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Mecánica y fluidos
Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb
©2007 Departamento de Fí
Física
Universidad de Sonora
Temario
5. Leyes de conservació
conservación
1. El concepto de Trabajo y su importancia.
2. Trabajo hecho por una fuerza constante
Trabajo hecho por la fuerza de la gravedad.
3. Trabajo hecho por una fuerza variable dependiente de la
posició
posición (en una dimensió
dimensión)
Trabajo hecho por la fuerza de un resorte.
4. Energí
Energía ciné
cinética y Teorema del TrabajoTrabajo-Energí
Energía
5. Definició
Definición de potencia promedio e instantá
instantánea.
6. Fuerzas conservativas y no conservativas.
7. Energí
Energía potencial gravitacional y energí
energía potencial elá
elástica.
8. Energí
Energía mecá
mecánica de sistemas conservativos.
9. Conservació
Conservación de la energí
energía mecá
mecánica. Trabajo hecho por
fuerzas no conservativas.
10. Ley de la conservació
conservación de la energí
energía mecá
mecánica.
Tiempo estimado 2.5 semanas
1
Trabajo (en la vida cotidiana)
¿Esta persona realizara un
trabajo si mantiene las
pesas sobre los hombros?
Resp.:
Resp.: NO
Solo realiza trabajo, si la
levanta desde el suelo
hasta poné
ponérsela sobre los
hombros.
Entonces, ¿Cómo se define el trabajo en fí
física?
Trabajo (en la física)
• Cuando se aplica una
fuerza y esta mueve a un
objeto de una masa
determinada
• En contra de una fuerza
como la gravedad o el
rozamiento
• En la direcció
dirección opuesta a
esta fuerza que se opone
• Durante una distancia
determinada.
2
Trabajo (en la física)
El trabajo se define, como el desplazamiento Δ(r)
que realiza un cuerpo al aplicársele una fuerza
externa (F) :
W = ( F cosθ ) ⋅ Δr
Unidades de Trabajo
• La unidad del sistema internacional de
unidades [S.I.] es el Joule
1Joule = 1Newton ⋅ metro
• La unidad en el sistema c.g.s. es el ergio
3
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Un mó
móvil se desplaza sobre un riel de aire sin fricció
fricción bajo la acció
acción de
una fuerza constante transmitida por medio de la tensió
tensión de un hilo que
pasa por una polea sin fricció
fricción, en cuyo extremo se encuentra
suspendido un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente
figura.
│∆x│= d
v1
v0 = 0
x0 = 0
x1
h
mg
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Al soltar el peso, el mó
móvil inicia su movimiento (v0= 0 ) a partir del
origen (x0 = 0 ), y la posició
posición (x
(x1) del mó
móvil al recorrer una distancia d
vendrá
á
dada
por
la
ecuació
ó
n:
vendr
ecuaci
y el trabajo realizado es:
x1 =
v12
2a
W=Tx
donde T es la tensió
tensión del hilo, siendo la única fuerza que actú
actúa sobre el cuerpo
(en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene expresada de
acuerdo con la segunda ley de Newton como:
T=ma
Sustituyendo los valores de T y x1 en W tenemos que:
⎛ v2 ⎞
v2 1
W = ma⎜⎜ ⎟⎟ = m = mv 2
2 2
⎝ 2a ⎠
4
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es
constante.
El caso má
más sencillo es cuando la fuerza está
está aplicada en la direcció
dirección
de movimiento y que ésta depende de la posició
posición del cuerpo.
Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos
extremos
fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado
mediante una cuerda.
Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de
ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una
fuerza F2 mayor.
En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que
que
recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.
aplicada.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
(aplicada en dirección de movimiento)
F0 = 0
x0 = 0
F1
x0
F variable y aplicada en la dirección
de movimiento
x1
F2
x0
x1
x2
Si medimos la fuerza con un dinamó
dinamómetro y la posició
posición del cuerpo para
esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de realizar una
tabulació
tabulación de Fuerza contra posició
posición (F vs. x) y graficar como se
muestra a continuació
continuación.
