Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas

Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ingeniería Aeronáutica
ETSEIAT
2012
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Acerca de estos apuntes
Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura “Aeroelasticidad y
vibraciones”, que se imparte en el quinto curso de Ingeniería Aeronáutica, en intensificación en
Aeronaves, en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa, de la
Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT – UPC).
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0. Índice
0. Índice ................................................................................................................................................... 3
1. Aeroelasticidad estática en perfiles .................................................................................................... 5
Problema 1. Perfil con flap .................................................................................................................. 7
Problema 2. Perfil sobre dos muelles ............................................................................................... 10
Problema 3. Biplano en flujo subsónico ........................................................................................... 14
Problema 4. Perfil simétrico con flap ................................................................................................ 18
Problema 5. Perfil con slat y flap ...................................................................................................... 21
Problema 6. Relaciones de efectividades de mando ........................................................................ 24
Problema 7. Perfil con sistema de mando flexible ........................................................................... 27
Problema 8. Perfil con efectos no lineales ........................................................................................ 30
Problema 9. Perfil sujeto por dos muelles y con un flap .................................................................. 32
2. Flameo de perfiles............................................................................................................................. 36
Problema 1. Cubierta de un andén ................................................................................................... 39
Problema 2. Andén con distribución de masa lineal ........................................................................ 45
Problema 3. Influencia de un motor en el flameo ............................................................................ 49
Problema 4. Sin fuerzas aerodinámicas pero con una fuerza puntual ............................................. 54
Problema 5. Cálculo de la sustentación sobre un perfil oscilando en flexión .................................. 60
Problema 6. Cálculo de fuerzas generalizadas en condiciones sónicas ............................................ 63
Problema 7. Influencia del Mach supersónico en la velocidad de flameo ....................................... 68
Problema 8. Biplano .......................................................................................................................... 75
Problema 9. Cubierta de un vehículo espacial .................................................................................. 79
Problema 10. Perfil sin movimiento vertical y con masa colgando .................................................. 82
3. Ráfagas en perfiles ............................................................................................................................ 87
Problema 1. Factor de carga adimensional de una ala rígida ........................................................... 89
Problema 2. Puente frente a una ráfaga........................................................................................... 93
Problema 3. Factor de carga con ráfaga cosenoidal ......................................................................... 99
4. Flameo por separación.................................................................................................................... 103
Problema 1. Flameo por separación en flexión .............................................................................. 103
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5. Aeroelasticidad estática en alas rectas ........................................................................................... 106
Problema 1. Ala recta y uniforme ................................................................................................... 108
Problema 2. Ala sujeta a un muelle de torsión ............................................................................... 113
Problema 3. Velocidad de inversión de mando de un timón de profundidad ............................... 118
Problema 4. Ala recta ensayada en un túnel de viento .................................................................. 124
6. Flameo de estructuras unidimensionales ....................................................................................... 129
Problema 1. Fuselaje de un vehículo espacial ................................................................................ 131
Problema 2. Flameo de un panel del revestimiento de un ala hipersónica ................................... 134
Problema 3. Puente ........................................................................................................................ 139
Problema 4. Cubierta de un vehículo espacial ................................................................................ 144
Problema 5. Velero con modo ficticio ............................................................................................ 149
Problema 6. Ejemplo de modo de torsión ...................................................................................... 154
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1. Aeroelasticidad estática en perfiles
En el tema de aeroelasticidad estática en perfiles se estudian dos casos:


Divergencia: modificación del ángulo de ataque y obtención de la velocidad para que esta
sea inestable.
Inversión de mando: perdida de efectividad del mando debido a los efectos ligados al
cambio de sustentación en el alerón y su aumento del momento de picado.
Se deben tener en cuenta algunos puntos:


Al ser un estudio de perfil se toma como superficie alar como la cuerda por unidad de
envergadura
.
Se pueden utilizar valores para coeficientes de sustentación y posición del centro
aerodinámico de la teoría potencial linealizada.
Incompresible
Subsónico
Supersónico
Posición del centro aerodinámico
Coeficiente de sustentación
√
Coeficiente
√
Tabla 1.0.1. Parámetros aerodinámicos habituales



Se hace la hipótesis y las simplificaciones de ángulos pequeños.
En el estudio de la efectividad de mando se define un ángulo de ataque elástico
debido
únicamente al movimiento efecto del alerón desplegado un ángulo . No hay que confundir
el ángulo de deflexión del alerón con el coeficiente que depende del número de Mach.
Se define la efectividad de mando como la relación entre la variación total de la sustentación
y la variación de sustentación debida a la deflexión del alerón
.
(1.0.1)
Los problemas más típicos son los de análisis de la velocidad de divergencia. El procedimiento básico
suele ser el mismo pero el desarrollo puede variar mucho entre problemas. Normalmente la pauta a
seguir es la siguiente:
1. Se debe analizar el número de grados de libertad que tiene el sistema. Normalmente el
número es igual a la cantidad de muelles de torsión y muelles de flexión.
También se escogen las variables, normalmente se tiene una variable más de los grados de libertad,
ya que a parte de los movimientos de los muelles también hay otro tipo de variables como por
ejemplo el ángulo en un perfil que no tenga muelle de torsión.
Al tener más variables que grados de libertad se deben encontrar relaciones entre las variables, por
ejemplo se puede encontrar relaciones entre los movimientos de los muelles y la variación del
ángulo de ataque. El problema 3 tiene un buen ejemplo del análisis de las contribuciones de
distintos grados e libertad sobre un ángulo de ataque.
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2. Se deben encontrar tantas ecuaciones de fuerzas o momentos como grados de libertad se
tengan. Estas ecuaciones dependerán de la variable que no es grado de libertad, por lo que se debe
sustituir con la relación obtenida en el punto 1.
La elección de que ecuación de equilibrio depende de cada problema aunque cualquier elección
llega a un resultado correcto. En general se suelen utilizar equilibrios de momentos ya que en el
análisis de divergencia solo se estudia la modificación del ángulo de ataque.
3. Se escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial. La condición de divergencia aparece
cuando el determinante de la matriz es nulo. Normalmente se pide despejar la presión dinámica de
divergencia.
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Problema 1. Perfil con flap
Para estudiar el comportamiento de un perfil ante el accionamiento de un flap considere la
configuración mostrada en la figura.
El perfil, situado en el seno de una corriente supersónica, puede girar alrededor del punto fijo ,
⁄(
)).
retenido por la acción de un muele de constante elástica por unidad de longitud (
La acción del muelle es nula cuando el ángulo es nulo. El perfil está provisto de un flap, articulado
en , cuya deflexión se consigue aplicando desde un mando un momento externo
. Ninguno de
los elementos considerados tiene masa. Utilice el siguiente parámetro ̅ .
̅
√
Donde es la presión dinámica,
adimensionalizados con la cuerda del perfil.
y
es la cuerda del perfil. Además
y
ya están
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico se pide:
a)
b)
c)
d)
Calcule el momento
que hay que aplicar al flap para obtener una deflexión .
Calcule el ángulo que se produce como consecuencia de la deflexión del flap.
Calcule el coeficiente de sustentación global del perfil completo en función de .
⁄ , en particular en las
Estudie la influencia de los parámetros
y
en
condiciones que hacen nula o infinita esta derivada. Interprete los resultados.
Figura 1.1.1. Perfil del ala con flap
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Resolución
a) Momento
Al tener un perfil en condiciones supersónicas las perturbaciones no se mueven aguas arriba, por lo
que la distribución de sustentación del alerón no influye al resto del ala. Por lo tanto se divide el
problema en dos perfiles separados.
Figura 1.1.2. Perfiles separados
Por lo tanto los coeficientes de sustentación de los dos perfiles son
(
)
(1.1.1)
Hay que recordar que el coeficiente de sustentación están escritos en función de su cuerda (que es
menor que la cuerda total del ala). Se puede representar la sustentación global como se observa en
la siguiente figura.
(
)
Figura 1.1.3. Distribución del perfil
Se hace el equilibrio de momentos en la charnela.
(
)
(
)
(
)(
)
(1.1.2)
b) Ángulo
Se hace ahora el equilibrio de momentos respecto al eje elástico. Se tienen tres contribuciones: el
flap, el muelle y el perfil (sin flap).
(
)
(
-8-
)
(1.1.3)
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Se adimensionaliza la expresión y se obtiene el ángulo .
(
)(
) (
)
̅
(
)
(1.1.4)
̅
c) Coeficiente de sustentación global ( )
El coeficiente de sustentación global es la integral de la distribución de la Figura 1.1.3.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
̅
(
Donde todo lo que está multiplicando a
d) Influencia de los parámetros
Se opera con el
̅
es el coeficiente
y
)
(1.1.5)
.
⁄
en
obtenido antes. Considerando que el coeficiente es nulo se obtiene
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(1.1.6)
Uno es el caso de no tener flap y el otro de tener rigidez infinita. En el caso de que el coeficiente sea
infinito solo se puede obtener si el denominador del cociente es igual a .
̅
-9-
(1.1.7)
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Problema 2. Perfil sobre dos muelles
Se introduce en un túnel aerodinámico una placa plana de envergadura mucho mayor que la cuerda
unida al suelo mediante muelles colocados tanto en el borde de ataque como en el de salida. Se
desea calcular la velocidad de divergencia en esta configuración. Para ellos se estudiará el modelo
bidimensional representado en la figura. La cuerda del perfil es
y su masa por unidad de
envergadura es . El muelle del borde de ataque tiene una rigidez por unidad de longitud , y el
muelle del borde de salida . En función de los parámetros del problema se pide:
a) Calcular y representar gráficamente la influencia que tiene en la presión dinámica de
divergencia la relación entre las constantes de rigidez de los muelles, tanto en régimen
subsónico (empleando la corrección de Prandtl-Glauert) como en régimen supersónico.
b) Discutir brevemente el resultado anterior.
c) Cuando los muelles son iguales, encontrar la presión dinámica de divergencia adimensional
en función del número de Mach de la corriente incidente
.
Figura 1.2.1. Perfil sobre dos muelles
- 10 -
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Resolución
a) Influencia que tiene en la presión dinámica de divergencia la relación entre las constantes de
rigidez de los muelles
El problema tiene tres variables ( , y ), pero en verdad solo tiene dos grados de libertad ya que
se puede obtener una relación geométrica como ecuación extra. Se eligen como dos grados de
libertad los desplazamientos de los muelles ( y ).
De la geometría del problema y considerando grados pequeños se obtiene una relación entre las tres
variables.
(1.2.1)
Los coeficientes de sustentación del perfil tanto en subsónico como en supersónicos los siguientes.
√
(1.2.2)
√
Se plantea primero el problema subsónico. El equilibrio de fuerzas es
(1.2.3)
Al tener un perfil simétrico no se tiene ningún momento en el centro aerodinámico. Se recuerda que
el momento aplicado en el centro aerodinámico no depende del ángulo de ataque y sin ángulo de
ataque no hay un momento aerodinámico en un perfil simétrico.
El equilibrio de momentos respecto al centro aerodinámico es
(1.2.4)
Sustituyendo el ángulo obtenido en la ecuación (1.2.1) en la ecuación (1.2.3) se obtiene una
ecuación que solo depende de los desplazamientos de los muelles. Junto con la ecuación (1.2.4) del
equilibrio de momentos se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
[
]{ }
{
}
(1.2.5)
La condición de divergencia se da cuando no se puede invertir la matriz. Se puede ver como los
términos que no dependen de los grados de libertad (pesos, coeficientes de momento…) cambian la
posición de equilibrio pero no afectan en la divergencia. Esos términos aparecen en el vector
solución del sistema pero no en la matriz.
La única de forma de que la matriz no tenga inversa es teniendo un determinante nulo.
[ ]
(
[
)(
(
)
)
- 11 -
(
)(
]
)
(1.2.6)
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Pudiendo despejar la presión dinámica de divergencia.
(1.2.7)
Ahora se calcula el caso supersónico. Al ser supersónico, el centro de momentos aerodinámicos se
sitúa en medio de la cuerda y coincide con el centro de gravedad. De forma similar se obtienen dos
expresiones utilizando equilibrios de fuerzas verticales y momentos en el centro de gravedad.
(1.2.8)
(1.2.9)
Se obtiene de forma similar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
(
[
)
]{ }
{
}
(1.2.10)
Se calcula el determinante de la matriz y se iguala a cero para obtener la presión dinámica de
divergencia en flujo supersónico.
(
)
(
)
(1.2.11)
Las presiones dinámicas se pueden adimensionalizar con la constante de uno de los muelles.
Obteniendo para los dos casos (subsónico y supersónico).
⁄
Subsónico
Supersónico
⁄
Figura 1.2.2. Influencia de
y la relación entre las constantes de rigidez de los muelles
- 12 -
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Las expresiones para los dos tipos de flujos (subsónico y supersónico) son
(1.2.12)
Las funciones representadas en la Figura 1.2.2 son las influencias que tienen en la presión dinámica
de divergencia la relación entre las constantes de rigidez de los muelles. Ambas curvas divergen
cuando el denominador es igual a cero.
b) Discutir el resultado
En función de la relación de las rigideces de los muelles se desplaza el eje elástico del perfil. Si
es
más rígido que
el eje elástico avanza hacia el borde de ataque aumentando así la presión
dinámica de divergencia.
c) Presión dinámica de divergencia adimensional en función del número de Mach
Si los muelles son iguales se obtiene para los dos casos
(1.2.13)
- 13 -
Andrés Zarabozo Martínez
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Problema 3. Biplano en flujo subsónico
Considere un biplano subsónico tal que el ala superior está unida al fuselaje, mientras que el ala
inferior cuelga de ésta mediante unas barras que unen los bordes de ataque y los bordes de salida
de ambas. Para estudiar la velocidad de divergencia se considera una sección característica, de
cuerda . La rigidez a torsión se representa mediante un muelle de torsión de rigidez , por unidad
de longitud, situado en el eje elástico del ala superior. Las barras se representan por muelles de
flexión de rigideces
(la que une los bordes de ataque) y
(la que une los bordes de salida) por
unidad de longitud. Se suponen conocidos los coeficientes aerodinámicos de ambos perfiles:
y
para el superior y
y
para el inferior. La distancia entre eje elástico y centro
aerodinámico en el perfil superior vale , positiva cuando el eje elástico se sitúa por detrás del
centro aerodinámico. La longitud natural de los muelles es suficientemente grande como para que
puedan despreciarse los efectos aerodinámicos de interacción entre ambos perfiles.
a) Escriba las ecuaciones que permiten determinar la configuración de equilibrio del sistema en
función de las constantes conocidas y la presión dinámica .
b) Escriba la ecuación que permite obtener la presión dinámica de divergencia .
c) Para el caso en que ambos perfiles y ambos muelles de flexión sean idénticos y el eje elástico
esté situado en el punto medio del perfil, halle la presión dinámica de divergencia en los
límites
y
.
Figura 1.3.1. Diagrama del problema
- 14 -
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Resolución
a) Sistema de ecuaciones
El problema tiene cuatro variables (
y ), hay que recordar que el movimiento del muelle
de torsión viene dado por la variable . Debido a que se puede conseguir una expresión que
relacione variables gracias a la geometría del problema, el sistema tiene tres grados de libertad.
Lo primero que se hace es la hipótesis de ángulos pequeños y se definen los deformaciones hacia
arriba de los muelles como positivas y los giros horarios de los ángulos también como positivos. Se
analiza ahora, utilizando la siguiente figura, la contribución que tienen los tres grados de libertad
(
y ) sobre . Para ello se genera una perturbación positiva de cada grado de libertad y se
calcula la perturbación en . Como el problema es lineal, la solución final es la suma de las tres
soluciones.
Figura 1.3.2. Análisis de las contribuciones de los distintos grados de libertad sobre
(1.3.1)
Se necesitan ahora tres ecuaciones, combinando equilibrio de fuerzas y de momentos. Se decide
utilizar dos ecuaciones de equilibrio de momentos (respecto al eje elástico del perfil y respecto al
centro aerodinámico del perfil ) y una ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en el perfil .
Debido a que se utiliza teoría de perfiles, las superficies alares son igual a la cuerda por una unidad
de longitud (
).
Se empieza por la ecuación de equilibrio de momentos respecto al eje elástico del perfil 1.
(
(
)
[
(
)]
[
)
(
(
)]
)
(1.3.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos respecto al centro aerodinámico del segundo perfil.
(1.3.3)
Finalmente el equilibrio de fuerzas verticales en el perfil 2 queda
(
)
- 15 -
(
)
(1.3.4)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
El sistema en forma matricial es el siguiente
(
)
(
)
(1.3.5)
[
]
{
}
{
}
b) Ecuación que permita encontrar la presión dinámica de divergencia
La presión dinámica de divergencia se obtiene cuando el sistema no tiene solución, cuando la matriz
no puede invertirse, es decir, cuando el determinante de la matriz es nulo.
(
)
(
)
|
|
|
|
(1.3.6)
c) Hallar la presión dinámica de divergencia para los dos casos concretos
Se tienen las siguientes igualdades
(1.3.7)
La matriz del sistema queda
(1.3.8)
[
]
Para encontrar la presión dinámica de divergencia se hace el determinante y se iguala a cero.
(
)[
(
y
(
(
)(
(
Se hacen los límites para
)
)]
)
(1.3.9)
. Se empieza con el primer caso.
)(
)
(1.3.10)
- 16 -
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Para el caso de
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
.
(
)
(1.3.11)
- 17 -
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Problema 4. Perfil simétrico con flap
La figura muestra un perfil simétrico de cuerda en un túnel de viento. Este perfil se encuentra
articulado a un punto fijo por un punto situado a una distancia
medida desde el borde de ataque
mediante un muelle de torsión de rigidez
por unidad de longitud, y su borde de salida está unido
a un punto fijo mediante un muelle de flexión de rigidez
por unidad de longitud. El perfil está
provisto de un flap de longitud . Se conocen los coeficientes aerodinámicos
y
del
perfil. Por tratarse de un flap ranurado, puede suponerse que la distribución de presiones sobre el
flap cuando este sufre una deflexión no está influida por el resto del perfil, siendo
la pendiente
de la curva de sustentación del flap aislado. Los muelles se encuentran en su posición natural cuando
el perfil tiene ángulo de ataque nulo y el flap no está deflectado. Para generar la corriente incidente
se dispone de un ventilador que puede funcionar a dos velocidades
y , siendo
. Se
pide:
a) Con el flap sin deflectar y bloqueando, halle la posición
a la que debe articularse el flap
para que la divergencia se produzca a la velocidad .
b) Con el flap articulado en la posición hallada en el apartado anterior se cambia la velocidad
de la corriente incidente a . Calcule el momento externo que hay que ejercer sobre el flap
( ) para que éste se deflecte un ángulo .
c) En la situación del apartado anterior, halle el valor de (longitud adimensional del flap) para
el cual el ángulo de ataque del perfil se hace independiente de la deflexión del flap.
Figura 1.4.1. Diagrama del perfil del problema
- 18 -
Andrés Zarabozo Martínez
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Resolución
a) Posición
para que haya divergencia con
Se empieza haciendo el equilibrio de momentos respecto al eje elástico.
(
)
(
)
(1.4.1)
Al hablar de divergencia no es importante la posición de equilibrio, es decir que se puede considerar
. Además como el perfil es simétrico no hay momento aerodinámico aunque se podría haber
despreciado al calcular la divergencia ya que no dependería del ángulo de ataque y pasaría al
término independiente de la ecuación.
⁄ . La ecuación de equilibrio de momentos queda
Del dibujo la distancia
(
[
)
(
)
]
(1.4.2)
La condición de divergencia aparece cuando la parte multiplicando a
es nula. La posición
donde la presión dinámica es la de divergencia
(con la velocidad ) es por lo tanto
(
)
(
(
)
)
(
)
√
Para los rangos de velocidades en que
b) Con velocidad
en
(1.4.3)
no esté dentro de la cuerda no podría haber divergencia.
, calcular el momento
para un ángulo .
Debido al cambio de velocidad se sabe que no hay divergencia. Primero hay que equilibrar el flap y
luego se equilibra el perfil completo. Así no hace falta contar el momento interno.
Se hace el equilibrio de momentos en la charnela, utilizando ángulos pequeños y tratando el flap
como un elemento aislado.
)
[(
)]
(1.4.4)
Donde
(
)
(1.4.5)
Y ahora el equilibrio del perfil completo
[(
)
](
)
(
(
(
)(
)
(
)
(
- 19 -
)
)
)
(1.4.6)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Sustituyendo esta expresión de
ejercido sobre el flap .
en la ecuación el equilibrio en la charnela se obtiene el momento
(
[
c) Longitud adimensional
en el que
De la ecuación (1.4.6) se busca el valor de
[(
)
]]
)
(1.4.7)
no depende de
en el que
(
(
.
)
(
)
(
)
(
)
(
- 20 -
)
(
)
(
)
)
(1.4.8)
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Problema 5. Perfil con slat y flap
Considere un perfil de cuerda , cuya masa está distribuida homogéneamente, volando en régimen
supersónico con un número de Mach
. El perfil tiene un flap de borde de ataque y otro de borde
de salida, ambos de longitud ⁄ , articulados a la parte central mediante muelles de torsión de
constante elástica
y
respectivamente, y está unido por el centro a un punto fijo a través de un
muelle de torsión de constante elástica . Tome como grados de libertad los ángulos
y tal
como se muestran en la figura. Se pide:
a) Plantear las ecuaciones que determinan el estado de equilibrio del sistema y obtener la
presión dinámica de divergencia.
b) Particularizar el resultado anterior para el caso en que
. Comentar lo que
ocurre cuando
y cuando
.
⁄
⁄
Figura 1.5.1. Diagrama del perfil del problema
- 21 -
⁄
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Resolución
a) Sistema de ecuaciones de equilibrio y presión dinámica de divergencia
Al volar en régimen supersónico se pueden separar los distintos elementos: slat, perfil y flap.
Figura 1.5.2. Separación de las tres partes del perfil
√
Se sabe que se vuela en régimen supersónico con
para el slat ( ), perfil ( ) y flap ( ) son
(
. Los coeficientes de sustentación
)
(
)
(1.5.1)
Se hace ahora el equilibrio de momentos en las tres partes por separado. Se empieza por el slat.
(
)
(1.5.2)
Seguido del equilibrio de momentos en el flap.
(
)
(1.5.3)
Finalmente se hace el equilibrio de momentos del perfil completo en el centro aerodinámico.
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(1.5.4)
El sistema de ecuaciones de equilibrio es por lo tanto
(1.5.5)
{ }
[
{ }
]
⁄ . Se resuelve el determinante de la
Para simplificar la anotación se crea una variable
matriz del sistema para encontrar la presión dinámica de divergencia (que está dentro de ).
- 22 -
Andrés Zarabozo Martínez
(
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
)(
(
)
(
)
(
)
)
(1.5.6)
Resolviendo este polinomio se obtiene .
(
√(
)
)
(
)
(
(1.5.7)
)
Como debe ser un número positivo, se puede eliminar una de las dos soluciones. Y por lo tanto la
presión dinámica de divergencia queda
(
)
√(
)
(
(
)
(1.5.8)
)
b) Particularizar el resultado para
, analizar para
y
Se parte de la ecuación (1.5.8) y se particulariza para el caso del enunciado.
√ (
)
(
)
√
Se analiza la solución en la ecuación (1.5.9) para los dos casos,
(1.5.9)
y
.
(1.5.10)
- 23 -
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Problema 6. Relaciones de efectividades de mando
Se desea estudiar como afecta la colocación de un flap de borde de ataque a la efectividad del
mando de un perfil. Para ello considere un perfil de cuerda , articulado en su eje elástico mediante
un muelle de torsión de rigidez
. La distancia entre este punto y el centro aerodinámico vale
(positivo cuando el centro aerodinámico está por delante del eje elástico). El perfil se modifica
articulando la parte comprendida entre el borde de ataque y un punto situado a una distancia de
este, mediante un muelle de torsión de rigidez , de modo que esta parte pasa a ser un flap de
borde de ataque. La distancia entre el centro aerodinámico del flap y su articulación con el perfil es
igual a .
La posición del perfil queda determinada por su ángulo de ataque (positivo cuando el borde de
ataque sube), el ángulo de deflexión del alerón (positivo cuando su borde de salida baja), y en el
caso de perfil modificado el ángulo de deflexión del flap (positivo cuando su borde de ataque baja).
Se suponen conocidas las derivadas de los coeficientes aerodinámicos del perfil (
) y del flap aislado
y
. Se pide:
a) La relación entre la efectividad del mando del perfil modificado y la del perfil original (sin
flap) en función de la presión dinámica.
b) Suponga ahora que el centro aerodinámico y el eje elástico del perfil coinciden y que la
rigidez de la articulación del flap es nula. Si para una cierta presión dinámica, la efectividad
del mando del perfil original vale , se desea obtener la relación que deben cumplir las
derivadas de los coeficientes aerodinámicos para que ésta se conserve en el perfil
modificado.
Figura 1.6.1. Diagrama del perfil
- 24 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Relación entre efectividades de mando en fundición de la presión dinámica
Se debe analizar la relación de la efectividad de mando para las dos configuraciones. Se empieza
analizando la configuración sin flap. Se hace el equilibrio de momentos en el eje elástico.
[ (
)
]
(1.6.1)
Se hace el equilibrio de momentos en el flap de borde de ataque. Al cambiar de curvatura se cambia
de ángulo de ataque. Se define el ángulo de ataque de la segunda configuración.
Figura 1.6.2. Perfil del flap de borde de ataque
(
)
(1.6.2)
Se hace también el equilibrio de momentos en el eje elástico del perfil con flap.
(1.6.3)
[ (
)
]
Introduciendo la expresión (1.6.2) en la ecuación (1.6.3), se puede obtener una expresión que
relacione con .
(
(
)
[
)
]
- 25 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
{
)
(
[
)
]}
(
(1.6.4)
)
[
]
La efectividad de mando se define como la relación
efectividades de mando es simplemente
.
(
. Por lo tanto la relación entre
)
(
(1.6.5)
)
b) Relación de las derivadas de los coeficientes aerodinámicos para que se conserve
Se tienen como condiciones que
utilizando las dos condiciones.
y que
. Se simplifican los tres términos
y
(1.6.6)
La relación de efectividades de mando debe de ser igual a uno.
(1.6.7)
Esto se debe cumplir para la presión dinámica en la que se cumple la condición de que la
efectividad de mando del perfil valga (y además no cambie con el despliegue del flap). La eficiencia
de mando del perfil sin flap teniendo en cuenta que
es
(
)
- 26 -
(1.6.8)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 7. Perfil con sistema de mando flexible
Se desea calcular la presión dinámica de divergencia de un perfil cuando el sistema de mando no es
perfectamente rígido y se tienen condiciones supersónicas. El efecto elástico del alerón se
representa por un muelle de torsión situado en la charnela. Sabiendo que las constantes de los
muelles de torsión del eje elástico y respecto de la charnela valen
y
respectivamente se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio estático del perfil con el alerón suponiendo ambos
como placas planas.
b) Obtener la presión dinámica de divergencia del sistema.
c) Obtener la presión dinámica de divergencia del sistema cuando el sistema de mando es
infinitamente rígido.
Figura 1.7.1. Diagrama del perfil
- 27 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Sistema de ecuaciones del equilibrio estático
Se define
como la contribución de la sustentación del perfil y
Los coeficientes de sustentación del perfil y del alerón son
(
como la contribución del alerón
)
(1.7.1)
Se hace el equilibrio de momentos en el alerón. Al ser placa plana no hay momento aerodinámico.
(
[
)
(
)
) ]
[
(
(
)
) ]
(
(1.7.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos del perfil entero en el eje elástico. Al ser placas planas no
hay momento aerodinámico.
(
)
(
)
Las superficies de los distintos tramos del perfil son
(
{
(
)
(
)
[
(
[
(
(
y
(
)
)
(
)
(
.
)
)(
)(
[
)
(
(
)]
(1.7.3)
)
)
]}
)
(
)(
)]
(1.7.4)
Utilizando la ecuación (1.7.2) y (1.7.4) se obtiene el sistema de ecuaciones.
(
)
(
[
(
)
(
)(
)
]{ }
)
{ }
(1.7.5)
b) Presión dinámica de divergencia
Se define la variable ( ) como
(1.7.6)
- 28 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se obtiene la presión dinámica de divergencia cuando el determinante de la matriz del sistema es
nulo.
(
) (
(
(
[
(
)
(
)
) (
) [(
Resolviendo el polinomio se obtiene
(
)]
)
)(
[
)
(
)
)]
(
(1.7.7)
)]
y con esta la presión de dinámica de divergencia.
c) Presión dinámica de divergencia cuando
Se divide la expresión anterior por
(
y se hace el límite.
) [(
[
)(
)
(
)
(
(
(
)]
)]
)
(1.7.8)
Para ambos casos una vez se obtiene se debe obtener de forma iterativa
ya que depende de
la presión dinámica y del número de Mach. Pero se puede poner
en función de la presión
dinámica.
( )
√
(1.7.9)
Se estudia con este método el caso del apartado c.
(
(
)
)(
)
√
- 29 -
(1.7.10)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 8. Perfil con efectos no lineales
Determinar la velocidad de divergencia de un perfil reteniendo efectos no lineales tanto en las
fuerzas aerodinámicas como en las elásticas.
Asimismo describir la influencia de la posición del eje elástico en la velocidad de divergencia.
Nota: se pueden suponer que los efectos son cuadráticos.
- 30 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
El perfil se modeliza según la figura 1.8.1.
Figura 1.8.1. Modelización del perfil
Se supone que el momento del muelle y la sustentación son funciones cuadráticas.
(
)
(
)
[
El ángulo de ataque
(
(
)
]
)
(1.8.1)
es
{
(
[
(
(
[
)
[
Se resuelve el polinomio para obtener
)
(
(
)]
)
, se utilizan coeficientes
√
}
)]
]
(1.8.2)
y .
(1.8.3)
La divergencia ocurre cuando el denominador se vuelve cero, por lo que para obtener la velocidad
de divergencia se debe resolver la siguiente ecuación
.
(
)
(1.8.4)
Por lo que la velocidad de divergencia es
√
Para que se produzca divergencia
detrás del centro aerodinámico.
(1.8.5)
debe de ser positivo, por lo que el eje elástico debe de estar por
- 31 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 9. Perfil sujeto por dos muelles y con un flap
La figura muestra una placa plana de cuerda y masa
distribuida homogéneamente apoyada
sobre dos soportes elásticos de rigideces
y
situados respectivamente en el borde de ataque y
el borde de salida. A ésta se le ha añadido, a través de un muelle de torsión de rigidez
un flap de
longitud y masa
también distribuida homogénea. El conjunto se encuentra situado en el seno
de una corriente supersónica. Se pide:
a) Definir los grados de libertad del sistema y escribir las ecuaciones de equilibrio en funciones
de éstos.
b) Adimensionalizar dichas ecuaciones, definiendo los parámetros adimensionales que sean
necesarios. Utilizar como longitud de referencia y como masa de referencia.
c) Escribir la ecuación que define el estado de divergencia del sistema.
d) Particularizar el resultado anterior para
, y halle el número de Mach de divergencia
( ). Para ello suponga conocidas la densidad y la velocidad del
en función de la altitud
sonido en función de ésta ( ( ) y ( )).
Figura 1.9.1. Diagrama del perfil del problema
- 32 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Grados de libertad y ecuaciones de equilibrio de fuerzas
El problema tiene tres grados de libertad, dos para el movimiento vertical y de rotación del perfil y
otro para la deflexión del flap. Se eligen como grados de libertad los movimientos de los muelles
(deflexión hacia abajo), y (compresión de los muelles).
El ángulo de ataque se puede obtener a partir de la deflexión de los muelles.
(1.9.1)
Al ser un problema supersónico se pueden separar los perfiles puesto que las perturbaciones solo se
propagan a lo largo de las líneas características.
Se hace el equilibrio de momentos en el flap respecto a la charnela.
(
)
(1.9.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos en el perfil completo respecto a la charnela.
(
)
(1.9.3)
Finalmente como tercera ecuación se utiliza el equilibrio de fuerzas verticales en el perfil completo.
(
Como paso optativo si se despeja
otras dos ecuaciones.
)
(1.9.4)
de la ecuación (1.9.2), este se puede sustituir y simplificar las
(
)
(1.9.5)
(1.9.6)
(1.9.7)
Se rescriben las expresiones aislando las variables.
(
)
(
(1.9.8)
)
(
)
- 33 -
(1.9.9)
(
)
(1.9.10)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
b) Adimensionalizar las ecuaciones
Debido a que
incluye la velocidad y esta es la variable que se quiere obtener es mejor
adimensionalizar utilizando el peso como fuerza de referencia y así los parámetros adimensionales
no dependen de la velocidad. Se dividen las dos primeras ecuaciones por
y la tercera por
.
[
( ) ]
( )
(
( )
(1.9.11)
)
(
(1.9.12)
)
(
)
(1.9.13)
Se definen los siguientes parámetros adimensionales
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(1.9.14)
Las ecuaciones del sistema quedan de la siguiente forma
(̅
̅ ̅ )
̅
(̅
̅
(̅
̅
̅
̅ ̅
̅) ̅
̅
̅) ̅
(̅
̅ ̅
̅
̅
̅
(1.9.15)
̅
(1.9.16)
̅) ̅
(1.9.17)
c) Ecuación que define el estado de divergencia
Se escribe el sistema de ecuaciones de forma matricial.
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅
[
̅
̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(1.9.18)
̅ { ̅ }
]
{
}
El estado de divergencia se obtiene cuando el determinante de la matriz es nulo y obtener ̅.
̅
|
|
̅ ̅
̅
̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
|
̅
̅
(1.9.19)
̅
|
Una vez se obtiene ̅ se puede obtener la velocidad de divergencia utilizando (1.9.14).
- 34 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
d) Particularizar la ecuación para
Particularizando de esta forma el determinante queda
̅ ̅
|
|
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
(̅
̅)( ̅
̅ ̅
|
̅( ̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅ ̅ |
|
|
̅
(1.9.20)
̅
̅
̅( ̅
̅)
̅)
(̅
̅
̅̅
̅
̅ )̅
̅)
̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
(1.9.21)
̅
Se debe encontrar la velocidad.
̅ ̅
̅
̅
( )
√(
)
( )
[(
)
]
(1.9.22)
Se resuelve la ecuación parabólica.
√
√
- 35 -
(1.9.23)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
2. Flameo de perfiles
Dentro de el estudio de aeroelasticidad en perfiles, el flameo es el más importante. Se estudia el
flameo en perfiles tanto para casos incompresibles como para casos compresibles o supersónicos.
Se deben tener en cuenta algunos puntos:


