APLICACIONES EN CÁLCULO Introducción al estudio de las derivadas 2 Dada la siguiente función f ( x) := x : (1) encontrar su derivada, (2) el valor de la pendiente en cualquier punto dado de la curva, (3) la ecuación de la pendiente en el punto seleccionado y (4) graficar la ecuación y la ecuación de la pendiente en el punto dado. Solución (1) Calcular su derivada simbólicamente: d f ( x) → 2⋅ x dx (2) Calcular el valor de la derivada en un punto n dado y almacenar este valor en una variable llamada m (pendiente de la recta tangente) para uso posterior: n := (3) Para identificar la ecuación de la pendiente, definimos una fórmula de cálculo en función de la pendiente y un punto: recta ( pendiente , P , x) := pendiente⋅ ( x − P1) + P2 1 2 m := ⎛ n ⎞ ⎟ ⎝ f ( n) ⎠ d f ( n) dn ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 2 P→ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ Calculamos las coordenadas del punto de intersección entre la recta y la curva dada P := ⎜ Ecuación calculada de la recta: recta ( m , P , x) → x − Grado de inclinación de la pendiente: atan ( m) = 45 deg atan ( m) → Ricardo Villafaña Figueroa π 4 1 4 (4) Graficación: 100 50 f ( x) recta ( m , P , x) − 10 −5 0 − 50 x Ricardo Villafaña Figueroa 5 10 Cambiar el punto de cálculo de la derivada y observar los cambios n := 3 m := ⎛ n ⎞ ⎟ ⎝ f ( n) ⎠ d f ( n) dn ⎛3 ⎞ P→ ⎜ ⎟ ⎝9 ⎠ P := ⎜ recta ( m , P , x) → 6⋅ x − 9 atan ( m) = 80.538 deg atan ( m) → atan ( 6) 100 50 f ( x) recta ( m , P , x) − 10 −5 0 − 50 − 100 x Ricardo Villafaña Figueroa 5 10 Ejemplo 3 2 Para la siguiente función 2x − 9x + 12x encontrar: (1) su derivada en cualquier punto, (2) encontrar los rangos de X para los cuales la función es creciente y decreciente, (3) calcular la ecuación de la pendiente en cualquier punto dado, (4) graficar la función y la pendiente en un punto dado. (1) Definimos la expresion en función de X: f ( x) := 2x − 9x + 12x Calculo de la derivada de la función: d 2 f ( x) → 6⋅ x − 18⋅ x + 12 dx (3) Definir rangos para el estudio de la gráfica: 3 2 x1 := −2 x2 := 3 y1 := 1 y2 := 6 6 5 4 f ( x) 3 2 −2 −1 1 0 1 x Cálculo del valor de la función en cualquier punto: x0 := 0 f ( x0) → 0 Calcular los valores para los cuales la derivada vale cero: Ricardo Villafaña Figueroa ⎛1 ⎞ d f ( x) solve , x → ⎜ ⎟ dx ⎝2 ⎠ 2 3 Estudiar los rangos en los cuales la función es creciente (derivada positiva) o decreciente (derivada negativa) x1 := −3 , −2.5 .. 2.5 d f ( x1) = dx1 x1 = 120 -3 Dibujar la pendiente en los puntos críticos: -2.5 94.5 -2 72 -1.5 52.5 -1 36 -0.5 22.5 0 12 0.5 4.5 1 -2.686·10-14 1.5 -1.5 2 -6.188·10-15 2.5 4.5 ⎛1 ⎞ ⎞ ⎛d f ( x) ⎟ solve , x → ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ dx ⎠ sol := ⎜ x1 := sol1 Cálculo del primer punto ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎝ f ( x1) ⎠ A1 := ⎜ Ricardo Villafaña Figueroa m1 := ⎛1 ⎞ A1 → ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎛ x2 ⎞ ⎟ ⎝ f ( x2) ⎠ ⎛2 ⎞ A2 → ⎜ ⎟ ⎝4 ⎠ d f ( x1) dx1 m1 → 0 A2 := ⎜ Cálculo de la ecuación de la primera recta: x2 := sol2 Cálculo de la ecuación de la segunda recta: recta ( m1 , A1 , x) → 5 m2 := d f ( x2) m2 → 0 dx2 recta ( m2 , A2 , x) → 4 Definir rangos para el estudio de la gráfica: x1 := −2 x2 := 3 y1 := 1 y2 := 6 6 5 f ( x) recta ( m1 , A1 , x) 4 recta ( m2 , A2 , x) 3 2 −2 −1 1 0 1 x Ricardo Villafaña Figueroa 2 3