2
≅
2η 0
2η 0
2η 0
 kd

 d

sen 2  cos θ 
sen 2  π cos θ 
 2

 λ

2
2
que es función del tipo sen ( Nβ ) / sen ( β ) . Esta función tiene el máximo principal para
β =π
d
λ
2
cos θ = nπ , que vale: N E0 / (2η0 ) de donde el diagrama de radiación es:
2
f (ϑ , φ ) =
r2 < Nr >
r2 < Nr >
max
d


sen 2  Nπ cos θ 
λ


=
 d

N 2 sen 2  π cos θ 
 λ

Graficamos la expresión no normalizada en función de β para varios valores
de N: Los máximos principales se dan
para β = nπ, con n entero (n = 0,1,2…).
Como β = π (d / λ ) cos θ , la condición n
= 0, β = 0 lleva a cos θ = 0 , que implica un máximo sobre el plano horizontal
θ=π/2. Este máximo siempre existe,
aunque no siempre es el máximo
principal. Por este motivo, estos arreglos con corrientes alimentadoras en
fase se conocen como formaciones laterales (broadside arrays).
N=5
N = 10
N = 25
λ
d
λ
Como cos θ ≤ 1 , esta condición se cumple solamente para d ≥ λ. En tal caso, aparecen otros
máximos principales en direcciones no laterales.
En las figuras siguientes se muestran los diagramas de campo de interferencia para N = 6 y distintas relaciones d/λ. Se observa que el ancho del lóbulo principal disminuye a medida que aumenta d/λ cuando d < λ , y que aparecen otros lóbulos para d ≥ λ.
Para n > 0 tenemos que:
π
d
cos θ = nπ ⇒ cos θ = n
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Electromagnetismo 2004
0
30
30
60
90
90
120
120
30
120
d/λ = 0.05
0
60
90
90
120
120
150
150
180
30
60
90
120
θ
30
60
90
150
150
θ
60
60
30
0
0
θ
30
10-27
150
150
180
180
d/λ = 0.25
d/λ = 0.5
0
θ
30
60
30
90
120
120
120
60
90
90
120
120
150
150
30
60
90
120
θ
30
60
90
150
150
30
60
60
90
0
θ
150
150
180
180
180
d/λ = 1
d/λ = 2
d/λ = 5
Consideremos ahora que mantenemos los campos de igual amplitud pero con fases variables.
Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador.
Sólo podemos obtener una serie geométrica si la fase crece linealmente con la posición del dipolo en el arreglo, o sea si:
⇒ ψ n − ψ n−1 = δ . En tal caso:
ψ n = nδ
Eθ (r , t ) ≅
=
E 0 i (ωt − kr ) N −1 in ( kd cosθ +δ ) E 0 i (ωt − kr ) 1 − e iN ( kd cosθ +δ )
=
e
e
e
∑
r
r
1 − e i ( kd cosθ +δ )
n =0
E 0 i (ωt − kr )
e
e
r
N
i [ kd cos θ +δ ]
2
  kd
δ 
sen  N  cos θ + 
2 
  2
δ
 kd
sen  cos θ + 
2
 2
y el diagrama de radiación es:
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Electromagnetismo 2004
r 2 < N r >= r 2
Eθ
2
2η 0
=
E0
2
2η 0
  kd
δ 
sen 2  N 
cos θ +  
2 
  2
⇒
kd
δ

2
sen 
cos θ + 
2
 2
10-28
  d
δ 
sen 2  N  π cos θ +  
2 
  λ
f (θ ) =
d
δ

N 2 sen 2  π cos θ + 
2
 λ
La presencia del desfasaje δ varía la posición de los máximos principales del diagrama de radiación. Como en el caso de desfasaje nulo, el máximo principal se da cuando:
β = 2π
d
λ
cosθ + δ = nπ .
Analizamos el caso β = 0. Como cos θ ≤ 1 se ve que el dominio de β es:
δ − 2π d λ ≤ β ≤ δ + 2π d λ
Entonces, para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de
β. Como δ puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades:
a) δ > 0. Existe β = 0 si δ − 2π d λ ≤ 0 ⇒ δ 2π ≤ d λ
b) δ < 0. Existe β = 0 si − δ + 2π d λ ≥ 0 ⇒
δ 2π ≤ d λ
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:
δ 2π ≤ d λ ⇒ (N-1 ) δ 2π ≤ (N-1 ) d λ ⇒ ∆ψ 2π ≤ L λ
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo
que se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:
β = 2π d λ cosθ M + δ = 0
⇒
cos θ M = −
δ λ
2π d
Como puede verse, θM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para θM =
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.
δ = 2π d λ
δ = −2π d λ
Por otra parte, si:
⇒
⇒
θM = π
θM = 0
y se tienen las llamadas formaciones de punta (endfire arrays), donde la máxima radiación se
da sobre la línea que contiene a los dipolos. Las siguientes gráficas muestran los diagramas de
campo de 6 radiadores en una formación de punta:
0
30
θ
0
30
60
30
90
120
120
θ
30
60
120
120
150
θ
d/λ = 0.5
0
30
30
60
120
120
150
180
θ
30
60
90
90
150
150
150
180
60
90
90
180
120
120
0
30
60
150
90
d/λ = 0.25
0
30
60
180
d/λ = 0.05
30
90
150
150
180
θ
60
60
90
150
150
30
90
120
120
30
60
60
90
0
θ
60
90
90
120
120
150
150
180
d/λ = 1
d/λ = 2
d/λ = 5
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Electromagnetismo 2004
10-29
Arreglos en fase (phased arrays)
El análisis de las formaciones laterales y de punta indica que introduciendo un desfasaje entre las
corrientes alimentadoras de un arreglo de radiadores se logra modificar la posición del máximo
principal. Podemos ver que el diagrama de radiación:
δ 
  d
sen 2  N  π cos θ +  
2 
sen (N β )
  λ
f (θ ) = 2
=
2
δ 
N sen (β )
 d
N 2 sen 2  π cos θ + 
2
 λ
2
que da el máximo principal para β = 0 si d < λ. Si tomamos: δ = −2π d λ cos θ 0 nos queda
β = 2π d λ (cos θ − cos θ 0 ) que se anula con θ = θ0. Variando θ0 con el tiempo se logra que el
máximo principal de radiación gire en el tiempo. Esta característica se usa, por ejemplo, en radares de aeropuertos donde es importante el seguimiento de los aviones. En las siguientes gráficas
se muestra el diagrama de radiación para un arreglo lineal de 5 elementos, separados en d =
0.4λ, para distintos ángulos θ0:
Se observa la relocación del máximo principal siguiendo el ángulo θ0, desde la formación de
punta, para θ0 = 0, hasta la formación lateral, para θ0 = 90 y luego se repite el comportamiento
en el otro hemisferio.
0
30
θ
0
30
60
30
90
90
90
120
150
30
60
90
60
90
90
120
120
150
150
150
150
180
180
θ0 = 90
0
60
30
90
120
120
150
θ
0
30
60
60
90
θ0 = 120
0
30
120
120
150
60
90
90
120
120
150
150
180
180
θ0 = 150
30
60
90
90
θ
30
60
150
30
60
120
120
θ0 = 60
θ0 = 135
0
θ
30
90
150
180
θ
60
180
150
θ0 = 45
30
90
120
120
θ
180
60
90
30
150
150
0
30
60
150
120
120
θ0 = 30
0
θ
90
180
θ0 = 0
30
60
90
150
150
180
30
60
60
120
θ
30
90
120
150
0
30
60
60
120
θ
θ0 = 180
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Electromagnetismo 2004
10-30
Redes horizontales
Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan sobre una línea
horizontal. Asumiremos nuevamente que se trata de radiadores isotrópicos
porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Ubicamos el sistema de coordenadas de forma que la posición del n-ésimo radiador de la
r
rn
fila es: ri′ = (n − 1) d xˆ .
x
El campo creado por el conjunto es:
θ
− ikRn
N
i (ωt +ψ n ) e
d
φ
con
Rn = r − rn′
Eθ (r, t ) = ∑ E0 n e
Rn
n =1
donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase ψn. Para
puntos lejanos
podemos aproximar nuevamente a orden uno en la fase:
Rn = r − rn′ ≅ r − (n − 1)d sen θ cos φ y a orden cero en la amplitud, para obtener:
z
N
1
E θ (r, t ) ≅ e i (ωt − kr ) ∑ E 0 n e i [( n −1) kd sen θ cos φ +ψ n ]
r
n =1
N −1
1 i (ωt − kr )
E0 n ei [nkd sen θ cos φ +ψ n ] con E00 = 1,ψ 0 = 0
= e
∑
r
n =0
Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Tomamos E 0 n = E 0 = cte y
∀n . La sumatoria constituye una serie geométrica, ya que cada término es
ψ n = cte = 0
igual a precedente multiplicado por un factor constante e ikd sen θ cos φ :
N −1
E
E
1 − e iNkd sen θ cos φ
Eθ (r, t ) ≅ 0 e i (ωt − kr ) ∑ e inkd sen θ cos φ = 0 e i (ωt − kr )
r
r
1 − e ikd sen θ cos φ
n =0
1
− i Nkd sen θ cos φ
1
i Nkd sen θ cos φ
E 0 i (ωt − kr ) i 12 ( N −1) kd sen θ cos φ e 2
−e 2
=
e
e
1
1
i kd sen θ cos φ
− i kd sen θ cos φ
r
2
e
−e 2
 Nkd