Se define el movimiento vertical , tiene dimensiones y es positivo hacia abajo. También se
define la variación del ángulo de ataque es negativa cuando el perfil tiende a picar.
Se considera movimiento harmónico y se utiliza la anotación para definir las amplitudes de
los movimientos mediante una barra encima de la variable.
El ejemplo clásico de perfil en el estudio de flameo es el siguiente
Figura 2.0.1. Modelización típica de perfil para el estudio del flameo
Se definen los siguientes parámetros:



En vez de trabajar con cuerdas se utiliza la semicuerda . Las distancias se adimensionalizan
con esta semicuerda.
⁄( )
La distancia adimensional entre CG y ee es
⁄(
)
La radio de giro adimensional del perfil es
Los pasos a seguir en un problema típico de flameo son:
1. Se definen los grados de libertad del sistema. Normalmente se tienen los mismos grados de
libertad que muelles de torsión y muelles de flexión.
Se calcula la posición de los puntos del perfil ( ). La siguiente ecuación puede servir para
perfiles como el de la figura 2.0.1, pero es aconsejable leer con cuidado el enunciado por si el
problema es distinto al estudiado en teoría.
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(2.0.1)
Además se calcula la derivada de esta función, es decir ̇ .
2. Se calcula la energía potencial y la energía cinética. Para la energía cinética se puede usar la
ecuación integral.
- 36 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
∫
̇
(2.0.2)
O bien si el problema es sencillo y se conoce el momento estático
puede hacer una suma de la contribución de cada movimiento.



(o primer momento de área) se
̇
Para movimientos verticales:
Para giros:
Para el efecto cruzado:
̇
̇ ̇
(2.0.3)
(2.0.4)
(2.0.5)
La energía potencial se obtiene de la contribución de cada muelle.