5
Trabajo y Energía para Fuerza variable
F (Newton)
F5
F4
F3
h = F5 – F0
F2
F1
x1
x2
x3
x4
x5
x (m)
d = x5 – x0
Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado
realizado por una
fuerza variable tambié
también es igual al área bajo la recta, en este caso, un
triá
triángulo rectá
rectángulo de altura F5 - F0 y base x5 - x0, siendo ésta:
W = A=
bh ( F5 − F0 )( x5 − x0 ) F5 d
=
=
2
2
2
Trabajo y Energía para Fuerza variable
F(x)
Ff
Fi
xi
xf
x +(m)
6
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Dividamos el desplazamiento total de xi hasta xf en pequeñ
pequeños
desplazamientos iguales de anchura ∆x
F(x)
Ff
F2
F4
F3
Fi
xi
F3
F2
F1
∆x
∆x
∆x
F4
∆x
xf
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Como se puede observar, se forman rectá
rectángulos de altura F variable y
anchura ∆x constante.
Consideremos el primer desplazamiento de x1a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx),
en este intervalo, la fuerza puede considerarse aproximadamente
constante, teniendo un valor F1.
El trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un
un Δx es:
ΔW1 = F1 Δx
(área del primer rectá
rectángulo)
En el siguiente intervalo de x1 a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx ), el trabajo
realizado es:
ΔW2 = F2 Δx
(área del segundo rectá
rectángulo)
De esta forma se sigue calculando el trabajo para cada desplazamiento
desplazamiento
(áreas de los rectá
rectángulos). El trabajo total aproximado será
será la suma de
todos los incrementos de trabajo calculados individualmente, lo cual
expresado en notació
notación matemá
matemática es:
W =
n
∑ ΔW
i =1
i
=
n
∑ F Δx
i =1
i
7
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Para minimizar los faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el
número de intervalos haciendo mas pequeñ
pequeños los Δx, con lo cual
obtendremos un mayor nú
número de figuras geomé
geométricas por encima y
debajo de los rectá
rectángulos pero cuyas áreas son mucho menores que las
anteriores.
Ff
F2
F4
F3
Fi
xi
∆x
∆x
Área faltante
∆x
∆x
∆x
∆x
∆x
∆x
xf x +(m)
Área excedente
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Seguimos aumentando el nú
número de intervalos haciendo mas pequeñ
pequeños
los Δx.
Ff
F4
F3
F2
Fi
xi
+
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x xf x (m)
Área faltante
Área excedente
8
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Seguimos aumentando el nú
número de intervalos haciendo mas pequeñ
pequeños
los Δx.
Ff
F4
F3
F2
Fi
xi
xf x +(m)
∆x
Área excedente
Área faltante
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Sin embargo aú
aún seguimos teniendo pequeñ
pequeñas áreas faltantes y
excedentes, por lo que se procede nuevamente a tomar ∆x cada vez má
más
pequeñ
pequeños.
Si queremos aproximarnos aú
aún mas al trabajo real,
real, debemos hacer que el
número de rectá
rectángulos tienda a infinito y que Δx → 0 por lo que para cada
rectá
rectángulo tendremos valores mas representativos de la fuerza.
De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza será
será:
W = lim
n
∑ F Δx
n → ∞ i =1
i
Se define la integral definida de F con respecto a x como:
n
lim ∑ Fi Δx = ∫x F ( x) dx
n → ∞ i =1
xn
1
9
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Cuyo significado es el siguiente:
En el lí
límite cuando cada rectá
rectángulo se aproxima a cero, el área [F(x)
[F(x) Δx ]
de cada rectá
rectángulo se aproxima al valor real del área situada debajo de la
curva F(x) entre los lí
límites x1 y xn, lo cual nos permite decir que
El valor de la integral F(x) entre los limites x1 y x2 es igual al área situada
debajo de la curva descrita por F(x) entre esos lí
límites.
Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x) que mueve al cuerpo
de la posició
posición xf es:
posición xi hasta la posició
xf
W = ∫ F ( x )dx
xi
o en forma vectorial
xf
W = ∫ F ( x ) • dx
xi
Trabajo y Energía para Fuerza variable
De igual forma que encontramos la relació
relación entre el trabajo realizado por
una fuerza constante y la velocidad del cuerpo (energí
(energía ciné
cinética), así
así
mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posici
ón.
posició
En aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemá
cinemática ya que la
aceleració
aceleración era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a que la
fuerza aplicada es variable y en consecuencia tambié
también lo es la
aceleració
aceleración.
Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemá
matemático (multiplicar y
dividir por la misma cantidad) expresando la aceleració
aceleración de la siguiente
forma:
a=
dv dv dx dx dv
dv
=
=
=v
dt dt dx dt dx
dx
10
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Con ello, la ecuació
ecuación para el trabajo la podemos expresar como:
xn
xn
x1
x1
W = ∫ F ( x)dx = ∫ ma dx
Sustituyendo la expresió
expresión de la aceleració
aceleración encontrada anteriormente y
recordando que en la posició
ó
n
inicial
(xi ) el cuerpo tiene una velocidad
posici
inicial (v0 ); y que en la posició
ó
n
final
(xf ) tiene una velocidad final (v ),
posici
tenemos que:
xf
W = ∫ m(v
xi
v
dv
) dx = m ∫ v dv
v
0
dx
Del cá
cálculo tenemos que la integral:
n
∫ v dv =
v n +1
n +1
Luego entonces:
Trabajo y Energía para Fuerza variable
v
v1+1
v2
W = m ∫ v dv = m
=m
v0
1+1 v
2
v
v
0
W =
=
v0
1
2
m( v 2 − v 0 )
2
1 2 1 2
mv − v0
2
2
W = K − K 0 = ΔK
Que es el Teorema del Trabajo y la Energí
Energía encontrado anteriormente
para una Fuerza constante
11
Trabajo y Energía para Fuerza variable
(aplicada en cualquier dirección)
La fuerza que actú
actúa sobre un cuerpo puede variar tanto en magnitud
como en direcció
dirección por lo que el cuerpo se moverá
moverá en un plano o en el
espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas.
Encontraremos el trabajo realizado por una fuerza variable que act
úa
actú
sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse el
resultado de igual forma para el espacio.
En la siguiente figura se representa la trayectoria que describe el cuerpo
y la fuerza F que actú
así como el
actúa sobre él en varios puntos ( x , y ), así
ángulo ω que forma la fuerza con respecto al vector desplazamiento ∆ r
el cual es tangente a la trayectoria en esos puntos.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Y + (m)
b ( x2 , y2 )
y2
∆
r
ω
y1
ω
F
∆
r
ω
F
a ( x1 , y1 )
∆
x1
r
F
x2
x +(m)
El trabajo realizado sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede
puede
calcularse a partir de:
W = F (x.y) • Δr (x.y)
12
Trabajo y Energía para Fuerza variable
(aplicada en cualquier dirección)
Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las coordenadas (x ,
y), la fuerza podemos descomponerla en sus componentes
rectangulares:
– Una perpendicular al vector desplazamiento
– Otra paralela o tangente a la trayectoria;
trayectoria;
siendo esta última componente la que realiza trabajo.
El trabajo realizado por esta componente podemos considerarlo como
como
un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado sobre
el cuerpo para llevarlo desde la posició
posición b.
posición a hasta la posició
De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a un punto
sobre la trayectoria viene expresado por:
ΔW = F (x.y) • Δr (x.y) = ( Fcosφ ) Δr
Trabajo y Energía para Fuerza variable
(aplicada en cualquier dirección)
El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los estos pequeñ
pequeños
elementos de trabajo calculados para cada uno de los segmentos lineales
lineales
de ∆ r. Cuando estos segmentos se van haciendo mas pequeñ
pequeños, los
incrementos pueden reemplazarse por los diferenciales dr y la suma por
una integral. Luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza para
llevar al cuerpo desde a hasta b será
será:
b
b
a
a
Wa→b = ∫ F(x.y) • dr (x.y) = ∫ Fcosφ dr
Como podemos observar, en la expresió
expresión anterior, F y cos ω varí
varían por lo
que no podemos realizar la integració
integración hasta no conocer esta variació
variación de
punto a punto sobre la trayectoria.
Por otro lado, sabemos que:
F ( x, y ) = Fx iˆ + Fy ˆj
dr ( x, y ) = dx iˆ + dy ˆj
13
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Por lo que el producto escalar entre ellos vine dado por:
F (x.y) • dr (x.y) = ( Fx iˆ + Fy ˆj ) • (dx iˆ + dy ˆj )
Desarrollando y haciendo uso del producto escalar entre vectores
unitarios, encontramos lo siguiente:
F (x.y) • dr (x.y) = Fx dx + Fy jdy
Sustituyendo esta última expresió
expresión encontramos que:
b
Wa→b = ∫ (Fx dx + Fy jdy )
a
La integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde a
hasta b por eso se le conoce con el nombre de integral de lí
línea.