sen 
sen θ cos φ 
1
i ( N −1) kd sen θ cos φ
E
 2

= 0 e i (ωt − kr ) e 2
r
 kd

sen  sen θ cos φ 
 2

y el diagrama de interferencia será proporcional a:
d


2  Nkd
2
sen θ cos φ 
sen θ cos φ 
2
2 sen 
2 sen  Nπ
E
E
E
λ
= 0


 2
r 2 < N r >= r 2 θ ≅ 0
2η0
2η0
2η0
 kd

 d

sen 2  sen θ cos φ 
sen 2  π sen θ cos φ 
 2

 λ

Para el plano horizontal θ = π / 2 , esta función tiene el máximo para π
d
λ
sen θ cos φ = 0 , que vale:
d


sen 2  Nπ sen θ cos φ 
<
>
r
N
λ


r
N E0 /(2η0 ) ⇒
f (ϑ , φ ) = 2
=
d

r < Nr >
2
2
N sen  π sen θ cos φ 
max
 λ

sen 2 (Nβ )
es el diagrama de radiación, que puede escribirse:
f (ϑ ,φ ) = 2
N sen 2 (β )
2
2
2
Esta expresión en β es la misma que para la red vertical, de modo que son aplicables las conclusiones halladas en la sección precedente. Los máximos principales se dan para β = nπ. Como
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Electromagnetismo 2004
10-31
β = π (d / λ ) sen θ cos φ la condición β = 0 lleva a sen θ cos φ = 0 .
En el plano horizontal (θ = π/2) esto significa que los máximos principales se dan para φ = π/2,
3π/2 (direcciones laterales a la línea de dipolos).
La otra condición β = nπ lleva a que ( d / λ ) sen θ cos φ = n . Como las funciones trigonométricas tienen módulo ≤ 1, esta condición se cumple solamente para (d/λ) ≥ 1. En tal caso, aparecen
otros máximos principales en direcciones no laterales. Estos arreglos son formaciones laterales
como las vistas en la sección precedente.
Consideremos ahora nuevamente campos de igual amplitud pero con fases linealmente variables
con la posición, como antes: ψ n = nδ
⇒ ψ n − ψ n −1 = δ .
En tal caso:
E 0 i (ωt − kr ) N −1 in ( kd sen θ cos φ +δ ) E 0 i (ωt − kr ) 1 − e iN ( kd sen θ cos φ +δ )
e
e
=
e
∑
r
r
1 − e i ( kd sen θ cos φ +δ )
n =0
δ 
  kd
sen  N  sen θ cos φ + 
N
i [ kd sen θ cos φ + δ ]
2 
E
  2
= 0 e i (ωt − kr ) e 2
r
δ
 kd
sen sen θ cos φ + 
2
 2
y el diagrama de radiación es proporcional a:
E θ (r, t ) ≅
2   kd sen θ cos φ + δ 