Para muelles de flexión:
Para muelles de torsión:
(2.0.6)
(2.0.7)
3. Se deben calcular ahora las ecuaciones del sistema utilizando la ecuación de Lagrange para
cada grado de libertad .
(
̇
)
(2.0.8)
Se introducen las frecuencias propias del sistema (que no son las frecuencias acopladas del sistema).
Estas frecuencias que se ponen a continuación sirven para problemas de perfiles que sean del estilo
del perfil de la figura 2.0.1.
(2.0.9)
4. Se calculan las fuerzas generalizadas si no vienen dadas en el enunciado. Se hacen aplicando
esfuerzos virtuales. Hay dos problemas en este tema que tratan de calcular fuerzas generalizadas.
Se debe encontrar la distribución del coeficiente de presión. El trabajo virtual es
∫
(2.0.10)
Para encontrar las fuerzas generalizadas se deriva el trabajo respecto a cada variación de grado de
libertad.
(
)
(2.0.11)
5. Se aplica la condición de movimiento harmónico. Debido a que todas las variables se pueden
dejar como una amplitud multiplicada por un mismo exponente, este exponente, y por lo tanto la
dependencia del tiempo, se puede eliminar.
Normalmente se adimensionalizan las ecuaciones utilizando como variables de referencia
alguna frecuencia propia del sistema (por ejemplo ).
- 37 -
,
y
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
6. Se escriben las ecuaciones en forma matricial. La condición de flameo ocurre cuando el
determinante de la matriz del sistema es nula.
Normalmente el determinante depende de dos variables y (aunque realmente dependen de una
sola variable ya que
( ), pero es muy difícil sustituir ). Se puede resolver ya que se tienen
dos ecuaciones si se separa la parte de real de la parte imaginaria.
Un método de resolución mediante iteraciones es el método VG que consiste en:
a. Seleccionar un rango para la frecuencia reducida
entre
y , con:
(2.0.12)
b. Entre dos valores de
se calculan
matrices
adicionales por interpolación:
(2.0.13)
c. Partiendo de la frecuencia reducida
̅
mayor se obtiene:
(
)
(2.0.14)
d. Se calculan los autovalores de la matriz .
e. Para cada autovalor se comprueba:
( )
( )
( )
f.
( )
(
)
} ⇒
(2.0.15)
{
En caso negativo se vuelve al paso 3 y se pasa a la siguiente
- 38 -
.
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 1. Cubierta de un andén
Se quiere estimar el comportamiento aeroelástico de la cubierta de un andén construido en una
estación ferroviaria. Para ello se ha considerado conveniente modelar una sección característica de
la misma tal y como se representa en la figura. Se supone que ésta es una placa plana de cuerda
y
de masa por unidad de longitud
, soportada por dos pilares, cuya rigidez a tracción es
y
respectivamente.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema, y expresarlas de forma
adimensional, no considerando el efecto de disipación estructural.
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
c) Estudiar en el intervalo de frecuencia reducida de la tabla adjunta la velocidad adimensional
de flameo en los tres casos:
 Las dos vigas tienen la misma rigidez
 No hay viga en el borde de ataque
 No hay viga en el borde de salida
Figura 2 1.1. Diagrama del perfil de la cubierta del andén
A continuación se presenta una tabla con valores de la función de Theodorsen.
( )
( )
( )
( )
(2.1.1)
( )
Tabla 2.1.1. Valores de la función de Theodorsen
La sustentación y el momento aerodinámico con la relación a un punto situado a una distancia
del centro del perfil valen respectivamente
- 39 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
[ ̈
̇
{[
( )[ ̇
̈]
̈
(
(
) ̇
) ( )[ ̇
- 40 -
(
(
) ̇]
(2.1.2)
) ̈]
(2.1.3)
(
) ̇ ]}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Ecuaciones del movimiento del sistema
El problema tiene dos grados de libertad. Dos posibilidades son usar los movimientos de los muelles
(
) o bien el movimiento del perfil (
). Utilizando la segunda posibilidad se pueden emplear
directamente las expresiones para (cambiando el signo) y para
como fuerzas generalizadas.
Las deformaciones de los muelles (
) expresadas en las variables del problema son
(2.1.4)
La altura del perfil es
(2.1.5)
Se calculan las energías, tanto la cinética como la potencial. Como el eje de giro que se ha tomado
como referencia coincide con el centro de masa entonces es nulo.
(
̇
̇
)
(
(2.1.6)
)
(2.1.7)
Las ecuaciones del sistema se obtienen a partir de la ecuación de Lagrange.
(
̇
)
(2.1.8)
Se calcula primero para la variable . Se hacen las derivadas.
̇
̇
̈
(
)
(
)
(2.1.9)
(
)
(
)
(2.1.10)
(
)
(2.1.11)
Se hace lo mismo pero para la variable .
̇
(
̇
[
̈
)
(
)
Para adimensionalizar se divide la ecuación (2.1.10) por
̈
̈
[
(
[
- 41 -
)]
y la ecuación (2.1.12) por
)
(
(
(
)
)]
(
)]
(2.1.12)
.
(2.1.13)
(2.1.14)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅
̈
̅
(2.1.15)
̈
(2.1.16)
Las ecuaciones quedan
̅
̅
̅
( ̅
[
)̅
(
̅
̅
̅
( ̅
[
)̅
(
( ̅
̅ )
(
̅ )]
)̅
(
̅ )
(2.1.17)
̅ )]
(
)̅
Para simplificar el desarrollo se definen los parámetros
inercia y se puede calcular.
,
(
y
(2.1.18)
. El parámetro
depende de la
)
(2.1.19)
Los otros dos parámetros se definen como
(2.1.20)
El parámetro de masa también se puede calcular.
(2.1.21)
Aplicando estos cambios las ecuaciones (2.1.17) y (2.1.18) quedan de la siguiente forma
̅
̅
(
(
)
)
̅
(
̅
̅
(2.1.22)
)̅
(2.1.23)
Tanto la sustentación como el momento aerodinámico se pueden desarrollar con las ecuaciones
(2.1.2) y (2.1.3) dadas en el enunciado. Como se ha tomado el punto en el centro del perfil
.
(
̅
̅
̅
(
( )(
̅)
̅
̅)
- 42 -
( )(
̅
̅)
̅
̅
̅
)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
̅
( ))
[(
̅
(
) ( )) ̅] (2.1.24)
(
Donde
( )
) ( )
(
(2.1.25)
El momento aerodinámico queda
̅
[(
̅
̅
̅
(
̅
̅
( ))
{(
̅
̅
( )(
̅)
̅
( )(
)
(
[
̅)]
̅
̅
)
) ( )] ̅}
(2.1.26)
Donde
( )
(
) ( )
(2.1.27)
Las dos ecuaciones del sistema quedan de la siguiente forma
̅
(
(
̅
̅)
(
̅)
(
)
)
̅
(
̅
̅
(2.1.28)
)̅
(2.1.29)
Para dejarlo de forma matricial se hace un último paso que es dividir ambas ecuaciones por
Sabiendo que
se tiene la siguiente igualdad
.
(2.1.30)
El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma
(
)
(
)
̅
̅
[
[
(
)
(
)
] { ̅}
]
(2.1.31)
{ ̅}
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
Se elige que la incógnita del sistema sea
.
- 43 -
Andrés Zarabozo Martínez
(
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
)
(
) (
̅
)
̅
[
(
[
) (
)
(
)
]
] { ̅}
(2.1.32)
{ ̅}
Se puede escribir con la misma anotación que en el método VG.
(
(
)
)
(2.1.33)
También se puede plantear el problema en forma de autovalores
(
(
) )
(2.1.34)
Donde
(
[
)
[
]
[
(
)
]
(2.1.35)
]
Y también
[
[
]
]
(2.1.36)
c) Estudiar en el intervalo de frecuencia reducida de la tabla 2.1.1.
Se deben de estudiar los tres casos.

Las dos vigas tienen la misma rigidez
Si
:
(

Si
(
)
√
(2.1.37)
No hay viga en el borde de ataque
sale una matriz
(

)
(
singular, se resuelve haciendo:
)
)
√
(2.1.38)
No hay viga en el borde de salida
Si
sale que no hay autovalores, no existe el flameo. Tiene que ver con lo de desplazar la masa
hacia adelante.
- 44 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 2. Andén con distribución de masa lineal
Se quiere estimar el comportamiento aeroelástico de la cubierta de un andén construido en una
estación ferroviaria. Para ello se ha considerado conveniente modelar una sección característica de
la misma tal y como se representa en la figura. Se supone que ésta es una placa plana de cuerda
y
que tiene una distribución de masa por unidad de longitud lineal donde la masa total es
, y la masa en el borde de ataque es
y en el borde de salida es cero. La placa
esta soportada por dos pilares, cuya rigidez a tracción es
y
respectivamente.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema, y expresarlas de forma
adimensional, no considerando el efecto de disipación estructural.
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
Figura 2.2.1. Diagrama del perfil de la cubierta del andén
La sustentación y el momento aerodinámico con la relación a un punto situado a una distancia
del centro del perfil valen respectivamente
[ ̈
̇
{[
( )[ ̇
̈]
̈
(
(
) ̇
) ( )[ ̇
- 45 -
(
(
) ̇]
(2.2.1)
) ̈]
(2.2.2)
(
) ̇ ]}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
Los grados de libertad del problema son el movimiento vertical del perfil en
y el ángulo de
ataque . Se hace una relación entre estos grados de libertad y los movimientos de los muelles y
.
(2.2.3)
(2.2.4)
La posición de los puntos del perfil, sabiendo que
, es
̇
̇
̇
(2.2.5)
La energía cinética se calcula a partir de la ecuación integral.
∫
̇
(2.2.6)
Se debe buscar la distribución de masa en función de . La masa máxima está en el punto – . El área
de un triangulo es igual a la base por la altura es decir
(2.2.7)
( )
(
)
(2.2.8)
La energía cinética es
̇
̇ )
[∫
( ̇
∫ (
{ [ ̇
(
̇
( ̇
(
̇ ̇
)
̇ ̇
̇
̇
)
∫ ( ̇
]
[
̇ ̇
̇
̇ ̇
̇ ̇
̇
̇
̇
̇ ̇
]
)
]
}
)
̇
̇ )
̇ ̇
̇
La energía potencial es
(
- 46 -
)
(
)
(2.2.9)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
[(
)
(
)
(
]
)
(2.2.10)
Se utiliza la ecuación de Lagrange para calcular las ecuaciones del sistema.
(
̇
)
(2.2.11)
Se calcula primero para la variable . Se hacen las derivadas.
̇
̇
(
̇
̈
)
(
)
(
)
(2.2.12)
(
)
(2.2.13)
̈
Se hace lo mismo pero para la variable .
̇
̇
(
̇
̈
)
(
Las fuerzas generalizadas en el punto
)
̈
(
)
(2.2.14)
(
)
(2.2.15)
son
( ̈
̇)
[(
̇
( )( ̇
̇)
( )( ̇
̈)
(2.2.16)
̇ )]
(2.2.17)
Se introducen estas fuerzas en las ecuaciones del sistema.
) ̈
(
( ) ̇
[
̈
( ) ̇
(
[
( )
)
(
(
)
(
(
(2.2.18)
)]
) ̈
)
( ) ̇
̈
( )
(
) ̇
(2.2.19)
( )]
Se introduce el movimiento harmónico.
)̅
(
( )
̅
̅
( )
(
̅
( )
)̅
̅
)̅
(
[
(
̅
( )
)
(
)] ̅
(2.2.20)
̅
(2.2.21)
(
( )
)
- 47 -
̅
[
(
)
( )] ̅
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ahora se deben adimensionalizar las ecuaciones. Se empieza utilizando como variables de referencia
la masa total , la semicuerda . Sigue quedando el sistema con unidades de frecuencias. Se divide
la primera ecuación por
y la segunda por
.
( )
[
[
[ (
)
( )
(
]̅
( )
)
( ))
(
( )
[
]
]
(2.2.22)
̅
( ))] ̅
(
(2.2.23)
̅
Se definen las siguientes frecuencias.
(2.2.24)
Además se define
(2.2.25)
Se termina de adimensionalizar dividiendo las dos expresiones por
[ (
( )
)
(
) ]
.
̅
(2.2.26)
( )
[
( )
[
(
) ]
( )
(
) ]̅
̅
[
( )
(
(2.2.27)
)
(
( )] ̅
)
El sistema se puede escribir de forma matricial
(
)
( )
(
( )
)
( )
(
)
̅
(2.2.28)
( )
[
(
)
(
( )
)
(
)
( ) { ̅}
]
Para encontrar la velocidad de flameo se debe hacer el determinante de esta matriz e igualarlo a
cero. Separando entre parte real y parte imaginaria se obtienen dos ecuaciones con las que se puede
encontrar y , y con estos la velocidad de flameo. Debido a que calcularlo analíticamente es muy
difícil se puede usar el método numérico llamado VG.
- 48 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 3. Influencia de un motor en el flameo
Se desea analizar la influencia del motor de un avión en la velocidad de flameo del mismo. Para
simplificar el problema, el ala del avión se representa por una sección de la misma y el efecto
estructural del resto del ala sobre dicha sección se representa por muelles de rigidez a flexión
ya
torsión . El motor se representa por una masa puntual concentrada de valor
suspendida del
ala por un muelle de rigidez
y situada a una distancia
del origen de coordenadas, que a su vez
coincide con el eje elástico.
Tomando como coordenadas generalizadas el desplazamiento vertical del perfil positivo hacia
abajo, el giro respecto del eje elástico positivo cuando el borde de ataque sube y la deformación
relativa del muelle del motor con respecto del perfil , se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento suponiendo que el flujo es incompresible.
⁄
⁄
⁄
b) Para los valores de
,
⁄
y
determinar la ecuación que proporciona la velocidad y frecuencia de
flameo en función del parámetro ⁄ .
Figura 2.3.1. Diagrama del perfil con el motor
La sustentación y el momento aerodinámico con relación a un punto situado a una distancia
centro del perfil valen respectivamente
[ ̈
{[
̈
(
̇
) ̇
( )[ ̇
̈]
(
) ̈]
- 49 -
(
) ( )[ ̇
(
) ̇]
(
) ̇ ]}
del
(2.3.1)
(2.3.2)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Determinar las ecuaciones del movimiento
Se tienen tres grados de libertad. Lo ideal es utilizar como variables y ya que se conocen las
fuerzas generalizadas
y , equivalen a la sustentación y al momento aerodinámico del perfil. Se
debe por tanto definir una tercera variable.
Se define la variable
La
, positiva hacia abajo, y que mide el movimiento del muelle del motor.
del perfil es
̇
̇
Y
̇
(2.3.3)
es
̇
̇
̇
̇
(2.3.4)
Se calcula ahora la energía cinética y potencial.
∫ ̇
̇
̇
̇ ̇
̇
̇
̇
̇
̇
( ̇
̇
̇
)
(2.3.5)
(2.3.6)
Como el centro de masas coincide con el eje elástico
.
Las ecuaciones del sistema se obtienen a partir de la ecuación de Lagrange.
(
̇
)
(2.3.7)
Se calcula primero para la variable .
̇
̇
̇
( ̇
̈
̇
̈
)
(2.3.8)
( ̈
̈
)
(2.3.9)
Se hace lo mismo para la variable .
̇
̇
̇
( ̇
̈
Y finalmente para la tercera variable
̈
.
- 50 -
̇
)
( ̈
̈
(2.3.10)
)
(2.3.11)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
̇
̇
̇
̇
̈
(2.3.12)
̈
̈
(2.3.13)
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅
̈
(2.3.14)
̅
̈
̅
(2.3.15)
̈
(2.3.16)
Las ecuaciones quedan
̅
̅
) ̅
(
̅
(
(
) ̅
(
) ̅
(
) ̅
) ̅
(
) ̅
(
(2.3.19)
Se adimensionalizan las ecuaciones utilizando como variables de referencia
frecuencia, masa y longitud.
̅
[ (
̅
)
(
[ (
)
)(
̅
(
)
(
[
(
) ]
) ]
) ]
̅
[
̅
̅
(
[
(
[
(
) ]
̅
) ]̅
) ]̅
(
[
̅
(
[
(2.3.18)
̅
̅
(
(2.3.17)
̅
)
)̅
̅
) ̅
(
̅
(
̅
̅
)
) ̅
̅
(
̅
) ]
)
[
(
,
[
y , para la
(
[
(
(
) ]̅
) ]
) ]
̅
̅
(2.3.20)
̅
) ]
̅
(2.3.21)
[
(
)
(
̅
)
(
(
̅
)
(
̅
)
- 51 -
)
[
̅
(
[(
)
(
) ]̅
)
(
)
]
(
)
]
̅
̅
(2.3.22)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Donde
(2.3.23)
Se aplica también el movimiento harmónico en las expresiones de la sustentación y el momento
aerodinámico, ecuaciones (2.3.1) y (2.3.2). Se adimensionalizan utilizando las mismas variables que
⁄
⁄
se usaron para las ecuaciones (2.3.20) y (2.3.21). Se recuerda que
y que
.
̅
̅
(
̅
̅
[ (
)̅
( )
{( (
( )
)
[
(
)(
)
̅
( )( ̅
̅)
{(
{(
( )( ̅
̅)
̅
(
) )
)
( )
(
( )
[
̅ )]
( )(
[
( )
̅
)
)] ̅}
̅
(
(
)
)] (
(
) )] ̅ }
) ̅}
(2.3.24)
Obteniendo la sustentación adimensional
̅
( )
[(
)(
̅
)
(
( )
( )
)(
) ̅]
(2.3.25)
Se hace lo mismo para el momento aerodinámico
̅
[(
̅
( ) )̅
{(
( )(
{(
̅
) )
̅)
̅
( )(
̅
̅)]
( )(
[
)] ̅}
̅
(2.3.26)
[
(
)
(
( )(
)
(
)
(
) )] ̅}
Obteniendo el momento aerodinámico adimensional
̅
{(
( ) )(
)
̅
[
- 52 -
( )(
)] (
) ̅}
(2.3.27)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se introducen las expresiones de la sustentación adimensional (2.3.25) y del momento aerodinámico
adimensional (2.3.27) en las ecuaciones del sistema (2.3.20), (2.3.21) y (2.3.22).
{(
)
[
( )
(
{[
( ) )(
) }
( )
(
[ (
)] (
) ]
̅
̅
( )
[
)] (
(
) }̅
) ]
[
(
) ]
̅
(2.3.28)
̅
(2.3.29)
{
( )(
[
(
)
̅
(
)
̅
)] (
[(
)
) }̅
(
)
(
)
]
̅
(2.3.30)
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. La condición de flameo se obtiene
cuando el determinante de la matriz del sistema es cero.
b) determinar la ecuación que proporciona la velocidad y frecuencia de flameo como (
⁄ )
Se tienen los siguientes datos numéricos
(2.3.31)
Utilizando la relación entre las constantes del muelle del perfil y del motor se obtiene la relación
entre frecuencias.
(
)
(2.3.32)
⁄
Como se conoce
(
)
(
) (
)
(2.3.33)
Sustituyendo estos valores en el sistema de ecuaciones se obtiene
[
(
( )
( ) )(
(
)] (
)
)
[
[
(
( )
( )
( )(
)] (
)
)] (
)
(
(
) (
)
)
(
̅
)
(2.3.34)
̅
̅
[
(
)
(
)
(
La condición de flameo se obtiene cuando el determinante de la matriz es nulo.
- 53 -
)
{
]
}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 4. Sin fuerzas aerodinámicas pero con una fuerza puntual
El sistema de la figura está formado por una placa plana libre de desplazarse verticalmente a lo largo
del eje y de girar respecto al eje .
La longitud de la placa es , su masa total es , su momento de inercia respecto del eje es y su
momento estático de inercia es . La placa está unida a paredes infinitamente rígidas mediante
muelles de rigidez
y
que se oponen al movimiento vertical y de giro respectivamente. El
sistema en reposo está en la posición
y
.
⁄ . Esta
A este sistema se le ha añadido un dispositivo que aplica una fuerza en el punto
fuerza tiene su amplitud proporcional a las amplitudes de los dos grados de libertad de la placa
siendo las constantes de proporcionalidad
y
. Su dependencia con el tiempo es harmónico de
frecuencia
y la parte proporcional a tiene un desfase respecto de este movimiento de
atrasado y la proporcional a adelantada en ⁄ . Sobre la placa no actúa ninguna otra fuerza
exterior y la corriente incidente es nula. Se pide:
a) Plantear las ecuaciones del sistema
b) Suponiendo que las constantes de proporcionalidad son iguales (
), determinar el
valor o valores de la frecuencia de excitación y de la constante de proporcionalidad.
c) Considerando que las constantes de proporcionalidad no son iguales, determinar las
condiciones para que puedan existir frecuencias de excitación.
⁄
( )
Figura 2.4.1. Diagrama del perfil del problema
- 54 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Determinar las ecuaciones del sistema
Este problema no es exactamente un problema de flameo puesto que no hay fuerzas aerodinámicas.
Hay una fuerza externa que podría considerarse como una sustentación que además genera un
momento, pero hay una gran diferencia con el estudio del flameo y es que esta fuerza no depende
de la velocidad de la corriente incidente.
El desarrollo del problema es parecido a otros problemas de flameo pero se diferencia en el calculo
de las fuerzas generalizadas. Por lo tanto se empieza calculando la energía potencial y cinética del
sistema. En el enunciado no se especifica que la distribución de masas es homogénea y además se
indica que hay un momento estático por lo que este no puede despreciarse.
̇
̇ ̇
̇
(2.4.1)
(2.4.2)
El siguiente paso es hacer las ecuaciones de Lagrange para obtener las ecuaciones del sistema.
(
̇
)
(2.4.3)
Se calcula primero para la variable .
̇
̇
̇
(2.4.4)
̈
̈
(2.4.5)
Se hace lo mismo para la variable .
̇
̇
̇
(2.4.6)
̈
̈
(2.4.7)
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅
̈
̅
(2.4.8)
̈
(2.4.9)
Obteniendo
̅
̅
̅
(2.4.10)
̅
̅
̅
(2.4.11)
Se calculan ahora las fuerzas
y . Se sabe que la fuerza aplicada en el perfil es proporcional a los
movimientos y además se saben los desfases.
- 55 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
)
̅ (
( )
̅
Se aplica la teoría de trabajos virtuales (donde
(
∫
(
̅
(
̅)
(2.4.12)
).
)
( ) (
∫
⁄ )
) (
No hay que confundirse con la anotación,
⁄ ) es la función delta de Dirac.
(
y
)
(2.4.13)
son desplazamientos virtuales y en cambio
Se utiliza la siguiente propiedad de integración de la función delta de Dirac.
(
∫
) ( )
( )
Se cumple la condición de que el parámetro
(2.4.14)
esté entre los dos límites siendo
( ) (
⁄ .
)
(2.4.15)
Las fuerzas generalizadas son la derivada parcial respecto a las variables.
(
( )
)
(
( )
)
(2.4.16)
Las ecuaciones del sistema quedan
( )
̅
(
)̅
(
( )
̅
(
̅
̅)
(
)̅
̅)
(2.4.17)
̅
̅
)̅
(
̅
̅
(
̅
)̅
(2.4.18)
Se puede escribir el sistema de ecuaciones de forma matricial o como en un problema de
vibraciones.
̅
[
]{ }
̅
[
]{ }
̅
̅
[
]{ }
̅
(2.4.19)
̅
̅
{ }
] ̅
[
- 56 -
{ }
(2.4.20)
Andrés Zarabozo Martínez
b) Determinar
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
y
El sistema está excitado cuando el determinante de la matriz de la ecuación (2.4.20) es nulo.
(
|
|
|
|
)(
)
(
)(
)
(2.4.21)
Se separa entre parte real y parte imaginaria para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
(2.4.22)
{
Tomando la ecuación de la parte compleja.
(2.4.23)
Se introduce ahora esta frecuencia en la ecuación derivada de la parte real.
(
[
)
(
[
(
)(
]
)
)] (
)
(2.4.24)
(
)
(
)
c) Condiciones para que puedan existir frecuencias de excitación.
De forma similar se debe resolver el determinante de la matriz de la ecuación (2.4.20) e igualarlo a
cero. En este caso, como no se tiene la condición de que las dos constantes de proporcionalidad son
iguales, se tienen tres incógnitas y solo dos ecuaciones.
- 57 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
|
(
|
)(
)
(
)(
)
(2.4.25)
Obteniendo dos ecuaciones si se separa en parte real y parte imaginaria.
(2.4.26)
{

Caso 1,
Una solución trivial para la ecuación de la parte compleja es que
. En este caso solo se tiene
la ecuación de la parte real y se puede obtener una frecuencia en función de
.
(
)
(
(
(
)
)
√(
)
(
(
)
)(
)
)
(2.4.27)
Para que existan frecuencias de excitación se debe cumplir que la raíz cuadrada sea positiva.
(
(
)
)(
)
(2.4.28)
Una forma de confirmar que esto sea cierto es asegurándose que la parte restando sea negativa por
lo que en realidad se esté sumando. Por su definición
(
)
(2.4.29)
Por lo tanto para cumplir la condición anterior se debe de cumplir que
(2.4.30)
Se podría seguir analizando esta raíz, expandiendo el cuadrado y haciendo las multiplicaciones hasta
encontrar otros rangos de
en el que se cumpla que la raíz cuadrada es positiva.