Para encontrar la relació
relación entre el trabajo realizado por la fuerza
variable y la velocidad del cuerpo, hacemos uso de la ecuació
ecuación:
b
Wa→b = ∫ (F(x.y) • dr (x.y)
a
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Descomponemos la Fuerza en sus componentes tangencial Ft y
perpendicular F┴ o normal FN a la trayectoria como se muestra en la
siguiente figura:
Y + (m)
y2
F
FN
y1
ω∆ r
Ft
x1
x2
x +(m)
14
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Expresando la segunda ley de Newton en té
términos de la componente
tangencial de la fuerza y la aceleració
aceleración (la componente normal no realiza
trabajo) tenemos que:
Ft = ma t = m
dv
dt
donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual viene
expresada como:
dr
vt =
dt
despejando
Luego entonces:
dr = vt dt
dv
dr
dt
sustituyendo en la expresió
expresión para el trabajo tenemos que:
F (x.y) • dr (x.y) = ma t drt = ma t cos φ dr = mat dr = m
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
Wa→b = ∫ F • dr = ∫ ma • dr = ∫ mat cosφ drt = ∫ ma t dr = m∫
v dv
v
dv
dr = m∫
(vt dt) = m∫ v dv
v
v
0
0
dt
dt
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Cuando el cuerpo se encuentra en el punto a, tiene asociada una
velocidad v = vi y cuando pasa por el punto b tiene una velocidad v = vf,
por lo que los lí
límites de integració
integración cambiaron en la expresió
expresión anterior
al cambiar las variables de integració
integración, quedá
quedándonos:
v
Integrando tenemos que:
Wa →b = m ∫ v dv
v0
Wa →b =
1
2
2
m (v f − v 0 )
2
W a →b =
1
1
2
2
mv f − mv 0
2
2
W a → b = K f − K 0 = ΔK
Por lo que el teorema del trabajo y la Energí
Energía se sigue cumpliendo, no
importa si la fuerza es constante o variable; si el movimiento es
es en una,
dos o tres dimensiones; o si la fuerza aplicada se encuentra en la
direcció
dirección de movimiento o no.
15
Movimiento en 1D con fuerza
variable
F(x) es el vector fuerza aplicado
al objeto en dirección x.
Diferente en cada punto
de la trayectoria
W = ∫ F ( x ) dx
Trabajo total = suma
trabajos en cada
desplazamiento
infinitesimal
Movimiento en 3D con fuerza
variable
Resultado general: El trabajo
total es la suma de trabajos
en las direcciones infinitesimales
de desplazamiento.
G
G
W = ∫ F (r ) ⋅ dr
C
Puede depender
del camino
16
Trabajo y Energía Cinética
• EL trabajo realizado
por todas las
fuerzas se puede
expresar como la
variación de energía
1
Ec = m v 2
cinética
2
v = (v x2 + v y2 + vz2 )
2
WTotal = Ec f − Eco
Teorema de conservación de la
Energía Mecánica
• Si todas las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo son conservativas la Energía Mecánica
se conserva.
FNC =0 Æ EM =cte
17
Potencia
En las aplicaciones prácticas, es
importante conocer la rapidez con que se
realiza el trabajo, para ello, se define la
potencia instantánea (P) a través de la
relación:
dW
P=
dt
• Esto es, se define la potencia como
el trabajo efectuado por unidad de
tiempo durante un intervalo de
tiempo dt muy pequeño.
18
• Como
O sea:
G G
dW = F ⋅ dr
G G
dW F ⋅ dr
P=
=
dt
dt
G G
P = F ⋅v
• Y así la potencia puede definirse
también por el producto escalar de la
fuerza y la velocidad.
• La potencia media durante un intervalo
de tiempo t es obtenida dividiendo el
trabajo total realizado W por t.
• O sea:
P =
W
t
19
Unidades de Potencia
• La unidad del sistema internacional de
unidades [S.I.] es el Watt (W):
1watt = 1
Joule
segundo
1W = 1
J
s
• Otra unidad de potencia conocida es el
HorsePower (HP), cuya equivalencia con el
Watt está dada por:
1HP = 746W
Fuerzas Conservativas
• En general sobre una partícula actúa
más de una fuerza. La fuerza resultante
es la suma de todas las fuerzas que
actúan sobre la partícula.
• De acuerdo a cierta característica se
pueden dividir los diferentes tipos de
fuerzas en dos grupos: fuerzas
conservativas y no conservativas.