2 sen  N 
2
Eθ
E0
=
r 2 < N r >= r 2
2η 0
2η 0
2 
  2
δ
 kd
sen 2  sen θ cos φ + 
2
 2
Podemos realizar el mismo análisis que en el caso del arreglo vertical.
Para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de β. Como δ
puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades:
d
d
δ
≤
c) δ > 0. Existe β = 0 si δ − 2π ≤ 0 ⇒
2π λ
λ
δ
d
d
d) δ < 0. Existe β = 0 si − δ + 2π ≥ 0 ⇒
≤
2π λ
λ
O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:
δ
δ
∆ψ L
d
d
≤
⇒ (N-1 )
≤ (N-1 )
⇒
≤
2π λ
2π
2π λ
λ
donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo que
se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:
d
δ λ
cos φ M = −
β = 2π cos φ M + δ = 0 ⇒
2π d
λ
Como puede verse, φM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para φM =
±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.
Por otra parte, si:
δ = 2π
d
λ
δ = −2π
⇒
φM = π
d
⇒ φM = 0
λ
y se tienen nuevamente las formaciones de punta, donde la máxima radiación se da sobre la
línea que contiene a los radiadores.
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Electromagnetismo 2004
10-32
Ejemplo 10.6: No siempre los radiadores emiten campos polarizados en la misma dirección.
Considere dos dipolos eléctricos cortos perpendiculares entre sí, situados en el mismo punto. Las corrientes alimentadoras son de igual amplitud y frecuencia, pero pueden estar desfasadas en ψ. Se pide hallar el diagrama de radiación sobre el plano horizontal que contiene
a los dipolos y analizar la polarización de la onda radiada.
z
Elegimos un sistema de coordenadas con su origen en los
dipolos y orientado como indica la figura. El punto campo se
toma sobre el plano horizontal xy. El dipolo 1 (orientado
según -z) crea el campo:
E0
E
sen θ ′ e i (ωt − kr ) θˆ ′ = 0 e i (ωt − kr ) zˆ
r
r
porque sobre el plano xy: θ' = π/2 y θˆ ′ = ẑ .
E1 =
θ
2
x
y
1
φ
r
Para expresar el campo creado por el dipolo 2 debemos reemplazar θ por el ángulo entre el eje del dipolo (x en nuestro caso) y el vector posición r. Sobre el plano xy este ángulo
E1
θ'
E2
es φ, y el versor θˆ resulta el versor
emitido por el dipolo 2 es:
φˆ .
Entonces el campo
E0
sen φ e i (ωt − kr +ψ ) φˆ
r
E
E = E1 + E 2 = 0 e i (ωt − kr ) sen φ e iψ φˆ + zˆ
r
E2 =
[
y el campo eléctrico total es:
]
El campo magnético radiado puede calcularse como:
H=
rˆ × E
η0
=
[
]
[
E 0 i (ωt − kr )
E
e
rˆ × sen φ e iψ φˆ + zˆ = 0 e i (ωt − kr ) sen φ e iψ zˆ −φˆ
η0 r
η0 r
]
y el vector medio de Poynting:
E 02
E 02
1
iψ ˆ
− iψ
ˆ) =
(
)
(
(
N = ℜe(E × H * ) =
z
z
ℜ
sen
φ
φ
+
×
sen
φ
−
φ
1 + sen 2 φ )
e
e
e
ˆ
ˆ
2
2
2
2η 0 r
2η 0 r
[
]
Se ve que el vector medio de Poynting es la suma de los vectores de Poynting individuales de
cada dipolo. No hay un factor de interferencia. Esto se debe a que los campos radiados son
90
perpendiculares entre sí. Además no depende del des120
60
fasaje entre las corrientes alimentadoras de los elementos. Las direcciones de máxima radiación corresponden
a φ = π/2, 3π/2, para las cuales el seno vale 1. El dia150
30
grama de radiación sobre el plano horizontal que contiene a los dipolos es entonces:
180
φ
330
210
240
300
270
0
f (φ ) =
1 + sen 2 φ
2
y se muestra en la figura a la izquierda. Este diagrama
es la semisuma de los diagramas horizontales de radiación individuales de cada dipolo, que se muestran en
rojo en la figura.
Para analizar el comportamiento de la polarización de
la onda radiada, seguimos un procedimiento similar al
de la página 328. El campo eléctrico total es:
E
 E
E = ℜe  0 e i (ωt − kr ) (sen φ e iψ φˆ + zˆ ) = 0 [(sen φ cos(ωt − kr + ψ ) φˆ + cos(ωt − kr ) zˆ )]
 r
 r
E
E z = 0 cos(ωt − kr )
Entonces:
r
E0
E
Eφ =
sen φ cos(ωt − kr + ψ ) = 0 sen φ [cos(ωt − kr ) cosψ − sen(ωt − kr ) senψ ]
r
r
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Electromagnetismo 2004
10-33
y podemos escribir:
cos(ωt − kr ) =
rE z
E0
sen(ωt − kr ) = cos(ωt − kr )cotanψ −
rEφ
E 0 sen φ senψ
=
rEφ
rE z
cotanψ −
E0
E 0 sen φ senψ
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y sumamos miembro a miembro para obtener:
2
 rE
1 =  z
 E0
rE φ
 rE

 +  z cotanψ −
E 0 sen φ senψ

 E0
 rE
1 =  z
 E0
rEφ


 (1 + cotan 2ψ ) + 

 E 0 sen φ senψ
2



2
2
2r 2 Eφ E z cotanψ

 −
E 02 sen φ senψ

2
2
Eφ
2 Eφ E z


 Ez 
 −

 + 
cosψ = sen 2 ψ
( E 0 / r )( E 0 sen φ / r )
 E0 / r 
 E 0 sen φ / r 
que podemos comparar con la ecuación
2
 E 
 Ey
 x 

+
 Ex 
 0 
de la elipse de polarización hallada en el Capítulo 6:
2

Ex E y
 −2
cos φ = sen 2 φ
 Ey 
 0 
E x0 E y0
Observamos que ambas ecuaciones son formalmente idénticas, de manera que el sistema de
dos dipolos cruzados emite una onda elípticamente polarizada.
Se observa también que los semiejes de la elipse cambian con r (por el decaimiento de la
amplitud de los campos de una onda esférica) y con φ.
En particular, en la dirección de mínima radiación sen φ = 0, y se tiene Eφ = 0. Entonces en
esa dirección sólo hay Ez y la onda es linealmente polarizada.
En la dirección de máxima radiación sen φ = 1, y el estado de polarización de la onda radiada depende solamente de ψ:
2
2
2 Eφ E z
 Eφ 
 Ez 
 −