Caso 2,
Se vuelve a la ecuación de la parte compleja del determinante y como se ha impuesto que
se obtiene una ecuación para determinar
que no depende de ninguna constante de
proporcionalidad.
- 58 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(2.4.31)
Para que exista esta frecuencia se debe cumplir que
(
⁄ ) es positivo.
(2.4.32)
⁄ , que es el punto de
Esto implica que el centro de gravedad debe estar por detrás del punto
aplicación de la fuerza.
Se introduce esta frecuencia en la ecuación de la parte real.
(
[
)(
)] (
)
(2.4.33)
(
Como esta ecuación no depende de
apartado b).
)
(
)
se obtiene exactamente el mismo resultado que en el
- 59 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 5. Cálculo de la sustentación sobre un perfil oscilando en flexión
Partiendo de la expresión del coeficiente de presión, determinar la sustentación sobre un perfil
oscilando en flexión con amplitud demostrando que puede expresarse como
( )
(
Donde
)
(2.5.1)
es positivo hacia abajo y ( ) es la función de Theodorsen.
Nota, utilizad este resultado de la siguiente integral si es necesario.
∫ ∫
(
)
- 60 -
(2.5.2)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
Se sabe que
es
(2.5.3)
Al no haber derivada respecto a
en el perfil
(2.5.4)
El coeficiente de presiones se calcula integrando.
∫ [√
(
√
( ))√
(
(
(∫
∫ √
√
)
)]
(
)
(
)
∫ √
(2.5.5)
( ))√
(
∫ √
)
Según las tablas de integrales se tienen las siguientes igualdades
∫ √
∫ √
(2.5.6)
Sustituyéndolo en la ecuación (2.5.5) se tiene
(∫
( )
∫
(
)
(
)
√
( ))√
(
( )√
)
(2.5.7)
Se busca ahora la fuerza generalizada. La fuerza vertical es
∫
(
⁄ )
(2.5.8)
Donde
(
⁄ )
- 61 -
(2.5.9)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
( )
∫
(2.5.10)
Introduciendo el coeficiente de presiones ya se puede integrar. La primera integral doble se resuelve
utilizando la igualdad del enunciado (2.5.2) y la segunda integral aparece en las tablas de integrales.
∫
(
)
[
∫ ∫
(
)
[
(
∫ [
( )√
]
( )∫ √
]
( )( )]
)
( )]
[
(2.5.11)
Por lo que la sustención queda
(
- 62 -
( )
)
(2.5.12)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 6. Cálculo de fuerzas generalizadas en condiciones sónicas
Una forma sencilla de estimar la importancia de los fenómenos no estacionarios en transónico es
emplear la teoría linealizada de perfiles en régimen no estacionario sónico (
), a pesar de las
grandes simplificaciones involucradas en este caso. Se desea calcular la fuerza y el momento sobre
un perfil. Para ello, partiendo de la ecuación del potencial de velocidades de perturbación.
(
)
(2.6.1)
Y suponiendo que el potencial varía con el tiempo de forma harmónica, se pide:
a) Calcular la ecuación diferencial que satisface el potencial adimensional de perturbaciones.
b) Comprobar que una solución de la ecuación obtenida en el primer apartado es
(
)
(2.6.2)
√
c) Imponiendo la condición de contorno sobre el perfil, calcular qué intensidad deben tener las
singularidades que representan el efecto del perfil.
d) Calcular la fuerza que actúa sobre el perfil y el momento con relación al punto medio.
Nota:
∫
(
√
- 63 -
)
(2.6.3)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Ecuación diferencial
Al tener condiciones sónicas (
) el termino que multiplica a
La ecuación diferencial que se debe estudiar es por lo tanto
en la ecuación (2.6.1) es nulo.
(2.6.4)
Considerando movimiento harmónico, se hacen las derivadas temporales.
(2.6.5)
Se adimensionaliza la ecuación diferencial dividiendo por ⁄
.
(2.6.6)
Se deja todo en función del número de Mach.
(2.6.7)
Finalmente se introduce la condición de vuelo sónico (
).
(2.6.8)
b) Comprobar la solución
Se debe comprobar que la solución
de la ecuación (2.6.2) cumple la ecuación (2.6.8). Para ello se
debe de derivar
respecto a y tambien dos veces respecto a .
[
√
(
√
(
)
(
)(
(
)]
)
)
(2.6.9)
(
(
)
)
(2.6.10)
Se substituyen estos valores en la ecuación (2.6.8).
[
√
[
√
√
√
(
(
)(
)
Efectivamente la solución se cumple por lo que
los valores .
)]
]
(
(
)
)
(2.6.11)
es solución de la ecuación diferencial para todos
- 64 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
c) Calcular qué intensidad deben tener las singularidades que representan el efecto del perfil
Se debe integrar la solución ya que (
) es una superposición de singularidades.
Como el número de Mach vale uno, el cono inverso es una línea vertical, por lo que la integral es
simplemente entre
y , además no depende de .
(
)
∫
( )
(
)
(2.6.12)
√
La condición de contorno es
|
(2.6.13)
Como la condición de contorno es una función de
se deriva la expresión (2.6.12) respecto a . No
se debe de hacer la regla de Leibniz ya que los límites de integración no dependen de .
∫
( )
√
(
(
)
)
(2.6.14)
Antes de introducir la condición de contorno se hace un cambio de variable.
(2.6.15)
(
)
(
(2.6.16)
)
Se calculan los límites de integración con este cambio.
(2.6.17)
Además si se pueden utilizar las siguientes igualdades.
(
√
(2.6.18)
)
La integral queda
∫
(
)(
(
)
(
)
(2.6.19)
)
Ahora ya se puede aplicar la condición de contorno. Hay que observar que el hecho de que tienda
a cero, no significa que también lo haga, puede tender a y se tendría una indeterminación. Por
lo tanto al aplicar la condición de contorno se considera como una variable independiente de .
|
∫
( )
- 65 -
√
(2.6.20)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se hacen además los siguientes cambios
√
√
(2.6.21)
La integral queda
|
( )∫
√
|
( )√
√
√
( ) (
√
(
)
)
(2.6.22)
Gracias a la condición de contorno se puede obtener la expresión de la variable ( ).
(
( )
)
(
√
(2.6.23)
)
Esta es la solución de Rott, válida para casos transónicos (
).
d) Fuerza que actúa sobre el perfil y el momento con relación al punto medio
El
se define como
(
)
(2.6.24)
De la misma forma que el cálculo de
para calcular
se debe de hacer la integral de todas las
soluciones hasta el punto . Se recuerda la ecuación (2.6.12)
(
)
∫
( )
(
)
(2.6.25)
√
Como los límites de integración dependen de la variable se debe utilizar la regla de Leibniz. Debido
a que se forma una discontinuidad en
se debe hacer el límite cuando se calcula la derivada de
la función.
(
( )
(
√
( )[
∫
El
)
)
(
)
(
√
)(
(
)
)]
(
)
(
)
(2.6.26)
que por lo tanto.
∫
( )[
(
)
√
(
)(
(
)
)
]
√
Esta integral no es fácil de hacer. Se puede simplificar haciendo el cambio de variable
∫
(
)[
(
- 66 -
]
(
)
(2.6.27)
.
(2.6.28)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ya no se puede simplificar más la integral y la forma de resolverla es utilizando algún método
numérico. Las fuerzas generalizadas son
∫
∫
(2.6.29)
Para calcularlas se debería introducir el
de la ecuación (2.6.28) introducirlo en las ecuaciones
(2.6.29) y resolver numericamente la integral doble.
- 67 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 7. Influencia del Mach supersónico en la velocidad de flameo
Se desea analizar la influencia del número de Mach en la velocidad de flameo del perfil de masa
representado en la figura. El modelo estructural elegido es una placa plana sometida a
restricciones de giro y desplazamiento mediante dos muelles.
Aplicando la teoría potencial linealizada casi estacionaria de perfiles en régimen supersónico para el
cálculo de las fuerzas aerodinámicas, se pide:
a) Calcular la matriz de fuerzas aerodinámicas. Las fuerzas se adimensionalizarán con el
coeficiente
y los momentos con
.
⁄
b) Plantear las ecuaciones del movimiento del perfil. Usar en este caso
como
parámetro másico.
⁄
c) Para el caso
obtener la ecuación que permite calcular la velocidad de flameo
adimensional.
Aplicando la teoría del Pistón para el cálculo de fuerzas aerodinámicas se pide:
d) Repetir los apartados a) y b) anteriores.
e) Para el caso
y ⁄
flameo adimensional para los números de Mach siguientes:
gráficamente el resultado.
Figura 2.7.1. Diagrama del perfil
- 68 -
, calcular la velocidad de
y . Representar
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Calcular la matriz de fuerzas aerodinámicas
Según la figura 2.7.1, el eje de coordenadas no está en la posición habitual, si no que está en el
borde de ataque del perfil. La distancia sigue siendo la semicuerda. La en forma adimensional y
su derivada son
(
̅
)
(2.7.1)
(2.7.2)
Según la teoría estacionaria se sabe la distribución del coeficiente de presiones del extradós y por lo
tanto la diferencia entre los coeficientes de presión.
̅
̅
(2.7.3)
Para el caso casi estacionario se obtiene una expresión muy similar.
(
̅ )
{
(
[
) ]}
(2.7.4)
Las fuerzas adimensionales
y
se adimensionalizan como dice el enunciado. Además se sabe
que son la sustentación del perfil y el momento aerodinámico.
[
{
]{ }
(2.7.5)
}
Donde
(
∫
)
Se debe por lo tanto calcular las integrales de la expresión de
∫
(
)
(
∫
∫
{
[
∫ {[
- 69 -
(
) ]}
)]
(
[
{
(2.7.6)
de las ecuaciones anteriores.
(
{ [
)
}
)]
(
}
)]
}
(2.7.7)
Andrés Zarabozo Martínez
(
∫
)
∫
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
{
∫ {[
) ]} (
(
(
{
{ (
(
[
)]
)
(
[
)
)
(
)
[(
Por lo tanto las fuerzas generalizadas
y
)
(
}
}
)]
}
(2.7.8)
)]
}
(2.7.9)
son
[
{
{ (
)]
)
(
)
[(
(
)]
}
(2.7.10)
Se adimensionalizan las fuerzas generalizadas.
[
{
{ (
)
(
)
[(
)]
}
(2.7.11)
(
)]
}
(2.7.12)
La matriz de fuerzas aerodinámicas es
(
[
)
]{ }
{ } (2.7.13)
(
(
)
)
[
(
)
]
b) Plantear las ecuaciones del movimiento del perfil
Lo primero que se debe hacer es calcular la energía cinética y la energía potencial del sistema.
̇
̇
̇ ̇
(2.7.14)
(2.7.15)
Donde
(2.7.16)
- 70 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ahora se aplica la ecuación de Lagrange utilizando las dos variables
(
̇
y .
)
(2.7.17)
Se empieza con la variable .
̇
̇
̇
(2.7.18)
̈
̈
(2.7.19)
Y ahora se hace la variable .
̇
̇
̇
(2.7.20)
̈
̈
(2.7.21)
Se impone el movimiento harmónico, donde
̅
̈
̅
̅
̈
(2.7.22)
̅
(2.7.23)
Las ecuaciones del sistema quedan
̅
̅
̅
̅
(2.7.24)
̅
̅
̅
̅
(2.7.25)
Se adimensionalizan las ecuaciones utilizando como variables de referencia
̅
̅
Se define
como
⁄
)
[(
(
)
̅
]
̅
(
(
[
y .
)̅
)
(2.7.26)
(2.7.27)
]̅
.
̅
̅
)
[(
̅
]
[
(
̅
̅
)
(2.7.28)
(2.7.29)
]̅
Se introducen las expresiones de las fuerzas generalizadas obtenidas en las (2.7.11) y (2.7.12). Se
⁄
hace el cambio de variable definido en el enunciado
.
[(
)
]
̅
̅
(
- 71 -
̅
̅)
(
̅
̅)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
)
[(
̅
(
[
)
]
̅
]̅
(
)̅
̅
(
(
̅
)
)
{[(
(2.7.30)
̅)
̅
(
̅)
}̅
]
(2.7.31)
Las ecuaciones del sistema escritas en forma matricial queda
(
̅
)
{ }
)
[(
[
⁄
c) Para el caso
]
(2.7.32)
{ }
] ̅
obtener la ecuación para obtener la condición de flameo
⁄
La condición
es igual a
obtiene la siguiente matriz.
. Se aplica esta condición al sistema de ecuaciones y se
(2.7.33)
[(
[
)
]
]
La condición de flameo aparece cuando el determinante de la matriz es igual a cero.
(
) {[(
)
]
}
(
)(
)
(2.7.34)
Se separa entre parte real y parte imaginaria.
[(
(
)
]
) {[(
[
(
)
(
)
(
]
)
Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas (
y
velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición.
][
(2.7.35)
)
}
(
)
(2.7.36)
]
). Una vez obtenidas estas variables, la
(2.7.37)
- 72 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
d) Aplicar los apartados utilizando la teoría del Pistón
√
En la teoría del Pistón se utilizan números de Mach altos y por lo tanto
distribución del coeficiente de presión con la teoría del Pistón es
(
. La
)
(2.7.38)
Debido a que la única diferencia entre la teoría de régimen casi estacionario y la del Pistón es el
cambio de a
el resultado es casi parecido.
La matriz de fuerzas aerodinámicas es
(
[
)
]{ }
{ } (2.7.39)
(
(
)
)
(
)
[
]
Las ecuaciones del sistema son
(
̅
)
{ }
[(
[
)
]
(2.7.40)
{ }
] ̅
e) Calcular la velocidad de flameo adimensional para los números de Mach:
y .
Se utiliza la teoría del Pistón y además se tienen los siguientes valores numéricos
⁄
Las ecuaciones para obtener las variables
a las ecuaciones (2.7.35) y (2.7.36).
[(
(
)
) {[(
aplicadas a la teoría del Pistón son muy parecidas
]
(
(
)
) {[(
)
[
(
y
)
(
(2.7.41)
)
(2.7.42)
(
]
)
]
)
}
]
}
- 73 -
[
]
(2.7.43)
Andrés Zarabozo Martínez
Ahora solo hace falta remplazar



Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
y obtener para cada caso (
⁄
) y
.
Caso 11:
(
)
(2.7.44)
(
)
(2.7.45)
(
)
(2.7.46)
Caso 22:
Caso 33:
Debido a que el enunciado no ofrece un valor numérico de
velocidad de flameo.
no se puede obtener directamente la
Nota: en las notas de pie de página son unos links para resolver el sistema utilizando WolframAlpha
( ⁄ ) e
donde
.
1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+0.25(X)^2%2B0.15%2B0.3/(15.708+*+3+*+Y^2+)=0+and+(1%2BY/(15.708+*+3+*+Y^2+)){[X^2-1]+%E3%80%960.5%E3%80%97^2-31/12+Y/(15.708+*+3+*+Y^2+)}[(0.5%E2%80%A2Y)/(15.708+*+3+*+Y^2+)-0.2]^2=0
2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+0.25(X)^2%2B0.15%2B0.3/(15.708+*+4+*+Y^2+)=0+and+(1%2BY/(15.708+*+4+*+Y^2+)){[X^2-1]+%E3%80%960.5%E3%80%97^2-31/12+Y/(15.708+*+4+*+Y^2+)}[(0.5%E2%80%A2Y)/(15.708+*+4+*+Y^2+)-0.2]^2=0
3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+0.25(X)^2%2B0.15%2B0.3/(15.708+*+5+*+Y^2+)=0+and+(1%2BY/(15.708+*+5+*+Y^2+)){[X^2-1]+%E3%80%960.5%E3%80%97^2-31/12+Y/(15.708+*+5+*+Y^2+)}[(0.5%E2%80%A2Y)/(15.708+*+5+*+Y^2+)-0.2]^2=0
- 74 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 8. Biplano
Considere un biplano subsónico tal que el ala superior está unida al fuselaje, mientras que el ala
inferior cuelga de ésta mediante unas barras que unen los bordes de ataque y los bordes de salida
de ambas. Para estudiar la velocidad de flameo se considera una sección característica, de cuerda
, y se representan las rigideces de las barras y la rigidez de torsión del ala superior mediante
muelles como se observa en la figura. La masa por unidad de longitud del perfil inferior vale . El
centro de gravedad de cada perfil coincide con su punto medio. El momento de inercia por unidad
de longitud respecto al punto central del perfil superior vale
y el del inferior vale
. La longitud
natural de los muelles es suficientemente grande como para que puedan despreciarse los efectos
aerodinámicos de interacción entre ambos perfiles. El amortiguamiento estructural se considera
despreciable.
Figura 2.8.1. Diagrama de la sección característica
Se pide:
a) Definir los grados de libertad del sistema y escribir las matrices de masa de rigidez del
mismo.
b) Escribir las ecuaciones diferenciales que definen el estado del sistema.
c) Suponiendo movimiento armónico, escribir el determinante de estabilidad del sistema de
forma adimensional.
La sustentación y el momento aerodinámico con relación a un punto situado a una distancia
centro de un perfil valen respectivamente:
[ ̈
̇
{[
( )[ ̇
̈]
̈
(
(
) ̇
) ( )[ ̇
- 75 -
(
(
) ̇]
del
(2.8.1)
) ̈]
(2.8.2)
(
) ̇ ]}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Definir los grados de libertad y escribir las matrices de masa y de rigidez
Se tienen tres grados de libertad en este problema. Para poder utilizar las expresiones de las fuerzas
generalizadas descritas en el enunciado se toman como grados de libertad los ángulos de ataque de
los perfiles ( y ) y el movimiento vertical del perfil inferior ( ).
Las posiciones de los puntos de los dos perfiles son
(2.8.3)
Se deben encontrar las relaciones entre los movimientos de los muelles
sistema.
y
y las variables del
(2.8.4)
La energía cinética se puede obtener fácilmente sin tener que integrar
̇
y
.
̇
̇
(2.8.5)
Esta expresión se puede dejar de forma matricial y obtener la matriz de masa.
̇
{ ̇
̇
̇}[
̇
]{ ̇ }
̇
[
̇
(2.8.6)
]
(2.8.7)
La energía potencial se calcula como la suma de las energías potenciales de los muelles.
(
)
(
)
(
)
(
[
(
)
]
)
(
)
(
(
)
)
(
Esta expresión de puede dejar en forma matricial y obtener la matriz de rigidez.
- 76 -
)
(2.8.8)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
{
)
(
}[
)
(
(
)
)
(
)] {
(
(
)
(
)
(
[
(2.8.9)
)
(
)
}
)
(
)]
(
(2.8.10)
)
b) Ecuaciones diferenciales
Se aplica la ecuación de Laplace en la ecuación matricial.
(
̇
Como las matrices
y
̇
)
̇
(
)
(2.8.11)
son simétricas:
̇
̇
(2.8.12)
Ahora se debe derivar respecto del tiempo.
(
̇
̈
)
(2.8.13)
Ya se puede obtener el sistema de ecuaciones de forma matricial.
̈
{ ̈ }
̈
{
}
{
̈
}
(2.8.14)
Las fuerzas generalizadas se obtienen utilizando las expresiones dadas en el enunciado pero en el
punto
. Ha que recordar que el perfil superior no tiene movimiento superior.
̇
{[
{
}
̇
{[
[ ̈
{
( )[
̈ ]
̇ ]}
( )[ ̇
̈ ]
( )[ ̇
̇]
(2.8.15)
̇ ]}
̇]
}
c) Obtener el determinante que permita obtener la velocidad de flameo
Se debe suponer el movimiento harmónico.
̅
̅
{̅ }
{̅ }
̅
̅
{[
{[
{
[
̅
̅
̅
̅ ]
̅ ]
̅ ]
- 77 -
( )[
( )[
( )[
̅
̅
̅ ]}
̅
̅
̅ ]}
̅
̅ ]
}
(2.8.16)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se empieza Adimensionalizando dividiendo por la masa y dividiendo las dos primeras ecuaciones por
la semicuerda al cuadrado y la tercera solo por la semicuerda.
̅
̅
(
[
]
{̅}
[
])
( )(
)
̅
( )(
)
( )(
[
( )
(2.8.17)
̅
{̅}
)
]
Se definen los siguientes parámetros
(2.8.18)
(2.8.19)
Se dividen las expresiones por
(
para terminar de adimensionalizar.
)
(
)
(
(
[
(
)
(
)
)
(
]
(
[
( )(
̅
̅
̅
)
)
])
{
}
)
( )(
( )(
[
- 78 -
(2.8.20)
̅
)
)
̅
̅
( )
]
{
}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 9. Cubierta de un vehículo espacial
Considere el revestimiento de un vehículo espacial como el que se esquematiza en la figura. Está
formado por dos paneles rígidos de longitud y masas
y
por unidad de envergadura. Los
paneles están simplemente apoyados en tres largueros. Los largueros delantero y trasero pueden
considerarse infinitamente rígidos, mientras que el central puede representarse por medio de un
muelle de flexión de rigidez por unidad de longitud. Los paneles se consideran articulados por sus
extremos a los largueros y entre sí. El número de Mach de la corriente externa es
.
Suponiendo despreciable el amortiguamiento estructural y aplicando la teoría del pistón, se pide:
a)
b)
c)
d)
Los grados de libertad que definen la posición del sistema y energías cinética y potencial.
Fuerzas generalizadas sobre el sistema.
Ecuación de equilibrio cuando el sistema oscila con frecuencia .
Velocidad y frecuencia de flameo, si las hubiera.
Figura 2.9.1. Diagrama del problema
- 79 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Grados de libertad y energías
El problema solo tiene un grado de libertad. Se tienen tres variables, los ángulos de ataque de los
dos paneles y el movimiento vertical del muelle considerado positivo hacia abajo ( ,
y ). Los
ángulos de ataque en función del movimiento del muelle son:
(2.9.1)
Las posiciones de los puntos de los paneles (centrando el origen de coordenadas en el centro) son:
(
)
(
)
(2.9.2)
La energía cinética se obtiene integrando. Al tener una distribución constante de masa se sabe que
⁄ .
por ejemplo para el primer tramo
∫
̇
∫
(∫ (
)
̇
)
̇
(
([
(
̇
∫
̇
∫
]
(
[
(
)
)
̇
)
] )
̇
)
̇
(2.9.3)
La energía cinética es
(2.9.4)
b) Fuerzas generalizadas
Al haber solo un grado de libertad solo hay una fuerza generalizada. Se utiliza la teoría del pistón por
lo tanto el
es
(
)
(2.9.5)
Se supone que el vehículo está presurizado y que la presión en el intradós es igual a la presión
ambiente sin perturbar. Por lo tanto
. Se calcula la fuerza vertical utilizando trabajos
virtuales.
∫
- 80 -
Andrés Zarabozo Martínez
{∫ [
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
{[
(
) ]
(
)
)
(
)
(
∫ [
]
(
(
[
) ]
)
(
(
)
)
}
] }
)
(2.9.6)
Cambiando la presión dinámica por el número de Mach por la velocidad queda
(2.9.7)
⁄
c) Ecuación de equilibrio del sistema
Se utiliza la ecuación de Lagrange para obtener la ecuación de equilibrio del sistema.
̈
(2.9.8)
Se introduce el movimiento harmónico.
̅
̅
̅
) ̅
(
(2.9.9)
d) Velocidad y frecuencia de flameo
Separando los términos reales de los complejos se obtienen dos ecuaciones. De la primera se puede
extraer la supuesta frecuencia de flameo.
(2.9.10)
El problema es que no hay solución posible para la ecuación compleja por lo que se llega a la
conclusión de que no existe velocidad de flameo.
(2.9.11)
- 81 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 10. Perfil sin movimiento vertical y con masa colgando
Considere una placa plana de cuerda
y masa distribuida homogéneamente, unida a un punto
fijo en su borde de ataque a través de un muele torsión de constante elástica
y a otro punto en
el borde de salida a través de un muelle de flexión de constante elástica . Unida al punto central
del perfil se encuentra una masa
, tal como se muestra en la Figura 2.10.1. Despreciándose la
interferencia aerodinámica entre la masa puntual y el perfil así como las fuerzas aerodinámicas
sobre la masa puntual. Se pide:
a) Grados de libertad que definen la posición del sistema y energías cinética y potencial.
b) Fuerzas generalizadas utilizando aerodinámica casi-estacionaria en régimen incompresible.
c) Ecuaciones, en forma adimensional, que determinan el estado del sistema cuando éste
oscila con frecuencia .
d) Velocidad y frecuencia de flameo si las hubiera.
Figura 2.10.1. Diagrama del perfil del problema
- 82 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Grados de libertad y energías cinética y potencial
El borde de ataque es un punto fijo, por lo que el perfil no puede tener un movimiento de oscilación
vertical y sólo puede rotar en ese punto. Por lo tanto el problema tiene un grado de libertad debido
al movimiento del perfil y un segundo grado de libertad debido a la masa colgando.
Se podría elegir como grado de libertad del perfil el movimiento del muelle en el borde de salida
(positivo hacia abajo) o el ángulo de ataque . Estas dos variables se pueden relacionar,
considerando ángulos pequeños de la siguiente forma
(2.10.1)
Se eligen como grados de libertad del problema
y
(positivo hacia abajo).
Las ecuaciones de las posiciones verticales del perfil y de la masa son
(
)
(
(
)
) ( )
(2.10.2)
( )
(2.10.3)
La energía cinética del perfil es
∫
̇
∫ (
) ̇
∫ (
) ̇
̇
[
(
)
]
̇
(2.10.4)
También se podría haber calculado sabiendo que solo hay un grado de libertad en el perfil.
̇
(2.10.5)
Donde el momento de inercia se toma calcula respecto al ángulo de ataque.
(
)
(2.10.6)
La energía cinética de la masa es
̇
( ̇
- 83 -
̇ )
(2.10.7)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
La energía cinética del sistema es la suma de las dos.
(
̇ ̇
) ̇
̇
(2.10.8)
La energía potencial del sistema se obtiene de la contribución de cada muelle.
(
)
(2.10.9)
b) Fuerzas generalizadas
Utilizando aerodinámica casi-estacionaria en régimen incompresible la solución de Theodorsen
queda muy simplificada.
∫ √
̅ (
√
)
(2.10.10)
La condición de contorno en forma adimensional es
̅ (
)
(
)
(2.10.11)
Se cambia la variable ⁄ por para luego introducirlo en la integral.
̅ (
[
)
(
)]
(2.10.12)
Se introduce en la integral.
(
̂
∫ √
̂
√
)
(2.10.13)
̂
Se deben hacer dos integrales por separado.
(
∫ √
)
(
̂
(
∫ √
̂
[(
̂
√
)
)
(
̂)]
(2.10.14)
̂)
√
(2.10.15)
̂
[
̂
(
̂)] (2.10.16)
La única fuerza generalizada (debido al cambio de ) se calcula utilizando trabajos virtuales.
∫
(
)
∫ √
- 84 -
̂
[
̂
(
̂)] (
̂) ̂ (2.10.17)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se separa la integral en tres integrales distintas en función de la potencia de ̅ .
[
(
̂)] (
(
̂)
̂
(
̂
∫ √
)
) ̂
̂
(
̂
∫ √
)̂
(
̂
(2.10.18)
)
(2.10.19)
)̂ ̂
̂
(
̂
∫ √
(
)̂
(2.10.20)
(2.10.21)
̂
(
(
)
)
(2.10.22)
c) Sistema de ecuaciones en forma adimensional
Se utiliza la ecuación de Lagrange para obtener las ecuaciones del sistema. Se empieza por la
variable .
(
̇
(
̇
̇
) ̇
(
)
(
̈
) ̈
(
Se calcula ahora la ecuación de Lagrange utilizando la variable
̇
̇
(
̇
(2.10.23)
)
(2.10.24)
.
̇
(2.10.25)
̈
̈
)
)
(2.10.26)
Se introduce movimiento harmónico.
(
)
̅
̅
̅
(
̅
)̅
̅
(2.10.27)
̅
(2.10.28)
El sistema de ecuaciones queda
(
(
[
]
[
]) {
- 85 -
}
{
)
} (2.10.29)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
⁄
Se debe adimensionalizar ahora el sistema. Se divide la primera expresión
⁄ .
ecuación por
(
)
{
(
[
]
y la segunda
[
}
{ } (2.10.30)
])
Se utilizan las siguientes variables adimensionales.
(2.10.31)
Y sabiendo que
(
)
(2.10.32)
El sistema de ecuaciones queda
(
(
)
)
(
)
{
(
[
]
(
[
}
{ }
(2.10.33)
) ]
)
Se junta todo en una sola matriz.
(
)
(
)
(
)
{
(
[
)
}
{ }
(2.10.34)
]
d) Velocidad y frecuencia de flameo
Para obtener la condición de flameo se debe hacer el determinante de la matriz e igualarlo a cero.
[ (
)
(
)
(
)
] [(
)
]
(2.10.35)
Tomando solo la parte compleja se puede obtener la frecuencia de flameo.
[(
)
]
(2.10.36)
Introduciendo esta igualdad en la parte real
[ (
)
(
)
(
)
No se cumple la ecuación por lo tanto no hay flameo.
- 86 -
] [(
)
]
(2.10.37)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
3. Ráfagas en perfiles
Los problemas de ráfagas se resuelven todos de forma muy similar, la metodología básica está mejor
explicada en el problema 2.
Hay que tener en cuenta un par de cambios respecto a anotaciones de los temas anteriores.