20
G
F
• Una
fuerza
es
conservativa
si
su y
dependencia de las
coordenadas x, y, z de
la partícula es tal que
el trabajo realizado por
dicha fuerza para llevar
la partícula desde un
punto A a un punto B
es independiente de la
trayectoria seguida.
A m
es
conservativa
los
trabajos realizados por
ella para ir desde A
hasta B a lo largo de
las trayectorias 1,2 y 3
son iguales.
x
z
x
z
G
F
(2) (1)
G
• O sea Fsi
B
y
y
(3)
A
B
x
z
G
F = conservativa ⇒ WAB1 = WAB 2 = WAB 3
• Esta definición implica que el trabajo realizado
por una fuerza conservativa
trayectoria cíclica es nulo.
para
una
21
Energía Potencial
• Como el trabajo realizado por una fuerza
conservativa, no depende de la trayectoria
sino solamente de los puntos inicial y final,
este trabajo puede ser expresado
E p (como
x, y, z ) la
diferencia entre los valores de una
cantidad
evaluada en los
puntos inicial y final.
• La cantidad EP ( x, y, z )
se llama
energía potencial y es una función de
las coordenadas.
G
Luego, si F es una fuerza conservativa.
G G
= ∫ F ⋅ dr = EPA − EPB = −ΔEP
A
WAB
B
22
• O sea, la energía potencial es una
función de las coordenadas tal que, la
diferencia entre sus valores en las
posiciones inicial y final es igual al
trabajo efectuado sobre la partícula
para moverla desde su posición inicial a
La final. forma
deE p ( x, yla, z )
función
• la
depende de la naturaleza de la fuerza y
es así como se pueden distinguir tipos
como: energía potencial gravitatoria,
elástica, electrostática, etc.
Energía Potencial Gravitatoria
• La energía potencial
de una partícula de
masa m respecto
a un
y=0
nivel de referencia
es EPG = mgy
siendo
y
coordenada de
partícula.
la
la
y
m
G
g
y
x
z
23
Energía Potencial Elástica
• La energí
energía potencial
elá
elástica de un resorte
que se halla deformado
una distancia x respecto
de su largo natural es:
k
m
x
k
m
1
EPE = kx 2
2
donde x es la deformación del resorte y k es la constante
elástica del resorte.
Conservación de la Energía Mecánica
• Si el trabajo total realizado sobre una
partícula se debe a fuerzas conservativas
WTotal = ΔEC
tendremos:
WTotal = −ΔEP
∴ΔEC + ΔEP = 0
Δ ( EC + EP ) = 0
EC + EP = constante
24
• Es decir la cantidadEC + EP
no ha
cambiado durante el movimiento de la
partícula.
EC + EP = EM
•
EM
se llama la energía mecánica del sistema.
• Por lo tanto cuando un sistema evoluciona, solo
en presencia de fuerzas conservativas que
realizan trabajo, la energía mecánica del sistema
permanece constante, o sea se conserva.
• Si un cuerpo se
mueve solo bajo los
efectos de la fuerza
gravitacional
se
cumplirá que:
1 2
mv + mgy = constante
2
y
G
v
G
g
g
m
x
z
25
• Si un cuerpo se
mueve sobre una
superficie horizontal
de roce despreciable
bajo la acción de un
resorte se cumplirá
que:
G
g
g
x
k
G
v
m
1 2 1 2
mv + kx = constante
2
2
G
g
g
k
x
G
v
m
y
• Si un cuerpo se mueve sobre una superficie
inclinada con fricción despreciable atada a un
resorte se cumplirá que:
1 2 1 2
mv + kx + mgy = constante
2
2
26
Fuerzas No Conservativas
• Sobre una partícula pueden actuar
fuerzas
conservativas
y
no
conservativas simultáneamente.
• Entonces el trabajo total realizado sobre
la partícula será la suma de los trabajos
hechos por las fuerzas conservativas y
los trabajos de las fuerzas no
conservativas.
• Si llamamos:
WC = Suma de trabajos conservativos
WNC = Suma de trabajos no conservativos
WTotal = WC + WNC
27
• Sabemos
que:
WTotal = ΔEC
y WC = −ΔEP
∴ ΔEC = −ΔEP + WNC
WNC = ΔEC + ΔEP
WNC = ΔEM
• Por lo que concluimos que el trabajo
realizado por las fuerzas no conservativas
es igual a la variación de la energía
mecánica del sistema.
28