 + 
cosψ = sen 2 ψ
2
( E 0 / r)
 E0 / r 
 E0 / r 
ψ = ±nπ. Eφ = Ez y la onda es linealmente polarizada a π/4 del plano xy.
2
E 
ψ = ±(2n+1)π/2. E + E φ =  0  y la onda es circularmente polarizada.
 r 
2
z
2
Para valores intermedios de ψ la onda resulta elípticamente polarizada.
En otras direcciones la onda resulta elípticamente polarizada.
Ejemplo 10.7: Las antenas usan reflectores para modificar sus diagramas de radiación y mejorar su eficiencia. Considere un arreglo lineal de N alambres conductores de sección despreciable S y altura h<<λ a la frecuencia de trabajo. Una onz
da plana verticalmente polarizada incide sobre el conjunto
L
Ei formando un ángulo αi con la normal a la distribución. Esta
onda induce corrientes variables en el tiempo sobre los
alambres, que entonces se convierten en radiadores. Halle la
αi ki
x h
amplitud del campo radiado por el conjunto y el diagrama de
Er α
radiación horizontal. Analice su uso como reflector.
kr
E
Ei
Por la continuidad del campo eléctrico sobre la interfase aireconductor podemos suponer que el campo dentro de cada
alambre es igual al campo incidente, de forma que la corriente que circula en el nésimo alambre es I n = σSEin donde Ein es el campo incidente sobre ese alambre.
y
Pero la fase del campo incidente va cambiando de elemento a elemento, porque, como se muestra en la figura, hay una diferencia de caminos ∆l = d sen α i entre los
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Electromagnetismo 2004
10-34
campos que llegan a dos elementos adyacentes. Esta diferencia de caminos se
traduce en una diferencia de fase ∆ϕ = k∆l = kd sen α i entre los campos y, por
αi
lo tanto, entre las corrientes de elementos adyacentes.
Por comodidad colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la distribución y tenemos para el elemento n-ésimo la corriente:
d
I n = σ S Eo e i (ωt −k i •rn ) = σ S E o e i (ωt − nkd sen α i )
Como la altura del elemento es mucho menor que λ podemos suponer que la
distribución de corriente es uniforme y que el elemento se comporta como un
dipolo radiante elemental, y emite un campo eléctrico de radiación:
x
E n (r, t ) =
i I n h k 2 −ikr
i σ S E 0 h k 2 i (ω t − kr ) −inkd sen α i
e sen θ e −ik •rn′ θˆ =
e
e
sen θ e −inkd sen θ cos φ θˆ
4 π ε 0ω r
4 π ε 0ω r
El campo total emitido por la distribución es:
E(r, t ) =
N −1
i σ S E 0 h k 2 i (ω t − kr )
e
sen θ θˆ ∑ e − inkd (sen α i + sen θ cos φ )
4 π ε 0ω r
n =0
i σ S E 0 h k 2 i[ω t − kr + ( N −1) β / 2]
sen[ Nβ / 2] ˆ
e
=
θ
sen θ
4 π ε 0ω r
sen[ β / 2]
β = kd (senα i + senθ cosφ ) . El diagrama de radiación es proporcional a:
1 σ 2S 2 E 02 h 2 k 4
sen 2 [ Nβ / 2]
2
θ
r 2 Nr =
sen
2η 0 16 π 2 ε 02ω 2
sen 2 [ β / 2]
Sobre el plano horizontal θ = π / 2 y tenemos:
1 σ 2S 2 E 02 h 2 k 4 sen 2 [ Nβ / 2]
r 2 Nr =
β = kd (sen α i + cos φ )
2η 0 16 π 2 ε 02ω 2 sen 2 [ β / 2]
El valor máximo de esta expresión se da para β = 0 , de modo que el diagrama de radiación
sen 2 [ Nβ / 2]
queda:
f (φ ) = 2
β = kd (sen α i + cos φ )
N sen 2 [ β / 2]
La condición de máximo implica: β = kd (sen α i + cos φ ) = 0 ⇒ cos φ M = sen α i
Pero, de la figura: φ = π / 2 − α ⇒ cos φ = sen α ⇒ sen α M = sen α i
donde:
y se observa que el máximo de radiación se da en la dirección que predice la ley de Snell de
la reflexión. Además, de la figura de la página 410 se ve que el diagrama de radiación tiene
un máximo principal más angosto y máximos secundarios más pequeños cuanto mayor sea
el número N de elementos en la distribución, de forma que la potencia emitida en las direcciones de reflexión secundaria es más baja cuanto mayor es N.
Ejemplo 10.8: Extender los resultados del ejemplo previo al caso de un reflector plano conductor.
z
El reflector puede considerarse como la superposición de
Ei elementos de ancho dx y altura h. Cada elemento se puede
ver como un dipolo, que emite un campo:
L
x
h
dx
Er
α
αi
i σ S E0 h k 2 i (ω t − kr ) −ikx′ sen α i
dE(r, t ) =
e
e
sen θ e −ikx′ sen θ cos φ θˆ dx ′ E
4 π ε 0ω r
ki
kr
y
E(r, t ) =
=
sta es la misma expresión del ejemplo precedente, con:
nd → x ′ . El campo total es la integral:
L/2
i σ S E 0 h k 2 i (ω t − kr )
e
sen θ θˆ ∫ e −ikx′(sen α i +sen θ cos φ ) dx ′
4 π ε 0ω r
−L / 2
i σ S E 0 h k 2 L i (ω t − kr )
sen(γ / 2) ˆ
e
θ
sen θ
γ /2
4 π ε 0ω r
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10-35
γ = kL(sen α i + sen θ cos φ ) . El diagrama de radiación es proporcional a:
σ 2S 2 E02 h 2 k 4
sen 2 (γ / 2)
2
θ
r 2 Nr =
sen
16π 2ε 02ω 2
(γ / 2) 2
y nuevamente el máximo principal de esta ecuación se da para γ = 0 , lo que lleva a la ley de
con
Snell de la reflexión para la radiación en el plano horizontal. Nuevamente aparecen máximos
secundarios cuya altura es menor cuanto mayor sea kL. En el límite kL = 2πL / λ → ∞ la
función sen (γ / 2) (γ / 2) se convierte en una delta de Dirac δ (0) que lleva a que sólo
existe el “rayo” reflejado en la dirección de la ley de Snell de la óptica. Esta es una buena
aproximación cuando la longitud de onda es muy pequeña frente a las dimensiones del reflector.
2
2
El uso de arreglos de radiadores permite diseñar diagramas de radiación que no pueden obtenerse
con un único elemento. Permiten modificar el ancho de los lóbulos aumentando la directividad y
elegir la dirección del espacio de máxima potencia. También permiten lograr radiación con polarización no lineal. Además del número de elementos, el espaciamiento y el desfasaje entre las
corrientes alimentadoras se pueden introducir valores distintos en las amplitudes de las corrientes alimentadoras o un espaciado no equidistante para tener aún mayor flexibilidad en el diseño, especialmente en la eliminación de los lóbulos secundarios y en el aumento del ancho de
banda de la antena.
También se pueden realizar arreglos 2D y 3D. Todos estos tipos de sistemas radiantes se presentan en el programa APV.EXE11 que se puede descargar del ftp de la materia. Este es un programa de DOS que permite ver los diagramas de radiación de distintos tipos de arreglos con diversos elementos y otros tipos de antenas.
11
Desarrollado por A.Z. Elsherbeni y C.D.Talor Jr., Dept. Electrical Engineering, Univ. Mississippi, ©1993.
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10-36
Antena bicónica
z
θh
θ
Hφ
Eθ
I
V
~
I
Como se mencionó al final de la sección del dipolo eléctrico largo, el ancho de banda de la antena aumenta con la sección del
alambre. Este efecto se aprovecha en la antena bicónica.
La antena bicónica ideal consiste en dos conos infinitos enfrentados por los vértices, como se indica en la figura. Como la estructura es infinita, se puede analizar como una línea de transmisión
de parámetros variables a lo largo de su estructura. Cuando se
conecta un generador a la entrada de la antena, circularán corrientes a lo largo de los conos. A su vez, estas corrientes crean
un campo magnético Hφ que tiene simetría cilíndrica respecto del
eje de los conos. Las variaciones en el tiempo del campo magnético generan un campo eléctrico. Ambos campos resultan en una
onda electromagnética que se propaga hacia fuera de la antena.
Suponemos el caso más sencillo, que la onda sea una onda esférica elemental y que el campo electromagnético sea transversal
(TEM) a la propagación. En tal caso, el campo eléctrico tendrá
solamente componente Eθ.
Entonces, en la región entre los conos tenemos:
H = H φ φˆ
E = Eθ θˆ
La ecuación de Maxwell-Ampere: ∇ × H = iωε E en coordenadas esféricas puede escribirse:
rˆ rθˆ r sen θ φˆ
∂
∂
∂
1
= iωε Eθ θˆ
2
∂φ
r sen θ ∂r ∂θ
0
0 r sen θ H φ
1
∂
(sen θ H φ ) = 0
r sen θ ∂θ
de donde:
-
1 ∂
(r H φ ) = iωε Eθ
r ∂r
∂
(sen θ H φ ) = 0 ⇒ H φ ∝ 1 y
sen θ
∂θ
− ikr
e
1
ondas esféricas elementales, podemos asumir: H φ = H 0
4π r sen θ
De la primera ecuación surge que:
como
suponemos
Introduciendo esta expresión en la segunda ecuación obtenemos Eθ:
Eθ = −
− ikr
∂
1
(r H φ ) = − 1 ∂  H 0 e
iωε r ∂r
iωε r ∂r 
4π sen θ
1
k H 0 e − ikr η H 0 e − ikr