El único grado de libertad es el movimiento vertical definido positivo hacia arriba y suele
usarse con dimensiones de longitud. El primer problema es una excepción puesto que se
define el movimiento vertical adimensional como .
El uso de barras sobre variables no significan las amplitudes de las variables usando la
hipótesis de movimiento harmónico, si no que se usan para mostrar que la variable está en
el plano de Laplace.
El parámetro másico se define de forma distinta y se usa la letra . Se trabaja con masas por
unidad de longitud .
Se trabaja con el tiempo adimensional , por lo que las funciones en el plano temporal
dependen de . Las funciones en el plano de Laplace dependen de . Esto puede causar un
poco de confusión ya que es bastante común, en otras asignaturas, utilizar la variable
como la variable del plano de Laplace.
Los pasos a seguir en un problema típico de ráfagas son los siguientes:
1. Se deben pasar todas las expresiones al plano de Laplace. Esto se hace ya sea utilizando
tablas de transformadas o haciendo el desarrollo integral.
̅( )
[ ( )]
∫
( )
(3.0.1)
Normalmente dan la expresión de la ráfaga y de las funciones de Wagner y Küssner, por lo que se
puede empezar por hacer las transformadas de esas tres funciones. Hay que recordar que todas las
funciones deben estar en función del tiempo adimensional . Se suele usar siempre unas
aproximaciones de las funciones de Wagner y Küssner, por lo que estas transformadas suelen
hacerse rápido. Las aproximaciones que se suelen usar son
( )
(3.0.2)
( )
(3.0.3)
2. El siguiente paso es calcular las sustentaciones inducidas. Generalmente se pueden usar las
expresiones de ( ) y ( ) desarrolladas en la teoría aunque hay que tener cuidado siempre que
se usan expresiones ya desarrolladas de que la definición de que el problema coincida con el de la
teoría, por ejemplo en el problema 1 se trabaja con un movimiento vertical adimensional por lo que
hay que adaptar las expresiones para el problema. Las dos expresiones son
( )
∫
- 87 -
̇(
) (
)
(3.0.4)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
( )
̇(
∫
)
( )
(3.0.5)
Una vez definidas las sustentaciones inducidas se hacen las transformadas de Laplace de estas
funciones. Se utiliza una propiedad de la transformada de una convolución. Para no tener que
trabajar con funciones muy grandes, se pueden dejar estas expresiones en función de ̅ , ̅ y ̅ que
se calcularon previamente en paso 1.
3. Se define la ecuación del movimiento del perfil. Si se tiene un perfil libre como en la teoría se
puede usar la expresión ahí descrita.
( )
( )
(3.0.6)
Igual que en el punto 2, no es bueno abalanzarse y usar esta expresión. Hay que tomarse un poco de
tiempo en leer bien el enunciado y definir correctamente esta ecuación. En le problema 2, por
ejemplo se específica que el perfil está sostenido por un muelle por lo que la ecuación dinámica es
diferente.
Lo primero que se hace es adimensionalizar la aceleración vertical. Normalmente se usa la siguiente
expresión.
(3.0.7)
Igual que en los pasos anteriores se debe pasar la ecuación dinámica al plano de Laplace. Las
sustentaciones inducidas ya se calcularon en el paso 2 y el resto suele ser directo de transformar.
4. Los problemas suelen pedir la aceleración vertical (o de forma análoga el factor de carga) o
la velocidad. Simplemente se debe despejar de la ecuación dinámica en el dominio de Laplace ̅
̅ para la aceleración.
para la velocidad o
Se termina de arreglar el resultado utilizando el parámetro másico e introduciendo las expresiones
de ̅ , ̅ y ̅ para que solo quede en función de .
5. Finalmente se hace la antitransformada del resultado obtenido en el punto 4. La forma de
proceder en las antitransformada puede depender de cada problema. Se puede usar tablas de
antitransformada o directamente la ecuación integral.
Un caso típico es tener que hacer la antitransformada de una función en la que se tienen solo
polinomios. La resolución de este tipo de antitransformada se explica detalladamente en el
problema 2. Se deben desarrollar minuciosamente todas las fracciones y polinomios hasta obtener
un cociente de dos polinomios. Se debe transformar este cociente de dos polinomios en una suma
de funciones del tipo
( )
( )
(
)(
( )
)
(
)
(3.0.8)
Se puede usar el método de Heaviside para obtener los coeficientes. Una vez obtenido todos los
coeficientes, la antitransformada de Laplace es directa.
- 88 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 1. Factor de carga adimensional de una ala rígida
Se tiene un ala rígida pero libre de desplazarse verticalmente cuando encuentra una ráfaga de
( )
( ), siendo
⁄ el tiempo adimensional, la semicuerda del
intensidad
ala. Las funciones de Wagner y Küssner pueden aproximarse por:
( )
(3.1.1)
( )
(3.1.2)
Se pide determinar el factor de carga del ala. Expresar el resultado en función de parámetros
adimensionales.
- 89 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
Lo primero que se tiene que hacer en un problema de ráfagas es pasar las funciones al plano de
Laplace, ya sea utilizando tablas de transformadas o utilizando directamente la definición integral. Se
empieza con la función de la ráfaga. Se recuerda que cuando se trabaja en el plano real la variable de
tiempo adimensional es mientras que si se trabaja en el plano de Laplace la variable es .
̅ ( )
( )]
[
(3.1.3)
Se hace lo mismo para las funciones de Wagner y Küssner.
̅( )
[ ( )]
̅( )
(3.1.4)
[ ( )]
(3.1.5)
Se define la variable adimensional como ⁄ siendo el movimiento vertical adimensional. Esto se
diferencia de la teoría ya que ahí se toma como la variable del movimiento vertical pero con
dimensiones. El factor de carga se define como la relación entre sustentación y peso puede definirse
como una relación entre aceleración del movimiento vertical y la aceleración de la gravedad.
(
( )
)
(3.1.6)
La transformada de la segunda derivada de respecto a es
[
]
̅
(3.1.7)
Se desea ahora calcular las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la ráfaga en el
plano de Laplace.
( )
̇(
∫
( )
∫
̇(
) (
( )
)
)
(3.1.8)
(3.1.9)
Para facilitar el desarrollo de estas expresiones se hacen las integrales por separado, empezando por
la integral que aparece en la ecuación (3.1.8). Se integra por partes para eliminar la derivada de la
función y ponerla en la función .
̇(
∫
̇(
) (
)
(
)
- 90 -
∫
(
)
)
(3.1.10)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se hace ahora la transformada de la integral. Esta transformada es sencilla de aplicar ya que es la
convolución de ̈ y (escrito correctamente es ̈ ( )
( )), y por definición la transformada de una
convolución es igual al producto de las transformadas de las dos funciones.
(
[∫
)
̅
̅
]
(3.1.11)
Se hace ahora la transformada de la integral de la ecuación (3.1.9). Esta integral tambien es la
convolución de dos funciones por lo que tambien es directa de hacer.
[∫
̇(
( )
)
̅
̅
]
(3.1.12)
Las transformadas de Laplace de las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la
ráfaga son
( )
̅]
[
(3.1.13)
̅
̅
( )
̅
(3.1.14)
La ecuación dinámica es la suma de las dos contribuciones a las sustentaciones inducidas.
( )
( )
(3.1.15)
Se pasa esta expresión al plano de Laplace.
̅
̅]
[
̅
̅
̅
(3.1.16)
La aceleración adimensional en el plano de Laplace es por lo tanto
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(3.1.17)
Se puede escribir esta expresión en función del parámetro másico .
̅
(3.1.18)
̅
̅
̅
- 91 -
(3.1.19)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Para obtener el factor de carga adimensional en función del tiempo se debe hacer la transformada
inversa de la ecuación (3.1.19).
̅
( )
[
- 92 -
̅
]
(3.1.20)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 2. Puente frente a una ráfaga
Dentro de la validez de la teoría aerodinámica bidimensional, incompresible, no estacionaria se
desea estudiar la respuesta de un puente frente a ráfagas. Para ello se considera una sección
característica de anchura
y masa por unidad de envergadura
en presencia de un viento con
⁄ . Repentinamente, y durante un tiempo
velocidad horizontal
y con densidad
, aparece una velocidad vertical uniforme
. Teniendo en cuenta que tanto el espesor
como el desplazamiento vertical de la sección característica son pequeños frente a su anchura, se
pide
a) Calcular la evolución temporal de la velocidad vertical de la sección, considerando que no
gira y que la rigidez a flexión en la sección analizada es
. Se puede dejar como una
función antitransformada de Laplace.
⁄ , la anchura del puente
b) Calcular el resultado anterior cuando la masa vale
es de
, la rigidez a flexión es nula y la duración de la ráfaga infinita.
Las expresiones para las funciones de Wagner y Küssner son:
( )
(3.2.1)
( )
Siendo el tiempo adimensional
(3.2.2)
⁄ .
- 93 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Velocidad vertical de la sección
Se considera el puente como un perfil plano sujetado por un muelle de rigidez
una ráfaga vertical uniforme.
y le llega
Figura 3.2.1. Diagrama del perfil del puente con la ráfaga vertical uniforme
La ecuación del movimiento del perfil del puente es
( )
( )
(3.2.3)
La intensidad de la ráfaga en función del tiempo es simplemente una función constante pero que
empieza en
.
( )
{
(3.2.4)
Se hace la transformada de Laplace de esta función.
̅ ( )
[
]
∫
( )
(
∫
)
(3.2.5)
Las transformadas de las funciones de Wagner y Küssner son
̅( )
[ ( )]
̅( )
(3.2.6)
[ ( )]
(3.2.7)
La velocidad vertical es simplemente la variación del movimiento vertical .
(3.2.8)
̅
[ ]
̅
(3.2.9)
Se desea ahora calcular las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la ráfaga en el
plano de Laplace.
- 94 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
( )
∫
( )
̇(
̇(
∫
) (
)
(3.2.10)
( )
)
(3.2.11)
Se calculan primero las transformadas de las integrales. Estas dos transformadas son directas ya que
son convoluciones.
[∫
̇(
) (
)
̅
]
̅
̇(
[∫
( )
)
̅
]
̅
(3.2.12)
Las transformadas de Laplace de las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la
ráfaga son
̅ ( )
̅]
[
̅
̅ ( )
̅
(3.2.13)
̅
(3.2.14)
Se hace la transformada de Laplace de la ecuación del movimiento (3.2.3).
̅
̅
̅]
[
̅
̅
̅
(3.2.15)
La velocidad vertical en el plano de Laplace es ̅ .
̅
̅
̅
(3.2.16)
̅
Se introduce el parámetro másico y la expresión de la rigidez .
(3.2.17)
̅
̅
̅
(3.2.18)
̅
Se adimensionaliza la frecuencia natural de la placa.
(3.2.19)
La velocidad en el plano del tiempo se consigue haciendo la transformada inversa de Laplace.
̅
( )
(3.2.20)
̅
[
]
- 95 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
⁄ , la anchura del puente es de
b) calcularar el resultado cuando la masa vale
.
Utilizando los datos numéricos del enunciado se puede calcular el parámetro másico.
(3.2.21)
Sabiendo que la rigidez a flexión es nula se tiene
(3.2.22)
Debido a que el tiempo de la ráfaga es infinito (
Laplace es
) la intensidad de la ráfaga en el plano de
̅
(3.2.23)
Se introducen estos valores en la velocidad vertical en el plano de Laplace. Además se introducen las
expresiones de las funciones de Wagner y Küssner calculadas en las ecuaciones (3.2.6) y (3.2.7).
(
̅
)
(
)
(
)
(
(
)(
)
)(
La primera fracción
)
(
(
(
( )
)
)(
)
(
)
)
(
)(
(
(3.2.24)
)
)(
)
(
)
(
)
queda
(
)
(
Para desarrollar la segunda fracción
)(
)
(
)(
)
(3.2.25)
se expande el denominador utilizando WolframAlpha.
(
)(
)
(3.2.26)
Se deben encontrar las raíces del denominador y además normalizarlas, por lo que primero se debe
quitar el termino multiplicando el mayor exponente de .
(
)(
- 96 -
)
(3.2.27)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se buscan ahora las raíces del polinomio. Se utiliza WolframAlpha4 para obtener las raíces aunque se
podrían utilizar métodos numéricos. Las raíces son
(3.2.28)
Volviendo a la ecuación (3.2.24)
(
̅
(
)(
)(
)(
)(
)
)(
)(
)
(3.2.29)
Para poder facilitar la transformada inversa de Laplace se puede poner la fracción en una suma de
), y así obtener la velocidad en el plano temporal.
fracciones de la forma ⁄(
Hay un método desarrollado por el fisico y matemático Oliver Heaviside que simplifica la obtenición
de estas variables sin tener que hacer todo el desarrollo (para más información buscar en la página
de Wikipedia inglesa, “Heaviside cover-up method”). Basicamente consiste en ir sustituiendo la
variable por las distintas raices del polinomio del denumerador eliminando el término de la raiz
(impidiendo así que dé cero en el denumerador).
(
(( )
)(( )
(
(
( )
)((
)(( )
(
)
)(( )
)
)(( )
)(( )
)((
)
)((
)
)(( )
)
)
)((
)
)((
)
(3.2.30)
)
)
)((
)
(3.2.31)
(
(
)((
)
)
)((
)((
)
)((
(
(
(
)
)
)((
(
)
)((
)
)((
)
)
)((
)
)((
)
)
)
)
)((
)((
)
)
)
)((
(3.2.32)
)
(3.2.33)
(
(
)((
(
)
)((
)
)((
)
)
)
)((
)
)((
)
)
)((
)
(3.2.34)
(
(
)((
(
)
)
)((
)((
)
)
)((
)((
)
)
)
)((
)
)
(3.2.35)
4
http://www.wolframalpha.com/input/?i=roots+p%5E3%2B0.3559p%5E2%2B0.0165p9.45%E2%80%A2%E3%80%9610%E3%80%97%5E%28-5%29
- 97 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Volviendo a la ecuación de la velocidad, ecuación (3.2.31)
̅
(
(3.2.36)
)
Ahora y se puede hacer la transformada inversa de la velocidad obtener finalmente la velocidad
respecto a al tiempo adimensional.
( )
(
(3.2.37)
)
La velocidad en función de es
( )
(
)
(3.2.38)
Se puede comprobar que el resultado es el correcto utilizando WolframAlpha5 para encontrar la
antitransformada de Laplace de la ecuación (3.2.29). El resultado es exactamente el mismo que el
obtenido en la ecuación (3.2.38).
5
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+Laplace+%28%281.13p%2B0.26%29%28p%2B0.0455%29%2
8p%2B0.3%29%29%2F%28p%28p%2B0.13%29%28p%2B1%29%28p%2B0.2998%29%28p%2B0.0612%29%28p5.147%E2%80%A2%E3%80%9610%E3%80%97%5E%28-3%29%29%29
- 98 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 3. Factor de carga con ráfaga cosenoidal
Se desea estudiar la respuesta de un avión a una ráfaga cosenoidal de la forma
( )
(
{
)
(3.3.1)
⁄ ),
Donde es la variable de tiempo adimensional (
es el gradiente adimensional
de la ráfaga y
es la intensidad de la ráfaga. Para ello el avión se representa por un ala
bidimensional libre de desplazarse verticalmente y las funciones de Wagner y Küssner se aproximan
por
( )
(3.3.2)
( )
Sea el parámetro másico definido como
(3.3.3)
⁄(
).
Se pide obtener la expresión de la respuesta (aceleración) en el dominio de Laplace.
- 99 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Obtener la expresión de la respuesta en el dominio de Laplace.
La ecuación dinámica del movimiento vertical es
( )
( )
(3.3.4)
La intensidad de la ráfaga en el dominio de Laplace se consigue transformando la ecuación (3.3.1) de
forma integral.
̅ ( )
[
]
∫
( )
∫
(
)
∫
[
]
(
∫
(
)
∫
(
)
)
∫
(
)
(3.3.5)
La segunda integral se debe resolver por partes dos veces.
(
∫
(
)
)
(
(
[
∫
(
∫
(
)
[
(
)]
(
)
∫
(3.3.6)
(
)
)
)
)
(
(
)]
)
∫
∫
(
(
)
)
(3.3.7)
Introduciendo la expresión (3.3.7) en la ecuación (3.3.6) se obtiene finalmente la expresión para
calcular la integral de la ecuación (3.3.5).
- 100 -
Andrés Zarabozo Martínez
∫
(
)
∫
∫
(
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
(
)
)
[
)
(
)
(
)
∫
(
(
)
]
(
(
(
)
)
(
)
)
)
(
(
)
(3.3.8)
)
Se introduce la integral en la expresión (3.3.5).
̅ ( )
(
)
(
(
)
](
[
(
)
)
(3.3.9)
)
Las transformadas de las funciones de Wagner y Küssner son
̅( )
[ ( )]
̅( )
(3.3.10)
[ ( )]
(3.3.11)
Las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la ráfaga en el plano de Laplace.
( )
̇(
∫
( )
̇(
∫
) (
)
(3.3.12)
( )
)
(3.3.13)
Se calculan primero las transformadas de las integrales. Estas dos transformadas son directas ya que
son convoluciones.
[∫
̇(
) (
̅
)]
̅
̇(
[∫
( )
)
]
̅
̅
(3.3.14)
Las transformadas de Laplace de las sustentaciones inducidas por el movimiento del perfil y por la
ráfaga son
̅ ( )
̅)
(
̅
̅ ( )
̅
La aceleración es la segunda derivada del movimiento vertical .
- 101 -
̅
(3.3.15)
(3.3.16)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(3.3.17)
̅
[ ( )]
̅( )
(3.3.18)
La transformada de Laplace de la ecuación de la dinámica es
̅
̅
̅)
(
̅
̅
(3.3.19)
La aceleración queda
̅)
(
̅
̅
̅ ̅
̅
Se introduce el parámetro másico
̅
(3.3.20)
̅
⁄
.
̅ ̅
̅
(3.3.21)
̅
Se puede introducir la expresión de la ráfaga, ecuación (3.3.9) y las expresiones de las transformadas
de las ecuaciones de Wagner y Küssner.
(
](
) [
(
̅
)
(3.3.22)
(
Se sabe que
)
)
por lo que la aceleración queda.
(
) [
̅
(
- 102 -
(
)
](
)
(3.3.23)
)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
4. Flameo por separación
Problema 1. Flameo por separación en flexión
Se desea estudiar el flameo por separación en flexión de un perfil cuyo coeficiente de fuerza normal
se puede expresar como:
(
)
(4.1.1)
Donde
es el ángulo de ataque total que ve el perfil. Dicho ángulo de ataque se puede expresar
como la superposición de un ángulo de ataque estacionario
no necesariamente pequeño y de un
ángulo de ataque pequeño no estacionario de amplitud instantánea ( ).
Para determinar la posibilidad de flameo y, en caso de que lo haya, el tipo del mismo, se usará el
signo de la potencia suministrada en un ciclo de oscilación del perfil incluyendo hasta términos de
orden en la amplitud del movimiento en flexión. Estudie también la posibilidad de existencia de
flameo cuando sólo se retiene el primer término en el desarrollo en serie de potencia.
- 103 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
y ( ).
Se debe poner el coeficiente fuerza normal en función de
(
)
( ))
(
(4.1.2)
Se separan los dos ángulos.
[
( )
( )]
(4.1.3)
Se desarrollan las funciones trigonométricas dependientes de ( ) en polinomio de Taylor de orden
seis.
(4.1.4)
)y (
Se definen dos funciones (
(
).
)
(
)
(4.1.5)
Introduciendo estas ecuaciones en (4.1.3).
(4.1.6)
La potencia en un ciclo, donde
es el trabajo y no el peso, es
̇ (
∫
)
(4.1.7)
Como se puede ver en la teoría, tras realizar la integral se obtiene una expresión del tipo
(
(
)
(
)
(
)
)
(4.1.8)
Donde
(4.1.9)
[ (
(
)(
)
]
)
(4.1.10)
[(
)(
)]
)
[(
Los términos de la expresión del coeficiente de fuerza normal son
(4.1.11)
- 104 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se analizan los signos de los términos y . Se considera que
es positivo y se encuentra entre
y ⁄ . Los términos , y son positivos y el término es negativo. Considerando además que
es positivo ya que los desfases son menores que ⁄ se obtiene
(4.1.12)
Se puede analizar considerando un valor típico de ángulo de entrada en pérdida
retraso supuesto del
del ciclo que es aproximadamente
.
y un
(4.1.13)
Obteniendo
(4.1.14)
Que haya flameo depende del signo del , si
se produce flameo explosivo.
es negativo no hay flameo y si
es un punto donde
Flameo
explosivo
No existe el
flameo
Figura 4.1.1. Evolución de la amplitud y potencia de flameo
Si hubiese flameo explosivo, el punto en que ocurre se obtiene igualando la potencia a cero.
(
| |
)
| |
√
| |
(4.1.15)
Considerando solo el primer término del coeficiente
)(
[(
(
)
)
(4.1.16)
]
Y aplicando los mismos valores numéricos anteriores se obtiene
(
En este caso no habría punto de flameo ya que
)
.
- 105 -
(4.1.17)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
5. Aeroelasticidad estática en alas rectas
Este es el primer tema que trata estructuras unidimensionales, a diferencia de los temas anteriores
que eran estudios de perfiles. Los problemas suelen buscar las ecuaciones que permiten hallar la
presión dinámica de divergencia del sistema, la deformación elástica del ala y la presión dinámica de
inversión de mando.
Los pasos a seguir en un problema típico de aeroelasticidad en alas rectas son los siguientes:
1. Se determina la ecuación diferencial de equilibrio del sistema. Suele tener la siguiente forma
(
( )
)
(5.0.1)
Se debe determinar que fuerzas y momentos contribuyen al momento torsor ( ). Como ejemplo se
muestra en la ecuación (5.0.2) el momento torsor de un ala con perfiles simples y con un alerón que
se deflecta un ángulo .
( )
(5.0.2)
2. Los coeficientes de sustentación suelen depender del ángulo de ataque y si hay torsión la
distribución de ángulos de ataque también depende de la torsión del ala. Se diferencia el ángulo de
ataque de un perfil como el ángulo rígido y la torsión. Es posible que se tenga que calcular .
( )
( )
(5.0.3)
Debe recordarse que este ángulo se mide respecto a la línea de sustentación nula del ala. El
coeficiente de sustentación también puede variar si hay variación de perfiles en el ala.
( )
( ) ( )
(5.0.4)
3. Se introducen los coeficientes de sustentación en la ecuación diferencial y se deja de la
siguiente forma
( )
Donde
(5.0.5)
suele tener la siguiente forma (aunque puede variar).
(5.0.6)
4. Se debe resolver esta ecuación diferencial, pero para calcular la presión de divergencia solo
hace falta obtener la solución homogénea que tiene la siguiente forma
(5.0.7)
Se introducen las condiciones de contorno. Se deben de tener dos condiciones de contorno por lo
que se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( y ). Se escribe el sistema en
forma matricial y al igualar el determinante de la matriz a cero se puede obtener
y de ahí .
- 106 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
5. Para hallar la deformación del ala (es decir ) se debe resolver la ecuación diferencial. La
solución particular depende de como sea la función ( ), pero normalmente esta función es un
polinomio por lo que la solución particular también tiene forma polinómica.
La solución de la ecuación diferencial es
( )
(5.0.8)
Se deben introducir las condiciones de contorno para obtener los coeficientes y . Si se pone el
sistema de ecuaciones en forma matricial la matriz debería ser igual que la obtenida para la solución
homogénea, lo que cambia es el vector de términos independientes que aparece debido a la
solución particular.
Una vez obtenidos los términos
sustentación del ala.
y
ya se tiene la torsión del ala y se podría calcular por ejemplo la
6. El fenómeno de inversión de mando ocurre cuando la sustentación es nula. Normalmente la
sustentación se calcula integrando sobre toda la envergadura.
∫ ( (
Si hay alerón la sustentación depende de
( ))
(5.0.9)
y normalmente tiene la siguiente forma
( )
Para que la sustentación no dependa de
( ) sea nulo y obtener de ahí .
)
( )
(5.0.10)
y se produzca la inversión de mando se debe cumplir que
( )
- 107 -
(5.0.11)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 1. Ala recta y uniforme
Considere un ala recta de gran alargamiento y con las siguientes propiedades uniformes a lo largo de
⁄ ,
la envergadura:
,
,
,
,
,
,
y
.
Se desea calcular:
a) La velocidad de divergencia
b) La torsión geométrica que se alcanza en la punta del ala cuando la velocidad de vuelo es ⁄
de la de divergencia y el factor de carga es libre
c) En las condiciones del apartado anterior calcule el factor de carga
- 108 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Velocidad de divergencia
La ecuación diferencial de equilibrio es
(
( )
)
(5.1.1)
Donde el momento torsor ( ) está provocado por las fuerzas aerodinámicas y el peso.
( )
(5.1.2)
La sustentación se escribe como la suma de la contribución rígida y elástica. Se debe recordar que el
ángulo de ataque se mide respecto a la línea de sustentación nula.
(5.1.3)
La ecuación diferencial queda
(
)
(
)
(5.1.4)
Se debe resolver esta ecuación diferencial. Para calcular la velocidad de divergencia solo hace falta
obtener la solución homogénea.
( )
(5.1.5)
Donde
(5.1.6)
Se introducen las condiciones de contorno.
( )
(5.1.7)
()
(5.1.8)
Para que se produzca la divergencia se debe cumplir que
(
)
. La solución de esta ecuación es
(5.1.9)
Se toma como solución el que corresponda con la velocidad (presión dinámica más pequeña). Como
se sabe que el alargamiento
y
, la cuerda media es de
. Hay que recordar que es
- 109 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
la semiala y el alargamiento es la relación entre la envergadura ( ) y la cuerda media. Se calcula la
velocidad para condiciones a nivel del mar.
(5.1.10)
(5.1.11)
√
√
⁄
(5.1.12)
⁄ por lo
Esta velocidad es muy elevada. La velocidad del sonido a nivel del mar y
es de
que la velocidad de divergencia es supersónica. Se considera que no hay divergencia ya que el avión
no llegaría a operar en estas condiciones.
b) Torsión geométrica en la punta del ala con
⁄ y factor de carga libre
Sabiendo que la velocidad de vuelo es un cuarto de la de divergencia, se puede obtener .
(5.1.13)
Por lo tanto si la velocidad es un cuarto de la de divergencia, también es un cuarto de
⁄
.
(5.1.14)
La presión dinámica para esta velocidad es
(5.1.15)
Volviendo a la ecuación (5.1.4) se debe resolver la ecuación diferencial. Se define el parámetro
.
(5.1.16)
Se debe encontrar la solución particular de la ecuación diferencial. Esta solución tiene forma
parabólica. Se considera que en el ala no depende de .
(
)
(5.1.17)
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la particular.
⁄
- 110 -
(5.1.18)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se deben volver a introducir las condiciones de contorno.
( )
(5.1.19)
()
(5.1.20)
La ecuación diferencial queda
(
)
(5.1.21)
La torsión geométrica en la punta del ala es
()
(
)
(5.1.22)
c) Factor de carga para estas condiciones
Para calcular el factor de carga se debe primero calcular la sustentación.
∫
( )
∫
(
)
[
(
)]
[
(
[
(
)]
)]
(5.1.23)
⁄ , pero hay que recordar que el factor
El factor de carga es
por lo que hay que despejar .
contiene el factor de carga
(
[
(
)
(
(
(
- 111 -
)]
)
)
)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
(
)
)
(
[
)]
(
(
[
Se introducen los valores numéricos. Se considera que
(
)
es un cuarto de la cuerda (
)
(
(
(
[
(5.1.24)
)]
).
)
)
(
)
)]
(5.1.25)
Se puede ahora completar el apartado b) introduciendo el valor calculado del factor de carga.
(5.1.26)
()
(
)
(
(
)
(
()
)
(
))
(5.1.27)
- 112 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 2. Ala sujeta a un muelle de torsión
Considérese un ala recta de sección constante , masa por unidad de longitud y con una torsión
geométrica ( )
. Tanto la distancia entre el centro de gravedad de cada sección y el eje
elástico
como la separación entre el eje elástico y la línea de centros aerodinámicos son
constantes. Las características aerodinámicas
y
y la rigidez a torsión
de las secciones no
varían a lo largo de la envergadura.
Para analizar la influencia del movimiento de cabeceo del avión como sólido rígido en la velocidad de
divergencia del ala, se representa éste por un muelle de torsión de constante de rigidez
evitando
así que la matriz de rigidez sea singular.
Se pide:
a) Calcular y representar gráficamente la velocidad de divergencia como función de
b) Cuando la velocidad de la corriente incidente
es inferior a la velocidad de divergencia,
calcular la distribución de sustentación a lo largo de la envergadura
- 113 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Calcular y representar gráficamente la velocidad de divergencia como función de
La ecuación diferencial de equilibrio es
(
( )
)
(5.2.1)
Donde el momento torsor ( ) está provocado por las fuerzas aerodinámicas y el peso.
( )
(5.2.2)
Como dice el enunciado la torsión ( ) va aumentando linealmente hacia la punta, por lo que se
puede considerar un problema simétrico.
La sustentación se escribe como la suma de la contribución rígida y elástica. Se debe recordar que el
ángulo de ataque se mide respecto a la línea de sustentación nula.
(5.2.3)
Se introducen estas expresiones en al ecuación de equilibrio y sabiendo que la rigidez a torsión
constante.
(
(
)
es
)
(5.2.4)
La solución homogénea de esta EDO es también la ecuación de la divergencia.
( )
(5.2.5)
Donde
(5.2.6)
En la unión del ala con el fuselaje se tiene un muelle de torsión de constante de rigidez
. Las
condiciones de contorno son que el momento del muelle es de sentido contrario al giro y que en la
punta no hay momento.
( )
( )
()
Se deriva la ecuación (5.1.5) para introducir estas condiciones de contorno.
( )
- 114 -
(5.2.7)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
( )
(5.2.8)
()
(5.2.9)
Se tiene un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
[
]{ }
{ }
(5.2.10)
Se busca la solución para que el determinante sea cero.
(5.2.11)
Si en vez de tener un muelle se tuviese un empotramiento se tendría el mismo resultado pero
haciendo el límite
.
La Figura 5.2.1 muestra la velocidad de divergencia en función de la rigidez utilizando la siguiente
expresión
(5.2.12)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Figura 5.2.1. Divergencia de la velocidad en función de la rigidez
- 115 -
80
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
b) calcular la distribución de sustentación a lo largo de la envergadura cuando
El coeficiente de sustentación rígido
en una sección es
(5.2.13)
Se introduce en la ecuación (5.1.4).
(5.2.14)
La parte de la derecha se puede escribir como
(5.2.15)
Se busca ahora la solución particular de la ecuación diferencial. La solución tiene forma de polinomio
de segundo grado.
(5.2.16)
(
)
(5.2.17)
Se deben igualar los términos que multiplican las distintas potencias de
ecuaciones.
y así obtener tres
(5.2.18)
Obteniendo los coeficientes
,
y
y la solución particular.
(5.2.19)
(5.2.20)
La solución de la ecuación diferencial es
( )
(5.2.21)
Se tienen que calcular las condiciones de contorno.
( )
(
()
)
(5.2.22)
(5.2.23)
- 116 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se debe resolver para obtener los
coeficientes y . En forma matricial el sistema queda de la siguiente forma.
(
[
)
]{ }
(5.2.24)
{
}
Se puede comprobar que la matriz del sistema es la misma que la obtenida en el primer apartado en
la ecuación (5.2.10).
Se deben encontrar los valores de
y .
(
{ }
[
)
]
{
}
(
)
{ }
(5.2.25)
{
(
)
}
La distribución del coeficiente de sustentación es
(
)
- 117 -
(5.2.26)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 3. Velocidad de inversión de mando de un timón de profundidad
Calcular la velocidad de inversión del mando de un timón de profundidad de longitud , rigidez a
torsión , cuerda y distancia del eje elástico al centro aerodinámico uniformes a lo largo de la
envergadura. Para las fuerzas aerodinámicas utilizar teoría bidimensional, sabiendo que la cuerda
del timón de profundidad es uniforme e igual a ⁄ y considerando la sección del ala como una
placa plana.
Nota: usar si es necesario las siguientes integrales.
∫
∫
√
|
√
√
|
√
|
∫
∫
|
√
- 118 -
( )
( )
|
|
√
|
|
(5.3.1)
(5.3.2)
(5.3.3)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Solución de la ecuación diferencial
Al tratarse de la deflexión de un timón de profundidad (no de un alerón) el problema es simétrico. La
inversión se produce cuando no aumenta la sustentación.
Se parte de unos coeficientes que se suponen conocidos
adelante aplicando aerodinámica estacionaria.
y
(
)
que se calculará más
(5.3.4)
Se considera que no hay factor de carga (no se tiene en cuenta el efecto másico) y que el ángulo de
ataque rígido es
.
Se definen los siguientes parámetros
(5.3.5)
(5.3.6)
La solución homogénea es
(5.3.7)
Se busca la solución particular ahora. Esta tiene forma de parábola
(
)
(5.3.8)
Por lo tanto la solución particular es
(5.3.9)
Y la solución de la ecuación diferencial es
(5.3.10)
Las condiciones de contorno son
( )
(5.3.11)
- 119 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
()
(5.3.12)
Finalmente la solución de la ecuación diferencial particularizada con las condiciones de contorno es
(
)
(5.3.13)
b) Velocidad de inversión de mando
Para encontrar la condición de inversión de mando se debe igualar la sustentación a cero. La
sustentación es la suma de las contribuciones de todos los perfiles.
∫
(
[
)
(
)
∫
]
(5.3.14)
Se resuelve la integral
∫
[
]
(5.3.15)
Se introduce la integral en la ecuación de la sustentación y se iguala a cero. Se resuelva .
(
(
)
)
(
(
)
)
(5.3.16)
Se busca ahora la presión dinámica de inversión de mandos. Y finalmente se puede obtener la
velocidad.
(5.3.17)
- 120 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
√
(5.3.18)
c) Cálculo de los coeficientes aerodinámicos
Utilizando la teoría bidimensional la diferencia de coeficientes de presión es
√
La condición de contorno
ya que el
es el
)
(5.3.19)
de la velocidad vertical en el perfil (con condiciones estacionarias) es
para
.
√
Sabiendo que
(
∫ √
, se calcula
√
∫ √
(5.3.20)
. Hay que recordar que se trabaja con la semicuerda.
∫ √
(5.3.21)
En el caso del cálculo del
la condición de contorno es
fuera del timón de profundidad y
(deflexión de un radian) en la zona del timón de profundidad. El timón de profundidad
empieza en la mitad de la cuerda del perfil por lo que al integrar la zona entre
y es nula.
( )
√
Se hace el cambio de variable
∫ √
(5.3.23)
(por lo que
√
(5.3.22)
∫
).
√
(5.3.24)
⁄
Se debe manipular la raíz cuadrada dentro de la integral para obtener una función en la integral
parecida a la que se ve en la ecuación (5.3.1).
√
(
√
√
)
∫
- 121 -
(5.3.25)
(5.3.26)
⁄
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se puede ver que la integral ya se parece a la ecuación del enunciado. Los coeficientes de la integral
son
,
,
y
.
∫
[
⁄
|
√
(
√
( )
(
√
( )
(
(
√
|
√
√
)
|]
)
(
)
|)
)
(
)
⁄
(5.3.27)
Se puede simplificar la expresión que está dentro del logaritmo.
√
(
)
√
(
)
(
)
(
(
(
(
√
)
)
)
)
(
)
(
)
)
(
√
(
)
)
(
√
(
(
√
)
)
√
(5.3.28)
Se puede además afirmar la siguiente igualdad.
√
√
√
El coeficiente de presiones para calcular
√
(
√
Se calcula ahora el coeficiente
)
√(
)(
√(
(5.3.29)
)
queda finalmente como
|
√
|)
√
|
√
| (5.3.30)
, se debe integrar sobre el coeficiente de presiones sobre toda la
cuerda.
∫
∫ [√
|
√
|]
(5.3.31)
La primera integral se consigue utilizando la tabla de integrales y es igual a . La segunda es
simplemente dos veces la integral dada en el enunciado, ecuación (5.3.2), por lo que es igual a .
- 122 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
El coeficiente de sustentación
es
(5.3.32)
Queda un último coeficiente
. El coeficiente de presiones es el mismo que el calculado para la
sustentación
. Hay que tener cuidado con las adimensionalizaciones ya que al ser un momento se
tienen dos unidades de longitud y en este caso en vez de dividir por se divide por
∫ (
)
∫ (
)( √
|
√
.
|)
(5.3.33)
Se tienen dos integrales. Una es la misma que la integral de la ecuación (5.3.31) y la segunda es ésta
multiplicada por . Se resuelve de forma similar y utilizando la integral de la ecuación (5.3.3) dada en
el enunciado.
∫
( √
|
√
|)
(5.3.34)
Por lo tanto el coeficiente de momento es
(
)
- 123 -
(5.3.35)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 4. Ala recta ensayada en un túnel de viento
Se dispone de un túnel de viento para ensayo de álabes vibrantes con el que se pretende estudiar el
efecto de la torsión sobre alas rectas. Para ello, entre ambas paredes, separadas entre sí una
distancia , se sitúa un ala recta, formada por perfiles idénticos con una ley de torsión línea y
provista de un alerón que se extiende a lo largo de toda su envergadura. Las características
aerodinámicas de los perfiles vienen dadas por las constantes
,
,
y
. La rigidez a
torsión de los perfiles vale , la cuerda , la distancia entre eje elástico y centro aerodinámico y la
distancia entre eje elástico y centro de gravedad (ambas positivas cuando el eje elástico está por
detrás). El perfil situado en
tiene un ángulo de ataque rígido
y está unido a la pared por
un muelle de torsión de rigidez
y el situado en
tiene un ángulo de ataque rígido
y está
unido a la pared por un muelle de torsión rigidez . Se pide:
a) Plantear la ecuación que permite hallar la presión dinámica de divergencia del sistema.
b) Plantear el sistema de ecuaciones que permite hallar la deformación elástica del ala.
c) Plantear la ecuación que permite hallar la presión dinámica de inversión de mando del
sistema suponiendo los dos muelles idénticos (
) y la torsión simétrica respecto
de
(
).
- 124 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Ecuaciones que permiten hallar
La ecuación diferencial de equilibrio es
(
)
( )
(5.4.1)
Donde el momento torsor ( ) está provocado por las fuerzas aerodinámicas.
( )
(5.4.2)
En el término elástico se incluye la deformación elástica del ala y el giro de los muelles. El ángulo de
ataque rígido es lineal entre y .
(5.4.3)
(
)
(5.4.4)
Se puede rescribir esta ecuación utilizando los siguientes parámetros
( )
(5.4.5)
( )
El parámetro
( ) es lineal con
(5.4.6)
ya que la única parte que depende de
es
.
La solución homogénea es
(5.4.7)
Las condiciones de contorno son
(
)
(
(
()
)
(5.4.8)
()
(
- 125 -
)
)
(5.4.9)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
El sistema de ecuaciones queda
{ }
[
{ }
(5.4.10)
]
La presión dinámica de divergencia se obtiene haciendo el determinante de la matriz e igualándolo a
cero. Se obtiene así
y con esta la presión de divergencia.
b) Plantear el sistema de ecuaciones que permite hallar la deformación del ala
La solución particular tiene forma parabólica.
(
)
( )
(5.4.11)
(5.4.12)
La solución de la ecuación diferencial es
(5.4.13)
Se separa
en
Se vuelven a introducir las condiciones de contorno.
(
)
(
)
(
()
)
(5.4.14)
)
(5.4.15)
()
(
El sistema en forma matricial es
(
[
)
]
{ }
[
]
- 126 -
(5.4.16)
{
[
(
)
]}
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se puede observar que la matriz queda igual que en el primer apartado, lo único que cambia es el
vector de términos independientes.
Los términos de
son
(5.4.17)
(5.4.18)
c) Presión dinámica de inversión de mando
Se hacen las siguientes simplificaciones
(5.4.19)
Los de términos de
quedan
(5.4.20)
El sistema matricial queda
(
[
)
]
{ }
[
(5.4.21)
Con este sistema de ecuaciones se obtienen los valores de
por lo que dependen de .
(
La distribución de
)
( )
[
{
]
(
)
]}
y . Estos coeficientes dependen de
(
( )
)
(5.4.22)
es
(
)
( (
)
( ))
(5.4.23)
El coeficiente de sustentación global es la integral de todos estos coeficientes.
∫ ( (
)
Se separa la integral por partes, se empieza integrando (
∫
[
( ))
(5.4.24)
) y después se integra
( ).
]
(5.4.25)
- 127 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
( )
∫
∫
[
]
(5.4.26)
El coeficiente de sustentación queda
( )
(
)
(
)
(5.4.27)
(
[(
)
)
( )]
)
Se debe de separar los términos dependientes de
siguiente manera, donde y no dependen de .
( )
Para que la sustentación no dependa de
( ) sea nulo y obtener de ahí .
(
y dejar el coeficiente de sustentación de la
( )
(5.4.28)
y se produzca la inversión de mando se debe cumplir que
( )
- 128 -
(5.4.29)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
6. Flameo de estructuras unidimensionales
En este tema se estudia la estabilidad de estructuras unidimensionales. Solo se estudia el flameo
lineal en torsión y flexión. Hay que tener en cuenta que no siempre se estudian alas si no que se
puede estudiar otro tiempo de estructuras como puentes. Hay que tener cuidado en saber como
definir bien los parámetros del problema como las longitudes.
Los números adimensionales pueden depender de cada problema pero en general:


La masa adimensional es
Hay que tener cuidado con
⁄(
⁄
) donde
es la distribución de masa (
ya que representa la semicuerda.
⁄ ).
La metodología básica de un problema de flameo es la siguiente:
1. Se determinan los modos de vibración. Se modelizan las estructuras como vigas donde se
puede tener flexión y torsión. Las ecuaciones diferenciales para ambos casos son las siguientes:
(
)
(
)
(6.0.1)
(
)
(
)
En el caso de necesitar hacer un análisis modal por ejemplo de flexión la ecuación se reduce a solo
tener en cuenta las fuerzas inerciales.
(
)
(6.0.2)
Se debe suponer movimiento harmónico. Al resolver la ecuación diferencial y analizando el
determinante del sistema de ecuaciones para obtener las cuatro constantes de la ecuación
diferencial se pueden obtener las frecuencias de los modos. Y luego se pueden obtener las formas
de los modos.
2. Se deben obtener el sistema matricial de fuerzas generalizadas. El movimiento vertical es la
suma de las contribuciones de los modos.
∑
(6.0.3)
Se debe calcular el coeficiente de presiones de la misma forma que se hacía en el tema de flameo de
(
)⁄ . Se vuelve a introducir el
perfiles. Se busca la condición de contorno
movimiento harmónico obteniendo una forma similar a la siguiente.
(6.0.4)
Se calcula la diferencia de presiones
y mediante trabajos virtuales se obtiene las fuerzas
generalizadas. Hay que tener en cuenta que
dependerá de todos los modos
(y no son
- 129 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
virtuales) y al hacer trabajos virtuales y derivar parcial respecto al movimiento virtual
modos no se derivan.
∬
( )
( )
estos
(6.0.5)
3. Se debe desarrollar la ecuación de Lagrange. Para eso hace falta calcular la energía potencial
y cinética y además a diferencia del tema de flameo de perfiles aquí se suele introducir efectos de
disipación. La energía cinética y potencial (para flexión y torsión) son:
∫ ̇
∫
(∑
)
(6.0.6)
∫
(∑
)
(6.0.7)
A partir de estas energías se obtienen las matrices de masas y de rigidez. Los efectos de disipación se
calculan utilizando los valores de la rigidez de los distintos modos mediante la siguiente ecuación:
̇
(6.0.8)
Finalmente se introduce todo en la ecuación de Lagrange.
(
̇
)
̇
(6.0.9)
4. Finalmente se vuelve a introducir el movimiento harmónico y se deja todo el sistema en
forma matricial. Se pueden simplificar las expresiones utilizando parámetros adimensionales. De
forma similar al tema de flameo de perfiles, el flameo ocurre cuando el determinante de la matriz
del sistema es cero.
- 130 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 1. Fuselaje de un vehículo espacial
Para estudiar el flameo de un vehículo espacial se ha considerado el siguiente modelo.

Modelo estructural:
Tres modos de oscilación, dos de ellos como sólidos rígidos (los del movimiento perpendicular a la
trayectoria y de giro alrededor de su centro de gravedad) y el primer modo de flexión como sólido
elástico libre, que se ha aproximado por la expresión:
(6.1.1)

Modelo aerodinámico
Cuerpo esbelto de revolución donde la geometría se representa en la Figura 6.1.1 y cuya función es:
( )
(6.1.2)
( )
El coeficiente de presión vale, utilizando la teoría de cuerpos esbeltos no estacionaria:
[
(
)]
(6.1.3)
donde ( ) es el radio del cuerpo en la sección y ( ) el modo de oscilación correspondiente. En
esta expresión ya se ha incluido la integración con relación a .
Se pide:
a) Calcular la matriz de fuerzas aerodinámicas generalizadas
b) Plantear las ecuaciones del movimiento del sistema.
c) Determinar la estabilidad del sistema en términos de parámetros adimensionales
Figura 6.1.1. Título de la figura
- 131 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Fuerzas generalizadas
Lo primero que se hace es calcular el centro de gravedad del ala, solo se considera la masa del
fuselaje del vehículo (despreciando la parte interior) y además se considera que la distribución de
masa es homogénea. Por simetría el centro de gravedad está situado en el eje (
), además se
puede ver que la mitad superior del ala está compuesta por tres segmentos de rectas.
√
(6.1.4)
√
Se define ahora el movimiento vertical y el coeficiente de presiones debido a los tres modos de
oscilación.