 =
=
=η Hφ
 4π ωε r sen θ 4π r sen θ
Los campos satisfacen la relación de las ondas esféricas elementales. Podemos calcular el dia2
ηH 02
1
r 2η
grama se radiación: r 2 N r = r 2 ℜe(Eθ H φ* ) =
Hφ =
2
2
32π 2 sen 2 θ
Esta expresión es máxima para θ = θh que es el valor mínimo de θ, de donde el diagrama de rasen 2 θ h
diación es simplemente: f (θ ) =
sen 2 θ
Existen otros modos no TEM que aparecen cuando la antena no es infinita. En este caso se distingue entre una región interior hasta la tapa de los conos y una región exterior. En la región interior, y lejos de las tapas, se puede suponer válida la descripción sencilla TEM que hemos analiJuan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería
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10-37
zado, porque el sistema se comporta como una línea de transmisión, mientras que cerca de las
tapas y en la región exterior es necesario usar otros modos no TEM en función de armónicos
cilíndricos.
Las antenas cónicas o bicónicas se usan desde los tiempos de Marconi por su gran ancho de banda, pero sólo a mediados del siglo XX se encontró una descripción matemática satisfactoria. Actualmente es una de las antenas usadas en ensayos de EMC (compatibilidad electromagnética).
Antenas tipo Yagi-Uda
Los arreglos de radiadores vistos hasta el momento consisten de elementos idénticos todos activos, es decir, todos alimentados por corrientes desde el sistema generador. Esto puede ser complicado desde el punto de vista práctico porque los desfasajes y/o amplitudes deben seguir una
función rígida para garantizar el diagrama de radiación. El llamado arreglo Yagi-Uda tiene un
único elemento activo y otros elementos (pasivos) por los que circulan corrientes inducidas por
el campo generado por el elemento activo. El desfasaje adecuado entre las corrientes se logra
ajustando el tamaño y separación de los elementos pasivos.
En el esquema de la figura se ve un dipolo activo de longitud
l1 y un elemento pasivo de longitud l2 separados una distancia
d. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell hace posible
escribir un par de ecuaciones que relacionan los voltajes y las
corrientes en el centro de los elementos:
l1
l2
V1 = Z11 I 1 + Z12 I 2
V 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
x
Las Zij son constantes que dependen de las longitudes de los
elementos, su espaciado y la longitud de onda de la radiación.
Se
puede
demostrar
que
V2 = 0, de manera que: I 2 = −( Z 21 / Z 22 ) I 1 .
El campo emitido por el conjunto se puede escribir como:
d
(
E rad ∝ a1 + a 2 e ikd cos θ = a1 1 + I 2 / I 1e ikd cos θ
)
y el diagrama de radiación será proporcional a:

Z
f (θ , φ ) ∝ 1 − 21 e ikd cos θ
Z 22




2
=1+
Z 21
Z 22
2
Z
− 2 Re 21 e ikd cos θ
 Z 22



El primer término representa la contribución del radiador activo, el segundo la contribución del
radiador pasivo y el tercero es un término de interferencia. Cuando esta interferencia es tal que
maximiza la radiación en el sentido de +z el elemento pasivo se conoce como un director, mientras que si la radiación se maximiza según -z el elemento pasivo se conoce como un reflector. La
máxima directividad de un director se obtiene cuando d ≅ 0.11λ . Si el elemento activo es de media onda, el espaciado debe ser mayor: 0.38λ < d < 0.48λ . En el caso de un reflector, la máxima
directividad de un reflector se obtiene cuando d ≅ 0.16λ . Si el elemento activo es de media onda, el espaciado debe ser mayor: 0.51λ < d < 0.52λ .
El arreglo Yagi-Uda más simple consiste de un elemento activo, un director y un reflector. En
esta situación puede mantenerse las separaciones antedichas, pero surge que el director debe ser
un poco menor aún que elemento activo y el reflector un poco mayor.
La adición de más reflectores no modifica mucho el diagrama de radiación, pero sí lo hacen más
directores, de manera que las antenas típicas de TV consisten de un dipolo (doblado) activo, un
reflector y un conjunto de directores de tamaños variables. Directividades entre 10 y 100 se pueden obtener en función de la cantidad de directores usada. Sin embargo estos valores se dan para
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10-38
la longitud de onda de diseño, de modo que la respuesta en frecuencia de la antena Yagi-Uda es
pobre.
Antenas log-periódicas
Consideremos una estructura como la de la figura. La localización y longitud de los sucesivos elementos aumenta de
uno al siguiente en un factor constante:
zn = τ zn −1
ln = τ ln −1
ln
donde la longitud del primer elemento es función de la longitud de onda de operación. Si ahora multiplicamos la longitud de onda de operación por τ, todas las posiciones y longitudes de la estructura se multiplican por τ y el resultado es
una estructura idéntica a la original (supuestamente indefinida). Por lo tanto la estructura radia de
igual manera para longitudes de onda λ, τλ, τ2λ, etc., de donde podemos escribir el conjunto de
longitudes de onda “permitidas” como:
λn = τ λn −1 = τ n −1λ1 .
zn
Expresando esta ecuación en términos de logaritmos:
log λn = log λ1 + (n − 1)τ
⇒
log f n = log f1 − (n − 1)τ
La estructura se conoce como logarítmica-periódica o log-periódica.
Un análisis de las características de radiación de esta estructura se puede hacer a partir de una
estructura de tres elementos y la antena Yagi-Uda. Se halla del cálculo que la máxima radiación
a lo largo del arreglo se da cuando el elemento central, supuesto activo, tiene una longitud de
media onda. Como el elemento menor actúa como director y el mayor como reflector en la antena Yagi-Uda, entonces la radiación se dirige hacia el extremo derecho del arreglo. Para mejorar
el ancho de banda, se adopta la siguiente forma de alimentación desde el extremo más corto de la
antena y se conectan los sucesivos semi-elementos del arreglo como se indica en la figura, espaciando los elementos
en la mitad de su longitud en ese punto. Esto hace que la
corriente en el elemento n+1 esté adelantada π/2 respecto
del elemento n. Si el elemento n es resonante a la frecuencia de operación, la distancia al siguiente elemento es λ/4.
Estas dos características llevan a que ambos elementos radien en fase.
El cálculo detallado muestra que que la fase de la tensión
provista a los sucesivos dipolos aumenta uniformemente desde el extremo de alimentación. Si el
elemento resonante está al medio del arreglo, es esta región la que radiará más eficientemente. Si
se varía la frecuencia, será otra región la de máxima radiación. El cálculo demuestra que hay
poca variación en el diagrama de radiación en el rango de frecuencias de operación
( f1 , τ −( n −1) f1 ) .
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10-39
APENDICE 7 - Resolución de las ecuaciones de la radiación
Los potenciales retardados satisfacen las ecuaciones inhomogéneas de la radiación electromagnética:
1 ∂2
ρ (r, t )
1 ∂2
∇ 2φ (r, t ) − 2 2 φ (r, t ) = −
∇ 2 A(r, t ) − 2 2 A(r, t ) = −µ 0 j(r, t )
c ∂t
ε0
c ∂t
Puede observarse que cada componente cartesiana de la ecuación vectorial para A(r,t) es matemáticamente equivalente a la ecuación diferencial escalar para φ(r,t), de forma que vamos a resolver esta última ecuación diferencial y escribiremos por analogía la solución para el potencial
vectorial.
1 ∂2
ρ (r, t )
∇ 2φ (r, t ) − 2 2 φ (r, t ) = −
c ∂t
ε0
La solución de esta ecuación diferencial lineal e inhomogénea dentro de un recinto del espacio se
puede escribir como la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución
particular de la ecuación completa.
La ecuación homogénea se obtiene cuando se toma ρ(r,t) = 0 para todo punto del recinto de
integración. Desde el punto de vista físico, esta suposición es equivalente a decir que no hay
fuentes del potencial escalar electrodinámico dentro del recinto de interés. Pero si no hay fuentes, no puede haber campo, de manera que habrá una solución no trivial del problema sólo en el
caso en que las fuentes se hallen fuera del recinto de integración. Por lo tanto, la solución de la
ecuación homogénea representa la contribución a la radiación de las fuentes externas al recinto
de integración. Esta situación fue analizada en los Capítulos precedentes, donde se estudió la
propagación de ondas electromagnéticas en recintos sin fuentes de campo. Por lo tanto, para los
propósitos presentes podemos suponer que no hay fuentes de campo fuera del recinto de integración y entonces debemos anular la solución de la ecuación homogénea. La solución del problema
será entonces la solución particular.
Para obtener una solución particular, y dada la linealidad de la
ecuación diferencial, vamos a dividir el recinto de integración V
S
en elementos de volumen infinitesimales dv´. Como la forma de
R
dV
estos elementos es irrelevante, elegimos esferas de radio δ → 0.
Para una de estas esferas, situada en r´, la ecuación diferencial
r
r´
queda:
 ρ (r , t )
V
si R = R = r − r′ < δ
1 ∂2
−
2
∇ δφ (r , t ) − 2 2 δφ (r , t ) = 
ε0
c ∂t
0
si R = R = r − r′ > δ