Movimiento perpendicular a la trayectoria
(6.1.5)
{

(6.1.6)
Giro alrededor del centro de gravedad (el grado de libertad
(
{

(
[
[
)
(
(
)
)
)
(
(
es un ángulo)
(
(6.1.7)
(
)
(
))]
(6.1.8)
))]
Primer modo de flexión como sólido rígido (aproximado). Hay que tener cuidado porque las
longitudes están adimensionalizadas.
(6.1.9)
El movimiento vertical es la suma de la contribución de estos tres modos.
(
)
∑
( )
(
)
(
)
(6.1.10)
El coeficiente de presiones total sobre el vehículo es la suma de las contribuciones de los modos.
( )
( )
( )
Se calcula el trabajo virtual
. El
es la única parte que depende de
viene integrada, por lo que no hace falta poner la doble integral.
∫
∑
- 132 -
( )
(6.1.11)
y la ecuación dada ya
(6.1.12)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Al calcular las fuerzas generalizadas se debe derivar respecto a
amplitudes de los modos en el
.
pero siguen apareciendo las
∫
(
)
( )
(6.1.13)
∫
(
)
( )
(6.1.14)
∫
(
)
( )
(6.1.15)
b) Ecuaciones del sistema
Se debe calcular la energía cinética y la energía potencial. La energía cinética es
∫ ̇
Donde
( )
∫
( ) ̇)
( ) (∑
(
) (∑
( ) ̇)
(6.1.16)
( ).
Se puede poner la energía cinética en forma matricial de la siguiente forma.
̇
[ ̇
̇
̇ ][ ] [ ̇ ]
̇
(6.1.17)
Se calcula la energía potencial. Solo hay contribución debido al modo de flexión.
∫
( )
( )(
∫
)
(6.1.18)
El sistema de ecuaciones queda
̈
(6.1.19)
c) Estabilidad
El amortiguamiento estructural solo ocurre en el tercer modo ya que es el único donde hay rigidez a
flexión.
̇
(6.1.20)
Se añade al sistema de ecuaciones y se supone movimiento harmónico.
{
}
(6.1.21)
La estabilidad se obtiene buscando la presión dinámica de flameo, es decir, igualando el
determinante de la matriz a cero.
- 133 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 2. Flameo de un panel del revestimiento de un ala hipersónica
Se quiere estudiar la posibilidad de flameo de un panel del revestimiento de un ala hipersónica. El
panel es rectangular de cuerda y envergadura y se supone simplemente apoyado en sus cuatro
bordes. Se consideran solamente los dos primeros modos de vibración y estos modos se aproximan
por los de una viga equivalente simplemente apoyada de longitud , rigidez uniforme
y masa por
unidad de longitud uniforme y de valor
.
Se pide:
a) Calcular los dos primeros modos y frecuencias propias del modelo viga
b) Calcular la matriz de fuerzas aerodinámicas generalizadas utilizando la teoría del pistón.
c) Plantee las ecuaciones de estabilidad del sistema incluyendo amortiguamiento estructural
para ambos modos.
d) Exprese el determinante de estabilidad en función de parámetros adimensionales.
- 134 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Modos y frecuencias propias
Los modos se obtienen a partir de la ecuación diferencial, aplicando como carga la fuerza de inercia.
(
)
(6.2.1)
Si se supone movimiento harmónico se elimina la dependencia del tiempo
̅
̅
(6.2.2)
Las condiciones de contorno es que no hay desplazamiento ni momento en los extremos.
̅( )
̅( )
̅ ( )
⁄
Se hace el cambio de variable
exponencial.
̅ ( )
(6.2.3)
. La solución de esta ecuación diferencial tiene forma
(6.2.4)
Al introducir esto en la ecuación diferencial se obtiene la ecuación
. Las soluciones de
y – . Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial la siguiente
esta ecuación son
forma
(6.2.5)
O bien se puede sustituir los exponenciales con función compleja por ecuaciones trigonométricas.
(
)
(
)
(
)
(
)
(6.2.6)
Se introducen las condiciones de contorno para obtener las constantes.
(6.2.7)
(
)
(
)
(
)
(
)
(6.2.8)
(6.2.9)
(
)
(
)
(
)
(
)
(6.2.10)
Se escribe el sistema de forma matricial y se busca cuando este determinante es cero.
(
[
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(6.2.11)
Al hacer el determinante se obtiene la siguiente ecuación
(
)
(
- 135 -
)
(6.2.12)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Las dos soluciones son
son y .
y
, interesan las soluciones reales. Los dos primeros modos
Las frecuencias se obtienen sustituyendo .
√
√
√
(6.2.13)
Como para este valor de el determinante del sistema es cero, se tiene un sistema indeterminado.
Para resolverlo hay que suponer el valor de alguna incógnita y encontrar la relación con las otras
(algo similar a buscar autovectores). De todas formas para obtener la forma de los modos no hace
falta saber la amplitud del movimiento. La única solución válida es para un valor de
y se
obtiene que las otras constantes son nulas. La forma de los modos es:
(
(
)
(6.2.14)
)
(
)
(6.2.15)
b) Fuerzas generalizadas
El movimiento vertical es la contribución de los dos primeros modos.
(6.2.16)
El coeficiente de presión para la teoría del pistón es
(6.2.17)
por lo tanto la semicuerda es ⁄ . La condición de
Hay que recordar que la cuerda del perfil es
contorno
es
(
)
[
⁄
(
)
(
)
]
(6.2.18)
La diferencia de presión es
(
[
)
(
)
]
(6.2.19)
Las fuerzas generalizadas son
( )
∬
( )
∫
(6.2.20)
Se puede separar esta integral en una suma de dos integrales de funciones trigonométricas. Se
calculan las integrales para las dos fuerzas generalizadas.
∫
∫ [
(
)
(
- 136 -
)
]
(
)
(6.2.21)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
∫
∫ [
(
)
(
)
]
(
)
(6.2.22)
Las fuerzas generalizadas son
(6.2.23)
(6.2.24)
Se escriben en forma matricial
{ }
(6.2.25)
c) Sistema de ecuaciones
Se calcula la energía potencial
̇
∫(
̇ )
∫ [
(
̇
(
) ̇
) ̇
(
(
)
(
) ̇ ̇ ]
̇ )
(6.2.26)
La energía potencial
∫
( ) ∫ [
( )
(
(
)
(
)
(
)
(
)
]
)
(6.2.27)
El efecto de disipación es
̇
(6.2.28)
Se escribe el sistema de ecuaciones de forma matricial y se pone el movimiento harmónico.
( )
(
)
( )
[
- 137 -
(
)
̅
{ }
̅
]
(6.2.29)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
d) Expresar el determinante con parámetros adimensionales
Para adimensionalizar se dividen las expresiones por
(
.
̅
)
(
[
)
̅
(6.2.30)
]{ }
Se definen las siguientes frecuencias
(6.2.31)
Se expande la parte que está multiplicando la presión dinámica.
(6.2.32)
El sistema ya adimensionalizado queda
(
[
) (
̅
)
(
) (
El determinante de estabilidad es el determinante de la matriz.
- 138 -
)
̅
]{ }
(6.2.33)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 3. Puente
Se desea analizar el comportamiento aeroelástico de un puente de gran luz que está situado sobre
un río. El puente consiste en una pasarela de
de anchura y
de longitud, simplemente
apoyado en cada uno de los extremos. Para calcular el caso de carga crítico se considera que el
viento sopla a la velocidad máxima estadísticamente observada en los últimos 25 años, y que el
puente está lleno de personas corriendo, lo que supone una frecuencia de excitación de 4 , con
⁄ . La masa por unidad de longitud del puente vale
⁄ y la
una intensidad de
rigidez a flexión
.
Considerar que el puente oscila harmónicamente de modo que la deformada en todo momento es
semejante a la elástica de una viga uniformemente cargada. Para calcular las fuerzas aerodinámicas
utilizar la teoría de las rebanadas y el método de Theodorsen. Se pide:
⁄ .
a) Calcular la fuerza que actúa en los apoyos cuando la velocidad del viento es de
⁄ y
b) Calcular la relación entre la flecha máxima cuando la velocidad del viento es de
cuando no existe viento.
Nota: la sustentación de Theodorsen es
(
)
(
)
- 139 -
( )
(
)
(6.3.1)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Fuerza que actúa en los apoyos para
La carga de excitación es de
carga son
⁄
⁄
y tiene una frecuencia de 4
. La frecuencia angular y la
(6.3.2)
Como dice el enunciad se considera una carga puntual y donde la deformada se modeliza como se
puede ver en la Figura 6.3.1.
( )
Figura 6.3.1. Modelización de la deformación del puente.
La ecuación del desplazamiento del puente es
(
)
( )
(6.3.3)
Se integra cuatro veces esta expresión.
(6.3.4)
Se utilizan las condiciones de contorno para obtener las cuatro constantes de integración. Al tener
una biga biapoyada se restringe el desplazamiento vertical y el momento en los apoyos.
( )
()
( )
()
(6.3.5)
( )
()
( )
()
(6.3.6)
- 140 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ya se puede obtener el desplazamiento vertical a lo largo de la anchura del puente. Se puede dejar
en función de un polinomio dependiente de ⁄ , es bueno dejarlo en función de un número
adimensional para cálculos posteriores.
[( )
( )
( )]
( )
(6.3.7)
A partir de ahora se trabajará utilizando la función de la flecha ( ⁄ ), considerado el primer modo.
La ecuación diferencial para el modo
es
̈
(6.3.8)
La masa se obtiene integrando el cuadrado del desplazamiento.
∫
∫
∫ [( )
( )]
∫ [( )
( )
( )]
(6.3.9)
Donde
∫ [( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( ) ]
(6.3.10)
(6.3.11)
Se calcula ahora el término de rigidez.
∫
∫
[
( )
( )]
∫ [( )
( )
( ) ]
[
]
(6.3.12)
Como ya se tienen las fuerzas que actúan sobre el puente solo hace falta integrar las fuerzas por el
modo ficticio.
∫[
(
)
(
- 141 -
)] ( )
(6.3.13)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Se debe separar la integral. La sustentación es la solución de Theodorsen. La velocidad vertical y sus
derivadas es
(
La integral de
)
( ) ( )
∫
∫ (
∫
̈∫
̇
̇
̈
̈
( )
)
(6.3.14)
∫ (
̇∫
( )
(6.3.15)
ya se resolvió en la ecuación (6.3.10). Se resuelve la integral de
∫
∫ [( )
( )
( )]
[
.
]
̈
(
)
( )
(6.3.16)
̇)
(6.3.17)
La ecuación diferencial queda
̈
̈
(
Se supone movimiento harmónico donde ( )
.
(
( )
[
)
( )
̇)
(6.3.18)
]
(6.3.19)
Ya se tiene la amplitud de . Hay que recordar que la frecuencia reducida está adimensionada con
la semicuerda que en este problema es
. Se calcula la frecuencia reducida y la función de
Theodorsen (para algunos valores de la función de Theodorsen mirar el problema de la cubierta de
un andén del tema de flameo de perfiles).
( )
La parte multiplicando a
[ (
)
(
(6.3.20)
queda
)
( )
4
]
(6.3.21)
Por lo tanto
(
(6.3.22)
)
Ya se puede calcular .
- 142 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
b) Relación entre la flecha máxima con y sin viento
La flecha se obtiene a partir del movimiento vertical obtenido en la ecuación (6.3.14). La flecha
máxima se tiene en la mitad del puente cuando
.
Al no tener viento no se debe simplemente igualar
a cero sino que se debe eliminar por
completo la sustentación. La solución de Theodorsen viene de una teoría linealizada donde se ha
considerado que la velocidad incidente es mucho mayor que el movimiento de oscilación. Al eliminar
la sustentación es como considerar que el puente está en el vacío pero es un resultado más correcto.
- 143 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 4. Cubierta de un vehículo espacial
El sistema de la Figura 6.4.1 representa un modelo simplificado de un panel del revestimiento de un
vehículo espacial. Se quiere estudiar la posibilidad de flameo aplicando la teoría del Pistón. Se
consideran dos grados de libertad: uno de desplazamiento vertical como sólido rígido y otro de
( ⁄ ). La rigidez por
deformación elástica alrededor del eje que se aproxima por la función
unidad de longitud de los muelles vale . La masa por unidad de superficie y la rigidez a flexión son
uniformes y valen
y
respectivamente. Se pide:
a)
b)
c)
d)
Calcular la matriz de masas del sistema
Calcular la matriz de rigidez del sistema
Calcular la matriz de las fuerzas aerodinámicas
Obtener las ecuaciones de equilibrio del sistema despreciando el amortiguamiento
estructural
e) Obtener el determinante para el cálculo de flameo en función de los siguientes parámetros
adimensionales
√
(6.4.1)
Figura 6.4.1. Título de la figura
- 144 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Matriz de masas del sistema
El desplazamiento vertical se escribe según la siguiente ecuación. Se tienen dos amplitudes que
dependen del tiempo ( ) y ( ), donde ( ) es la máxima amplitud de la deformación en forma
sinusoidal (situada en el centro del panel).
(
)
( )
( )
(
)
(6.4.2)
Para poder obtener la matriz de masa del sistema se debe obtener la energía cinética. Al tener una
distribución de masa uniforme
.
∫[
̇( )
̇( )
(
)]
̇
̇ ̇
(
)
∫
[ ̇
̇ ̇
( ̇
̇ ̇
( ̇
(
̇
̇
)
̇
̇ ̇
(
)
(
[
)
]]
̇ ̇ )
̇ )
(6.4.3)
La matriz de masas del sistema se obtiene haciendo la derivada parcial respecto a las derivadas
primeras de las variables.
̇
( ̇
̇)
̇
(
̇
̇)
(6.4.4)
Por lo tanto la matriz de masas del sistema es
[ ]
(6.4.5)
[
]
b) Matriz de rigidez del sistema
Para determinar la matriz de rigidez del sistema se debe obtener la energía potencial. Como
contribuciones se tienen los dos muelles y la deformación del panel.
∫
- 145 -
(
(
)
)
(6.4.6)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
La segunda derivada del desplazamiento vertical al cuadrado es
(
(
)
(
)
(
)
( )
)
(6.4.7)
(
)
(6.4.8)
Por lo tanto la integral de esta función es
∫ (
(
)
( ) [
)
(
)
]
(6.4.9)
Y finalmente se calcula la energía potencial.
(6.4.10)
Se obtiene la matriz de rigidez haciendo las derivadas parciales respecto a las variables del sistema.
(6.4.11)
[ ]
[
]
(6.4.12)
c) Matriz de fuerzas aerodinámicas
Las fuerzas generalizadas se obtienen a partir de los trabajos virtuales.
∫ (
)
∫ (
)
(6.4.13)
Donde
(
)
(6.4.14)
Se debe usar como presión de referencia la presión ambiente . Se considera que
ya que es la presión dentro de la nave, mientras que ( ) no lo es.
(
)
(
)
es constante
(6.4.15)
De la teoría del pistón en forma dimensional y recordando que solo se tiene en cuenta la variación
de presiones en el extradós, se tiene
(
- 146 -
)
(6.4.16)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
)
(6.4.17)
Las derivadas del desplazamiento vertical son
(
̇
)
̇
(
)
(6.4.18)
Por lo tanto la diferencia de presiones es
(
[
̇
)
̇
(
)]
(6.4.19)
Y la diferencia de presiones entre dentro y fuera del panel es
(
)
(
[
̇
)
̇
(
)]
(6.4.20)
) ya que es constante y no afecta al flameo como se verá
Se podría despreciar el término (
más adelante, de momento se mantendrá en la ecuación.
Se pueden ahora hacer las integrales que permiten calcular las fuerzas generalizadas.
)
∫ {(
∫ {(
[ (
(
)
(
)
[
(
)
(
)
[
(
)
(
)
(
(
[
[
̇
(
̇
)
̇
)
̇
)
̇
(
)]} (
(
)]
̇
)
̇ )
̇
̇
(
)
(6.4.21)
(
)]}
(
(
)
̇
)
̇
̇
̇)
(
)]]
(6.4.22)
Se pueden escribir estas dos ecuaciones de forma matricial.
̇
[ ]
{ }
[
]
(
){
}
(6.4.23)
̇
d) Sistema de ecuaciones
Utilizando las expresiones obtenidas en los apartados anteriores se tiene ya todo lo necesario para
tener el sistema de ecuaciones.
- 147 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma
[ ]
̈
[ ] ̇
[ ]
̈
̇
{ }
[
]
[
]{ }
(
{ }
̈
[
]
)
̇
(6.4.24)
{
}
) solo afecta a la condición de equilibrio y al no afectar al flameo se retira del
El término (
sistema de ecuaciones.
Se impone movimiento harmónico.
̅
[
{
[
]
[
] { }
̅
}
]
Se adimensionalizan las ecuaciones dividiendo ambas ecuaciones por
siguientes números adimensionales (dados en el enunciado).
(6.4.25)
. Se forman los
(6.4.26)
̅
[
{ [
]
[
]
]
̅
(6.4.27)
}{ }
̅
(
{ [
]
[
) [
]
]
̅
(6.4.28)
}{ }
e) Determinante y condiciones de flameo
Para obtener las condiciones de flameo se debe igualar el determinante de la matriz del sistema a
cero y obtener de ahí la frecuencia.
(
)
(
)
(
)
(6.4.29)
[
(
)
(
- 148 -
)
(
)
]
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 5. Velero con modo ficticio
Se desea estudiar la posibilidad de entrada en flameo de un velero por acoplamiento de los dos
siguientes modos: el movimiento vertical como sólido rígido y el primer modo simétrico (respecto
del plano
) de deformación en flexión cuya expresión se aproxima por el modo ficticio
( )
( )
(6.5.1)
Donde es la semienvergadura del ala.
El velero se representa por una viga libre-libre y las fuerzas aerodinámicas se calculan para el caso de
un fluido incompresible y aerodinámica casi-estacionaria.
La masa del velero por unidad de longitud es
y la rigidez a flexión del ala es
. Se pide:
a) Calcular la matriz de masas y rigidez del sistema considerado.
b) Calcular la matriz de fuerzas aerodinámicas generalizadas.
c) Obtener la ecuación característica que permite determinar la velocidad y frecuencia de
flameo.
- 149 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Calcular la matriz de masas y rigidez del sistema.
Se abrevia el modo ficticio con una forma más genérica.
( )
̅
(6.5.2)
Se tiene también otro modo, el movimiento vertical como sólido rígido que equivale a tener
.
El desplazamiento vertical queda
(
)
( )
( ) ( )
(6.5.3)
Se calcula la energía cinética para obtener la matriz de masas.
∫ ̇
∫ [ ̇
{[ ̇ ̅
[ ̇
(
) ̇ ̇
∫ ( ̅
̅
) ̇
̅}
) ̇ ]
(
̇ ̇
̇ ]
) ̇ ] ̅
( ̅
̅) ̇ ̇ ]
( ̅
[ ̇
[ ̇
) ̇ ̇
( ̅
̇ ]
̇
[
]{ }
̇
(6.5.4)
La matriz de masas es por lo tanto
[ ]
[
]
(6.5.5)
Para obtener la matriz de rigidez se debe calcular la energía potencial.
(
∫
)
(6.5.6)
Se debe de derivar dos veces el desplazamiento vertical respecto a .
(6.5.7)
Esta expresión no depende de
por lo que la integral es muy fácil de hacer.
(
)
- 150 -
(6.5.8)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
La matriz de rigidez se obtiene derivando esta expresión respecto a
[ ]
[
.
]
(6.5.9)
b) Matriz de fuerzas generalizadas
Para calcular la fuerza generalizada se utiliza la teoría de las rebanadas. Como no hay torsión la
derivada
es nula.
(6.5.10)
Se calcula el coeficiente de presiones utilizando aerodinámica casi estacionaria. Hay que tener en
cuenta que la velocidad es adimensional por lo que está dividida por
.
√
̅ (
∫ √
( ̇
√
( ̇
√
)
( ) ̇ )∫ √
( ) ̇ )
Se calculan ahora las fuerzas generalizadas. Se empieza con
(6.5.11)
. Se sabe que
⁄
.
∬
( ̇
√
∫ ∫
(
)∫ [ ̇
(
(
) [ ̇
(
( ) ̇ )
) ̇ ]
) ̇ ]
⁄
Se calcula ahora la segunda fuerza generalizada. Se sabe que
(6.5.12)
( ).
∬
∫ ∫
√
- 151 -
( ̇
( ) ̇ ) ( )
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
(
) ∫ [ ̇ (
(
) [ ̇ (
)
)
) ̇ ]
(
(
) ̇ ]
(6.5.13)
̇
]{ }
̇
(6.5.14)
Se escriben las fuerzas generalizadas en forma matricial.
{
}
[
c) Ecuación característica que permite determinar la velocidad y frecuencia de flameo.
Las ecuaciones del sistema son
̈
[
]{ }
̈
[
]{ }
̇
]{ }
̇
[
(6.5.15)
Se supone movimiento harmónico.
̅
{
[
]
[
Se empieza Adimensionalizando dividiendo por
]
[
]} { }
̅
(6.5.16)
el sistema.
̅⁄
{
[
]
[
]
Se crean los siguientes grupos adimensionales, donde
problema.
[
]} {
̅⁄
}
(6.5.17)
es la frecuencia de referencia del
(6.5.18)
Para terminar de adimensionalizar el sistema de ecuaciones se divide por la frecuencia .
{ [
]
[
]
(
) [
]} {
̅ ⁄
̅⁄
} (6.5.19)
Para determinar la velocidad y frecuencia de flameo se debe obtener el determinante de la matriz
del sistema de ecuaciones e igualarlo a cero. Así se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas de donde se resuelve
y y a partir de este último se consigue .
(
)
(6.5.20)
[
(
)
(
- 152 -
)
(
)
]
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 153 -
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Problema 6. Ejemplo de modo de torsión
Se tiene un ala rectangular de envergadura
y cuerda
. Tiene una distribución de masa
homogénea siendo
la masa por unidad de superficie. Considerando el modo ficticio de la
ecuación (6.6.1), encontrar la energía cinética y la energía potencial.
( )
- 154 -
(6.6.1)
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Resolución
a) Energía cinética
El movimiento vertical del perfil es
(
) [
( ) ]
(6.6.2)
La energía cinética de este modo es
∬ ̇
̇ ∫ [
∫ (
( ) ]
)
(6.6.3)
La primera integral queda
∫ [
( ) ]
∫ [
( )
( ) ]
[
]
(
)
(6.6.4)
La segunda es simplemente
∫ (
)
[
]
(6.6.5)
Por lo tanto
[
(
)]
(6.6.6)
b) Energía potencial
Se tiene que tener la primera derivada de la función del modo.
( )
(6.6.7)
La energía potencial es
∫
[ ( )]
∫ [ ( )]
(
- 155 -
)
[
]
(6.6.8)
(6.6.9)