donde δφ(r, t ) es el potencial escalar creado por la esfera, dado que fuera de ella no hay carga.
Como nos interesa la solución fuera de la esfera, nos queda la ecuación:
1 ∂2
2
∇ δφ (r, t ) − 2 2 δφ (r, t ) = 0
c ∂t
El elemento de carga tiene simetría esférica, de manera que δφ(r, t ) = δφ( R, t ) , donde R es la
distancia al centro de la esfera. Entonces podemos escribir:
1 d  2 dδφ  1 ∂ 2 δφ
1 d  2 dδφ 
⇒
=0
∇ 2 δφ(r, t ) = ∇ 2 δφ( R, t ) = 2
R

−

R
dR 
dR  c 2 ∂t 2
R dR 
R 2 dR 
Pero el laplaciano se puede reescribir como:
1 d2
(R δφ )
R dR 2
ya que:
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10-40
2
1 d  2 d δφ  1  d δφ
2 d δφ d 2δφ
2 d δφ 
 2R
=
+R
+
R
=
R 2 dR 
dR  R 2 
dR 2  R dR
dR 2
dR
1 d2
1 d 
d δφ  2 d δφ d 2δφ
(
)
R
δφ
δφ
R
=
+
+

=
R dR2
R dR 
dR  R dR
dR 2
y la ecuación de ondas resulta:
1 d2
1 ∂ 2 δφ
(
)
R
δφ
−
=0
R dR 2
c 2 ∂t 2
⇒
d2
1 ∂2
(
)
(R δφ ) = 0
R
δφ
−
dR 2
c 2 ∂t 2
Pero esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación de las ondas planas, de manera
que podemos escribir la solución formal:
f (t m R / c)
R δφ (r, t ) = f ( R m ct ) ⇒ δφ (r, t ) =
R
donde el signo positivo identifica una onda "progresiva" (que se propaga en el sentido de R crecientes) y el signo negativo a una onda "regresiva" (que se propaga en el sentido de R decrecientes).
Para determinar cuál función f (t m R / c) es la apropiada, consideramos la condición de borde
para R → 0 . En este caso vale la ecuación inhomogénea (ya que R < δ ) y tenemos:
1 ∂2
1 ∂2
ρ ( R, t )
ρ (r, t )
∇ 2δφ (r, t ) − 2 2 δφ (r, t ) = −
⇒ ∇ 2δφ ( R, t ) − 2 2 δφ ( R, t ) = −
c ∂t
ε0
c ∂t
ε0
ya que se sigue cumpliendo la simetría esférica. Podemos escribir entonces el laplaciano como
antes:
ρ( R , t )
ρ( R , t )
1 ∂2
1 d  2 dδφ  1 ∂ 2
∇ 2 δφ( R, t ) − 2 2 δφ( R, t ) = −
⇒
R
 − 2 2 δφ( R, t ) = −
2
ε0
ε0
dR  c ∂t
c ∂t
R dR 
ρ( R, t )
2 dδφ d 2 δφ 1 ∂ 2
+
− 2 2 δφ( R, t ) = −
2
R dR
ε0
dR
c ∂t
En esta última ecuación se ve que el término del laplaciano predomina frente a la derivada temporal para R → 0 , debido a los factores inversamente proporcionales a R. Entonces podemos
ρ( R , t )
escribir:
∇ 2 δφ( R, t ) ≈ −
ε0
que es una ecuación de Poisson cuasi-estática. Esta ecuación tiene la solución particular que es
1
la integral de Poisson:
δφ(r, t ) ≈
ρ( R, t ) dv ′
4πε 0
Por lo tanto este es el límite al que debe tender la solución general fuera de la esfera. La forma
matemática obtenida anteriormente y la condición de borde se satisfacen simultáneamente si:
f (t m R / c)

δφ(r, t ) =
ρ(r ′, t m R / c) dv ′
R

ρ( R, t ) dv ′ ⇒ δφ(r, t ) ≈
4πε 0 R
 δφ(r, t ) ≈
4πε 0

Esta es entonces la solución a la ecuación inhomogénea para un elemento de volumen infinitesimal dv´. Se observa que el doble signo describe dos soluciones físicamente diferentes:
ρ(r ′, t − R / c) dv ′ ρ(r ′, t ′) dv ′
ƒ δφ(r, t ) ≈
representa el potencial creado en (r, t ) por la pre=
4πε 0 R
4πε 0 R
sencia de la fuente en (r ′, t ′) , con t ′ = t − R / c , o sea, el efecto en el punto campo se debe a
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10-41
las características de la fuente en un instante previo. Esta solución también describe, desde el
punto de vista ondulatorio, una onda esférica que viaja desde el punto fuente hacia afuera
(es decir, en el sentido de R crecientes).
ρ(r ′, t + R / c) dv ′ ρ(r ′, t ′′) dv ′
ƒ δφ(r, t ) ≈
representa el potencial creado en (r, t ) por la pre=
4πε 0 R
4πε 0 R
sencia de la fuente en (r ′, t ′′) , con t ′′ = t + R / c , o sea, el efecto en el punto campo se debe a
las características de la fuente en un instante posterior. Esta solución también describe, desde el punto de vista ondulatorio, una onda esférica que viaja desde fuera hacia el punto
fuente (es decir, en el sentido de R decrecientes).
Podemos visualizar la primera solución como la generación de una onda electromagnética esférica que surge del punto fuente y se propaga en todas direcciones a la velocidad c. La segunda
solución, en cambio, representa una onda que llega al punto fuente desde toda dirección del espacio.
Por otra parte, hay una relación de causalidad en la primera solución, porque el efecto (el potencial creado) es posterior a la causa (las variaciones en el tiempo de la fuente). El intervalo entre
los dos sucesos es el tiempo necesario para que la radiación cubra la distancia R moviéndose a
velocidad c. En la segunda solución, la causalidad está invertida, y debemos considerar que la
fuente de la radiación que viaja hacia adentro se halla en otro sitio del espacio.
La primera solución (con t ′ = t − R / c ) se denomina solución retardada y satisface las interpretaciones de generación de energía y causalidad que hemos dado. La segunda solución (con
t ′′ = t + R / c ) se denomina solución adelantada y no es compatible con la interpretación de una
fuente de ondas electromagnéticas, por lo que la descartamos12.
Por superposición podemos hallar el potencial escalar producido por todo el recinto de integración:
ρ(r ′, t ′) dv ′
1
φ(r, t ) =
t′ = t − R / c
con
R
4πε 0 V
∫
que es la expresión buscada. Además, cada componente cartesiana del potencial vectorial tiene
una solución de esta misma forma matemática, de manera que podemos escribir:
µ
j(r ′, t ′) dv ′
t′ = t − R / c
A(r, t ) = 0
con
4π V
R
∫
12
Modernas teorías físicas especulativas asignan significado físico a los potenciales adelantados y los incorporan en
las ecuaciones de la electrodinámica cuántica.
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10-42
APENDICE 8 - Cálculo de la integral del campo de un dipolo largo
Vamos a calcular la integral:
L/2
 kL

sen  − k z′  eik cos θ z ′ dz ′
 2

−L / 2
que surge en la determinación del campo eléctrico radiado por un dipolo largo de longitud L.
Primero dividimos la integral en dos intervalos para eliminar el módulo en el argumento del seno:
0
L/2
 kL
 ik cos θ z ′
 kL

′
′
F = ∫ sen  + kz  e
dz + ∫ sen  − kz′  eik cos θ z ′ dz ′
 2

 2

−L / 2
0
Ahora realizamos los cambios de variable:
F=
u = kL / 2 + kz ′
v = kL / 2 − kz ′
1
F=
k
=
⇒
⇒
du = k dz ′
dv = −k dz ′
kL / 2
∫
1
sen u e i (u −kL / 2) cosθ du −
k
0
kL
−i cosθ kL / 2
e 2
∫ sen u eiu cosθ du +
k
a
Pero:
∫
en la primera integral y
en la segunda
0
∫ sen v e i(kL / 2−v) cosθ dv
kL / 2
kL
i cosθ kL / 2
e 2
0
∫ sen v e −iv cosθ dv
k
∫ sen x eiα x dx = 1 − α 2 [1 − eiα a (cos a − iα sen a )]
1
0
y entonces:
0
kL
kL
cosθ 
kL
 i cosθ
θ
cos
i
2
e
kL  e 2
 kL
1− e 2
cos − i cosθ sen  +
F=


2
2  k sen2 θ

k sen2 θ
−i


kL


−i cosθ 
kL
kL 
1− e 2
 cos + i cosθ sen 

2
2



 −i kL cosθ

 kL


1  i 2 cosθ
kL
kL 
kL
kL 
2
=
− cos + i cosθ sen  +
− cos − i cosθ sen 
e
e
2
2  k sen2 θ 
2
2
k sen2 θ 




1
y finalmente:
F=
  kL
kL 

cos cos θ  − cos 

2

k sen 2 θ   2
2
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Electromagnetismo 2004
10-43
APENDICE 9 – Desarrollo en serie del coseno integral
Las integrales que definen el coseno integral:
∞
x
1 − cos t
cos t
Cin( x) = ∫
dt
Ci ( x) = − ∫
dt = ln( x) + γ − Cin( x)
t
t
0
x
La constante γ ≈ 0.5772156649... se conoce como constante de Euler.
Para argumentos x pequeños, podemos expresar el coseno en el integrando mediante una serie de
Taylor:
∞
∞
1 − cos t 1 
(−1) k t 2 k  1 ∞ (−1) k +1 t 2 k
(−1) k +1 t 2 k −1
= 1 − ∑
=∑
⇒
= ∑
t
t  k = 0 (2k )!  t k =1 (2k )!
(2k )!
k =1
y entonces, integrando término a término:
( −t 2 ) k
cos(t ) = ∑
k = 0 ( 2k )!
∞
x
x
∞
∞
 ∞ (−1) k +1 t 2 k −1 
1 − cos t
(−1) k +1 2 k −1
(−1) k +1 x 2 k


dt = ∑
dt = ∫  ∑
Cin( x) = ∫
∫ t dt = ∑
(2k )! 
t
k =1 ( 2k )! 0
k =1 2k ( 2k )!
0
0  k =1
x
Esta expresión converge rápidamente para valores pequeños de x debido al factorial en el denominador. Para x ≥ 20 el carácter oscilatorio de la serie origina errores significativos por redondeo
y truncaje en los primeros términos, que son los más significativos, para los cuales la función x2k
crece más rápidamente con k que el factorial y se requiere usar otros métodos de representación
para el cálculo.
Se ha usado esta expresión para el cálculo de las resistencias de radiación en los Ejemplos 10.4 y
10.5.
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Electromagnetismo 2004
10-44
RESUMEN
• La resolución de las ecuaciones de Maxwell en un recinto con fuentes de campo
(problema de la radiación) se simplifica usando los potenciales electrodinámicos en
lugar de los campos:
E(r, t ) = −∇φ (r, t ) −
∂A(r, t )
∂t
H (r, t ) =
1
µ0
∇ × A(r, t )
• Estos potenciales electrodinámicos satisfacen ecuaciones de onda vectoriales inhomogéneas:
∇ 2φ (r, t ) −
ρ (r, t )
1 ∂2
φ (r, t ) =
2
2
ε0
c ∂t
∇ 2 A(r, t ) −
1 ∂2
A(r, t ) = µ 0 j(r, t )
c 2 ∂t 2
• Estas ecuaciones tienen como solución (Apéndice 7) los potenciales retardados, cuyo
valor en el punto campo depende del valor de las fuentes en instantes anteriores, por
la propagación a velocidad finita de la radiación electromagnética:
ρ (r′, t ′)
µ j(r′, t ′)
1
φ (r , t ) =
A (r , t ) = 0 ∫
dV
dV
∫
4π ε 0 V
R
4π V R
con :
R = r − r′
t′ = t − R / c
• De estas soluciones surge que sólo cargas aceleradas emiten radiación electromagnética.
• Se presentan las propiedades fundamentales de las antenas:
• diagrama de radiación. Describe gráficamente la anisotropía de transmisión/recepción de las antenas receptoras:
d<P>
= r 2 < Nr >
dΩ
⇒
d P dΩ
d P dΩ max
=
< Nr >
= f (θ ,ϕ )
< N r > max
• ancho de haz de potencia media. Es el ángulo para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del valor máximo para un lóbulo de radiación.
• área de haz. Es el ángulo sobre el cual se concentraría la radiación si fuera dentro de este ángulo de valor igual al máximo:
ΩA =
∫ f (θ ,ϕ ) dΩ ≤ 4π .
4π
• directividad. Es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad de
potencia promedio sobre una esfera. Es inversamente proporcional al área de
haz:
D=
d P dΩ max
P / 4π
=
P / ΩA
P / 4π
=
4π
ΩA
• ganancia: G = k D
donde k es la eficiencia, relacionada con
las pérdidas por efecto Joule en los conductores de la antena.
• área o abertura efectiva. Da la relación entre la potencia eléctrica útil y la densidad de potencia que recibe la antena:
Ae = <P>/<N>
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Electromagnetismo 2004
10-45
• Las propiedades de las antenas están ligadas entre sí. Algunas relaciones impor4π
4π
D = 2 Ae ⇒ G = 2 Ae
λ2 = Ae Ω A
tantes son:
λ
λ
• El sistema radiante usado como base para el análisis de antenas de hilo largas es el
dipolo eléctrico radiante, para el que se calculan los campos. Se demuestra que los
campos tienen términos de radiación, que transportan potencia media y términos de
inducción, que no lo hacen. Los campos de radiación constituyen una onda esférica
elemental:
m
m
E rad (r, t ) =
I L k2
i I 0 L k 2 i (ω t − kr )
sen θ θˆ = − 0
sen(ω t − kr ) sen θ θˆ
e
4 π ε 0ω r
4 π ε 0ω r
H rad (r, t ) =
I Lk
i I 0 L k i (ω t −kr )
sen θ φˆ = − 0
sen(ω t − kr ) sen θ φˆ
e
4π r
4π r
η 0 I 02 sen 2 θ
I 2 L2 k 3 sen 2 θ
rˆ =
< N >= 0
32 π 2 ε 0ω r 2
8r 2
2
L ˆ
  r
λ
tal que el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí y a la
dirección radial de propagación y están relacionados entre sí por la impedancia intrínseca del vacío, como en el caso de las ondas planas. Los campos de radiación son
los campos emitidos por las antenas, mientras que ambos tipos de campo intervienen
en el análisis de la radiación de interferencia.
• Se obtienen los campos emitidos por el dipolo eléctrico elemental. A partir de ellos se
determina el diagrama de radiación: f (θ , φ ) = sen 2 θ
y la potencia radiada es:
< P >=
π η 0 I 02  L 
 
3 λ 
2
• Se hallan por el principio de dualidad los campos emitidos por un dipolo magnético
elemental:
E rad (r, t ) =
η0 k 2 m
4π r
e i (ω t − kr ) senθ φˆ
H rad ( r , t ) = −
k 2m
4π r
e i ( ω t − kr ) sen θ θˆ
• Se expresa el campo emitido por un radiador fuera del origen de coordenadas
aproximando la amplitud a orden cero, la fase a orden uno y considerando campos
paralelos:
Si:
F (r ) = f (θ ′,φ ′)
ei (ωt − kR )
R
F (r ) ≈ f (θ , φ )
resulta:
con
e i (ωt − kr )
r
R = R = r − r′
e ikr′•&r&
• Las antenas largas (de tamaño comparable a la longitud de onda de la radiación) se
modelizan mediante la superposición coherente de los campos emitidos por radiadores elementales. Se analizan antenas largas resonantes:
Eθ ≈
iη0 I 0
kL 
  kL

ei (ω t −kr ) cos  cos θ  − cos 
2π r sen θ
2

  2
Hφ ≈
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Eθ
η0
Electromagnetismo 2004
< P >=
η 0 I 02  Cin( 2nπ )

8π [4Cin ( nπ ) − Cin ( 2nπ )]
10-46
n impar
n par
y de onda viajera:
Eθ ≅ −
η 0 I 0 i (ωt − kr )
e
e
2πr
< P >=
L
ik (cos θ −1)
2

 L
sen k (1 − cos θ )  sen θ

 2
1 − cos θ
Hφ =
Eθ
η0
η0 I 20 
sen(4πL / λ ) 
(
)
(
)
λ
π
λ
1
.
1415
ln
2
L
/
Ci
4
L
/
+
−
+
4π 
4πL / λ 
en términos de las funciones coseno integral.
• Otra forma de modificar el diagrama de radiación de una antena es agrupar antenas.
El caso más sencillo es aquél donde todos los radiadores son idénticos, con la misma
intensidad y frecuencia de corriente de alimentación y la interferencia se logra por su
ubicación espacial y/o desfasaje. Se analizan distribuciones lineales de radiadores,
con corrientes desfasadas en forma uniforme (ψ n = nδ ) :
N
i [ kd sen θ cos φ +δ ]
E
Eθ (r, t ) ≈ 0 ei (ω t − kr ) e 2
r
sen  N

sen
(
(
kd
2
kd
2
sen θ
sen θ
cos φ +
cos φ +
δ
δ
2
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2
)
)
Electromagnetismo 2004
10-47
PROBLEMAS
10.1) Una estación de radio emite isotrópicamente una potencia de P0 watts. Para un receptor
ubicado a una distancia D que sintoniza a dicha estación, ¿Cuál es la intensidad de los campos eléctrico y magnético que recibe?.
10.2) Considere un radiador que emite un campo lejano dado por Eθ = A cos(ωt − kr ) con A =
r
60 V y f =100 MHz. a) Compruebe que la onda radiada tiene un frente de onda esférico. b)
Calcule el H de radiación. c) Verifique que el radiador es isotrópico y calcule la potencia media
emitida.
[Rta: 60 W]
10.3) Para el radiador isotrópico del problema anterior: a) si a una distancia de 1 km se coloca
una espira rectangular de lados a = 5 cm, b = λ/2, tal que su plano contiene al campo eléctrico
emitido tal como indica la figura. ¿Cuál es el valor eficaz de la fem inducida sobre la espira?
z
[Rta: 4.24 mV]
Eθ
b
θ
a
1 km
10.4) Dos radiadores isotrópicos idénticos al del problema 7.2) se encuentran ubicados en
)
)
r1 = −(d / 2) z y r2 = (d / 2) z . a) Determinar los campos eléctricos emitidos por cada radiador
y el campo radiado total. b) Calcular el valor medio del vector de Poynting de radiación para
cada radiador y para el conjunto. c) Calcular la potencia media radiada por el sistema.
10.5) A 10 km de una antena dipolar elemental orientada verticalmente, y a su misma altura, se
mide la densidad media de flujo de potencia radiada, que es de 10-6 W/m2. Hallar las amplitudes
de los campos E y H radiados en ese punto, indicando sus direcciones y sentidos. Calcular la
potencia media total irradiada por la antena.
[Rta: 27.46 mV/m, 72.84 µA/m, 837.76 W]
10.6) Dos dipolos de longitud l, paralelos al eje z, están ubicados en r1 = (d/2)x y
r2 = -(d/2)x respectivamente. Las corrientes excitadoras son de igual amplitud y frecuencia y
están desfasadas en π/2. Para r >> λ = d: a) calcular los campos radiados y el vector de Poynting medio de radiación. b) Dibujar el diagrama de radiación horizontal y vertical. c) Analizar
la presencia de lóbulos y sus magnitudes relativas en los diagramas de radiación.
10.7) Repita el ejercicio anterior para dos dipolos ubicados en r1,2 = ±(d/2)z .
10.8) Un conjunto de tres dipolos cortos orientados según z están alineados paralelos al eje x.
La separación entre ellos es d = λ/2 y el desfasaje de la corriente entre dos elementos es α =
π. Determinar el diagrama de radiación para θ = π/2.
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Electromagnetismo 2004
10-48
10.9) Considere la misma situación del ejercicio anterior pero determine el diagrama de radiación en el plano zx.
10.10) Un conjunto de tres dipolos cortos se alinean paralelamente separados por una distancia d
= 2λ/3 y con un desfasaje α = 2π/3 entre las corrientes. Hallar el diagrama de radiación en el
plano θ = π/2.
10.11) Calcule la anchura del haz principal de un sistema lineal uniforme de cinco elementos
con espaciado λ/2 en los planos a) horizontal y b) vertical.
[Rta: a) 47.2º, b) 106.2º]
10.12) Cuatro radiadores de igual amplitud están espaciados en λ/2. a) Halle el ángulo de fase α
que se requiere para maximizar el campo en la dirección θ = 90º.
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